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【名校精品解析系列】3月份名校试题解析分类汇编第四期 G单元 立体几何


G 单元 目录

立体几何

G 单元 立体几何 ........................................................................................................................... 1 G1 空间几何体的结构 .................................................................................................................. 1 G2 空间几何体的三视图和直观图 .............................................................................................. 2 G3 平面的基本性质、空间两条直线 .......................................................................................... 6 G4 空间中的平行关系 .................................................................................................................. 6 G5 空间中的垂直关系 ................................................................................................................ 16 G6 三垂线定理 ............................................................................................................................ 21 G7 棱柱与棱锥 ............................................................................................................................ 22 G8 多面体与球 ............................................................................................................................ 24 G9 空间向量及运算 .................................................................................................................... 25 G10 空间向量解决线面位置关系 .............................................................................................. 27 G11 空间角与距离的求法 .......................................................................................................... 27 G12 单元综合 .............................................................................................................................. 32

G1

空间几何体的结构

【数学文卷·2015 届山西省山大附中高三上学期期中考试(201411) 】19. (本小题满分 12 分) 在如图所示的空间几何体中,平面 ACD ? 平面 ABC ,?ACD 与 ?ACB 是边长为 2 的等边 三角形, BE ? 2 , BE 和平面 ABC 所成的角为 60 ? ,且点 E 在平面 ABC 上的射影落在 ?ABC 的平分线上. (Ⅰ)求证: DE // 平面 ABC ; (Ⅱ)求三棱锥 B ? ACE 的体积

第 19 题 图 【知识点】线面平行的判定,锥体体积求法 G4 G1 【答案】 【解析】 (Ⅰ)略(Ⅱ)1 解析: (Ⅰ)由题意知, ?ABC , ?ACD 都是边长为 2 的等边三角形,取 AC 中点 O , 连接 BO, DO ,则 BO ? AC , DO ? AC ,……………………2 分

又∵平面 ACD ⊥平面 ABC ,∴ DO ⊥平面 ABC ,作 EF ⊥平面 ABC , 那么 EF // DO ,根据题意,点 F 落在 BO 上, ∴ ?EBF ? 60? ,易求得 EF ? DO ? 3 ,…………4 分 ∴四边形 DEFO 是平行四边形,∴ DE // OF ,∴ DE // 平面 ABC ……6 分 (Ⅱ) VB? ACE ? VE ? ABC ? 1 ……………… 12 分

【思路点拨】由题意取 AC 中点 O ,作 EF ⊥平面 ABC ,点 F 落在 BO 上, 可求四边形 DEFO 是平行四边形,可得 DE // OF ;利用等体积法即可求解.

G2

空间几何体的三视图和直观图

【数学理卷·2015 届河北省唐山一中高三 12 月调研考试(201412) 】10.某四面体的三视 图如图所示,正视图、侧视图、俯视图都是边长为 1 的正方形,则此四面体的外接球的表面 积为( A. 3? ) B. 4? C. 2? D.

5 ? 2

【知识点】空间几何体的三视图和直观图 G2 【答案】A 【解析】由于正视图、侧视图、俯视图都是边长为 1 的正方形,所以此四面体一定可以放 在正方体中,所以我们可以在正方体中寻找此四面体.如图所示,

四面体 ABCD 满足题意,所以此四面体的外接球即为此正方体的外接球, 由题意可知,正方体的棱长为 1,所以外接球的半径为 R=

3 , 2

所以此四面体的外接球表面积 S=4×π×(

3 2 ) =3π . 2

【思路点拨】由于正视图、侧视图、俯视图都是边长为 1 的正方形,所以此四面体一定可 以放在棱长为 1 的正方体中,所以此四面体的外接球即为此正方体的外接球,由此能求出 此四面体的外接球表面积.

【数学理卷·2015 届四川省成都外国语学校高三 12 月月考(201412) 】5.某几何体是由直 三棱柱与圆锥的组合体,其直观图和三视图如图所示,正视图为正方形,其中俯视图中椭圆 的离心率为 A. 2 B.

1 2

C.

2 4

D.

2 2

正视图

侧视图

直观图

俯视图

(第 5 题)

【知识点】三视图 椭圆的性质 G2 H5 【答案】 【解析】D 解析:设正视图中正方形的边长为 2b,由三视图可知,俯视图中的矩形一边长为 2b,另一 边 长 为 圆 锥 底 面 直 径 , 即 为 正 视 图 中 的 对 角 线 长 , 计 算 得 2 2b , 所 以

c a 2 ? b2 b 2 ,则选 D. 2a ? 2 2b, a ? 2b,e ? ? ? ? a a 2 2b
【思路点拨】由三视图解答几何问题,注意三视图与原几何体的长宽高的对应关系,求椭圆 的离心率,抓住其定义寻求 a,b,c 关系即可解答.

【数学文卷·2015 届重庆市巴蜀中学高三 12 月月考(201412) 】7、某几何体的三视图如图 所示,则该几何体的体积为( ) A、 B、200

C、

D、240

【知识点】三视图 G2 【答案】 【解析】B 解析:由三视图可知该几何体为平放的四棱柱,其中以侧视图为底. 底面为等腰梯形,梯形的上底长为 2,下底长为 8, 梯形的高为 4,棱柱的高为 10. ∴梯形的面积为 ∴棱柱的体积为 20×10=200. 故答案为:200. : 【思路点拨】由三视图可知该几何体为四棱柱,然后根据棱柱体积公式计算体积即可. ,

【数学文卷·2015 届江西省五校(江西师大附中、临川一中、鹰潭一中、宜春中学、新余 四中)高三上学期第二次联考(201412) 】14. . 某空间几何体的三视图如图所示, 则这个 空间几何体的表面积是________.

【知识点】由三视图求面积、体积. G2 【答案】 【解析】 4p + 4 解析:由三视图可知,该几何体为上部为半径为

1 的球,下部为 2
2

骣 1 半径为 1,高为 2 的半个圆柱,几何体的表面积为等于球的表面积:4π× 琪 琪 2 桫
底面面积为 2×

=π,半圆柱的

1 4p + 4 . ×p =p , 半圆柱的侧面积为 2× (2+ p ) =4+2 p . 几何体的表面积为: 2 1 的球,下部为半径为 1,高为 2 的 2

故答案为: 4p + 4 . 【思路点拨】由三视图可知,该几何体为上部为半径为 半个圆柱,利用相关的面积公式求解即可解答.

【数学文卷·2015 届山西省山大附中高三上学期期中考试(201411) 】16.已知下图是一个 空间几何体的三视图,则该几何体的外接球的表面积为___________。

2

2
2 正视图

2

2
侧视图

2
俯视图

【知识点】球的体积和表面积;由三视图求面积、体积;球内接多面体 G8 G2 G12 【答案】 【解析】 6? 解析:几何体为三棱锥,可以将其补形为一个棱长为 2 的正方体, 该正方体的外接球和几何体的外接球为同一个,故 2 R ?
2 所以外接球的表面积为: 4? R ? 6? .故答案为:6π.

22 ?

? 2?

2

? 6,

【思路点拨】由题意判断几何体的形状,几何体扩展为正方体,求出外接球的半径,即可求 出外接球的表面积. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) .

【数学文卷·2015 届四川省成都外国语学校高三 12 月月考(201412) 】5.某几何体是由直

三棱柱与圆锥的组合体,其直观图和三视图如图所示,正视图为正方形,其中俯视图中椭圆 的离心率为 ( ) A. 2 B.

1 2

C.

2 4

D.

