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2015年高三数学名校试题分类汇编(1月 第一期)D单元 数列(含解析)


D 单元
目录 D 单元 数列1 D1 数列的概念与简单表示法 1 D2 等差数列及等差数列前 n 项和 6 D3 等比数列及等比数列前 n 项和 18 D4 数列求和 29 D5 单元综合 40

数列

D1 数列的概念与简单表示法 【数学理卷·2015 届辽宁省沈阳二中高三 12 月月考(201412) 】20.(本小题满分

12 分) 设数列
* ?an ? 的各项都是正数, ?a ? S a 2 ? 2 S n ? an , 且对任意 n ? N , 都有 n 其中 n 为数列 n 的

前 n 项和. (I)求数列 (II)设

?an ? 的通项公式;
n ?1

bn ? 3n ? ? ?1?

.? ? 2an

( ? 为非零整数, n ? N ) ,试确定 ? 的值,使得对任意
*

n ? N * ;都有 bn ?1 ? bn 成立.
【知识点】数列的通项公式 不等式 D1 E1 【答案】 【解析】 (I)

an ? n(n ? N* ) ; (II)-1
*

解析: (Ⅰ)∵ n ? N 时,
2

2 an ? 2 S n ? an ,……………①

a ? 2 S n ?1 ? an ?1 ,………………② 当 n ? 2 时, n ?1
由①-②得, 即
2 2 an ? an ?1 ? (2 S n ? an ) ? (2 S n ?1 ? an ?1 )

2 2 an ? an ?1 ? an ? an ?1 ,∵ an ? an ?1 ? 0



an ? an?1 ? 1(n ? 2) ,

由已知得,当 n ? 1 时, 故数列

a12 ? 2 S1 ? a1

,∴ a1 ? 1 .

{an } 是首项为 1,公差为 1 的等差数列.∴ an ? n(n ? N* ) .

(Ⅱ)∵ ∴

an ? n(n ? N* ) ,∴ bn ? 3n ? (?1) n?1 ? ? 2 n ,

bn ?1 ? bn ? 3n ?1 ? 3n ? (?1) n ? ? 2n ?1 ? (?1) n ?1 ? ? 2n ? 2 ? 3n ? 3? ? (?1) n ?1 ? 2n .
bn ?1 ? bn
3 (?1) n ?1 ? ? ? ( ) n ?1 2 . 恒成立,只须
1

要使得

(1)当 n 为奇数时,即

? ? ( ) n ?1
3 2

3 2

3 ( ) n ?1 恒成立.又 2 的最小值为 1 ,∴ ? ? 1 .
3 3 3 ??? ?( ) n ?1 ? 2 恒成立.又 2 的最大值为 2 ,∴

(2)当 n 为偶数时,即

? ? ?( ) n ?1

3 ? ? ?1 ∴由(1),(2)得 2 ,又 ? ? 0 且 ? 为整数, ?
* b ? bn 成立. ∴ ? ? ?1 对所有的 n ? N ,都有 n ?1

【思路点拨】 遇到由数列的前 n 项和与通项的递推关系, 通常先转化为通项之间的递推关系 再进行解答,对于不等式恒成立问题通常转化为求最值问题进行解答.

【数学理卷·2015 届河北省衡水中学高三上学期四调考试(201412)word 版】18. (本小 题满分 12 分) 已知数列 ,若 和

(1)求数列 (2)求数列

的通项公式;

【知识点】等差数列;已知递推公式求通项;裂项求和法. D1 D2 D4

6n ? 1 ?4, (n ? 1) Tn ? bn ? ? 20 ? 2n ? 3? a ? 2n ? 1, ?2n ? 1, (n ? 2) ; 【答案】 【解析】(1) n (2) .
解析: (1)由题意知数列 当 n=1 时,

?an ? 是公差为

2 的等差数列,又因为

a1 =3,所以 an ? 2n ? 1,

b1 ? S1 ? 4 ;
2 bn ? Sn ? Sn?1 ? ? n2 ? 2n ? 1? ? ?? n ? 1? ? 2 ? n ? 1? ? 1? ? 2n ? 1 ? ? ,

当 n ? 2 时,

?4, (n ? 1) bn ? ? b ? 4 不成立. 所以数列 ?bn ? 的通项公式为 ?2n ? 1, (n ? 2) -----6 分 对 1
T1 ?
(2)n=1 时,

1 1 ? b1b2 20 ,

当 n ? 2 时,

1 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ? bnbn?1 ? 2n ? 1?? 2n ? 3? 2 ? 2n ? 1 2n ? 3 ?

---8 分

2

Tn ?
所以

1 1?1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? 20 2 ? 5 7 7 9

?

1 1 ? 1 ? n ? 1 ? 6n ? 1 ? ?? 2n ? 1 2n ? 3 ? 20 10n ? 15 20 ? 2n ? 3?

-----------10 分

Tn ?
n=1 仍然适合上式,综上得,

6n ? 1 20 ? 2n ? 3?

-----12 分

?S1 (n ? 1) bn ? ? a ?Sn ? Sn?1 (n ? 2) 求 bn ; 【思路点拨】 (1)利用等差数列定义、通项公式求 n ;利用
? 1 ? ? ? bnbn?1 ? ? (2)利用裂项求和法求数列 的前 n 项和.

【数学理卷·2015 届山东省日照市日照一中高三 12 月校际联合检测(201412) 】19.(本小 题满分 12 分) 已 知 数 列

?dn ?

满 足

dn ? n , 等 比 数 列
.

?an ?

为 递 增 数 列 , 且

2 a5 ? a10 ,2 ? an ? an?2 ? ? 5an?1, n ? N *

(I)求

an ;
cn ? 1 ? ? ?1? an
n

( II )令

,不等式

ck ? 2014? 1? k ? 100,k ? N* ?

的解集为 M ,求所有

dk ? ak ? k ? M ?

的和.

【知识点】数列递推式;等比数列的通项公式;数列的求和.D1 D3 D4

2101 + 5377 a = 2n ; 3 【答案】 【解析】 (Ⅰ) n (Ⅱ)
解析: (Ⅰ)设 又因为

{an } 的首项为 a1 ,公比为 q ,所以 (a1q4 )2 ? a1q9 ,解得 a1 ? q …2 分

2(an ? an?2 ) ? 5an?1 ,所以 2(an ? an q2 ) ? 5an q
2 2

则 2(1 ? q ) ? 5q , 2q ? 5q ? 2 ? 0 ,解得 所以

q?

1 2 (舍)或 q ? 2

…………4 分

an ? 2 ? 2n?1 ? 2n

…………6 分

(Ⅱ)则

cn ? 1 ? (?1) n an ? 1 ? ( ?2) n , dn ? n cn ? 1 ? 2n ? 2014 ,即 2n ? ?2013 ,不成立

当 n 为偶数,

3

当 n 为奇数,

cn ? 1+2n ? 2014 ,即 2n ? 2013 ,
…………9 分

10 211 =2048 ,所以 n ? 2m ? 1,5 ? m ? 49 因为 2 =1024,



{dk } 组成首项为 11 ,公差为 2 的等差数列; {ak }(k ? M ) 组成首项为 211 ,公比为 4 的等 dk ? ak (k ? M ) 的和为

比数列则所有

45(11+99) 211 (1 ? 445 ) 2101 ? 2048 2101 ? 5377 ? ? 2475 ? ? 2 1? 4 3 3 …………12 分
【思路点拨】 (Ⅰ)设 利用

{an } 的首项为 a1 ,公比为 q ,可得 (a1q4 )2 ? a1q9 ,解得 a1 ? q .再

2 2( an ? an q ) ? 5a q 可 得 q ? 2 , 即 可 得 出 an .( II ) 由 ( I ) 可 得 : n ,

cn ? 1 ? (?1)n an ? 1 ? (?2)n .当 n 为偶数,不成立.当 n 为奇数, cn ? 1+2n ? 2014 ,可得

{a }(k ? M ) 组成首项为 211 , 2n ? 2013 , 得到 m 的取值范围. 可知 k 公比为 4 的等比数列. 求
出即可.

【数学文卷·2015 届辽宁省沈阳二中高三 12 月月考(201412) (1)】20.(本小题满分 12 分) 设数列
* ?an ? 的各项都是正数, ?a ? S a 2 ? 2 S n ? an , 且对任意 n ? N , 都有 n 其中 n 为数列 n 的

前 n 项和. (I)求数列 (II)设

?an ? 的通项公式;
n ?1

bn ? 3n ? ? ?1?

.? ? 2an

( ? 为非零整数, n ? N ) ,试确定 ? 的值,使得对任意
*

n ? N * ;都有 bn ?1 ? bn 成立.
【知识点】数列的通项公式 不等式 D1 E1 【答案】 【解析】 (I)

an ? n(n ? N* ) ; (II)-1
*

解析: (Ⅰ)∵ n ? N 时,
2

2 an ? 2 S n ? an

,……………①

a ? 2 S n ?1 ? an ?1 当 n ? 2 时, n ?1 ,………………②
由①-②得, 即
2 2 an ? an ?1 ? (2 S n ? an ) ? (2 S n ?1 ? an ?1 )

2 2 an ? an ?1 ? an ? an ?1

,∵

an ? an ?1 ? 0



an ? an?1 ? 1(n ? 2)



4

由已知得,当 n ? 1 时, 故数列

a12 ? 2 S1 ? a1 ,∴ a1 ? 1 .

{an } 是首项为 1,公差为 1 的等差数列.∴ an ? n(n ? N* ) .

(Ⅱ)∵ ∴

an ? n(n ? N* ) ,∴ bn ? 3n ? (?1) n?1 ? ? 2 n ,

bn ?1 ? bn ? 3n ?1 ? 3n ? (?1) n ? ? 2n ?1 ? (?1) n ?1 ? ? 2n ? 2 ? 3n ? 3? ? (?1) n ?1 ? 2n .

3 n ?1 n ?1 ( ? 1) ? ? ? ( ) b ? bn 恒成立,只须 2 . 要使得 n ?1

(1)当 n 为奇数时,即

? ? ( ) n ?1
3 2

3 2

3 ( ) n ?1 恒成立.又 2 的最小值为 1 ,∴ ? ? 1 .
3 3 3 ??? ?( ) n ?1 ? 2 恒成立.又 2 的最大值为 2 ,∴

(2)当 n 为偶数时,即

? ? ?( ) n ?1

3 ? ? ?1 ∴由(1),(2)得 2 ,又 ? ? 0 且 ? 为整数, ?
* b ? bn 成立. ∴ ? ? ?1 对所有的 n ? N ,都有 n ?1

【思路点拨】 遇到由数列的前 n 项和与通项的递推关系, 通常先转化为通项之间的递推关系 再进行解答,对于不等式恒成立问题通常转化为求最值问题进行解答.

【数学文卷·2015 届广东省中山一中等七校高三第二次联考(201412) 】5.在数列{
? aa 若 a1 ? 1 且对所有 n ? N , 满足 1 2

an }中,

an ? n2 ,则 a3 ? a5 ? (
25 C. 9 31 D. 15

)

25 A. 16

61 B. 16

【知识点】数列的概念 D1

【答案】 【解析】B 解析:因为

a1a2

an ? n2 ,所以

an ?

n2 9 25 a3 ? a5 ? 2 (n ? 1) ? 4, 16 ,

a3 ? a5 ?

61 16 ,故选 B.此题也可求 a2 , a3 , a4 , a5 .

【思路点拨】由

a1a2

an ? n2 可得通项为

an ?

n2 (n ? 1) 2 ,因此可求得 a3 , a5 的值.

5

【数学文卷·2015 届安徽省屯溪一中高三第四次月考(201412) 】14、已知正项数列 首项

?an ? 的

2 2 * a a1 ? 1 , 且 2nan ?1 ? (n ?1)an an?1 ? (n ? 1)an ? 0(n ? N ) , 则 ? n ? 的 通 项 公 式 为

an ?



【知识点】数列递推式.D1

1 ( ) n ?1 ? n 【答案】 【解析】 2


解析:∵

2 2 2nan +1 + (n - 1)an an+1 - (n +1)an = 0 ,

[ 2na

n+1

-(n +1)an ] ( an + an+1) = 0

,∵数列{an}为正项数列,∴

an + an+1

0,

an+1 n +1 = 2 na ( n + 1) a = 0 a 2n , n + 1 n n ∴ ,∴

an n a2 2 a3 3 a4 4 = = = = a 2 , a2 4 , a3 6 ,… an- 1 2 ( n - 1) , ∴ 1
两边累乘得,

骣 an an 2 3 4 n n 1 = = 创 创 ... = n琪 琪 an - 1 2 ( n - 1) a1 2 4 6 2 ( n - 1) 2 桫
1 1 an = ( ) n - 1 n ( ) n ?1 ? n 2 ∴ ,故答案为: 2 。

n- 1

an+1 n +1 = 2 na ( n + 1) a = 0 a 2n ,再用累乘法,即可求出 n + 1 n n 【思路点拨】由已知条件得 ,即
通项公式

an .

D2 等差数列及等差数列前 n 项和 【数学(文)卷·2015 届四川省成都市高中毕业班第一次诊断性检测(201412)word 版】 18. (本小题满分 12 分) 已知数列

{an }

S S ? 2n?1 ? 2 ; 数 列 {bn } 满 足 b1 ? 1 , 的前 n 项和为 n ,且 n

bn ?1 ? bn ? 2

. n ? N *.

