# 考研高分数学公式大全

ex ex 2 x e + e x 双曲余弦 : chx = 2 shx e x e x 双曲正切 : thx = = chx e x + e x 双曲正弦 : shx = arshx = ln( x + x 2 + 1) archx = ± ln( x + x 2 1) 1 1+ x arthx = ln 2 1 x

lim

sin x =1 x →0 x 1 lim(1 + ) x = e = 2.718281828459045... x →∞ x

sin(α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β cos(α ± β ) = cos α cos β sin α sin β tgα ± tgβ tg (α ± β ) = 1 tgα tgβ ctgα ctgβ 1 ctg (α ± β ) = ctgβ ± ctgα

sin α + sin β = 2 sin

α +β α+β
2

cos

α β αβ
2

sin α sin β = 2 cos

sin 2 2 α+β α β cos α + cos β = 2 cos cos 2 2 α+β α β cos α cos β = 2 sin sin 2 2

sin 2α = 2 sin α cos α cos 2α = 2 cos 2 α 1 = 1 2 sin 2 α = cos 2 α sin 2 α ctg 2α 1 ctg 2α = 2ctgα 2tgα tg 2α = 1 tg 2α

sin 3α = 3 sin α 4 sin 3 α cos 3α = 4 cos3 α 3 cosα tg 3α = 3tgα tg 3α 1 3tg 2α

sin tg

α
2

=± =±

α 1 cosα 1 + cosα cos = ± 2 2 2 α 1 cosα 1 cosα sin α 1 + cosα 1 + cosα sin α = = ctg = ± = = 1 + cosα sin α 1 + cos α 2 1 cosα sin α 1 cosα
a b c = = = 2R sin A sin B sin C

2 2 2

α
2

π
2

arccos x arctgx =

π
2

arcctgx

(tgx)′ = sec 2 x (ctgx)′ = csc x (sec x)′ = sec x tgx (csc x)′ = csc x ctgx
2

(arcsin x)′ =

1

(a x )′ = a x ln a (log a x)′ =

1 x ln a

1 x2 1 (arccos x)′ = 1 x2 1 (arctgx)′ = 1+ x2 1 (arcctgx)′ = 1+ x2

∫ tgxdx = ln cos x + C ∫ ctgxdx = ln sin x + C ∫ sec xdx = ln sec x + tgx + C ∫ csc xdx = ln csc x ctgx + C
dx 1 x = arctg +C 2 +x a a dx 1 xa ∫ x 2 a 2 = 2a ln x + a + C 1 a+x dx ∫ a 2 x 2 = 2a ln a x + C dx x ∫ a 2 x 2 = arcsin a + C

∫ cos ∫ sin

dx
2

x x

= ∫ sec 2 xdx = tgx + C = ∫ csc 2 xdx = ctgx + C

dx
2

∫a

∫ sec x tgxdx = sec x + C ∫ csc x ctgxdx = csc x + C
x ∫ a dx =

2

ax +C ln a

∫ shxdx = chx + C ∫ chxdx = shx + C ∫
dx x ±a
2 2

= ln( x + x 2 ± a 2 ) + C

π
2

π
2

I n = ∫ sin n xdx = ∫ cos n xdx =
0 0

n 1 I n2 n

∫ ∫ ∫

x 2 a2 x + a 2 + ln( x + x 2 + a 2 ) + C 2 2 x 2 a2 x 2 a 2 dx = x a 2 ln x + x 2 a 2 + C 2 2 x 2 a2 x a 2 x 2 dx = a x 2 + arcsin + C 2 2 a x 2 + a 2 dx =

sin x =

2u 1 u 2 x 2du , x = cos , u = tg , dx = 2 2 1+ u 1+ u 2 1+ u 2

k (uv) ( n ) = ∑ C n u ( nk ) v ( k ) k =0 n

= u ( n ) v + nu ( n1) v′ +

n(n 1) ( n2) n(n 1)(n k + 1) ( nk ) ( k ) u v + + uv ( n ) u v′′ + + 2! k!