2 2

正视图

侧视图

直观图

俯视图

(第 5 题)

【知识点】三视图 椭圆的性质 G2 H5 【答案】【解析】D 解析:设正视图中正方形的边长为 2b,由三视图可知,俯视图中的矩形一边长为 2b,另一 边 长 为 圆 锥 底 面 直 径 , 即 为 正 视 图 中 的 对 角 线 长 , 计 算 得 2 2b , 所 以

2a ? 2 2b, a ? 2b,e ?

c a 2 ? b2 b 2 ,则选 D. ? ? ? a a 2 2b

【思路点拨】由三视图解答几何问题,注意三视图与原几何体的长宽高的对应关系,求椭圆 的离心率,抓住其定义寻求 a,b,c 关系即可解答.

G3

平面的基本性质、空间两条直线

G4

空间中的平行关系

【数学理卷·2015 届河北省唐山一中高三 12 月调研考试(201412) 】7.对于平面 ? 、 ? 、

? 和直线 a 、 b 、 m 、 n ,下列命题中真命题是(

)

?? C.若 ? 则 a // b / / ? , ? ? ? a , ? ? ? b ,

A.若 a 则 a ?? ? m , a ? n , m ? , n ? ,

B.若 a ,则 a // ? / /bb , ? ? D.若 a ? , b ? ,/ a /,/ b / ,则 ? // ?

? ???

【知识点】空间中的平行关系垂直关系 G4 G5 【答案】C 【解析】A.根据线面垂直的垂直的判定定理可知,m,n 必须是相交直线,所以 A 错误. B.根据直线和平面平行的判定定理可知,a 必须在平面 α 外,所以 B 错误. C.根据面面平行的性质定理可知,两个平行平面同时和第三个平面相交,则交线平行,所 以 C 正确.D.根据面面平行的判定定理可知,直线 a,b 必须是相交直线,才能得到面面 平行.所以 D 错误. 【思路点拨】A.利用线面垂直的定义和判定定理判断. B.利用线面平行的判定定理判 断.C.利用面面平行的性质判断.D.利用线面平行的性质和面面平行的判定定理判断. 【数学理卷·2015 届江苏省扬州中学高三上学期质量检测(12 月) (201412) 】16.(本小 题满分 14 分) 如图, AB 为圆 O 的直径,点 E , F 在圆 O 上,且 AB // EF, 矩形 ABCD 所在的平面与圆 O 所在的平面互相垂直,且 AB ? 2, AD ? EF ? 1. (1)设 FC 的中点为 M , 求证: OM // 面 DAF; (2)求证: AF ? 面 CBF .

【知识点】平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定.G4 G5 【答案】 【解析】 (1)见解析; (2)见解析 解析: (1)设 DF 的中点为 N , 连接 MN , 则 MN ∥

1 1 1 CD , MN = CD , 又∵ AO ∥ CD , 2 2 2

1 AO = CD , ∴ MN ∥ AO , MN = AO ,∴ MNAO 为平行四边形,∴ OM ∥ AN . 2
又∵ AN ? 面 DAF, OM ? 面 DAF, ∴ OM ∥面 DAF . (2)∵面 ABCD ? 面 ABEF ,CB ? AB, CB ? 面 ABCD ,面 ABCD ? 面 ABEF ? AB, ∴ CB ? 面 ABEF .∵ AF ? 面 ABEF ,∴ AF ? CB. 又∵ AB 为圆 O 的直径, ∴ AF ? BF . 又∵ CB ? BF ? B, CB, BF ? 面 CBF . ∴ AF ? 面 CBF .

【思路点拨】 (1)根据线面平行的判定定理: OM // 面 DAF; (2)根据线面垂直的判定定 理或面面垂直的性质定理证明 AF ? 面 CBF .

【数学理卷·2015 届山西省山大附中高三上学期中考试试题(201411) 】19. (本小题满分 12 分) 在如图所示的空间几何体中,平面 ACD ? 平面 ABC ,?ACD 与 ?ACB 是边长为 2 的等边 三角形, BE ? 2 , BE 和平面 ABC 所成的角为 60? , 且点 E 在平面 ABC 上的射影落在 ?ABC 的平分线上. (Ⅰ)求证: DE // 平面 ABC ; (Ⅱ)求二面角 E ? BC ? A 的余弦值.

第 19 题图 【知识点】线面平行 二面角 G4 G11 【答案】 (Ⅰ)略; (Ⅱ)

13 . 13

【解析】 解析: (Ⅰ) 证明: 由题意知,?ABC ,?ACD 都是边长为 2 的等边三角形, 取 AC 中点 O ,连接 BO, DO ,则 BO ? AC , DO ? AC ,……………………2 分 又∵平面 ACD ⊥平面 ABC ,∴ DO ⊥平面 ABC ,作 EF ⊥平面 ABC , 那么 EF // DO ,根据题意,点 F 落在 BO 上, ∴ ?EBF ? 60? ,易求得 EF ? DO ?

3 ,…………4 分

∴ 四 边 形 DEFO 是 平 行 四 边 形 , ∴ DE // OF , ∴ DE // 平 面 ABC …………6 分

(Ⅱ)解法一:作 FG ? BC ,垂足为 G ,连接 EG ,

∵ EF ⊥平面 ABC ,∴ EF ? BC ,又 EF ? FG ? F , ∴ BC ? 平面 EFG ,∴ EG ? BC ,∴ ?EGF 就是二面角 E ? BC ? A 的平面角.…9 分

Rt?EFG 中,

FG ? FB ? sin 30? ?

13 1 EG ? 2 . 2 , EF ? 3 ,

cos ?EGF ?


FG 13 13 ? EG 13 .即二面角 E ? BC ? A 的余弦值为 13 .………12 分

解 法二: 建立如 图所示的 空间直 角坐标 系 O ? xyz ,可知 平面 ABC 的 一个法 向量为

n1 ? (0,0,1)
设平面 BCE 的一个法向量为 n 2 ? ( x, y, z )

? ?n2 ? BC ? 0 ? ?n ? BE ? 0 则, ? 2 可求得 n 2 ? (?3, 3 ,1) .………………9 分

cos ? n1 , n2 ??
所以

n1 ? n2 13 ? | n1 | ? | n2 | 13 ,

又由图知,所求二面角的平面角是锐角,

13 所以二面角 E ? BC ? A 的余弦值为 13 .……12 分

【思路点拨】 (Ⅰ)取 AC 中点 O ,连接 BO, DO , ,由题设条件推导出 DO ⊥平面 ABC , 作 EF ⊥平面 ABC ,由已知条件推导出 ?EBF ? 60? ,由此能证明 DE // 平面 ABC ; (Ⅱ)法一:作 FG ? BC ,垂足为 G ,连接 EG ,?EGF 就是二面角 E ? BC ? A 的

13 平面角,由此能求出 E ? BC ? A 的余弦值为 13 .法二:以 OA 为 x 轴,以 OB 为 y

轴 , 以 OD 为 z 轴 , 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 O ? xyz , 利 用 向 量 法 能 求 出 二 面 角

E ? BC ? A 的余弦值.