(Ⅰ)求数列 (Ⅱ)记

{an }



{bn }

的通项公式;

cn ? anbn , n ? N * .求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn .
6

【知识点】等差数列,等比数列 D2 D3 【答案】 【解析】 (Ⅰ) (Ⅰ)∵

an ? 2n , bn ? 2n ? 1(Ⅱ) Tn ? (2n ? 3)2n?1 ? 4

Sn ? 2n?1 ? 2 ? Sn?1 ? 2n ? 2 ?

当 n ? 2 时, ? ? ?得,

an ? 2n ( n ? 2 ) .

an 2n ? n ?1 ? 2 a ? 2. a 2 ∵当 n ? 2 时, n ?1 ,且 1
∴数列 ∴数列

{an } {an }

是以 2 为首项,公比为 2 的等比数列, 的通项公式为

an ? 2 ? 2n?1 ? 2n .…………………………………4 分

又由题意知, ∴数列 ∴数列

b1 ? 1 , bn ?1 ? bn ? 2 ,即 bn?1 ? bn ? 2

{bn } {bn }

是首项为 1 ,公差为 2 的等差数列, 的通项公式为

bn ? 1 ? (n ?1) ? 2 ? 2n ?1 .………………………2 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, ∴

cn ? (2n ?1)2n ……………………………………………………1 分

Tn ? 1? 2 ? 3? 22 ? 5 ? 23 ? 1? 22 ? 3? 23 ?

? (2n ? 3) ? 2n?1 ? (2n ?1) ? 2n ? ? (2n ? 5) ? 2n?1 ? (2n ? 3) ? 2n ? (2n ?1) ? 2n?1 ④ ? 2 ? 2n?1 ? 2 ? 2n ? (2n ?1) ? 2n?1 ………………1 分

2Tn ?
由? ? ④得

?Tn ? 2 ? 2 ? 22 ? 2 ? 23 ? ?Tn ? 2(1 ? 22 ? 23 ?
?Tn ? 2 ?

? 2n?12n ) ? (2n ?1) ? 2n?1

∴ ∴ ∴

2 ? 2n ? 2 ? (2n ? 1) ? 2n?1 1? 2 ………………………………………1 分

?Tn ? 2 ? 2n?1 ? 4 ? 2n ? 2n?1 ? 2n?1 即 ?Tn ? (3 ? 2n) ? 2n?1 ? 4
Tn ? (2n ? 3)2n?1 ? 4

∴数列

{cn }

的前 n 项和

Tn ? (2n ? 3)2n?1 ? 4 ………………………………3 分 cn ? (2n ?1)2n ,为差比数列,利用错

【思路点拨】 (Ⅰ)由条件直接求解即可; (Ⅱ)数列

7

位相减法直接求解.

【数学理卷·2015 届辽宁省沈阳二中高三 12 月月考(201412) 】17.(本小题满分 10 分)
2 若函数 f ( x) ? sin ax ? sin ax cos ax(a ? 0) 的图象与直线 y ? m 相切, 并且切点的横坐标依

? 次成公差为 2 的等差数列。
(Ⅰ)求 m 的值; (Ⅱ)若点 【知识点】三角函数的图像与性质 等差数列 C3 D2
m?

A( x0, y0 )

x0 ?[0, ] 2 ,求点 A 的坐标。 是 y ? f ( x) 图象的对称中心,且
3 1 7 1 1? 2 1? 2 ( ?, ) ( ?, ) m? 2 或 2 ; (Ⅱ) 16 2 或 16 2

?

【答案】 【解析】(Ⅰ)

解析:(Ⅰ)

f ( x) ? sin 2 ax ? sin ax cos ax ?

1 ? cos 2ax 1 2 ? 1 ? sin 2ax ? ? sin(2ax ? ) ? 2 2 2 4 2… 1? 2 1? 2 m? 2 或 2 .

m? 由题意知, m 为 f ( x) 的最大值或最小值,所以
f ( x)

(Ⅱ)由题设知,函数
f ( x) ? ?
0?

? 的周期为 2 ,∴ a ? 2



k? ? 2 ? 1 ? ? x? ? (k ? Z ) sin(4 x ? ) ? 0 4 x ? ? k? ( k ? Z ) sin(4x ? ) ? 4 16 4 4 2 4 2 .令 ,得 ,∴ ,

由 【思路点拨】解决与三角函数相关的问题,通常先把函数化成一个角的三角函数,再进行解 答.

k? ? ? 3 1 7 1 ? ? (k ? Z ) ( ?, ) ( ?, ) k ? 1 k ? 2 4 16 2 16 2 16 2 . ,得 或 ,因此点 A 的坐标为 或

【数学理卷·2015 届浙江省杭州二中高三第二次月考(201412) 】9、若等差数列
2 a12 ? a10 ? 10 ,则 S ? a10 ? a11 ? ... ? a19 的最大值为

{an } 满足

A.60 B.50 【知识点】等差数列的性质 D2

C. 45
2

D.40
2

a ? a10 ? 10 , 所 以 【答案】 【解析】B 解析:设等差数列的公差为 d ,因为 1

? a1 0 ? 9 d?

2

? a120 ?1 0 , S ? a10 ? a11 ? ... ? a19 ? 10a10 ? 45d


,可得

a10 ?

S ? 45d 10 ,代入

8

? a10 ? 9d ?

2

? a10 2 ? 10,

?135 整理得

2

? 452 ? d 2 ? 360dS ? 2S 2 ? 1000 ? 0,

由关于 d 的二次

方程有实根可得

? ? 3602 S 2 ? 4 ?1352 ? 452 ?? 2 S 2 ? 1000 ? ? 0,

2 化简可 S ? 2500 得,解得

S ? 50 ,故选择 B.
【思路点拨】设等差数列的公差为 d ,易得

? a1 0 ? 9 d ?

2

2 ? a1 0 ?1 0 ,

由求和公式可得

a10 ?

S ? 45d 2 2 10 ,代入 ? a10 ? 9d ? ? a10 ? 10, 整理可得关于 d 的方程,由 ? ? 0 可得 S 的不

等式,解不等式可得.

【数学理卷·2015 届浙江省杭州二中高三第二次月考(201412) 】6、等差数列

?a n ?前 n 项

S25 S S65 ? ? 5, 45 ? 25 S a a a n 43 23 33 和为 ,已知 ,则
A.125 B.85 C.45 【知识点】等差数列前 n 项和 D2 D.35

【答案】 【解析】 C 解析:根据等差数列前 n 项和的性质可得

S2n?1 ? ? 2n ?1? an

,所以

S25 S a13 1 a23 5 a33 5 ? 4 9 ? 5, 45 ? 25 ? , ? , ? ? a23 a33 a 5 a 9 a 9 ? 4 13 ,所以 23 33 43 ,可得 根据合比定理可得:

S65 a 9 ? 65 33 ? 65 ? 45 a43 a43 13 ,故选择 C.
a13 1 a23 5 ? , ? , S ? ? 2n ?1? an a 5 a33 9 【思路点拨】 根据等差数列前 n 项和的性质可得 2n?1 , 可得 23 a33 5 ? 4 9 ? ? a 9 ? 4 13 ,即可求得. 43 根据合比定理可得:

【数学理卷· 2015 届浙江省杭州二中高三第二次月考 (201412) 】 4、 已知实数等比数列 公比为 q ,其前 n 项和为

?a n ?

Sn

,若

S3



S9



S6

成等差数列,则 q 等于 C.错误!未找到引用源。

3

A.错误!未找到引用源。 B.1 或1 D.错误!未找到引用源。 【知识点】等差数列的性质 等比数列前 n 项和 D2 D3

9

【答案】 【解析】A 解析:因为

S3 、S9 、S6 成等差数列,所以 2S9 ? S3 ? S6 ,若公比 q ? 1 ,

2S9 ? S3 ? S6 ,所以 q ? 1 ,当 q ? 1 时,可得
q??
可得:

2

a1 ?1 ? q9 ? 1? q

a1 ?1 ? q3 ? a1 ?1 ? q6 ? ? ? 1? q 1 ? q ,整理

1 2 ,故选择 A.

【思路点拨】根据等差数列的性质列的

2S9 ? S3 ? S6 ,当公比 q ? 1 ,等式不成立,当 q ? 1

时,再根据等比数列的求和公式进行化简即可得到,

【数学理卷·2015 届河南省洛阳市高三第一次统一考试(201412) 】17. (本小题满分 10 分) 已知

?an?,?bn? 均为等差数列,前 n 项和分别为

Sn , Tn .

OC ? a3 OA ? a15 OB ,且 A,B,C 三点 (1)若平面内三个不共线向量 OA, OB, OC 满足
共线.是否存在正整数 n,使

Sn 为定值?若存在,请求出此定值;若不存在,请说明理由。

Sn 31n ? 101 an ? T n ? 3 ,求使 bn 为整数的正整数 n 的集合. (2)若对 n ? N ,有 n
?

【知识点】等差数列及其前 n 项和;平面向量基本定理.

D2 F2

17 S 【答案】 【解析】 (1)存在 n=17 时, 17 为定值 2 ; (2){1,3}
解析:(1)∵A,B,C 三点共线, ∴ ?? ? R ,使 AC ? ? AB, OC ? OA ? ? (OB ? OA) ,即 OC ? (1 ? ? )OA ? ?OB .

?1 ? ? ? a3 ? ? ? a15 消去 ? 得 a3 ? a15 ? 1 .-----3 分 由平面向量基本定理得: ?
a ? a15 ? a1 ? a17 , ∴ 又 3
S17 ? 17(a1 ? a17 ) 17 ? 2 2 .

17 S 即存在 n=17 时, 17 为定值 2 .------5 分

an a1 ? an ?1 S2 n ?1 31n ? 35 4 ? ? ? ? 31 ? b b1 ? bn?1 T2 n ?1 n ?1 n ? 1 .-----8 分 (2)由于 n
依题意,n+1 的可能值为 2,4. 所以 n 的取值为 1 或 3.

10

an b 即:使 n 为整数的正整数 n 的集合为{1,3}.-----10 分
【思路点拨】(1)由 A,B,C 三点共线及平面向量基本定理得:

a3 ? a15 ? 1 ,所以 a1 ? a17 =1,

进而有

S17 ?

17(a1 ? a17 ) 17 17 ? 2 2 ,所以存在 n=17 时, S17 为定值 2 ; (2)由

an a1 ? an ?1 S2 n ?1 31n ? 35 4 ? ? ? ? 31 ? bn b1 ? bn?1 T2 n ?1 n ?1 n ? 1 得结论.

【数学理卷·2015 届河北省衡水中学高三上学期四调考试(201412)word 版】18. (本小 题满分 12 分) 已知数列 ,若 和

(1)求数列 (2)求数列

的通项公式;

【知识点】等差数列;已知递推公式求通项;裂项求和法. D1 D2 D4

6n ? 1 ?4, (n ? 1) Tn ? bn ? ? 20 ? 2n ? 3? a ? 2n ? 1, ?2n ? 1, (n ? 2) ; 【答案】 【解析】(1) n (2) .
解析: (1)由题意知数列 当 n=1 时,

?an ? 是公差为

2 的等差数列,又因为

a1 =3,所以 an ? 2n ? 1,

b1 ? S1 ? 4 ;
2 bn ? Sn ? Sn?1 ? ? n2 ? 2n ? 1? ? ?? n ? 1? ? 2 ? n ? 1? ? 1? ? 2n ? 1 ? ? ,

当 n ? 2 时,

?4, (n ? 1) bn ? ? b ? 4 不成立. 所以数列 ?bn ? 的通项公式为 ?2n ? 1, (n ? 2) -----6 分 对 1
T1 ?
(2)n=1 时,

1 1 ? b1b2 20 ,

当 n ? 2 时,

1 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ? bnbn?1 ? 2n ? 1?? 2n ? 3? 2 ? 2n ? 1 2n ? 3 ?
?

---8 分

Tn ?
所以

1 1?1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? 20 2 ? 5 7 7 9

1 1 ? 1 ? n ? 1 ? 6n ? 1 ? ?? 2n ? 1 2n ? 3 ? 20 10n ? 15 20 ? 2n ? 3?

11

-----------10 分

Tn ?
n=1 仍然适合上式,综上得,

6n ? 1 20 ? 2n ? 3?

-----12 分

?S1 (n ? 1) bn ? ? a ?Sn ? Sn?1 (n ? 2) 求 bn ; 【思路点拨】 (1)利用等差数列定义、通项公式求 n ;利用

? 1 ? ? ? bb (2)利用裂项求和法求数列 ? n n ?1 ? 的前 n 项和.

【数学理卷· 2015 届广东省中山一中等七校高三第二次联考 (201412) 】 19.(本题满分 14 分) 已知各项均为正数的数列 (Ⅰ) 求 a1 的值及数列

?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 4Sn ? an2 ? 2an ( n ? N* ).

?an ? 的通项公式;

?1? 5 ? 3? T ? n a T 32 ( n ? N* ); (Ⅱ) 记数列 ? n ? 的前 n 项和为 n ,求证:
【知识点】求数列的通项公式 求前 n 项和 D2 D4 【答案】(Ⅰ)

an ? 2n ;(Ⅱ)略.
4a1 ? 4 S1 ? a12 ? 2a1 ,解得 a1 ? 2 或 a1 ? 0 (舍去). …2 分
,
2 4Sn?1 ? an ?1 ? 2an?1

【解析】D 解析:(Ⅰ)当 n ? 1 时, 当

n?2



,

2 4 S n ? an ? 2an

,







2 2 4an ? an ? an ?1 ? 2an ? 2an?1 ,………4 分



2 2 an ? an ?1 ? 2 ? an ? an?1 ?