b

a

ba ( y0 + y1 + + y n1 ) n ba 1 [ ( y0 + y n ) + y1 + + y n1 ] n 2 ba [( y0 + y n ) + 2( y 2 + y 4 + + y n2 ) + 4( y1 + y3 + + y n1 )] 3n

a b

b

a

b

2 2 2 2 2 2

k a z , c = a b sin θ .例:线速度:v = w × r . bz ax ay by cy az bz = a × b c cos α ,α为锐角时, cz

x = x0 + mt x x0 y y 0 z z 0 空间直线的方程: = = = t , 其中s = {m, n, p}; 参数方程:y = y0 + nt m n p z = z + pt 0 二次曲面: x2 y2 z 2 1,椭球面: 2 + 2 + 2 = 1 a b c 2 2 x y 2,抛物面: + = z(p, q同号) , 2 p 2q 3,双曲面: x2 y2 z2 单叶双曲面: 2 + 2 2 = 1 a b c 2 2 x y z2 双叶双曲面: 2 2 + 2 =(马鞍面) 1 a b c

z z u u u dx + dy du = dx + dy + dz z x y x y

F v = Fu G Gu v

Fv Gv

x = (t ) xx y y0 z z 0 空间曲线 y = ψ (t )在点M ( x0 , y0 , z 0 )处的切线方程: 0 = = ′(t 0 ) ψ ′(t 0 ) ω ′(t 0 ) z = ω (t ) 在点M处的法平面方程: ′(t 0 )( x x0 ) + ψ ′(t 0 )( y y0 ) + ω ′(t 0 )( z z 0 ) = 0 Fy F ( x, y , z ) = 0 若空间曲线方程为: , 则切向量T = { Gy G ( x, y, z ) = 0 曲面F ( x, y, z ) = 0上一点M ( x0 , y0 , z 0 ),则: Fz Fz , G z Gz Fx Fx , G x Gx Fy Gy }

1,过此点的法向量:n = {Fx ( x0 , y0 , z 0 ), Fy ( x0 , y 0 , z 0 ), Fz ( x0 , y0 , z 0 )} 2,过此点的切平面方程:Fx ( x0 , y0 , z 0 )( x x0 ) + Fy ( x0 , y0 , z 0 )( y y0 ) + Fz ( x0 , y0 , z 0 )( z z 0 ) = 0 x x0 y y0 z z0 = = 3,过此点的法线方程: Fx ( x0 , y0 , z 0 ) Fy ( x0 , y0 , z 0 ) Fz ( x0 , y0 , z 0 )

f f f 函数z = f ( x, y )在一点p ( x, y )沿任一方向l的方向导数为: = cos + sin l x y 其中为x轴到方向l的转角. 函数z = f ( x, y )在一点p ( x, y )的梯度:gradf ( x, y ) = f f i+ j x y

f 它与方向导数的关系是: = grad f ( x, y ) e ,其中e = cos i + sin j ,为l方向上的 l 单位向量. f ∴ 是gradf ( x, y )在l上的投影. l

∫∫ f ( x, y)dxdy = ∫∫ f (r cosθ , r sinθ )rdrdθ
D D′

D

z z 1 + + dxdy x y
2

2

M 平面薄片的重心:x = x = M

∫∫ xρ ( x, y)dσ
D

∫∫ ρ ( x, y)dσ
D 2 D

, y =

My M

=

∫∫ yρ ( x, y)dσ
D

∫∫ ρ ( x, y)dσ
D D

D

ρ ( x, y ) xdσ
(x2 + y 2 + a )
3 2 2

, Fy = f ∫∫
D

ρ ( x, y ) ydσ
(x2 + y 2 + a )
3 2 2

, Fz = fa ∫∫
D

ρ ( x, y ) xdσ
3

(x2 + y2 + a2 ) 2

x = r cosθ 柱面坐标:y = r sin θ , f ( x, y, z )dxdydz = ∫∫∫ F (r ,θ , z )rdrdθdz , ∫∫∫ z=z 其中:F (r ,θ , z ) = f (r cosθ , r sin θ , z ) x = r sin cosθ 球面坐标:y = r sin sin θ , dv = rd r sin dθ dr = r 2 sin drddθ z = r cos
2 ∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz = ∫∫∫ F (r , ,θ )r sin drddθ = ∫ dθ ∫ d 0 0 2π

π

r ( ,θ )

∫ F (r , ,θ )r
0

2

sin dr

1 M

∫∫∫ xρdv, y = M ∫∫∫ yρdv, z = M ∫∫∫ zρdv, 其中M = x = ∫∫∫ ρdv

1

1

∫ f ( x, y )ds = α f [ (t ),ψ (t )] ∫
L

β

′ 2 (t ) + ψ ′ 2 (t ) dt < β ) 特殊情况: (α

x=t y = (t )