【数学理卷·2015 届四川省成都外国语学校高三 12 月月考(201412) 】18. (本题满分 12 分 ) 如 图 , 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , 四 边 形 ABCD 是 正 方 形 , CD ? PD ,

?ADP ? 90?, ?CDP ? 120 ? , E , F , G 分别为 PB, BC , AP 的中点.
(Ⅰ)求证:平面 EFG // 平面 PCD ; (Ⅱ)求二面角 D ? EF ? B的平面角的大小.
A

B G F D E P

C

(第 18 题)

【知识点】平行关系 二面角 G4 G11

3 ? 4 解析: (Ⅰ)因为 E , G 分别为 BP , AP 中点,所以 EG // AB , 又因为 ABCD 是正方形, AB // CD ,所以 EG // CD ,所以 EG // 平面 PCD . 因为 E , F 分别为 BP , BC 中点,所以 EF // PC ,所以 EF // 平面 PCD . 所以平面 EFG // 平面 PCD . (Ⅱ)法 1.易知 AD ? CD ,又 AD ? PD ,故 AD ? 平面 PCD 分别以 DC , DA 为 x 轴和 z 轴,建立空间直角坐标系(如图) 不妨设 AD ? CD ? PD ? 2
【答案】 【解析】 (Ⅰ) 略; (Ⅱ) 则 B( 2,0, 2), F ( 2,0,1) , P ( ?1, 3 ,0) 所以 E ( ,

1 2

3 ,1) 2

3 3 FB ? (0,0,1), EF ? ( , ? ,0) 2 2
设 m ? ( x1 , y1 , z1 ) 是平面 BEF 的法向量,则

? x1 ? 1 ? z1 ? 0 ? FB ? m ? 0 ? ? ? 所以 ? 3 取 ? y1 ? 3 ,即 m ? (1, 3 ,0) ? 3 y1 ? 0 ? ? ? x1 ? ? EF ? m ? 0 ?2 2 ? z1 ? 0
设 n ? ( x2 , y2 , z2 ) 是平面 DEF 的法向量,则

设二面角 D ? EF ? B的平面角的大小为 ?

? x2 ? 1 ?2 x 2 ? z 2 ? 0 ? ? ? FD ? n ? 0 ? 所以 ? 3 取 ? y2 ? 3 ? 3 ? y2 ? 0 ? ? x2? ? EF ? n ? 0 ?2 2 ? z 2 ? ?2

cos ? m, n ??

m?n | m || n |

?

1? 3 2?2 2

?

2 2

所以 cos? ? ?

3 2 ,二面角 D ? EF ? B的平面角的大小为 ? . 4 2

A

B

G E

F

D P

C

法 2. 取 PC 中点 , 联结 EM , DM 则 EM // BC , 又 AD ? 平面 PCD , AD // BC , 所以

BC ? 平面 PCD ,所以 EM ? 平面 PCD ,所以 EM ? DM , EM ? PC . 因为 CD ? DP ,则 DM ? PC ,所以 DM ? 平面 PCB . 又因为 EF // PC ,所以 EF ? EM 所以 ?DEM 就是二面角 D ? EF ? B的平面角的补角. 不妨设 AD ? CD ? PD ? 2 ,则 ? EM ? 1 , DM ? 1 , ?DEM ? . 4 3 所以二面角 D ? EF ? B的平面角的大小为 ? . 4
A

B G F D E P M

C

【思路点拨】 证明面面平行一般利用面面平行的判定定理进行证明, 求二面角可以建立适当 坐标系利用平面的法向量求解,也可以寻求二面角的平面角求解.

【数学文卷· 2015 届重庆市巴蜀中学高三 12 月月考 (201412) 】 19、 四棱锥 底面 是边长为 8 的菱形, ,若 ,

中,

平面 ⊥平面 (1)求证:

,E、F 分别为 BC、PA 的中点。 ;

(2)求证: ⊥ (3)求三棱锥

; 的体积。

【知识点】 直线与直线垂直的判定; 棱柱、 棱锥、 棱台的体积; 平面与平面平行的判定.G4 G5 G7 【答案】 【解析】(1)略(2)略(3) 为 AD 的中位线所以 FH / / AD, FH ? 解析:(1)设 PD 的中点为 H,连接 FH,CH,所以 FH

1 AD ,在四边形 FECH 中, FH / / BC, FH ? BC , 2

所以 FE / / HC, HC ? 面PDC ,所以 EF//面PDC . (2)证明:连接 BM,BD; ∵BD=BA=8,AM=DM, ,∴AD⊥BM,

又 AD⊥PM,且 BM∩PM=M, ∴AD⊥平面 PMB,∵PB?平面 PMB,∴AD⊥PB; (3)如图 过 P 作 PM⊥AD 于 M, ∵平面 PAD⊥平面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD,PM?平面 PAD, ∴PM⊥面 ABCD; 又 PA=PD=5,AD=8 ∴M 为 AD 的中点,且 PM= ∵菱形 ABCD 中, ∴VP﹣ABCD= ×8×8×sin =3, ,AD=8, ×3= ×64× ×3=32 ,

∴四棱锥 P﹣ABCD 的体积为 ; 【思路点拨】 (1)根据直线与平面平行的判定定理可直接证明; (2)要证 AD⊥PB,只需证 AD⊥平面 PMB,由 AD⊥PM,AD⊥BM 可证得; (3)四棱锥 P﹣ABCD 的体积= ×菱形 ABCD 的面积×棱锥的高,由平面 PAD⊥平面 ABCD, 过 P 作 PM⊥AD 于 M 可得高 PM,菱形 ABCD 的面积也可求;

【数学文卷·2015 届重庆市巴蜀中学高三 12 月月考(201412) 】5、已知直线 满足 A、 C、 且 且 和 B、 D、 ,则有( 且 且 G4 G5 )

与平面

【知识点】空间中的平行关系;空间中的垂直关系. 【答案】 【解析】A ∵?

解析:∵ m ? ? , m ? ? ,∴ ? ? ? ,设 ?

? ? n ,则 m ? n .

? ? l ,∴ l ? ? ,又 l ? , ? ? ? n ,∴ l n ,∴

,故选 A.

【思路点拨】根据已知条件逐步推出结论.

【数学文卷·2015 届江苏省扬州中学高三上学期质量检测(12 月) (201412) 】15.(本小 题满分 14 分)

E 、 F 分别是 A1B 、 AC D 在 B1C1 上, 如图,在直三棱柱 ABC ? A 1B 1C 1 中, 1 的中点,点

A1D ? B1C 。
? 平面 BB1C1C . 求证: (1)EF∥平面 ABC; (2)平面 A 1FD

【知识点】直线与平面平行的判定;平面与平面垂直的判定. G4 G5
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【答案】 【解析】 (1)见解析; (2)见解析。 解析: (1)因为 E,F 分别是 A1B,A1C 的中点,所以 EF∥BC,又 EF?面 ABC,BC?面 ABC, 所以 EF∥平面 ABC; (2)因为直三棱柱 ABC﹣A1B1C1,所以 BB1⊥面 A1B1C1,BB1⊥A1D, 又 A1D⊥B1C,BB1∩B1C=B1,所以 A1D⊥面 BB1C1C,又 A1D?面 A1FD,所以平面 A1FD ⊥平面 BB1C1C

【思路点拨】 (1)要证明 EF∥平面 ABC,证明 EF∥BC 即可; (2)要证明平面 A1FD⊥平面 BB1C1C,通过证明 A1D⊥面 BB1C1C 即可,利用平面与平面垂直的判定定理证明即可.

【数学文卷· 2015 届江苏省扬州中学高三上学期质量检测 (12 月) (201412) 】 8.已知 m, n 为直线, ? , ? 为平面,给出下列命题:

①?

?m ? ? ?m ? ? ? n || ? ; ② ? ? m || n ; ?m ? n ?n ? ?

③?

?m ? ? ? ? || ? ?m ? ?