,又

an ? 0 ,所以 an ? an ?1 ? 0 ,则 an ? an ?1 ? 2 ,

所以

?an ? 是首项为 2 ,公差为 2 的等差数列,故 an ? 2n . …………………………………6 分
T1 ? 1 1 4 5 ? ? ? 3 a1 8 32 32 . …………………………………………7 分

(Ⅱ) 证法一:当 n ? 1 时, 当

n?2



1 1 1 1 1 1 ? 1 1 ? ? 3? ? ? ? ? ? ? 3 2 2 an 8n 8n ? n 8n ? n ? 1? 8 ? n ? 1? n ? n ? 1? 16 ? ? n ? 1? n n ? n ? 1? ? …10 分
Tn ?
所以

1 1 1 ? 3? 3? a13 a2 a3

?

1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 3 23 43 63 an

?

1

? 2n ?

3

12

?

1 1 ? 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? 3 2 16 ?1? 2 2 ? 3 2 ? 3 3 ? 4

?

1 1 ? ? ? ? n ? 1? n n ? n ? 1? ?

1 1 ?1 1 ? 1 1 1 5 ? ? ? ? ?? ? ? ? 8 16 ? 2 n ? n ? 1? ? 8 16 2 32
综上,对任意 n ? N ,均有
*

.

Tn ?

5 32 成立.……………………………………………14 分

证法二:当 n ? 1 时,

T1 ?

1 1 4 5 ? ? ? 3 a1 8 32 32 . ……………………………………………7 分
2

n3 ? 4n ? n ? 1? ? n ? n 2 ? 4n ? 4 ? ? n ? n ? 2 ? ? 0 n3 ? 4n ? n ? 1? n ? 2 当 时 , 先证 , 即证 显然
成立.

所以

1 1 1 1 ? 1 1? ? 3? ? ? ? ? 3 an 8n 32n ? n ? 1? 32 ? n ? 1 n ?
Tn ? 1 1 1 ? 3? 3? a13 a2 a3 ?

…………………………………………10 分

所以

1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 3 23 43 63 an

?

1

? 2n ?

3

?

1 1 ?? 1 ? ? 1 1 ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? 23 32 ? ?? 2 ? ? 2 3 ?
Tn ?

1 ?? 1 1 ? 1 ? 1 1 5 ? 1 ?? ? ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? n ? 1 n ? ? 8 32 ? n ? 8 32 32 ,

综上,对任意 n ? N ,均有
*

5 32 成立.…………………………………………14 分

【思路点拨】(Ⅰ)令 时,

4a1 ? 4 S1 ? a12 ? 2a1 , 即 可 得 到 首 项 , 再 由 当 当 n ? 2

2 2 4 S n ? an ? 2an , 4Sn?1 ? an ?1 ? 2an?1 ,化简整理,即可得到 an ? an ?1 ? 2 ,再由等差数列

通项公式,即可得到通项; ( Ⅱ ) 运















1 1 1 1 1 1 ? 1 1 ? ? 3? ? ? ? ? ? ? 3 2 2 an 8n 8n ? n 8n ? n ? 1? 8 ? n ? 1? n ? n ? 1? 16 ? ? n ? 1? n n ? n ? 1? ? .
再由裂项相消求和,即可得证.

【数学理卷· 2015 届安徽省屯溪一中高三第四次月考 (201412) 】 8. 以 的前 n 项的和,若 A.

S n 表示等差数列 ?an ?


S5 ? S 6 ,则下列不等关系不一定成立的是(
B.

2a3 ? 3a4

5a5 ? a1 ? 6a6
13

C.

a5 ? a4 ? a3 ? 0

D.

a3 ? a6 ? a12 ? 2a7

【知识点】等差数列的性质.D2 【答案】 【解析】B ∴S6﹣S5=a6<0,则 解析:∵

S n 表示等差数列 ?an ? 的前 n 项的和, S5 ? S 6 ,

2a3 ? 3a4 有可能成立,即 A 有可能成立;

∵5a5﹣(a1+6a6)=5(a1+4d)﹣[a1+6(a1+5d)]=﹣2a1﹣10d=﹣2a6<0, ∴

5a5 ? a1 ? 6a6 不成立,即 B 不成立; a5 ? a4 ? a3 ? 0 有可能成立,即 C 是有可能成立; a3 ? a6 ? a12 ? 2a7 ,故

∵a5>0,a4>0,a3>0,∴

∵a3+a6+a12﹣2a7=(3a1+18d)﹣(2a1+12d)=a1+6d=a7<0,∴

D 成立.故选:B. 【思路点拨】a5>0,a6<0,这个数列是递减数列,公差 d<0.由此入手对各个选项逐个 进行分析,能求出结果.

【数学理卷·2015 届四川省德阳市高三第一次诊断考试(201412)word 版】4.在等差数 列{

an }中,若 a4 ? a6 ? a8 ? a10 ? a12 ? 120 则 2a10 ? a12 的值为

A.20 B.22 C.24 D.28 【知识点】等差数列 D2 【答案】C 【 解 析 】 ∵ an 为 等 差 数 列 且 a4+a6+a8+a10+a12=5a1+35d=120 ∴ a1+7d=24 ∵ 2a10-a12=2a1+18-a1-11d=a1+7d=24 【思路点拨】有已知 an 为等差数列,设首项为 a1 和公差为 d,则已知等式就为 a1 与 d 的 关系等式,所求式子也可用 a1 和 d 来表示.

【数学文卷·2015 届浙江省杭州二中高三第二次月考(201412) 】9、若等差数列
2 a12 ? a10 ? 10 ,则 S ? a10 ? a11 ? ... ? a19 的最大值为

{an } 满足

A.60 B.50 【知识点】等差数列的性质 D2

C. 45
2

D.40
2

a ? a10 ? 10 , 所 以 【答案】 【解析】B 解析:设等差数列的公差为 d ,因为 1

? a1 0 ? 9 d? ? a10 ? 9d ?

2

? a120 ?1 0 , S ? a10 ? a11 ? ... ? a19 ? 10a10 ? 45d


,可得

a10 ?

S ? 45d 10 ,代入

2

? a10 2 ? 10,

?135 整理得

2

? 452 ? d 2 ? 360dS ? 2S 2 ? 1000 ? 0,

由关于 d 的二次

14

方程有实根可得

? ? 3602 S 2 ? 4 ?1352 ? 452 ?? 2 S 2 ? 1000 ? ? 0,

2 化简可 S ? 2500 得,解得

S ? 50 ,故选择 B.
【思路点拨】设等差数列的公差为 d ,易得

? a1 0 ? 9 d ?

2

2 ? a1 0 ?1 0 ,

由求和公式可得

a10 ?

S ? 45d 2 2 10 ,代入 ? a10 ? 9d ? ? a10 ? 10, 整理可得关于 d 的方程,由 ? ? 0 可得 S 的不

等式,解不等式可得.

【数学文卷·2015 届浙江省杭州二中高三第二次月考(201412) 】6、等差数列

?a n ?前 n 项

S25 S S65 ? ? 5, 45 ? 25 S a a a n 43 23 33 和为 ,已知 ,则
A.125 B.85 C.45 【知识点】等差数列前 n 项和 D2 D.35

【答案】 【解析】 C 解析:根据等差数列前 n 项和的性质可得

S2n?1 ? ? 2n ?1? an

,所以

S25 S a13 1 a23 5 a33 5 ? 4 9 ? 5, 45 ? 25 ? , ? , ? ? a23 a33 a 5 a 9 a 9 ? 4 13 ,所以 23 33 43 ,可得 根据合比定理可得:

S65 a 9 ? 65 33 ? 65 ? 45 a43 a43 13 ,故选择 C.
a13 1 a23 5 ? , ? , S2n?1 ? ? 2n ?1? an a 5 a 9 23 33 【思路点拨】 根据等差数列前 n 项和的性质可得 , 可得 a33 5 ? 4 9 ? ? a 9 ? 4 13 ,即可求得. 根据合比定理可得: 43

【数学文卷· 2015 届浙江省杭州二中高三第二次月考 (201412) 】 4、 已知实数等比数列 公比为 q ,其前 n 项和为

?a n ?

Sn

,若

S3



S9



S6

成等差数列,则 q 等于 C.错误!未找到引用源。

3

A.错误!未找到引用源。 B.1 或1 D.错误!未找到引用源。 【知识点】等差数列的性质 等比数列前 n 项和 D2 D3 【答案】 【解析】A 解析:因为

S3



S9



S6

成等差数列,所以

2S9 ? S3 ? S6 ,若公比 q ? 1 ,

15

2S9 ? S3 ? S6 ,所以 q ? 1 ,当 q ? 1 时,可得
q??
可得:

2

a1 ?1 ? q9 ? 1? q

a1 ?1 ? q3 ? a1 ?1 ? q6 ? ? ? 1? q 1 ? q ,整理

1 2 ,故选择 A.

【思路点拨】根据等差数列的性质列的

2S9 ? S3 ? S6 ,当公比 q ? 1 ,等式不成立,当 q ? 1

时,再根据等比数列的求和公式进行化简即可得到,

【数学文卷·2015 届河北省衡水中学高三上学期四调考试(201412)word 版】18. (本小 题满分 12 分) 数列

?an ? 的前 n 项和为 Sn , ?b ? a ? 1, an?1 ? 2Sn ? 1, b ? 3, b5 ? 9 . 且 1 数列 n 为等差数列, 且 3
的通项公式; 恒成立,求实数 k 的取值范围.

(1)求数列 (2)若对任意的

【知识点】数列的求和;等差数列的通项公式;等比数列的通项公式 D2 D3 D4
n 【答案】 【解析】(1) n (2) 解析: (1)由 an+1=2Sn+1① 得 an=2Sn﹣1+1②,①﹣②得 an+1﹣an=2(Sn﹣Sn﹣1) , ∴an+1=3an(n≥2)又 a2=3,a1=1 也满足上式, ∴an=3n﹣1; (3 分)b5﹣b3=2d=6∴d=3 ∴bn=3+(n﹣3)× 3=3n﹣6; (6 分)

a ? 3n?1 , b ? 3n ? 6

(2)





对 n∈N*恒成立,∴

对 n∈N*恒成立, (8 分)



, ,

,当 n≤3 时,cn>cn﹣1,当 n≥4

时,cn<cn﹣1, (10 分)

所以实数 k 的取值范围是 (12 分) 【思路点拨】 (1)仿写一个等式,两式相减得到数列{an}的递推关系,判断出数列{an}是等 比数列;利用等差数列及等比数列的通项公式分别求出数列{an},{bn}的通项公式. (2)利用等比数列的前 n 项和公式求出 Sn,分离出参数 k,构造新数列{cn},利用后一项 减去前一项, 判断出数列{cn}的单调性,求出它的最大值,求出 k 的范围.
16

【数学文卷·2015 届河北省衡水中学高三上学期五调考试(201412)word 版】3.等差数 列 ,则公差 d 等于

A. B. c.2 D.一 【知识点】等差数列 D2 【答案】A 【解析】由等差数列的性质可得 a4+a8=2a6=10,解得 a6=5,

1 又 a10=6,∴a10-a6=4d=1,d= 4
【思路点拨】由等差数列的性质可得 a4+a8=2a6=10,可解得 a6=5,可得数列的公差 d.

【数学文卷·2015 届广东省中山一中等七校高三第二次联考(201412) 】20. (本小题满分 14 分 ) 根 据 如 图 所 示 的 程 序 框 图 , 将 输 出 a , b 的 值 依 次 分 别 记 为

a1,a , ,an, ?,a 2?
(Ⅰ)求数列 (Ⅱ)写出 (Ⅲ)在

2 0 0 8

;b ,b , ?,b ?,b . 1 2 n,

2 0 0 8

{an } 的通项公式;

b1,b2,b3,b4 ,由此猜想 {bn } 的通项公式,并证明你的结论;

ak 与 ak ?1 中插入 bk+1 个 3 得到一个新数列 {cn } ,设数列 {cn } 的前 n 项和为 Sn , {cn } 的前 m 项的和 Sm ? 2008 ,如果存在,求出 m 的

问是否存在这样的正整数 m,使数列

值,如果不存在,请说明理由. 【知识点】程序框图,等差数列,等比数列 L1 D2 D3 【答案】 【解析】 (Ⅰ) 解析: (Ⅰ) (Ⅱ)

an=n (Ⅱ) bn ? 3n?1 ? 1 (Ⅲ) m ? 667

a1=, 1 an+1=an+ 1 ,??an ? 是公差为 1 的等差数列.? an=n .3 分

b1=0,b2=2,b3=8,b4=26 ,

n ?1 b =3bn+2,bn+1+= 1 ( 3 bn+) 1 , 猜想 bn ? 3 ? 1 .证明如下: n+1

?{bn+ 1} 是公比为 3 的等比数列.∴ bn ? 1 ? (b1 ? 1)3n?1 ? 3n?1 .则 bn ? 3n?1 ? 1 .7 分
(Ⅲ)数列

{cn } 中, ak 项(含 ak )前的所有项的和是

17

(1 ? 2 ?

? k ) ? (31 ? 32 ?