∫ P( x, y)dx + Q( x, y )dy = ∫{P[ (t ),ψ (t )] ′(t ) + Q[ (t ),ψ (t )]ψ ′(t )}dt
L

β

α

L L

L上积分起止点处切向量的方向角. 格林公式: ( ∫∫
D

Q P Q P )dxdy = ∫ Pdx + Qdy格林公式: ( ∫∫ x y )dxdy = ∫ Pdx + Qdy x y L D L

Q P 1 当P = y, Q = x,即: = 2时,得到D的面积:A = ∫∫ dxdy = ∫ xdy ydx x y 2L D 平面上曲线积分与路径无关的条件: 1,G是一个单连通区域; 2,P( x, y ),Q( x, y )在G内具有一阶连续偏导数,且 减去对此奇点的积分,注意方向相反! 二元函数的全微分求积: 在 Q P = 时,Pdx + Qdy才是二元函数u ( x, y )的全微分,其中: x y
( x, y )

Q P = .注意奇点,如(0,0),应 x y

u ( x, y ) =

∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dy,通常设x
( x0 , y 0 )

0

= y0 = 0.

2 对面积的曲面积分: f ( x, y, z )ds = ∫∫ f [ x, y, z ( x, y )] 1 + z x ( x, y ) + z 2 ( x, y )dxdy y ∫∫ ∑ Dxy

∫∫ R( x, y, z)dxdy = ± ∫∫ R[ x, y, z( x, y)]dxdy,取曲面的上侧时取正号;
∑ Dxy

∫∫ P( x, y, z)dydz = ± ∫∫ P[ x( y, z ), y, z]dydz,取曲面的前侧时取正号;
∑ D yz

∫∫ Q( x, y, z )dzdx = ± ∫∫ Q[ x, y( z, x), z ]dzdx,取曲面的右侧时取正号.
∑ Dzx

∑ ∑

∫∫∫ ( x + y

P

Q

+

R ) dv = ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = ∫∫ ( P cos α + Q cos β + R cos γ ) ds z ∑ ∑

∑ ∑ ∑

∫∫ ( y z )dydz + ( z x )dzdx + ( x y )dxdy = ∫ Pdx + Qdy + Rdz
∑ Γ

R

Q

P

R

Q

P

dydz dzdx dxdy cosα 上式左端又可写成: ∫∫ x y z = ∫∫ x ∑ ∑ P Q R P

cos β y Q

cos γ z R

R Q P R Q P 空间曲线积分与路径无关的条件: = , = , = y z z x x y i 旋度:rotA = x P j y Q k z R
Γ Γ

1 qn 1 q (n + 1)n 等差数列:+ 2 + 3 + + n = 1 2 1 1 1 调和级数:+ + + + 是发散的 1 2 3 n 等比数列:+ q + q 2 + + q n1 = 1

1,正项级数的审敛法 — —根植审敛法(柯西判别法): ρ < 1时,级数收敛 设:ρ = lim n u n ,则 ρ > 1时,级数发散 n→∞ ρ = 1时,不确定 2,比值审敛法: ρ < 1时,级数收敛 U n+1 设:ρ = lim ,则 ρ > 1时,级数发散 n→∞ U n ρ = 1时,不确定 3,定义法: s n = u1 + u 2 + + u n ; lim s n 存在,则收敛;否则发散.
n→∞

(1)u1 + u 2 + + u n + ,其中u n为任意实数; (2) u1 + u 2 + u 3 + + u n + 如果(2)收敛,则(1)肯定收敛,且称为绝对收敛级数; 如果(2)发散,而(1)收敛,则称(1)为条件收敛级数. 1 (1) n 调和级数: 发散,而∑ 收敛; ∑n n 1 级数: 2 收敛; ∑n p≤1时发散 1 p级数: p ∑n p > 1时收敛

1 x < 1时,收敛于 1 x 1 + x + x + x + + x + x ≥ 1时,发散
2 3 n

ρ ≠ 0时,R =

1

a 求收敛半径的方法:设 lim n+1 = ρ,其中a n,an+1是(3)的系数,则 ρ = 0时,R = +∞ n →∞ a n ρ = +∞时,R = 0

ρ

f ′′( x0 ) f ( n ) ( x0 ) ( x x0 ) 2 + + ( x x0 ) n + 2! n!