?m ? ? ?? ? ? ? ? ④ ? n ? ? ? m || n ; ⑤ ?? ? ? m ? n ? ? ?? || ? ?n ? ? , m ? n ? ?
其中正确的命题是 (填写所有正确的命题的序号) 【知识点】线面、面面的位置关系的判断.G4 G5 【答案】 【解析】②③⑤ 解析:命题① ?

?m ? ? ? n || ? 或 n ? a ,故不正确;命题② ?m ? n

?m ? ? ?m ? ? ? m || n ,由线面垂直的性质定理易知正确;命题③ ? ? ? || ? ,由线面垂 ? ?n ? ? ?m ? ?
?m ? ? ? 直的性质定理易知正确;命题④ ? n ? ? ? m || n 或 m、n 异面,所以不正确;命题⑤是面 ?? || ? ?
面垂直的性质定理,所以是正确命题.故答案为②③⑤. 【思路点拨】线面、面面的判定定理即性质定理依次判断即可。

【数学文卷·2015 届山西省山大附中高三上学期期中考试(201411) 】19. (本小题满分 12 分) 在如图所示的空间几何体中,平面 ACD ? 平面 ABC ,?ACD 与 ?ACB 是边长为 2 的等边 三角形, BE ? 2 , BE 和平面 ABC 所成的角为 60 ? ,且点 E 在平面 ABC 上的射影落在 ?ABC 的平分线上. (Ⅰ)求证: DE // 平面 ABC ; (Ⅱ)求三棱锥 B ? ACE 的体积

第 19 题 图 【知识点】线面平行的判定,锥体体积求法 G4 G1 【答案】 【解析】 (Ⅰ)略(Ⅱ)1 解析: (Ⅰ)由题意知, ?ABC , ?ACD 都是边长为 2 的等边三角形,取 AC 中点 O , 连接 BO, DO ,则 BO ? AC , DO ? AC ,……………………2 分 又∵平面 ACD ⊥平面 ABC ,∴ DO ⊥平面 ABC ,作 EF ⊥平面 ABC , 那么 EF // DO ,根据题意,点 F 落在 BO 上, ∴ ?EBF ? 60? ,易求得 EF ? DO ? 3 ,…………4 分 ∴四边形 DEFO 是平行四边形,∴ DE // OF ,∴ DE // 平面 ABC ……6 分 (Ⅱ) VB? ACE ? VE ? ABC ? 1 ……………… 12 分

【思路点拨】由题意取 AC 中点 O ,作 EF ⊥平面 ABC ,点 F 落在 BO 上, 可求四边形 DEFO 是平行四边形,可得 DE // OF ;利用等体积法即可求解.

【数学文卷·2015 届四川省成都外国语学校高三 12 月月考(201412) 】18.(本题满分 12 分 ) 如 图 , 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , 四 边 形 ABCD 是 正 方 形 , CD ? PD ,

?ADP ? 90?, ?CDP ? 120 ? , E , F , G 分别为 PB, BC , AP 的中点.
(Ⅰ)求证:平面 EFG // 平面 PCD ; (Ⅱ)若 CD ? PD =2 ,求三棱锥 E-CDF 的体积.
A

B G F D E P

C

(第 18 题)

【知识点】平行关系 棱锥的体积 G4 G7 【答案】【解析】(Ⅰ)略;(Ⅱ)

3 6

解析: (Ⅰ)证明:因为 E , G 分别为 BP , AP 中点,所以 EG // AB ,又因为 ABCD 是正 方形, AB // CD ,所以 EG // CD ,所以 EG // 平面 PCD .因为 E , F 分别为 BP , BC 中 点,所以 EF // PC ,所以 EF // 平面 PCD .所以平面 EFG // 平面 PCD . (Ⅱ) VE ?CDF ?

1 1 1 1 1 1 3 . VE ?CBD ? VP ?CBD ? VB ?CPD ? ? ? ? 2 ? 2 ? sin120?? 2 ? 2 4 4 4 3 2 6

【思路点拨】 证明面面平行通常利用其判定定理进行证明, 求棱锥体积可结合底面积与高的 关系转化为与已知条件相关的棱锥的体积进行求值.

G5

空间中的垂直关系

【数学理卷·2015 届江苏省扬州中学高三上学期质量检测(12 月) (201412) 】3.如图,

? 2 , 点 M , N 分 别 在 线 段 PA 和 BD 上 , 在正四棱锥 P? ABCD 中 , P A? A B
BN? 1 BD . 3 1 PA ,求证: MN ? AD ; 3

(1)若 PM ?

(2)若二面角 M ? BD ? A 的大小为

? ,求线段 MN 的长度. 4

【知识点】与二面角有关的立体几何综合题;空间中直线与直线之间的位置关系.G5 G11 【答案】 【解析】 (1)见解析; (2) MN ?

22 6

解析:连接 AC , BD 交于点 O ,以 OA 为 x 轴正方向,以 OB 为 y 轴正方向, OP 为 z 轴 建立空间直角坐标系. 因为 PA ? AB ? 2 , 则 A(1, 0, 0) , B(0,1, 0) , D(0, ?1, 0) , P(0, 0,1) .

( 1 ) 由 BN ?

1 1 1 1 2 BD , 得 N (0, , 0) , 由 PM ? PA , 得 M ( , 0, ) , 所 以 3 3 3 3 3 1 1 2 MN ? (? , ? , , ) AD ? (?1, ?1,0) .因为 MN ? AD ? 0 .所以 MN ? AD . 3 3 3

(2)因为 M 在 PA 上,可设 PM ? ? PA ,得 M (? , 0,1 ? ? ) .所以 BM ? (? , ?1,1? ? ) ,

BD ? (0, ?2,0) .设平面 MBD 的法向量 n ? ( x, y, z) ,
由?

? ?n ? BD ? 0 ? ?n ? BM ? 0

得?

??2 y ? 0 其中一组解为 x ? ? ? 1 , y ? 0 , z ? ? ,所以可 ?? x ? y ? (1 ? ? ) z ? 0

取 n ? (? ?1,0, ?) .因为平面 ABD 的法向量为 OP ? (0,0,1) ,

所 以 co s

?
4

?

n? OP n OP

,即

1 2 ? ? ,解得 ? ? , 2 2 2 2 (? ? 1) ? ?

从 而 M ( , 0, ) ,

1 2

1 2

1 22 N (0, , 0) ,所以 MN ? . 3 6
【思路点拨】 (1) 连接 AC , BD 交于点 O , 以 OA 为 x 轴正方向, 以 OB 为 y 轴正方向,OP 为 z 轴建立空间直角坐标系.利用向量法能证明 MN ? AD . ( 2 )设 PM ? ? PA ,得

M (? , 0,1 ? ? ) , BM ? (?, ?1,1 ? ? ) , BD ? (0, ?2,0) .分别求出平面 MBD 的法向量和
平面 ABD 的法向量,利用向量法解得 ? ?

1 ,由此能求出线段 MN 的长度. 2

【数学理卷·2015 届江苏省扬州中学高三上学期质量检测(12 月) (201412) 】16.(本小 题满分 14 分) 如图, AB 为圆 O 的直径,点 E , F 在圆 O 上,且 AB // EF, 矩形 ABCD 所在的平面与圆 O 所在的平面互相垂直,且 AB ? 2, AD ? EF ? 1. (1)设 FC 的中点为 M , 求证: OM // 面 DAF; (2)求证: AF ? 面 CBF .