? 3k ?1 )

?

k ? k ? 1? 3k ? 3 ? 2 2 , 37 ? 3 ? 1120 ? 2008 2 ,当 k ?8 时,其和是

估算知,当 k ?7 时,其和是

28 ?

36 ?

38 ? 3 ? 3315 ? 2008 2 ,又因为 2008 ? 1120 ? 888 ? 296 ? 3 ,是 3 的倍数,

故存在这样的 m ,使得

Sm ? 2008 ,此时 m ? 7 ? (1 ? 3 ? 32 ?

? 35 ) ? 296 ? 667 .14 分

【思路点拨】 (Ⅰ)由程序框图可得

a1=, 1 an+1=an+ 1 ,可求得 an=n ;

n ?1 b =3bn+2,bn+1+= 1 ( 3 bn+) 1 ,?{bn+ 1} 是公比为 3 的等比数 (Ⅱ)猜想 bn ? 3 ? 1 , n+1 n ?1 列,可求数列 bn ? 3 ? 1 .

(Ⅲ)数列

{cn } 中, ak 项(含 ak )前的所有项的和是 ? 3k ?1 )
? k ? k ? 1? 3k ? 3 ? 2 2
k ?7

(1 ? 2 ?
28 ?

? k ) ? (31 ? 32 ?







37 ? 3 ? 1120 ? 2008 2 ,当 k ? 8 时,其和 ? 2008 ,

又因为 2008 ? 1120 ? 888 ? 296 ? 3 ,是 3 的倍数,故存在这样的 m ,使得

Sm ? 2008 .

【数学文卷·2015 届四川省德阳市高三第一次诊断考试(201412)word 版】4.在等差数 列{

an }中,若 a4 ? a6 ? a8 ? a10 ? a12 ? 120 则 2a10 ? a12 的值为

A.20 B.22 C.24 D.28 【知识点】等差数列 D2 【答案】C 【 解 析 】 ∵ an 为 等 差 数 列 且 a4+a6+a8+a10+a12=5a1+35d=120 ∴ a1+7d=24 ∵ 2a10-a12=2a1+18-a1-11d=a1+7d=24 【思路点拨】有已知 an 为等差数列,设首项为 a1 和公差为 d,则已知等式就为 a1 与 d 的 关系等式,所求式子也可用 a1 和 d 来表示.

D3 等比数列及等比数列前 n 项和 【数学理卷·2015 届辽宁省沈阳二中高三 12 月月考(201412) 】7、若 m 是 2 和 8 的等比中
18

x2 ?
项,则圆锥曲线

y2 ?1 m 的离心率是

(

)

3 A. 2

B. 5

3 5 C. 2 或 2

3 D. 2 或 5

【知识点】等比数列 椭圆与双曲线的性质 D3 H5 H6 【答案】 【解析】D

3 解析:因为 m=±4,当 m=4 时,离心率为 2 ,当 m=-4 时,离心率为 5 ,所以选 D.
【思路点拨】两个数的等比中项有两个值,对应的曲线分别为椭圆与双曲线,再分别求 a,c 得离心率.

【数学理卷·2015 届浙江省杭州二中高三第二次月考(201412) 】20、已知数列 为 a(a ? 0) ,前 n 项和为 (Ⅰ)求数列

?an ? 的首项

Sn ,且有 Sn?1 ? tSn ? a(t ? 0) , bn ? Sn ? 1 .

?an ? 的通项公式;

* b ? b5 (Ⅱ)当 t ? 1 时,若对任意 n ? N ,都有 n ,求 a 的取值范围;

c ? 2 ? b1 ? b2 ? ... ? bn ,求能够使数列 ?cn ? 为等比数列的所有数对 (Ⅲ)当 t ? 1 时,若 n
( a, t ) .
【知识点】等比数列的性质 数列求的和 D3 D4

[? , ? ] a ? at n?1 ; 【答案】 (Ⅰ) n (Ⅱ) 9 11 ; (Ⅲ) (1, 2) .
【解析】解析: (Ⅰ)当 n ? 1 时,由 S2 ? tS1 ? a 解得 a2 ? at 当 n ? 2 时, Sn ? tSn ?1 ? a ,

2

2

?(Sn?1 ? Sn ) ? t (Sn ? Sn?1 ) ,即 an ?1 ? tan

又 a1 ? a ? 0 , 综上有

an ?1 ? t (n ? N *) an

n ?1 , 即 {an } 是首项为 a , 公比为 t 的等比数列,? an ? at

(Ⅱ)当 t ? 1 时, Sn ? an, bn ? an ? 1 , 当 a ? 0 时, {bn } 单调递增,且 bn ? 0 ,不合题意;

19

当 a ? 0 时, {bn } 单调递减,由题意知: b4 ? 0, b6 ? 0 ,且

?b4 ?| b5 | ? ??b6 ?| b5 |

2 2 ? ?a?? 11 , 解得 9

2 2 [? , ? ] 综上 a 的取值范围为 9 11
a ? at n 1? t

(Ⅲ) t ? 1 ,

? bn ? 1 ?

? cn ? 2 ? (1 ?

a a a at (1 ? t n ) )n ? (t ? t 2 ? ... ? t n ) ? 2 ? (1 ? )n ? t ?1 1? t t ?1 (1 ? t )2

?2?

at a at n ?1 ? (1 ? ) n ? (1 ? t ) 2 t ?1 (1 ? t ) 2

at ? 2? ?0 ? ? (1 ? t ) 2 ? ?a ? 1 ?1 ? t ? a ? 0 ? ?c ? ? t ? 2 ,即满足条件的数对是 由题设知 n 为等比数列,所以有, ? 1 ? t ,解得 ?
(1, 2) .
(或通过

?cn ? 的前 3 项成等比数列先求出数对 (a, t ) ,再进行证明)
an?1 ? ant, 由此说明数列是等比数列,由 bn ? na ? 1 ,因为 bn?1 ? bn ? a ,所以得

【思路点拨】 (Ⅰ)由数列递推式求得首项,得到 等比数列的通项公式得答案; (Ⅱ)根据题意可得 到

?bn ? 为等差数列,当 a ? 0 时, ?bn ? 为单调递增数列,且对任意 n ? N *,an>0 恒成立,
b ?bn ? 为单调递减数列,由题意知得 b4>0,b6<0, 结合去 n
bn ? 1 ?

不合题意. 当 a ? 0 时,

? b5



对值后求解

a 的 取 值 范 围 ;( Ⅲ ) 由 题 意 得
2

a ? at n 1? t , 代 入 可 得

Cn ? 2 ?

at

?1 ? t ?

a ? at n ?1 ? ? ?1 ? n ? ? 2 ? t ?1 ? ?1 ? t ?

,由等比数列通项的特点列式,可得需满足

at ? 2? ?0 ? ? (1 ? t ) 2 ? ?1 ? t ? a ? 0 ? ? 1? t .

20

【数学理卷· 2015 届浙江省杭州二中高三第二次月考 (201412) 】 4、 已知实数等比数列 公比为 q ,其前 n 项和为

?a n ?

Sn ,若 S3 、 S9 、 S6 成等差数列,则 q3 等于
C.错误!未找到引用源。

A.错误!未找到引用源。 B.1 或1 D.错误!未找到引用源。 【知识点】等差数列的性质 等比数列前 n 项和 D2 D3 【答案】 【解析】A 解析:因为

S3 、S9 、S6 成等差数列,所以 2S9 ? S3 ? S6 ,若公比 q ? 1 ,

2S9 ? S3 ? S6 ,所以 q ? 1 ,当 q ? 1 时,可得
q??
可得:

2

a1 ?1 ? q9 ? 1? q

a1 ?1 ? q3 ? a1 ?1 ? q6 ? ? ? 1? q 1 ? q ,整理

1 2 ,故选择 A.

【思路点拨】根据等差数列的性质列的

2S9 ? S3 ? S6 ,当公比 q ? 1 ,等式不成立,当 q ? 1

时,再根据等比数列的求和公式进行化简即可得到,

【数学理卷·2015 届浙江省杭州二中高三第二次月考(201412) 】2、实数等比数列

?a n ?中,

a1 ? 0 ,则“ a1 ? a 4 ”是“ a3 ? a5 ” 的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 【知识点】等比数列性质 充分必要条件 A2 D3 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

【答案】 【解析】A 解析:设等比数列的公比为 q ,由

a1 ? a4 得 a1 ? a1q3 ,因为 a1 ? 0 ,所

3 a ? a5 a1q 2 ? a1q 4 a ? 0 ,所以 q2 ? 1 即 q ? ?1或q ? 1 , 以 q ? 1 ,即 q ? 1 ,由 3 得 ,因为 1

a ? a5 所以“ a1 ? a 4 ”是“ 3 ” 的充分而不必要条件,故选择 A.
【思路点拨】结合等比数列的性质,利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

【数学理卷·2015 届河北省衡水中学高三上学期四调考试(201412)word 版】5.等比数 列 A. 2
6

B. 2

9

C. 2

15

D. 2

12

【知识点】等比数列;积得导数公式. D3 B11 【答案】 【解析】D 解析:因为

a1 ? 2, a8 ? 4 ,

21



f ?( x) ? ? x ? a1 ?? x ? a2 ?
f ?(0) ? a1a2

? ? x ? a8 ? ? x ? ?? x ? a1 ?? x ? a2 ? ? x ? a8 ?? ?
4

所以

a8 ? ? a1a8 ? ? 84 ? 212

,故选 D.

【思路点拨】根据积得导数公式求解.

【数学理卷·2015 届河北省衡水中学高三上学期五调考试(201412)word 版】3.公比为 2 的等比数列{an)的各项都是正数,且 =16,则 a6 等于 A.1 B.2 C.4 D.8 【知识点】等比数列及等比数列前 n 项和 D3 【答案】B

a7 【解析】由题意可得 a72=a4a10=16,又数列的各项都是正数,故 a7=4,故 a6= 2 =2
【思路点拨】由题意结合等比数列的性质可得 a7=4,由通项公式可得 a6.

【数学理卷·2015 届山东省日照市日照一中高三 12 月校际联合检测(201412) 】19.(本小 题满分 12 分) 已 知 数 列

?dn ?

满 足

dn ? n , 等 比 数 列
.

?an ?

为 递 增 数 列 , 且

2 a5 ? a10 ,2 ? an ? an?2 ? ? 5an?1, n ? N *

(I)求

an ;
cn ? 1 ? ? ?1? an
n

( II )令

,不等式

ck ? 2014? 1? k ? 100,k ? N* ?

的解集为 M ,求所有

dk ? ak ? k ? M ?

的和.

【知识点】数列递推式;等比数列的通项公式;数列的求和.D1 D3 D4

2101 + 5377 a =2 ; 3 【答案】 【解析】 (Ⅰ) n (Ⅱ)
n

解析: (Ⅰ)设 又因为

{an } 的首项为 a1 ,公比为 q ,所以 (a1q4 )2 ? a1q9 ,解得 a1 ? q …2 分

2(an ? an?2 ) ? 5an?1 ,所以 2(an ? an q2 ) ? 5an q
2 2

则 2(1 ? q ) ? 5q , 2q ? 5q ? 2 ? 0 ,解得 所以

q?

1 2 (舍)或 q ? 2

…………4 分

an ? 2 ? 2n?1 ? 2n

…………6 分

(Ⅱ)则

cn ? 1 ? (?1) n an ? 1 ? ( ?2) n , dn ? n
22

当 n 为偶数, 当 n 为奇数,

cn ? 1 ? 2n ? 2014 ,即 2n ? ?2013 ,不成立 cn ? 1+2n ? 2014 ,即 2n ? 2013 ,
…………9 分

10 211 =2048 ,所以 n ? 2m ? 1,5 ? m ? 49 因为 2 =1024,



{dk } 组成首项为 11 ,公差为 2 的等差数列; {ak }(k ? M ) 组成首项为 211 ,公比为 4 的等 dk ? ak (k ? M ) 的和为

比数列则所有

45(11+99) 211 (1 ? 445 ) 2101 ? 2048 2101 ? 5377 ? ? 2475 ? ? 2 1? 4 3 3 …………12 分
【思路点拨】 (Ⅰ)设 利用

{an } 的首项为 a1 ,公比为 q ,可得 (a1q4 )2 ? a1q9 ,解得 a1 ? q .再

2 2( an ? an q ) ? 5a q 可 得 q ? 2 , 即 可 得 出 an .( II ) 由 ( I ) 可 得 : n ,

cn ? 1 ? (?1)n an ? 1 ? (?2)n .当 n 为偶数,不成立.当 n 为奇数, cn ? 1+2n ? 2014 ,可得

{a }(k ? M ) 组成首项为 211 , 2n ? 2013 , 得到 m 的取值范围. 可知 k 公比为 4 的等比数列. 求
出即可.

【数学文卷·2015 届浙江省杭州二中高三第二次月考(201412) 】(20)(本小题满分 15 分) 已知数列

?an ? 的首项为 a(a ? 0) , S 且有 Sn?1 ? tSn ? a(t ? 0) ,bn ? Sn ? 1 . 前 n 项和为 n , ?an ? 的通项公式;
*

(Ⅰ)求数列

(Ⅱ)当 t ? 1 , a ? 2 时,若对任意 n ? N ,都有 的取值范围;

k(

1 1 1 ? ??? ) ? bn b1b2 b2 b3 bn bn?1 ,求 k

c ? 2 ? b1 ? b2 ? ... ? bn ,求能够使数列 ?cn ? 为等比数列的所有数对 (Ⅲ)当 t ? 1 时,若 n
( a, t ) .
【知识点】等比数列的性质 【答案】 (Ⅰ) 数列求的和 D3 D4

an ? at n?1 ; (Ⅱ) k ? 45 ; (Ⅲ) (1, 2) .