f ( n+1) (ξ ) 余项:Rn = ( x x0 ) n+1 , f ( x)可以展开成泰勒级数的充要条件是: Rn = 0 lim n→∞ (n + 1)! x0 = 0时即为麦克劳林公式:f ( x) = f (0) + f ′(0) x +

f ′′(0) 2 f ( n ) ( 0) n x ++ x + 2! n!

m(m 1) 2 m(m 1)(m n + 1) n x ++ x + 1 < x < 1) ( 2! n! x3 x5 x 2 n 1 sin x = x + + (1) n1 + < x < +∞) (∞ 3! 5! (2n 1)! (1 + x) m = 1 + mx +

e ix + e ix cos x = 2 e ix = cos x + i sin x 或 ix ix sin x = e e 2

a0 ∞ + ∑ (a n cos nx + bn sin nx) 2 n=1 n =1 其中,a0 = aA0,an = An sin n,bn = An cos n,ωt = x. f (t ) = A0 + ∑ An sin(nωt + n ) = 正交性:sin x, cos x, sin 2 x, cos 2 x sin nx, cos nx 任意两个不同项的乘积在[π , π ] 1, 上的积分=0.

f ( x) = a0 ∞ + ∑ (a n cos nx + bn sin nx),周期 = 2π 2 n=1

π 1 a n = ∫ f ( x) cos nxdx = 0,1,2) (n π π 其中 π b = 1 f ( x)sinnxdx = 1,2,3) (n n π ∫ π

π2 1 1 1+ 2 + 2 + = 8 3 5 π2 1 1 1 + 2 + 2 + = 22 4 6 24

1+

π2 1 1 1 + 2 + 2 + = (相加) 6 22 3 4 π2 1 1 1 1 2 + 2 2 + = (相减) 2 3 4 12
π

2

π
2

∫ f ( x) sin nxdx n = 1,2,3 f ( x) = ∑ b
0 0

n

sin nx是奇函数

f ( x) cos nxdx n = 0,1,2 f ( x) = π∫

π

a0 + ∑ a n cos nx是偶函数 2

f ( x) = a0 ∞ nπx nπ x + ∑ (a n cos + bn sin ),周期 = 2l 2 n=1 l l

l 1 nπ x dx = 0,1,2) (n a n = ∫ f ( x) cos l l l 其中 l b = 1 f ( x) sin nπx dx = 1,2,3) (n n l∫ l l

∫ g ( y )dy =∫ f ( x)dx 得:G ( y ) = F ( x) + C称为隐式通解.
dy y = f ( x, y ) = ( x, y ),即写成 的函数,解法: dx x y dy du du dx du y 设u = ,则 = u + x ,u + = (u ), ∴ = 分离变量,积分后将 代替u, x dx dx dx x (u ) u x 齐次方程:一阶微分方程可以写成 即得齐次方程通解.

dy 1,一阶线性微分方程: + P( x) y = Q( x) dx
P ( x ) dx 当Q( x) = 0时, 为齐次方程,y = Ce ∫

P ( x ) dx

P ( x ) dx dx + C )e ∫

f ( x) ≡ 0时为齐次 d2y dy + P( x) + Q( x) y = f ( x), 2 dx dx f ( x) ≠ 0时为非齐次

(*) y ′′ + py ′ + qy = 0,其中p, q为常数; 求解步骤: 1,写出特征方程: )r 2 + pr + q = 0,其中r 2,r的系数及常数项恰好是(*)式中y ′′, y ′, y的系数; ( 2,求出()式的两个根r1 , r2

3,根据r1 , r2的不同情况,按下表写出(*)式的通解: r1,r2的形式

2

(*)式的通解

y = c1e r1x + c2 e r2 x y = (c1 + c2 x)e r1x y = eαx (c1 cos βx + c2 sin βx)

r1 = α + iβ,r2 = α iβ

α = ,β =

p 2

4q p 2 2

y ′′ + py ′ + qy = f ( x),p, q为常数 f ( x) = e λx Pm ( x)型,λ为常数; f ( x) = e λx [ Pl ( x) cos ωx + Pn ( x) sin ωx]型

v v v bz = a × b c cos α ,α为锐角时, 第 4 页共 14 页 研究生高等数学复习公式平面的方程: v 1、点法式:A( x x0 ) + B( y y 0 )...