【知识点】平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定.G4 G5 【答案】 【解析】 (1)见解析; (2)见解析 解析: (1)设 DF 的中点为 N , 连接 MN , 则 MN ∥

1 1 1 CD , MN = CD , 又∵ AO ∥ CD , 2 2 2

1 AO = CD , ∴ MN ∥ AO , MN = AO ,∴ MNAO 为平行四边形,∴ OM ∥ AN . 2
又∵ AN ? 面 DAF, OM ? 面 DAF, ∴ OM ∥面 DAF . (2)∵面 ABCD ? 面 ABEF ,CB ? AB, CB ? 面 ABCD ,面 ABCD ? 面 ABEF ? AB, ∴ CB ? 面 ABEF .∵ AF ? 面 ABEF ,∴ AF ? CB. 又∵ AB 为圆 O 的直径, ∴ AF ? BF . 又∵ CB ? BF ? B, CB, BF ? 面 CBF . ∴ AF ? 面 CBF . 【思路点拨】 (1)根据线面平行的判定定理: OM // 面 DAF; (2)根据线面垂直的判定定 理或面面垂直的性质定理证明 AF ? 面 CBF .

【数学文卷· 2015 届重庆市巴蜀中学高三 12 月月考 (201412) 】 19、 四棱锥 底面 是边长为 8 的菱形, ,若 ,

中,

平面 ⊥平面 (1)求证: (2)求证: ⊥ (3)求三棱锥

,E、F 分别为 BC、PA 的中点。 ; ; 的体积。

【知识点】 直线与直线垂直的判定; 棱柱、 棱锥、 棱台的体积; 平面与平面平行的判定.G4 G5 G7 【答案】 【解析】(1)略(2)略(3) 为 AD 的中位线所以 FH / / AD, FH ? 解析:(1)设 PD 的中点为 H,连接 FH,CH,所以 FH

1 AD ,在四边形 FECH 中, FH / / BC, FH ? BC , 2

所以 FE / / HC, HC ? 面PDC ,所以 EF//面PDC . (2)证明:连接 BM,BD; ∵BD=BA=8,AM=DM, ,∴AD⊥BM,

又 AD⊥PM,且 BM∩PM=M, ∴AD⊥平面 PMB,∵PB?平面 PMB,∴AD⊥PB; (3)如图 过 P 作 PM⊥AD 于 M, ∵平面 PAD⊥平面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD,PM?平面 PAD, ∴PM⊥面 ABCD; 又 PA=PD=5,AD=8 ∴M 为 AD 的中点,且 PM= ∵菱形 ABCD 中, ∴VP﹣ABCD= ×8×8×sin =3, ,AD=8, ×3= ×64× ×3=32 ,

∴四棱锥 P﹣ABCD 的体积为 ; 【思路点拨】 (1)根据直线与平面平行的判定定理可直接证明; (2)要证 AD⊥PB,只需证 AD⊥平面 PMB,由 AD⊥PM,AD⊥BM 可证得; (3)四棱锥 P﹣ABCD 的体积= ×菱形 ABCD 的面积×棱锥的高,由平面 PAD⊥平面 ABCD, 过 P 作 PM⊥AD 于 M 可得高 PM,菱形 ABCD 的面积也可求;

【数学文卷·2015 届重庆市巴蜀中学高三 12 月月考(201412) 】5、已知直线

与平面

满足 A、 C、 且 且

和 B、 D、

,则有( 且 且

)

【知识点】空间中的平行关系;空间中的垂直关系. 【答案】 【解析】A ∵?

G4 G5

解析:∵ m ? ? , m ? ? ,∴ ? ? ? ,设 ?

? ? n ,则 m ? n .

? ? l ,∴ l ? ? ,又 l ? , ? ? ? n ,∴ l n ,∴

,故选 A.

【思路点拨】根据已知条件逐步推出结论.

【数学文卷·2015 届江苏省扬州中学高三上学期质量检测(12 月) (201412) 】15.(本小 题满分 14 分)

E 、 F 分别是 A1B 、 AC D 在 B1C1 上, 如图,在直三棱柱 ABC ? A 1B 1C 1 中, 1 的中点,点

A1D ? B1C 。
? 平面 BB1C1C . 求证: (1)EF∥平面 ABC; (2)平面 A 1FD

【知识点】直线与平面平行的判定;平面与平面垂直的判定. G4 G5
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【答案】 【解析】 (1)见解析; (2)见解析。 解析: (1)因为 E,F 分别是 A1B,A1C 的中点,所以 EF∥BC,又 EF?面 ABC,BC?面 ABC, 所以 EF∥平面 ABC; (2)因为直三棱柱 ABC﹣A1B1C1,所以 BB1⊥面 A1B1C1,BB1⊥A1D, 又 A1D⊥B1C,BB1∩B1C=B1,所以 A1D⊥面 BB1C1C,又 A1D?面 A1FD,所以平面 A1FD ⊥平面 BB1C1C 【思路点拨】 (1)要证明 EF∥平面 ABC,证明 EF∥BC 即可; (2)要证明平面 A1FD⊥平面 BB1C1C,通过证明 A1D⊥面 BB1C1C 即可,利用平面与平面垂直的判定定理证明即可.

【数学文卷· 2015 届江苏省扬州中学高三上学期质量检测 (12 月) (201412) 】 8.已知 m, n 为直线, ? , ? 为平面,给出下列命题:

①?

?m ? ? ?m ? ? ? n || ? ; ② ? ? m || n ; ?m ? n ?n ? ?

③?

?m ? ? ? ? || ? ?m ? ?

?m ? ? ?? ? ? ? ? ④ ? n ? ? ? m || n ; ⑤ ?? ? ? m ? n ? ? ?? || ? ?n ? ? , m ? n ? ?
其中正确的命题是 (填写所有正确的命题的序号) 【知识点】线面、面面的位置关系的判断.G4 G5 【答案】 【解析】②③⑤ 解析:命题① ?

?m ? ? ? n || ? 或 n ? a ,故不正确;命题② ?m ? n

?m ? ? ?m ? ? ? m || n ,由线面垂直的性质定理易知正确;命题③ ? ? ? || ? ,由线面垂 ? ?n ? ? ?m ? ?
?m ? ? ? 直的性质定理易知正确;命题④ ? n ? ? ? m || n 或 m、n 异面,所以不正确;命题⑤是面 ?? || ? ?
面垂直的性质定理,所以是正确命题.故答案为②③⑤. 【思路点拨】线面、面面的判定定理即性质定理依次判断即可。

G6

三垂线定理

【数学理卷· 2015 届山东省实验中学高三上学期第二次诊断性考试( 201411 ) 】 3. 已知

? ? ? 0, ? ?,且 sin? ? cos? ? ,则 cos 2? 的值为
A. ?

1 2

7 4

B.

7 4

C. ?

7 4

D. ?

3 4

【知识点】二倍角公式 G6 【答案】B 【解析】把 sina+cosa=

1 1 ,两边平方得:1+2sinα cosα = , 2 4

即 1+sin2α =

1 3 ,解得 sin2α =- , 4 4

又 sina+cosa= 2 sin(α + 得到:0<α +

? 1 ? 2 1 )= ,解得:sin(α + )= < , 2 2 4 4 4

? ? 5? ? < (舍去)或 <α + <π , 6 4 6 4 7? 3? 7? 3? 解得 <α < ,所以 2α ∈( , ), 12 4 6 2
则 cos2α =- 1 ? (? ) =2

3 4

7 . 4

【思路点拨】把已知的等式两边平方,利用二倍角的正弦函数公式即可求出 sin2α 的值, 然后在把已知的等式提取 2 , 利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为 一个角的正弦函数,根据正弦的值,判断得到α 的范围,进而得到 2α 的范围,利用同角三 角函数间的基本关系由 sin2α 的值和 2α 的范围即可求出 cos2a 的值.