【解析】 (1)当 n ? 1 时,由 S2 ? tS1 ? a 解得 a2 ? at 当 n ? 2 时, Sn ? tSn ?1 ? a ,

23

?(Sn?1 ? Sn ) ? t (Sn ? Sn?1 ) ,即 an ?1 ? tan

又 a1 ? a ? 0 ,综上有

an ?1 ? t (n ? N *) an

,即 {an } 是首项为 a ,公比为 t 的等比数列

? an ? at n ?1

a ? 2, Sn ? 2n , 即 bn ? 2n ? 1 , ( Ⅱ ) 因 为 t ?1 , a ? 2 , 所 以 可 得 n

1 1? 1 1 ? ? ? ? ? bnbn?1 2 ? 2n ? 1 2n ? 3 ?
1 ? ? b1b b b
k(
因为







?

bnb2 n?

1? ? ? ? ? ? 2?

?
2

? 1 n ?? n 3? ? ? n ?3 ?

1 5 5
1

1

1 1 1 3(4n 2 ? 8n ? 3) ? ??? ) ? bn k? b1b2 b2 b3 bn bn?1 n ,所以整理可得 ,

所以 k ? 45 .

(Ⅲ) t ? 1 ,

? bn ? 1 ?

a ? at n 1? t

? cn ? 2 ? (1 ?

a a a at (1 ? t n ) )n ? (t ? t 2 ? ... ? t n ) ? 2 ? (1 ? )n ? t ?1 1? t t ?1 (1 ? t ) 2

?2?

at a at n ?1 ? (1 ? ) n ? (1 ? t ) 2 t ?1 (1 ? t ) 2

由题设知

?cn ? 为等比数列,所以有

at ? 2 ? ?0 ? ? (1 ? t ) 2 ? ?a ? 1 ?1 ? t ? a ? 0 ? ? 1? t t ? 2 ,即满足条件的数对是 (1, 2) . ? ,解得 ?
(或通过

?cn ? 的前 3 项成等比数列先求出数对 (a, t ) ,再进行证明)
an?1 ? ant, 由此说明数列是等比数列,由等 bn ? 2n ? 1 , 求 得

【思路点拨】 (1)由数列递推式求得首项,得到

比 数 列 的 通 项 公 式 得 答 案 ;( Ⅱ ) 根 据 题 意 可 得

1 1 ? ? b1b2 b2b3

?

1 n ? bnbn?1 3 ? 2n ? 3?

k(
,所以要使

1 1 1 ? ??? ) ? bn b1b2 b2 b3 bn bn?1 成立,
24

k?
只需

3(4n 2 ? 8n ? 3) a ? at n bn ? 1 ? 1? t , 代 入 可 得 n 即可求得; (Ⅲ)由题意得

Cn ? 2 ?

at

?1 ? t ?

2

a ? at n ?1 ? ? ?1 ? ?n? 2 ? t ?1 ? ?1 ? t ?

at ? 2? ?0 ? ? (1 ? t ) 2 ? ?1 ? t ? a ? 0 ? ,若为等比数列需满足 ? 1 ? t .

【数学文卷· 2015 届浙江省杭州二中高三第二次月考 (201412) 】 4、 已知实数等比数列 公比为 q ,其前 n 项和为

?a n ?

Sn ,若 S3 、 S9 、 S6 成等差数列,则 q3 等于
C.错误!未找到引用源。

A.错误!未找到引用源。 B.1 或1 D.错误!未找到引用源。 【知识点】等差数列的性质 等比数列前 n 项和 D2 D3 【答案】 【解析】A 解析:因为

S3 、S9 、S6 成等差数列,所以 2S9 ? S3 ? S6 ,若公比 q ? 1 ,

2S9 ? S3 ? S6 ,所以 q ? 1 ,当 q ? 1 时,可得
q??
可得:

2

a1 ?1 ? q9 ? 1? q

a1 ?1 ? q3 ? a1 ?1 ? q6 ? ? ? 1? q 1 ? q ,整理

1 2 ,故选择 A.

【思路点拨】根据等差数列的性质列的

2S9 ? S3 ? S6 ,当公比 q ? 1 ,等式不成立,当 q ? 1

时,再根据等比数列的求和公式进行化简即可得到,

【数学文卷·2015 届浙江省杭州二中高三第二次月考(201412) 】2、实数等比数列

?a n ?中,

a1 ? 0 ,则“ a1 ? a 4 ”是“ a3 ? a5 ” 的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 【知识点】等比数列性质 充分必要条件 A2 D3 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

【答案】 【解析】A 解析:设等比数列的公比为 q ,由

a1 ? a4 得 a1 ? a1q3 ,因为 a1 ? 0 ,所

3 a ? a5 a1q 2 ? a1q 4 a ? 0 ,所以 q2 ? 1 即 q ? ?1或q ? 1 , 以 q ? 1 ,即 q ? 1 ,由 3 得 ,因为 1

a ? a5 所以“ a1 ? a 4 ”是“ 3 ” 的充分而不必要条件,故选择 A.
【思路点拨】结合等比数列的性质,利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

25

【数学文卷·2015 届河南省洛阳市高三第一次统一考试(201412) 】18.(本小题满分 12 分)

已知数列 (1)求数列

?an? 的前 n 项和公式为

Sn ?

1 n ?1 3 ?3 ? 2 2.

?an? 的通项公式.
an 81 ,求数列

(2)令

bn ? log 3

? b ? 的前 n 项和
n

Tn (其中, n ? 5 ) .

【知识点】数列的通项公式与前 n 项和公式 D3 D4

a ? 3n (2) 【答案】 【解析】(1) n

Tn ?

1 2 7 n ? n ? 12 a ? 3 ,当 2 2 解析:(1)当 n ? 1 时, 1

n ? 2时,an ? Sn ? Sn?1 ? 3n , 且 a1 ? 3 ? 31 , 所 以 ?an ? 的 通 项 公 式 为 an ? 3n (2)
bn ? log 3 an ? n?4 b ? 0即n ?4 ?0 , ? n ? 4 ,即 ?bn ? 从第四项开始各项均非负,所 81 ,令 n




n?5





Tn ? ?b1 ? b ? b ? b ? b ?

? bn ? 3 ? 2 ? 1 ? 0 ? 2

? n ? 4? ? ? ? ? n ? ?? ?
3

2

1 1 7 ? n42 ? n ? 12 2 2

4
5

【思路点拨】由前 n 项和与通项的关系可求出通项公式,再由数列的特点求出前 n 项和. 【数学文卷·2015 届河北省衡水中学高三上学期四调考试(201412)word 版】18. (本小 题满分 12 分) 数列

?an ? 的前 n 项和为 Sn , ?b ? a ? 1, an?1 ? 2Sn ? 1, b ? 3, b5 ? 9 . 且 1 数列 n 为等差数列, 且 3
的通项公式; 恒成立,求实数 k 的取值范围.

(1)求数列 (2)若对任意的

【知识点】数列的求和;等差数列的通项公式;等比数列的通项公式 D2 D3 D4
26

n 【答案】 【解析】(1) n (2) 解析: (1)由 an+1=2Sn+1① 得 an=2Sn﹣1+1②,①﹣②得 an+1﹣an=2(Sn﹣Sn﹣1) , ∴an+1=3an(n≥2)又 a2=3,a1=1 也满足上式, ∴an=3n﹣1; (3 分)b5﹣b3=2d=6∴d=3 ∴bn=3+(n﹣3)× 3=3n﹣6; (6 分)

a ? 3n?1 , b ? 3n ? 6

(2)





对 n∈N*恒成立,∴

对 n∈N*恒成立, (8 分)



, ,

,当 n≤3 时,cn>cn﹣1,当 n≥4

时,cn<cn﹣1, (10 分)

所以实数 k 的取值范围是 (12 分) 【思路点拨】 (1)仿写一个等式,两式相减得到数列{an}的递推关系,判断出数列{an}是等 比数列;利用等差数列及等比数列的通项公式分别求出数列{an},{bn}的通项公式. (2)利用等比数列的前 n 项和公式求出 Sn,分离出参数 k,构造新数列{cn},利用后一项 减去前一项, 判断出数列{cn}的单调性,求出它的最大值,求出 k 的范围. 【数学文卷·2015 届广东省中山一中等七校高三第二次联考(201412) 】20. (本小题满分 14 分 ) 根 据 如 图 所 示 的 程 序 框 图 , 将 输 出 a , b 的 值 依 次 分 别 记 为

a1,a , ,an, ?,a 2?
(Ⅰ)求数列 (Ⅱ)写出 (Ⅲ)在

2 0 0 8

;b ,b , ?,b ?,b . 1 2 n,

2 0 0 8

{an } 的通项公式;

b1,b2,b3,b4 ,由此猜想 {bn } 的通项公式,并证明你的结论;

ak 与 ak ?1 中插入 bk+1 个 3 得到一个新数列 {cn } ,设数列 {cn } 的前 n 项和为 Sn , {cn } 的前 m 项的和 Sm ? 2008 ,如果存在,求出 m 的

问是否存在这样的正整数 m,使数列

值,如果不存在,请说明理由. 【知识点】程序框图,等差数列,等比数列 L1 D2 D3 【答案】 【解析】 (Ⅰ) 解析: (Ⅰ)

an=n (Ⅱ) bn ? 3n?1 ? 1 (Ⅲ) m ? 667

a1=, 1 an+1=an+ 1 ,??an ? 是公差为 1 的等差数列.? an=n .3 分
27

(Ⅱ)

b1=0,b2=2,b3=8,b4=26 ,

n ?1 b =3bn+2,bn+1+= 1 ( 3 bn+) 1 , 猜想 bn ? 3 ? 1 .证明如下: n+1

?{bn+ 1} 是公比为 3 的等比数列.∴ bn ? 1 ? (b1 ? 1)3n?1 ? 3n?1 .则 bn ? 3n?1 ? 1 .7 分
(Ⅲ)数列

{cn } 中, ak 项(含 ak )前的所有项的和是 ? 3k ?1 )
? k ? k ? 1? 3k ? 3 ? 2 2 , 37 ? 3 ? 1120 ? 2008 2 ,当 k ?8 时,其和是

(1 ? 2 ?

? k ) ? (31 ? 32 ?

估算知,当 k ?7 时,其和是

28 ?

38 ? 3 36 ? ? 3315 ? 2008 2 ,又因为 2008 ? 1120 ? 888 ? 296 ? 3 ,是 3 的倍数,
故存在这样的 m ,使得

Sm ? 2008 ,此时 m ? 7 ? (1 ? 3 ? 32 ?

? 35 ) ? 296 ? 667 .14 分

【思路点拨】 (Ⅰ)由程序框图可得

a1=, 1 an+1=an+ 1 ,可求得 an=n ;

n ?1 b =3bn+2,bn+1+= 1 ( 3 bn+) 1 ,?{bn+ 1} 是公比为 3 的等比数 (Ⅱ)猜想 bn ? 3 ? 1 , n+1 n ?1 列,可求数列 bn ? 3 ? 1 .

(Ⅲ)数列

{cn } 中, ak 项(含 ak )前的所有项的和是 ? 3k ?1 )
? k ? k ? 1? 3k ? 3 ? 2 2
k ?7

(1 ? 2 ?
28 ?

? k ) ? (31 ? 32 ?







37 ? 3 ? 1120 ? 2008 2 ,当 k ? 8 时,其和 ? 2008 ,

又因为 2008 ? 1120 ? 888 ? 296 ? 3 ,是 3 的倍数,故存在这样的 m ,使得

Sm ? 2008 .

【数学卷·2015 届江苏省南通中学高三上学期期中考试(201411) 】6.已知 列,

?an ? 为等比数

a1 ? a7 ? 2, a5 a6 ? ?8 ,则 a1 ? a10 ?



【知识点】等比数列及等比数列前 n 项和 D3 【答案】-7 【解析】∵a4+a7=2,由等比数列的性质可得,a5a6=a4a7=-8
28

∴a4=4,a7=-2 或 a4=-2,a7=4

q3 ? ?
当 a4=4,a7=-2 时,

1 2 ,∴a1=-8,a10=1,

∴a1+a10=-7 当 a4=-2,a7=4 时,q3=-2,则 a10=-8,a1=1∴a1+a10=-7 综上可得,a1+a10=-7 【思路点拨】由 a4+a7=2,及 a5a6=a4a7=-8 可求 a4,a7,进而可求公比 q,代入等比数 列的通项,求 a1,a10,即可

D4 数列求和

【数学理卷· 2015 届辽宁省沈阳二中高三 12 月月考( 201412) 】 14 .在数列

?an ? 中,

a1 ? 1, an ? 2 ? (?1) n an ? 1. 记 s n 是数列 {an } 的前 n 项和,则 s100 ?
【知识点】数列求和 D4 【答案】 【解析】1300 解析:当 n 为奇数时,有

an?2 ? an ? 1 ,当 n 为偶数时有 an?2 ? an ? 1 ,所以该数列奇数项

城 等 差 数 列 , 偶 数 项 为 摆 动 数 列 , 所 以 前 100 项 中 偶 数 项 和 为 25 , 奇 数 项 和 为

5 0?

5 0? 4 9 ?1? 1275 S ? 25 ? 1275 ? 1300 . 2 ,则 100

【思路点拨】 可通过观察当 n 取奇数与 n 取偶数时递推公式特征, 发现数列特征达到求和目 标.

【数学理卷·2015 届浙江省杭州二中高三第二次月考(201412) 】20、已知数列 为 a(a ? 0) ,前 n 项和为 (Ⅰ)求数列

?an ? 的首项

Sn ,且有 Sn?1 ? tSn ? a(t ? 0) , bn ? Sn ? 1 .

?an ? 的通项公式;

* b ? b5 (Ⅱ)当 t ? 1 时,若对任意 n ? N ,都有 n ,求 a 的取值范围;

c ? 2 ? b1 ? b2 ? ... ? bn ,求能够使数列 ?cn ? 为等比数列的所有数对 (Ⅲ)当 t ? 1 时,若 n
( a, t ) .
【知识点】等比数列的性质 数列求的和 D3 D4

[? , ? ] a ? at n?1 ; 【答案】 (Ⅰ) n (Ⅱ) 9 11 ; (Ⅲ) (1, 2) .
29

2

2

【解析】解析: (Ⅰ)当 n ? 1 时,由 S2 ? tS1 ? a 解得 a2 ? at 当 n ? 2 时, Sn ? tSn ?1 ? a ,

?(Sn?1 ? Sn ) ? t (Sn ? Sn?1 ) ,即 an ?1 ? tan

又 a1 ? a ? 0 , 综上有

an ?1 ? t (n ? N *) an

n ?1 , 即 {an } 是首项为 a , 公比为 t 的等比数列,? an ? at

(Ⅱ)当 t ? 1 时, Sn ? an, bn ? an ? 1 , 当 a ? 0 时, {bn } 单调递增,且 bn ? 0 ,不合题意;

当 a ? 0 时, {bn } 单调递减,由题意知: b4 ? 0, b6 ? 0 ,且

?b4 ?| b5 | ? ??b6 ?| b5 |

2 2 ? ?a?? 11 , 解得 9

2 2 [? , ? ] 综上 a 的取值范围为 9 11
a ? at n 1? t

(Ⅲ) t ? 1 ,

? bn ? 1 ?

? cn ? 2 ? (1 ?

a a a at (1 ? t n ) )n ? (t ? t 2 ? ... ? t n ) ? 2 ? (1 ? )n ? t ?1 1? t t ?1 (1 ? t )2

?2?

at a at n ?1 ? (1 ? ) n ? (1 ? t ) 2 t ?1 (1 ? t ) 2

at ? 2? ?0 ? ? (1 ? t ) 2 ? ?a ? 1 ?1 ? t ? a ? 0 ? cn ? ? ? t ? 2 ,即满足条件的数对是 1 ? t ? 由题设知 为等比数列,所以有, ,解得 ?
(1, 2) .
(或通过

?cn ? 的前 3 项成等比数列先求出数对 (a, t ) ,再进行证明)
an?1 ? ant, 由此说明数列是等比数列,由 bn ? na ? 1 ,因为 bn?1 ? bn ? a ,所以得

【思路点拨】 (Ⅰ)由数列递推式求得首项,得到 等比数列的通项公式得答案; (Ⅱ)根据题意可得 到

?bn ? 为等差数列,当 a ? 0 时, ?bn ? 为单调递增数列,且对任意 n ? N *,an>0 恒成立,

30

不合题意. 当 a ? 0 时,

b ?bn ? 为单调递减数列,由题意知得 b4>0,b6<0, 结合去 n
bn ? 1 ?

? b5



对值后求解

a 的 取 值 范 围 ;( Ⅲ ) 由 题 意 得
2

a ? at n 1? t , 代 入 可 得

Cn ? 2 ?

at

?1 ? t ?

a ? at n ?1 ? ? ?1 ? n ? ? 2 ? t ?1 ? ?1 ? t ?

,由等比数列通项的特点列式,可得需满足

at ? 2? ?0 ? ? (1 ? t ) 2 ? ?1 ? t ? a ? 0 ? ? 1? t .

【数学理卷·2015 届河北省衡水中学高三上学期四调考试(201412)word 版】18. (本小 题满分 12 分) 已知数列 ,若 和

(1)求数列 (2)求数列

的通项公式;

【知识点】等差数列;已知递推公式求通项;裂项求和法. D1 D2 D4

6n ? 1 ?4, (n ? 1) Tn ? bn ? ? 20 ? 2n ? 3? a ? 2n ? 1, ?2n ? 1, (n ? 2) ; 【答案】 【解析】(1) n (2) .
解析: (1)由题意知数列 当 n=1 时,

?an ? 是公差为

2 的等差数列,又因为

a1 =3,所以 an ? 2n ? 1,

b1 ? S1 ? 4 ;
2 bn ? Sn ? Sn?1 ? ? n2 ? 2n ? 1? ? ?? n ? 1? ? 2 ? n ? 1? ? 1? ? 2n ? 1 ? ? ,

当 n ? 2 时,

?4, (n ? 1) bn ? ? b ? 4 不成立. 所以数列 ?bn ? 的通项公式为 ?2n ? 1, (n ? 2) -----6 分 对 1
T1 ?
(2)n=1 时,

1 1 ? b1b2 20 ,

当 n ? 2 时,

1 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ? bnbn?1 ? 2n ? 1?? 2n ? 3? 2 ? 2n ? 1 2n ? 3 ?

---8 分

31

Tn ?
所以

1 1?1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? 20 2 ? 5 7 7 9

?

1 1 ? 1 ? n ? 1 ? 6n ? 1 ? ?? 2n ? 1 2n ? 3 ? 20 10n ? 15 20 ? 2n ? 3?

-----------10 分

Tn ?
n=1 仍然适合上式,综上得,

6n ? 1 20 ? 2n ? 3?

-----12 分

?S1 (n ? 1) bn ? ? a ?Sn ? Sn?1 (n ? 2) 求 bn ; 【思路点拨】 (1)利用等差数列定义、通项公式求 n ;利用
? 1 ? ? ? bnbn?1 ? ? (2)利用裂项求和法求数列 的前 n 项和.

【数学理卷· 2015 届广东省中山一中等七校高三第二次联考 (201412) 】 19.(本题满分 14 分) 已知各项均为正数的数列 (Ⅰ) 求 a1 的值及数列

?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 4Sn ? an2 ? 2an ( n ? N* ).

?an ? 的通项公式;

?1? 5 ? 3? Tn ? a T 32 ( n ? N* ); (Ⅱ) 记数列 ? n ? 的前 n 项和为 n ,求证:
【知识点】求数列的通项公式 求前 n 项和 D2 D4 【答案】(Ⅰ)

an ? 2n ;(Ⅱ)略.
4a1 ? 4 S1 ? a12 ? 2a1 ,解得 a1 ? 2 或 a1 ? 0 (舍去). …2 分
,
2 4Sn?1 ? an ?1 ? 2an?1

【解析】D 解析:(Ⅰ)当 n ? 1 时, 当

n?2



,

2 4 S n ? an ? 2an

,







2 2 4an ? an ? an ?1 ? 2an ? 2an?1 ,………4 分



2 2 an ? an ?1 ? 2 ? an ? an?1 ?

,又

an ? 0 ,所以 an ? an ?1 ? 0 ,则 an ? an ?1 ? 2 ,

所以

?an ? 是首项为 2 ,公差为 2 的等差数列,故 an ? 2n . …………………………………6 分
T1 ? 1 1 4 5 ? ? ? 3 a1 8 32 32 . …………………………………………7 分

(Ⅱ) 证法一:当 n ? 1 时, 当

n?2



1 1 1 1 1 1 ? 1 1 ? ? 3? ? ? ? ? ? ? 3 2 an 8n 8n ? n 8n ? n 2 ? 1? 8 ? n ? 1? n ? n ? 1? 16 ? ? n ? 1? n n ? n ? 1? ? …10 分
32

Tn ?
所以

1 1 1 ? 3? 3? a13 a2 a3

?

1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 3 23 43 63 an

?

1

? 2n ?

3

?

1 1 ? 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? 3 2 16 ?1? 2 2 ? 3 2 ? 3 3 ? 4

?

1 1 ? ? ? ? n ? 1? n n ? n ? 1? ?

1 1 ?1 1 ? 1 1 1 5 ? ? ? ? ?? ? ? ? 8 16 ? 2 n ? n ? 1? ? 8 16 2 32
综上,对任意 n ? N ,均有
*

.

Tn ?

5 32 成立.……………………………………………14 分

证法二:当 n ? 1 时, 当 n ? 2 时 , 先证 成立.

T1 ?

1 1 4 5 ? ? ? 3 a1 8 32 32 . ……………………………………………7 分
, 即证

n3 ? 4n ? n ? 1?

n3 ? 4n ? n ? 1? ? n ? n 2 ? 4n ? 4 ? ? n ? n ? 2 ? ? 0
2

显然

所以

1 1 1 1 ? 1 1? ? 3? ? ? ? ? 3 an 8n 32n ? n ? 1? 32 ? n ? 1 n ?
Tn ? 1 1 1 ? 3? 3? a13 a2 a3 ?

…………………………………………10 分

所以

1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 3 23 43 63 an

?

1

? 2n ?

3

?

1 1 ?? 1 ? ? 1 1 ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? 23 32 ? ?? 2 ? ? 2 3 ?
Tn ?

1 ?? 1 1 ? 1 ? 1 1 5 ? 1 ?? ? ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? n ? 1 n ? ? 8 32 ? n ? 8 32 32 ,

综上,对任意 n ? N ,均有
*

5 32 成立.…………………………………………14 分

【思路点拨】(Ⅰ)令 时,

4a1 ? 4 S1 ? a12 ? 2a1 , 即 可 得 到 首 项 , 再 由 当 当 n ? 2

2 2 4 S n ? an ? 2an , 4Sn?1 ? an ?1 ? 2an?1 ,化简整理,即可得到 an ? an ?1 ? 2 ,再由等差数列

通项公式,即可得到通项; ( Ⅱ ) 运















1 1 1 1 1 1 ? 1 1 ? ? 3? ? ? ? ? ? ? 3 2 2 an 8n 8n ? n 8n ? n ? 1? 8 ? n ? 1? n ? n ? 1? 16 ? ? n ? 1? n n ? n ? 1? ? .
再由裂项相消求和,即可得证.

【数学理卷·2015 届山东省日照市日照一中高三 12 月校际联合检测(201412) 】19.(本小 题满分 12 分)
33

已 知 数 列

?dn ?

满 足

dn ? n , 等 比 数 列
.

?an ?

为 递 增 数 列 , 且

2 a5 ? a10 ,2 ? an ? an?2 ? ? 5an?1, n ? N *

(I)求

an ;
cn ? 1 ? ? ?1? an
n

( II )令

,不等式

ck ? 2014? 1? k ? 100,k ? N* ?

的解集为 M ,求所有

dk ? ak ? k ? M ?

的和.

【知识点】数列递推式;等比数列的通项公式;数列的求和.D1 D3 D4

2101 + 5377 a =2 ; 3 【答案】 【解析】 (Ⅰ) n (Ⅱ)
n

解析: (Ⅰ)设 又因为

{an } 的首项为 a1 ,公比为 q ,所以 (a1q4 )2 ? a1q9 ,解得 a1 ? q …2 分

2(an ? an?2 ) ? 5an?1 ,所以 2(an ? an q2 ) ? 5an q
2 2

则 2(1 ? q ) ? 5q , 2q ? 5q ? 2 ? 0 ,解得 所以

q?

1 2 (舍)或 q ? 2

…………4 分

an ? 2 ? 2n?1 ? 2n

…………6 分

(Ⅱ)则

cn ? 1 ? (?1) n an ? 1 ? ( ?2) n , dn ? n cn ? 1 ? 2n ? 2014 ,即 2n ? ?2013 ,不成立 cn ? 1+2n ? 2014 ,即 2n ? 2013 ,
…………9 分

当 n 为偶数, 当 n 为奇数,

10 211 =2048 ,所以 n ? 2m ? 1,5 ? m ? 49 因为 2 =1024,



{dk } 组成首项为 11 ,公差为 2 的等差数列; {ak }(k ? M ) 组成首项为 211 ,公比为 4 的等 dk ? ak (k ? M ) 的和为

比数列则所有

45(11+99) 211 (1 ? 445 ) 2101 ? 2048 2101 ? 5377 ? ? 2475 ? ? 2 1? 4 3 3 …………12 分
【思路点拨】 (Ⅰ)设 利用

{an } 的首项为 a1 ,公比为 q ,可得 (a1q4 )2 ? a1q9 ,解得 a1 ? q .再

2 2( an ? an q ) ? 5a q 可 得 q ? 2 , 即 可 得 出 an .( II ) 由 ( I ) 可 得 : n ,

cn ? 1 ? (?1)n an ? 1 ? (?2)n .当 n 为偶数,不成立.当 n 为奇数, cn ? 1+2n ? 2014 ,可得

34

{a }(k ? M ) 组成首项为 211 , 2n ? 2013 , 得到 m 的取值范围. 可知 k 公比为 4 的等比数列. 求
出即可.

【数学理卷·2015 届安徽省屯溪一中高三第四次月考(201412) 】18. (本小题满分 12 分) 设公差不为 0 的等差数列 (1)求数列

?an ?的首项为1 ,且 a2 、 a5 、 a14 构成等比数列.