G7

棱柱与棱锥

【数学理卷·2015 届江苏省扬州中学高三上学期质量检测(12 月) (201412) 】8.若正四 棱锥的底面边长为 2 2cm, 体积为 8cm , 则它的侧面积为_______. 【知识点】棱锥的结构特征.G7 【答案】 【解析】 4 22 解析:∵正四棱锥的底面边长为 2 2cm, 体积为 8cm3 ,
3

∴设四棱锥的高为 h ,∴ ? 2 2 ∴四棱锥的侧高为
2 2

( ) h 8 ,∴ h = 3 , 3 + ( 2 ) = 11 ,
2

1 3

则此四棱椎的侧面积 S = 4 创

1 2 2 ? 11 4 22 ,故答案为: 4 22 2
3

【思路点拨】 由已知中正四棱锥的底面边长为 2 2cm, , 体积为 8cm , 我们易求出棱锥的高, 再求其侧高,然后代入棱锥侧面积公式,即可求出答案.

【数学文卷·2015 届江西省五校(江西师大附中、临川一中、鹰潭一中、宜春中学、新余 四中)高三上学期第二次联考(201412) 】19. (本小题满分 12 分)

在如图所示的多面体 PMBCA 中,平面 PAC ^ 平面 ABC , PAC 是边长为 2 的正三角 形, PM / / BC ,且 BC = 4 , AB = 2 5 . (1)求证: PA ^ BC ; (2)若多面体 PMBCA 的体积为 2 3 ,求 PM 的长.

【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积. G7 【答案】 【解析】 (1)见解析;(2)2
2 2 2 解析:(1) ∵ AC = 2 , BC = 4 , AB = 2 5 ,∴ AC + BC = AB ,∴ AC ⊥ BC

∵平面 PAC⊥平面 ABC,平面 PAC∩ 平面 ABC=AC, ∴BC⊥平面 PAC, ∵PA?平面 PAC,∴BC⊥PA. ……………………6 分 (2)过点 A 作 AD⊥PC 垂足为 D ,设 PM 的长为 x ,由(1)知, BC⊥平面 PAC , ∴BC⊥AD , ,∵BC PC =C, ∴AD⊥平面 BCPM , 分

∴AD 为多面体 PMBCA 的高,且 AD = 3

又 PM / / BC ,且 BC = 4 , ∴四边形 BCPM 是上下底分别为 x ,4, 高为 2 的直角梯形, ∴多面体 PMBCA 的体积为 ? 犏 x 4 创 2

1 轾 1 ( 3 犏 2 臌

)

3 =2 3,

解得 x = 2 ,即 PM 的长为 2. ……………………12 分 【思路点拨】 (1)先证明 AC⊥BC,再利用平面 PAC⊥平面 ABC,证明 BC⊥平面 PAC, 即可证明 PA⊥BC; (2)作 AD⊥PC 于点 D,证明 AD⊥平面 BCPM,求出四边形 BCPM 的 面积,再根据多面体 PMBCA 的体积求出 PM 的长即可.

【数学文卷·2015 届四川省成都外国语学校高三 12 月月考(201412) 】18.(本题满分 12 分 ) 如 图 , 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , 四 边 形 ABCD 是 正 方 形 , CD ? PD ,

?ADP ? 90?, ?CDP ? 120 ? , E , F , G 分别为 PB, BC , AP 的中点.
(Ⅰ)求证:平面 EFG // 平面 PCD ;

(Ⅱ)若 CD ? PD =2 ,求三棱锥 E-CDF 的体积.
A

B G F D E P

C

(第 18 题)

【知识点】平行关系 棱锥的体积 G4 G7 【答案】【解析】(Ⅰ)略;(Ⅱ)

3 6

解析: (Ⅰ)证明:因为 E , G 分别为 BP , AP 中点,所以 EG // AB ,又因为 ABCD 是正 方形, AB // CD ,所以 EG // CD ,所以 EG // 平面 PCD .因为 E , F 分别为 BP , BC 中 点,所以 EF // PC ,所以 EF // 平面 PCD .所以平面 EFG // 平面 PCD . (Ⅱ) VE ?CDF ?

1 1 1 1 1 1 3 . VE ?CBD ? VP ?CBD ? VB ?CPD ? ? ? ? 2 ? 2 ? sin120?? 2 ? 2 4 4 4 3 2 6

【思路点拨】 证明面面平行通常利用其判定定理进行证明, 求棱锥体积可结合底面积与高的 关系转化为与已知条件相关的棱锥的体积进行求值.

G8

多面体与球

【数学理卷· 2015 届山西省山大附中高三上学期中考试试题 (201411) 】 15. 设直线 l 与球 O 有且只有一个公共点 P , 从直线 l 出发的两个半平面 ? , ? 截球 O 的两个截面圆的半径分 别为 1 和 3 ,二面角 ? ? l ? ? 的平面角为 【知识点】二面角 球 G8

? ,则球 O 的表面积为 2

.

16?【解析】 【答案】 解析: 设两个半平面 ?,? 截球 O 的两个截面圆的圆心分别为

O1,O2 ,

连接

O1P,O2 P,OP, 如图所示:

由 球 的 截 面 圆 性 质 及 球 的 切 线 性 质 得

OO1 ? ?,OO2 ? ?.OP ? l , 且

O1P ? 1 ,O2 P ? 3,
?l ? 面OO1P,l ? 面OO2 P, ?O1,, 02 O,P 四点共面,?O1PO2 为二面角 ? ? l ? ? 的平
?O1 PO2 ?

?

面角,

2 2 2 2 2 2 ,四边形为 O1 02 OP 矩形.?O1P ? O2 P ? OP ? R , 得 R ? 4, ∴

2 球 O 的表面积 S ? 4? R ? 16?.

【思路点拨】设两个半平面 ?,? 截球 O 的两个截面圆的圆心分别为 面圆性质及球的切线性质得 得出

O1,O2 ,根据球的截

OO1 ? ?,OO2 ? ?.OP ? l ,继而四边形 O1 02 OP 为矩形,

O1P2 ? O2 P2 ? OP2 ? R2, ,再计算球 O 的表面积即可.

【数学文卷·2015 届山西省山大附中高三上学期期中考试(201411) 】16.已知下图是一个 空间几何体的三视图,则该几何体的外接球的表面积为___________。

2

2
2 正视图

2

2
侧视图

2
俯视图

【知识点】球的体积和表面积;由三视图求面积、体积;球内接多面体 G8 G2 G12 【答案】 【解析】 6? 解析:几何体为三棱锥,可以将其补形为一个棱长为 2 的正方体, 该正方体的外接球和几何体的外接球为同一个,故 2 R ?
2 所以外接球的表面积为: 4? R ? 6? .故答案为:6π.

22 ?

? 2?

2

? 6,

【思路点拨】由题意判断几何体的形状,几何体扩展为正方体,求出外接球的半径,即可求 出外接球的表面积. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) .

G9

空间向量及运算

【数学理卷·2015 届河北省唐山一中高三 12 月调研考试(201412) 】19. (本小题满分 12 分)

AB ? BC ? 1 , BB1 ? 2 , 如图,在三棱柱 ABC ? A 1B 1C 1 中,已知 AB ? 侧面BB 1C1C ,
3 (1)求证: C1B ? 平面ABC ;
(2)设 CE ? ?CC1 (0≤?≤1), 且平面 AB1E 与 BB1E 所成的锐二面角的大小为 30°, 试求 ?的值.