?an ?的通项公式;

b b1 b2 1 ? ??? n ? 1? n ?b ? a a2 an 2 , n ? N ? ,求 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . (2)若数列 n 满足 1
【知识点】等差数列与等比数列的综合;数列的求和.D4 D5 2n+3 【答案】 【解析】(1) an=2n-1; (2) Tn=3- . 2n 解析:(1)设等差数列{an}的公差为 d(d≠0) ,则 ∵a2,a5,a14 构成等比数列, ∴a2 5=a2a14, 即(1+4d)2=(1+d)(1+13d), 解得 d=0(舍去) ,或 d=2. ∴an=1+(n-1)× 2=2n-1.………………………………………4 分 b1 b2 bn 1 (2)由已知 + +…+ =1- ,n∈N*, a1 a2 an 2n b1 1 当 n=1 时, = ; a1 2 bn 1 1 1 当 n≥2 时, =1- -(1- )= . an 2n 2n-1 2n bn 1 ∴ = ,n∈N*. an 2n 由(Ⅰ) ,知 an=2n-1,n∈N*, 2n-1 ∴bn= ,n∈N*. 2n 2n-1 1 3 5 又 Tn= + + +…+ , 2 22 23 2n 2n-3 2n-1 1 1 3 Tn= + +…+ + . 2 22 23 2n 2n+1 两式相减,得 2n-1 3 2n-1 1 1 2 2 2 1 Tn= +( + +…+ )- = - - , 2 2 22 23 2n 2n+1 2 2n-1 2n+1 2n+3 ∴Tn=3- .……………………………………………………………12 分 2n 【思路点拨】(1) 设等差数列{an}的公差为 d(d≠0) ,由 a2,a5,a14 构成等比数列得关于 d

35

bn 1 的方程,解出 d 后利用等差数列的通项公式可得 an; (2) 由条件可知,n≥2 时, =1- an 2n 1 1 -(1- )= ,再由(Ⅰ)可求得 bn,注意验证 n=1 的情形,利用错位相减法可求得 2n 2n-1 Tn.

【数学理卷·2015 届四川省德阳市高三第一次诊断考试(201412)word 版】16.已知向量

2n?1 , ?an?1 ) n ? N * , m ? n 且 a1 ? 1 m ? ( an , 2n ) ,n ?(
(1)求数列

{an } 的通项公式;

1 {b } b log2 an ? 1 ,求数列{ bnbn ?1 }的前 n 项和 Sn (2)若数列 n 满足 n =
【知识点】数列求和 D4

【答案】 (1)

an ? 2

n ?1

n (2) n ? 1

【解析】 (1) m ? (

an , 2n ) 2n?1 , ?an?1 ) n ? N * , m ? n ,n ?(

?2n?1 an ? 2n an?1 ,若 an ? 0 ? an?1 ? 0 与 a1 ? 1 矛盾,
an ?1 ?2 a a n 所以 即数列{ n }是首项为 1,公比为 2 的等比数列
所以

an ? 2n?1

1 1 1 1 ? ? bn ? log2 an ? 1 =n, ? bnbn ?1 = n(n ? 1) n n ? 1 (2)

?

Sn ? 1 ?

1 1 1 1 1 1 n ? ? ? ..... ? ? 2 2 3 n n ? 1 =1- n ? 1 = n ? 1

【思路点拨】根据等比数列求出通项公式,利用裂项求和求出结果。

【数学文卷·2015 届辽宁省沈阳二中高三 12 月月考(201412) (1)】14.在数列

?an ? 中,

a1 ? 1, an ? 2 ? (?1) n an ? 1.
【知识点】数列求和 D4 【答案】 【解析】1300



s n 是数列 {an } 的前 n 项和,则 s100 ?

解析:当 n 为奇数时,有

an?2 ? an ? 1 ,当 n 为偶数时有 an?2 ? an ? 1 ,所以该数列奇数项
36

城 等 差 数 列 , 偶 数 项 为 摆 动 数 列 , 所 以 前 100 项 中 偶 数 项 和 为 25 , 奇 数 项 和 为

5 0?

5 0? 4 9 ?1? 1275 S ? 25 ? 1275 ? 1300 . 2 ,则 100

【思路点拨】 可通过观察当 n 取奇数与 n 取偶数时递推公式特征, 发现数列特征达到求和目 标.

【数学文卷·2015 届浙江省杭州二中高三第二次月考(201412) 】(20)(本小题满分 15 分) 已知数列

?an ? 的首项为 a(a ? 0) , S 且有 Sn?1 ? tSn ? a(t ? 0) ,bn ? Sn ? 1 . 前 n 项和为 n , ?an ? 的通项公式;
k( 1 1 1 ? ??? ) ? bn b1b2 b2 b3 bn bn?1 ,求 k

(Ⅰ)求数列

* (Ⅱ)当 t ? 1 , a ? 2 时,若对任意 n ? N ,都有

的取值范围;

c ? 2 ? b1 ? b2 ? ... ? bn ,求能够使数列 ?cn ? 为等比数列的所有数对 (Ⅲ)当 t ? 1 时,若 n
( a, t ) .
【知识点】等比数列的性质 【答案】 (Ⅰ) 数列求的和 D3 D4

an ? at n?1 ; (Ⅱ) k ? 45 ; (Ⅲ) (1, 2) .

【解析】 (1)当 n ? 1 时,由 S2 ? tS1 ? a 解得 a2 ? at 当 n ? 2 时, Sn ? tSn ?1 ? a ,

?(Sn?1 ? Sn ) ? t (Sn ? Sn?1 ) ,即 an ?1 ? tan

又 a1 ? a ? 0 ,综上有

an ?1 ? t (n ? N *) an

,即 {an } 是首项为 a ,公比为 t 的等比数列

? an ? at n ?1

a ? 2, Sn ? 2n , 即 bn ? 2n ? 1 , ( Ⅱ ) 因 为 t ?1 , a ? 2 , 所 以 可 得 n

1 1? 1 1 ? ? ? ? ? bnbn?1 2 ? 2n ? 1 2n ? 3 ?
1 ? ? b1b b b ? 1? ? ? ? ? ? 2? ?
2







bnb2 n?

? 1 n ?? n 3? ? ? n ?3 ?

1 5 5
1

1

37

k(
因为

1 1 1 3(4n 2 ? 8n ? 3) ? ??? ) ? bn k? b1b2 b2 b3 bn bn?1 n ,所以整理可得 ,

所以 k ? 45 .

(Ⅲ) t ? 1 ,

? bn ? 1 ?

a ? at n 1? t

? cn ? 2 ? (1 ?

a a a at (1 ? t n ) )n ? (t ? t 2 ? ... ? t n ) ? 2 ? (1 ? )n ? t ?1 1? t t ?1 (1 ? t ) 2

?2?

at a at n ?1 ? (1 ? ) n ? (1 ? t ) 2 t ?1 (1 ? t ) 2

由题设知

?cn ? 为等比数列,所以有

at ? 2? ?0 ? ? (1 ? t ) 2 ? ?a ? 1 ?1 ? t ? a ? 0 ? ? t ? 2 ,即满足条件的数对是 (1, 2) . ? 1? t ,解得 ?
(或通过

?cn ? 的前 3 项成等比数列先求出数对 (a, t ) ,再进行证明)
an?1 ? ant, 由此说明数列是等比数列,由等 bn ? 2n ? 1 , 求 得

【思路点拨】 (1)由数列递推式求得首项,得到

比 数 列 的 通 项 公 式 得 答 案 ;( Ⅱ ) 根 据 题 意 可 得

1 1 ? ? b1b2 b2b3
k?
只需

?

1 n ? bnbn?1 3 ? 2n ? 3?

k(
,所以要使

1 1 1 ? ??? ) ? bn b1b2 b2 b3 bn bn?1 成立,

3(4n 2 ? 8n ? 3) a ? at n bn ? 1 ? 1? t , 代 入 可 得 n 即可求得; (Ⅲ)由题意得

Cn ? 2 ?

at

?1 ? t ?

2

a ? at n ?1 ? ? ?1 ? ?n? 2 ? t ?1 ? ?1 ? t ?

at ? 2? ?0 ? ? (1 ? t ) 2 ? ?1 ? t ? a ? 0 ? ,若为等比数列需满足 ? 1 ? t .

【数学文卷·2015 届安徽省屯溪一中高三第四次月考(201412) 】19、 (本小题满分 12 分) 设数列

?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 a1 =2, an?1 ? 2Sn ? 2 . ?an ? 的通项公式;
38

(1)求数列

(2) 若数列

?bn ?

的各项均为正数, 且

?bn ?

n n b T a a 是 n 与 n ? 2 的等比中项, 求 n 的前 n 项和为 n ;

【知识点】数列的求和.D4

3 2n ? 3 Tn ? ? n ?1 a ? 2 ? 3 8 8 ? 3n 【答案】 【解析】(1) n ;(2)
解析: (1)当 n≥2 时,由

an?1 ? 2Sn ? 2 ,得 an ? 2Sn?1 ? 2 ,

an ?1 ? 3(n ? 2) a ? an ? 2(Sn ? Sn?1 ) ? 2an ,故 an 两式相减得 n?1 , …………2 分

a2 ?3 a ? 2 S ? 2 ? 2 a ? 2 ? 6 a n ? 1 2 1 1 1 当 时, ,此时 ,
故当 n ? 1时, ∴

a n ?1 ?3 an

,则数列

?an ?是首项为 2,公比为 3 的等比数列,
(没有检验当 n ? 1 时扣 1 分)

an ? 2 ? 3n?1 .

………………6 分

bn ?
(2)

n n n n n ? ? ? ? n ?1 n ?1 an an ? 2 2?3 2?3 2 ? 3n

.

………………8 分

1 1 2 n Tn ? ( ? 2 ? ... ? n ) 2 3 3 3 . 所以
2Tn ? 1 2 3 n 2 1 2 3 n ? 2 ? 3 ? ... ? n Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? ... ? n ?1 3 3 3 3 . ①,则 3 3 3 3 3 . ②



则①-②得:

1 1 [1 ? ( ) n ] 4 1 1 1 1 n 3 ? n ? 1 ? 2n ? 3 Tn ? ? 2 ? 3 ? ... ? n ? n?1 ? 3 1 3 3 3 3 3 3 3n ?1 2 2 ? 3n?1 1? 3 .

3 2n ? 3 Tn ? ? 8 8 ? 3n 所以

………………13 分

【思路点拨】 (1) 由数列递推式得到另一递推式, 作差后得到

a n ?1 ?3 an

a2 ?3 a 1 , 再求出 a2 后由

综合得到数列

?an ?是等比数列,由此得到等比数列的通项公式;(2)



?bn ?

n n a a 是 n 与 n?2 的

等比中项,求得

?bn ? 的通项公式,然后利用错位相减法求得 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .
39

【数学文卷·2015 届四川省德阳市高三第一次诊断考试(201412)word 版】16.已知向量

2n?1 , ?an?1 ) n ? N * , m ? n 且 a1 ? 1 m ? ( an , 2n ) ,n ?(
(1)求数列

{an } 的通项公式;

1 {b } b log2 an ? 1 ,求数列{ bnbn ?1 }的前 n 项和 Sn (2)若数列 n 满足 n =
【知识点】数列求和 D4

n n ?1 a ? 2 【答案】 (1) n (2) n ? 1
【解析】 (1) m ? (

an , 2n ) 2n?1 , ?an?1 ) n ? N * , m ? n ,n ?(

?2n?1 an ? 2n an?1 ,若 an ? 0 ? an?1 ? 0 与 a1 ? 1 矛盾,
an ?1 ?2 a a 所以 n 即数列{ n }是首项为 1,公比为 2 的等比数列
所以

an ? 2n?1

1 1 1 1 ? ? bn ? log2 an ? 1 =n, ? bnbn ?1 = n(n ? 1) n n ? 1 (2)

?

Sn ? 1 ?

1 1 1 1 1 1 n ? ? ? ..... ? ? 2 2 3 n n ? 1 =1- n ? 1 = n ? 1

【思路点拨】根据等比数列求出通项公式,利用裂项求和求出结果。

D5 单元综合 【数学理卷·2015 届河北省衡水中学高三上学期五调考试(201412)word 版】16.已知等 差数列 = 的 通 项 公 式 为 an=3n-2 , 等 比 数 列 {bn} 中 , b1=a1,b4=a3+1. 记 集 合 A ,B= ,U—AUB,把集合 U 中的元素按从小到大

依 次排列,构成数列{c。),则数列{cn)的前 50 项和 S5o= ▲ . 【知识点】单元综合 D5 【答案】3321 【解析】根据数列{an}和数列{bn}的增长速度,数列{cn}的前 50 项至多在数列{an}中选 50 项,数列{an}的前 50 项所构成的集合为{1,4,7,10,…,148},
40

由 2n-1<148 得,n≤8,数列{bn}的前 8 项构成的集合为{1,2,4,8,16,32,64,128}, 其中 1,4,16,64 是等差数列{an}中的项,2,8,32,128 不是等差数列中的项,a46=136 >128,故数列{cn}的前 50 项应包含数列{an}的前 46 项和数列{bn}中的 2,8,32,128 这 4

46( a1 ? a46 ) 2 项.所以 S50= +2+8+32+128=3321
【思路点拨】根据数列{an}和数列{bn}的增长速度,判断数列{cn}的前 50 项中包含{an}、 {bn}的项的情况,再根据等差数列求和公式即可得到结果 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

【数学理卷·2015 届安徽省屯溪一中高三第四次月考(201412) 】20. (本小题满分 13 分) 现有六名篮球运动员进行传球训练, 由甲开始传球 (第一次传球是由甲传向其他五名运动员 中的一位) ,若第 n 次传球后,球传回到甲的不同传球方式的种数记为 (1) 求出 a1 、 a2 的值,并写出

an .

an 与 a n ?1 (n ≥ 2) 的关系式;

? an 1 ? ? n ? ? 6 ? 是等比数列,并求出数列 ?an ? 的通项公式; (2) 证明数列 ? 5
1 1 1 3 ? ??? ? a a3 a n 10 . (3) 当 n ≥ 2 时,证明: 2
【知识点】数列与不等式的综合.D5 E9

a ?5 【答案】 【解析】(1) a1 ? 0 , a 2 ? 5 , n
解析: (1) a1 ? 0 , a 2 ? 5 , 第 n ? 1 次传球后,不同传球方式种数为 5 ∴当 n ≥ 2 时,
n ?1

n?1

? an?1

5 n ? 5(?1) n an ? 6 ;(2) (3) 见解析.