?BCC1 ?

?

.

【知识点】空间向量及运算 G9 【答案】 (1)略(2) ? =1 【解析】 (1)因为侧面 AB ?

BB1C1C , BC1 ? 侧面 BB1C1C ,故 AB ? BC1 ,在 ?BCC1 中,

BC ? 1, CC1 ? BB1 ? 2, ?BCC1 ?
由余弦定理得:

?
3

,

BC12 ? BC 2 ? CC12 ? 2 BC ? CC1 ? cos ?BCC1 ? 12 ? 22 ? 2 ?1? 2 ? cos

?
3

?3


所以 故

BC1 ? 3

, ,所以

BC 2 ? BC12 ? CC12

BC ? BC1 ,而 BC

AB ? B,?C1B ? 平面 ABC

(2)由(1)可知,

AB, BC, BC1 两两垂直.以 B 为原点, BC, BA, BC1 所在直线为

x, y , z

轴建立空间直角坐标系. ,



B(0,0,0), A(0,1,0), B1(?1,0, 3) CC1 ? (?1,0, 3)
,所以

C (1, 0, 0) , C1 (0,0, 3) .

所以 则

CE ? (??,0, 3? ) ,? E(1 ? ?,0, 3? )
. 设平面

AE ? (1? ?, ?1, 3?), AB1 ? (?1, ?1, 3)

AB1 E 的法向量为 n ? ( x, y, z) ,

? ( ? ? ? 1-? ) x ? y ? 3? z ? 0 ? n ? AE ? n ? AE ? 0 ? ? ? n ? AB1 n ? AB1 ? 0 ? ? ? ? ?? x ? y ? 3z ? 0 则由 ,得 ,即 ? ,

令 z ? 3 ,则 向量.

x?

3 ? 3? 3 3 ? 3? 3 ,y? ,? n ? ( , , 3) AB1 E 的一个法 2?? 2?? 2?? 2?? 是平面

AB ? 侧面 BB1C1C , BA ? (0,1,0) 是平面 BEB1 的一个法向量,

? cos? n, BA? ?

n ? BA n BA

? 1? (

3 ? 3? 2 3 2 ) ?( ) ? ( 3) 2 2?? 2??

3 2??

?

3 2
.

两边平方并化简得 2? -5? +3=0 ,所以 ? =1 或
2

??

3 2 (舍去)

【思路点拨】 根据显现垂直证明线面垂直, 根据空间坐标系求出法向量根据余弦值求出参数。

G10

空间向量解决线面位置关系

G11

空间角与距离的求法

【数学理卷·2015 届江苏省扬州中学高三上学期质量检测(12 月) (201412) 】3.如图,

? 2 , 点 M , N 分 别 在 线 段 PA 和 BD 上 , 在正四棱锥 P? ABCD 中 , P A? A B
BN? 1 BD . 3 1 PA ,求证: MN ? AD ; 3

(1)若 PM ?

(2)若二面角 M ? BD ? A 的大小为

? ,求线段 MN 的长度. 4

【知识点】与二面角有关的立体几何综合题;空间中直线与直线之间的位置关系.G5 G11 【答案】 【解析】 (1)见解析; (2) MN ?

22 6

解析:连接 AC , BD 交于点 O ,以 OA 为 x 轴正方向,以 OB 为 y 轴正方向, OP 为 z 轴 建立空间直角坐标系. 因为 PA ? AB ? 2 , 则 A(1, 0, 0) , B(0,1, 0) , D(0, ?1, 0) , P(0, 0,1) . ( 1 ) 由 BN ?

1 1 1 1 2 BD , 得 N (0, , 0) , 由 PM ? PA , 得 M ( , 0, ) , 所 以 3 3 3 3 3 1 1 2 MN ? (? , ? , , ) AD ? (?1, ?1,0) .因为 MN ? AD ? 0 .所以 MN ? AD . 3 3 3

(2)因为 M 在 PA 上,可设 PM ? ? PA ,得 M (? , 0,1 ? ? ) .所以 BM ? (? , ?1,1? ? ) ,

BD ? (0, ?2,0) .设平面 MBD 的法向量 n ? ( x, y, z) ,
由?

? ?n ? BD ? 0 ? ?n ? BM ? 0

得?

??2 y ? 0 其中一组解为 x ? ? ? 1 , y ? 0 , z ? ? ,所以可 ?? x ? y ? (1 ? ? ) z ? 0

取 n ? (? ?1,0, ?) .因为平面 ABD 的法向量为 OP ? (0,0,1) ,

所 以 co s

?
4

?

n? OP n OP

,即

1 2 ? ? ,解得 ? ? , 2 2 (? ? 1) 2 ? ? 2

从 而 M ( , 0, ) ,

1 2

1 2

1 22 N (0, , 0) ,所以 MN ? . 3 6
【思路点拨】 (1) 连接 AC , BD 交于点 O , 以 OA 为 x 轴正方向, 以 OB 为 y 轴正方向,OP 为 z 轴建立空间直角坐标系.利用向量法能证明 MN ? AD . ( 2 )设 PM ? ? PA ,得

M (? , 0,1 ? ? ) , BM ? (?, ?1,1 ? ? ) , BD ? (0, ?2,0) .分别求出平面 MBD 的法向量和

平面 ABD 的法向量,利用向量法解得 ? ?

1 ,由此能求出线段 MN 的长度. 2

【数学理卷·2015 届山西省山大附中高三上学期中考试试题(201411) 】19. (本小题满分 12 分) 在如图所示的空间几何体中,平面 ACD ? 平面 ABC ,?ACD 与 ?ACB 是边长为 2 的等边 三角形, BE ? 2 , BE 和平面 ABC 所成的角为 60? , 且点 E 在平面 ABC 上的射影落在 ?ABC 的平分线上. (Ⅰ)求证: DE // 平面 ABC ; (Ⅱ)求二面角 E ? BC ? A 的余弦值.

第 19 题图 【知识点】线面平行 二面角 G4 G11 【答案】 (Ⅰ)略; (Ⅱ)

13 . 13

【解析】 解析: (Ⅰ) 证明: 由题意知,?ABC ,?ACD 都是边长为 2 的等边三角形, 取 AC 中点 O ,连接 BO, DO ,则 BO ? AC , DO ? AC ,……………………2 分 又∵平面 ACD ⊥平面 ABC ,∴ DO ⊥平面 ABC ,作 EF ⊥平面 ABC , 那么 EF // DO ,根据题意,点 F 落在 BO 上, ∴ ?EBF ? 60? ,易求得 EF ? DO ?

3 ,…………4 分

∴ 四 边 形 DEFO 是 平 行 四 边 形 , ∴ DE // OF , ∴ DE // 平 面 ABC …………6 分

(Ⅱ)解法一:作 FG ? BC ,垂足为 G ,连接 EG , ∵ EF ⊥平面 ABC ,∴ EF ? BC ,又 EF ? FG ? F ,

∴ BC ? 平面 EFG ,∴ EG ? BC ,∴ ?EGF 就是二面角 E ? BC ? A 的平面角.…9 分

Rt?EFG 中,

FG ? FB ? sin 30? ?

13 1 EG ? 2 . 2 , EF ? 3 ,

cos ?EGF ?


FG 13 13 ? EG 13 .即二面角 E ? BC ? A 的余弦值为 13 .………12 分

解 法二: 建立如 图所示的 空间直 角坐标 系 O ? xyz ,可知 平面 ABC 的 一个法 向量为

n1 ? (0,0,1)
设平面 BCE 的一个法向量为 n 2 ? ( x, y, z )

? ?n2 ? BC ? 0 ? ?n ? BE ? 0 则, ? 2 可求得 n 2 ? (?3, 3 ,1) .………………9 分

cos ? n1 , n2 ??
所以

n1 ? n2 13 ? | n1 | ? | n2 | 13 ,

又由图知,所求二面角的平面角是锐角,

13 所以二面角 E ? BC ? A 的余弦值为 13 .……12 分

【思路点拨】 (Ⅰ)取 AC 中点 O ,连接 BO, DO , ,由题设条件推导出 DO ⊥平面 ABC , 作 EF ⊥平面 ABC ,由已知条件推导出 ?EBF ? 60? ,由此能证明 DE // 平面 ABC ; (Ⅱ)法一:作 FG ? BC ,垂足为 G ,连接 EG ,?EGF 就是二面角 E ? BC ? A 的

13 平面角,由此能求出 E ? BC ? A 的余弦值为 13 .法二:以 OA 为 x 轴,以 OB 为 y
轴 , 以 OD 为 z 轴 , 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 O ? xyz , 利 用 向 量 法 能 求 出 二 面 角

E ? BC ? A 的余弦值.

【数学理卷·2015 届四川省成都外国语学校高三 12 月月考(201412) 】18. (本题满分 12 分 ) 如 图 , 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , 四 边 形 ABCD 是 正 方 形 , CD ? PD ,

?ADP ? 90?, ?CDP ? 120 ? , E , F , G 分别为 PB, BC , AP 的中点.
(Ⅰ)求证:平面 EFG // 平面 PCD ; (Ⅱ)求二面角 D ? EF ? B的平面角的大小.
A

B G F D E P

C

(第 18 题)

【知识点】平行关系 二面角 G4 G11

3 ? 4 解析: (Ⅰ)因为 E , G 分别为 BP , AP 中点,所以 EG // AB , 又因为 ABCD 是正方形, AB // CD ,所以 EG // CD ,所以 EG // 平面 PCD . 因为 E , F 分别为 BP , BC 中点,所以 EF // PC ,所以 EF // 平面 PCD . 所以平面 EFG // 平面 PCD . (Ⅱ)法 1.易知 AD ? CD ,又 AD ? PD ,故 AD ? 平面 PCD 分别以 DC , DA 为 x 轴和 z 轴,建立空间直角坐标系(如图) 不妨设 AD ? CD ? PD ? 2
【答案】 【解析】 (Ⅰ) 略; (Ⅱ) 则 B( 2,0, 2), F ( 2,0,1) , P ( ?1, 3 ,0) 所以 E ( ,

1 2

3 ,1) 2

3 3 FB ? (0,0,1), EF ? ( , ? ,0) 2 2
设 m ? ( x1 , y1 , z1 ) 是平面 BEF 的法向量,则

? x1 ? 1 ? z1 ? 0 ? FB ? m ? 0 ? ? ? 所以 ? 3 取 ? ? y1 ? 3 ,即 m ? (1, 3 ,0) 3 y1 ? 0 ? ? ? x1 ? ? EF ? m ? 0 ?2 2 ? z1 ? 0
设 n ? ( x2 , y2 , z2 ) 是平面 DEF 的法向量,则

设二面角 D ? EF ? B的平面角的大小为 ?

? x2 ? 1 ?2 x 2 ? z 2 ? 0 ? ? ? FD ? n ? 0 ? 所以 ? 3 取 ? y2 ? 3 ? 3 ? y2 ? 0 ? ? x2? ? EF ? n ? 0 ?2 2 ? z 2 ? ?2

cos ? m, n ??

m?n | m || n |

?

1? 3 2?2 2

?

2 2

所以 cos? ? ?

3 2 ,二面角 D ? EF ? B的平面角的大小为 ? . 4 2

A

B

G E

F

D P

C

法 2. 取 PC 中点 , 联结 EM , DM 则 EM // BC , 又 AD ? 平面 PCD , AD // BC , 所以

BC ? 平面 PCD ,所以 EM ? 平面 PCD ,所以 EM ? DM , EM ? PC . 因为 CD ? DP ,则 DM ? PC ,所以 DM ? 平面 PCB . 又因为 EF // PC ,所以 EF ? EM 所以 ?DEM 就是二面角 D ? EF ? B的平面角的补角. 不妨设 AD ? CD ? PD ? 2 ,则 ? EM ? 1 , DM ? 1 , ?DEM ? . 4 3 所以二面角 D ? EF ? B的平面角的大小为 ? . 4
A

B G F D E P M

C

【思路点拨】 证明面面平行一般利用面面平行的判定定理进行证明, 求二面角可以建立适当 坐标系利用平面的法向量求解,也可以寻求二面角的平面角求解.

G12

单元综合

【数学文卷·2015 届黑龙江省大庆市铁人中学高三 12 月月考(期中) (201412) 】20. (本 小题 12 分)如图,在棱长均为 4 的三棱柱 ABC - A1 B1C1 中, D 、 D1 分别是 BC 、 B1C1 的中 点 (1)求证: A1 D1 / / 平面 AB1 D ; (2) 若平面 ABC⊥平面 BCC1B1,∠B1BC=60°,求三棱锥 B1 - ABC 的体积. 【知识点】单元综合 G12 【答案】 (1)略(2)8 【解析】 (1)证明:连接 DD1,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中, ∵D、D1 分别是 BC 和 B1C1 的中点. ∴B1D1∥BD,且 B1D1=BD ∴四边形 B1BDD1 为平行四边形 ∴BB1∥DD1,且 BB1=DD1 又因 AA1∥BB1,AA1=BB1 所以 AA1∥DD1,AA1=DD1 所以四边形 AA1D1D 为平行四边形,所以 A1D1∥AD 又 A1D1 ? 平面 AB1D,AD ? 平面 AB1D 故 A1D1∥平面 AB1D; (2)在△ABC 中,棱长均为 4,则 AB=AC,D 为 BC 的中点,所以 AD⊥BC 因为平面 ABC⊥平面 B1C1CB,交线为 BC,AD?平面 ABC 所以 AD⊥平面 B1C1CB,即 AD 是三棱锥 A﹣B1BC 的高 在△ABC 中,AB=AC=BC=4 得 AD=2 在△B1BC 中,B1B=BC=4,∠B1BC=60° 所以△B1BC 的面积为 4 ∴三棱锥 B1﹣ABC 的体积即为三棱锥 A﹣B1BC 的体积 V= × × =8

【思路点拨】根据线线平行证明线面平行,根据体积公式求出三棱锥的体积。

【数学文卷·2015 届山西省山大附中高三上学期期中考试(201411) 】16.已知下图是一个 空间几何体的三视图,则该几何体的外接球的表面积为___________。

2

2
2 正视图

2

2
侧视图

2
俯视图

【知识点】球的体积和表面积;由三视图求面积、体积;球内接多面体 G8 G2 G12 【答案】 【解析】 6? 解析:几何体为三棱锥,可以将其补形为一个棱长为 2 的正方体, 该正方体的外接球和几何体的外接球为同一个,故 2 R ? 所以外接球的表面积为: 4? R2 ? 6? .故答案为:6π. 【思路点拨】由题意判断几何体的形状,几何体扩展为正方体,求出外接球的半径,即可求 出外接球的表面积. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) .

22 ?

? 2?

2

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