,不在甲手中的种数为

5n?1 ? an?1 ,

an ? 5n?1 ? an?1

……5 分

an 1 1 a n ?1 1 ? ?? ( n ? ) n ?1 n a a 6 5 5 ?1 6 , (2)由 n =- n ?1 + 5 得, 5

? an 1 ? a1 1 1 1 1 ? n ? ? ? ?? ? ? 6 ? 是以 6 为首项, 5 为公比的等比数列. 6 ,则数列 ? 5 又 5 6
an 1 1 1 n ?1 5 n ? 5(?1) n ? ? ? ? ( ? ) a ? n n 6 6 5 6 从而 5 ,故 .
(3).当 n (n ≥ 3) 为奇数时, 则 n ? 1 为偶数

…………9 分

41

1 1 6 6 5 n ?1 ? 5 n ? ? n?1 ? n ? 6 ? n ?1 n an?1 an 5 ? 5 5 ? 5 5 ? 5 ? 5 ? 5 n ? 5 ? 5 n ?1 ? 25

? 6?

5 n ?1 ? 5 n 5 n?1 ? 5 n 1 1 ? 6( n ?1 ? n ) n ?1 n n ?1 n n 5 5 5 ? 5 ? 4 ? 5 ? 25 ? 6 ? 5 ? 5

1 1 1 1 1 1 1 ? ?? ? ( ? ) ??? ( ? ) a 2 a3 an a 2 a3 a n ?1 a n

1 1 [1 ? ( ) n ?1 ] 5 ? 6 25 1 1 1 1 1 1? 6[( 2 ? 3 ) ? ? ? ( n ?1 ? n )] 5 5 5 5 5 <
? 3 ? 1 ? 3 1 ? ( ) n?1 ? ? ? 10 ? 5 ? 10

当 n (n ≥ 2) 为偶数时, 则 n ? 1 为奇数,从而

1 1 1 1 1 1 1 ? ?? ? ( ? )? ? ( ? )? 3 a 2 a3 an a 2 a3 a n a n?1 10

1 1 1 3 ? ?? ? a a3 a n 10 . 综上,当 n ≥ 2 时, 2
【思路点拨】 ( 1 )第 n ? 1 次传球后,不同传球方式种数为 5
n ?1

………… 13 分 ,不在甲手中的种数为

5n?1 ? an?1 ,由此能求出 a1 ? 0 , a2 ? 5 ,即可写出 an 与 a n ?1 (n ≥ 2) 的关系式.

? an 1 ? an 1 1 a n ?1 1 1 ? n ? ? ? ? ? ( ? ) ? n ?1 n n ?1 a a 6 5 ? 是以 6 6 5 5 6 , 5 (2) 由 n =- n ?1 + 5 得, 由此能证明数列 ?
5 n ? 5(?1) n 1 an ? 6 为首项, 5 为公比的等比数列.,从而能求出 .
?

1 1 3 轾 1 n- 1 3 + = 犏 1- ( ) < a an 10 犏 10 ; 臌 5 (3) 当 n (n ≥ 3) 为奇数时, 则 n ? 1 为偶数, n - 1 当 n (n ≥ 2)
1 1 1 1 1 1 1 ? ?? ? ( ? )? ? ( ? )? 3 a a a a a a a 10 ,由 3 n 2 3 n n ?1 为偶数时, 则 n ? 1 为奇数,从而 2

1 1 1 3 ? ?? ? a a3 a n 10 . 此能证明当 n ≥ 2 时, 2

42

【数学理卷·2015 届安徽省屯溪一中高三第四次月考(201412) 】18. (本小题满分 12 分) 设公差不为 0 的等差数列 (1)求数列

?an ?的首项为1 ,且 a2 、 a5 、 a14 构成等比数列.

?an ?的通项公式;

b b1 b2 1 ? ??? n ? 1? n ?b ? a a2 an 2 , n ? N ? ,求 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . (2)若数列 n 满足 1
【知识点】等差数列与等比数列的综合;数列的求和.D4 D5 2n+3 【答案】 【解析】(1) an=2n-1; (2) Tn=3- . 2n 解析:(1)设等差数列{an}的公差为 d(d≠0) ,则 ∵a2,a5,a14 构成等比数列, ∴a2 5=a2a14, 即(1+4d)2=(1+d)(1+13d), 解得 d=0(舍去) ,或 d=2. ∴an=1+(n-1)× 2=2n-1.………………………………………4 分 b1 b2 bn 1 (2)由已知 + +…+ =1- ,n∈N*, a1 a2 an 2n b1 1 当 n=1 时, = ; a1 2 bn 1 1 1 当 n≥2 时, =1- -(1- )= . an 2n 2n 2n-1 bn 1 ∴ = ,n∈N*. an 2n 由(Ⅰ) ,知 an=2n-1,n∈N*, 2n-1 ∴bn= ,n∈N*. 2n 2n-1 1 3 5 又 Tn= + + +…+ , 2 22 23 2n 2n-3 2n-1 1 1 3 Tn= + +…+ + . 2 22 23 2n 2n+1 两式相减,得 2n-1 3 2n-1 1 1 2 2 2 1 Tn= +( + +…+ )- = - - , 2 2 22 23 2n 2n+1 2 2n-1 2n+1 2n+3 ∴Tn=3- .……………………………………………………………12 分 2n 【思路点拨】(1) 设等差数列{an}的公差为 d(d≠0) ,由 a2,a5,a14 构成等比数列得关于 d bn 1 的方程,解出 d 后利用等差数列的通项公式可得 an; (2) 由条件可知,n≥2 时, =1- an 2n 1 1 -(1- )= ,再由(Ⅰ)可求得 bn,注意验证 n=1 的情形,利用错位相减法可求得 2n 2n-1

43

Tn.

【数学理卷· 2015 届安徽省屯溪一中高三第四次月考( 201412) 】13.在数列

?an ? 中,若

1 ? a1 ? a2 ? ? ? a7 ,且 a1 、 a3 、 a5 、 a7 成公比为 q 的等比数列, a2 、 a4 、 a6 成公差
为 1 的等差数列,则 q 的最小值是 【知识点】等差数列与等比数列的综合.D5
3 【答案】 【解析】 3



解析:∵

1 ? a1 ? a2 ? ? ? a7 ; a2 、 a4 、 a6 成公差为 1 的等差

数列,∴a6=a2+2≥3,∴a6 的最小值为 3,∴a7 的最小值也为 3, 此时 a1=1,且 a1 、

a3 、 a5 、 a7 成公比为 q 的等比数列,必有 q>0,

3 3 ∴a7=a1q3≥3,∴q3≥3,q≥ 3 ,故答案为 3 。

【思路点拨】利用等差数列的通项公式将 a6 用 a2 表示,求出 a6 的最小值进一步求出 a7 的 最小值,利用等比数列的通项求出公比的范围.

【数学理卷·2015 届四川省德阳市高三第一次诊断考试(201412)word 版】20.已知数列 {

an }满足 a1 ? 4 , an?1 ? an ? p ? 3n ? 1, n ? N * ,p 为常数 a1 , a2 ? 6, a3 成等差数列。
的通项公式;

(1)求 P 的值及数列

n2 b b a ? n ,求数列{ bn }的最大项。 (2)设数列{ n }满足 n = n
【知识点】单元综合 D5

4 【答案】 (Ⅰ)an=3n+n. (Ⅱ) 9
【解析】 (Ⅰ)解:因为 a1=4,an+1=an+p?3n+1, 所以 a2=a1+p?31+1=3p+5;a3=a2+p?32+1=12p+6. 因为 a1,a2+6,a3 成等差数列,所以 2(a2+6)=a1+a3, 即 6p+10+12=4+12p+6,所以 p=2. 依题意,an+1=an+2?3n+1, 所以当 n≥2 时,a2-a1=2?31+1,a3-a2=2?32+1, …an-1-an-2=2?3n-2+1,an-an-1=2?3n-1+1. 相加得 an-a1=2(3n-1+3n-2+…+32+3)+n-1,

3(1 ? 3n ?1 ) 所以 an-a1=2 1 ? 3 +(n-1),所以 an=3n+n.
当 n=1 时,a1=31+1=4 成立,所以 an=3n+n.
44

n2 n2 n n (Ⅱ)证明:因为 an=3n+n,所以 bn= (3 ? n) ? n = 3 .
(n ? 1)2 n 2 ?2n 2 ? 2n ? 1 n ?1 n 3n ?1 因为 bn+1-bn= 3 -3 = , (n∈N*) .
1? 3 若-2n2+2n+1<0,则 n> 2 ,即 n≥2 时,bn+1<bn.
1 4 4 又因为 b1= 3 ,b2= 9 ,所以 bn≤ 9 .
【思路点拨】 (Ⅰ)根据 a1=4,an+1=an+p?3n+1,可得数列的前 3 项,利用 a1,a2+6,a3 成等差数列,确定 p 的值,再利用叠加法,可求数列{an}的通项公式;

n2 n2 1 4 n n (Ⅱ)确定以 bn= (3 ? n) ? n = 3 ,进而可知 n≥2 时 bn+1<bn,结合 b1= 3 ,b2= 9 ,可
证结论.

【数学文卷·2015 届河北省衡水中学高三上学期五调考试(201412)word 版】15.在数列

{

}中,已知 = ▲ .

,记 s。为数列{an}的前 n

项和,则

【知识点】单元综合 D5 【答案】1008

( n ? 1)? ( n ? 1)? 2 2 【解析】由 an+1-an=sin ,所以 an+1=an+sin , 3? 5? ∴a2=a1+sinπ=1,a3=a2+sin 2 =1-1=0,a4=a3+sin2π=0,a5=a4+sin 2 =0+1=1,∴a5=a1=1
可以判断:an+4=an 数列{an}是一个以 4 为周期的数列,2014=4× 503+2 因为 S2014=503× (a1+a2+a3+a4)+a1+a2=503× (1+1+0+0)+1+1=1008.

( n ? 1)? ( n ? 1)? 2 2 【思路点拨】由 an+1-an=sin ,得 an+1=an+sin ,运用列举的方法,确定出
周期,再求解数列的和即可得到答案.

【数学文卷·2015 届山东省日照市日照一中高三 12 月校际联合检测(201412) 】19.(本小 题满分 12 分)
45

设公比大于零的等比数列 为

?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 a1 ? 1, S4 ? 5S2 ,数列 ?bn ? 的前 n 项和

Tn ,满足 b1 ? 1, Tn ? n2bn , n ? N * .

(I)求数列 (II)设

?an ? 、 ?bn ? 的通项公式;
,若数列

cn ? ? Sn ?1?? nbn ? ? ?

?cn ? 是单调递减数列,求实数 ? 的取值范围.

【知识点】等差数列与等比数列的综合.D5

【答案】 【解析】 (Ⅰ)

an ? 2

n ?1

bn ?


2 1 ?? n(n ? 1) (Ⅱ) 3

解析: (Ⅰ)当 q ? 1 时,经验证不符合题意;

1 ? q 4 5(1 ? q 2 ) ? S ? 5 S q ? 0 q ? 1 1 ? q 1 ? q ,解得 q ? 2 , 4 2 当 且 时,由 ,


a1 ? 1 , 所以 an ? 2n ?1 .

…………………3 分

2 ? ?Tn ? n bn , ? 2 ?Tn ?1 ? (n ? 1) bn ?1 (n ? 2), 又?

bn n ?1 ? b n ? 1 ( n ? 2) , 两式相减得 n ?1 b2 n ?1 n ? 2 n ? 3 ? b1 ? ? ? ? b1 n ?1 n n ?1 2 1 2 ? ? ?1 ? 4 3 n(n ? 1) ,

bn ?
所以

bn bn ?1 bn ? 2 ? ? ? bn ?1 bn ? 2 bn ?3

?

当 n ? 1 时,

b1 ? 1 也满足上式,所以
Sn ?

bn ?

2 n(n ? 1) .

…………6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 调递减数列,

1? (1 ? 2n ) 2 ? 2n ? 1 cn ? 2n ( ? ?) ?c ? 1? 2 n ?1 ,所以 ,要使数列 n 是单



cn ?1 ? cn ? 2n (

4 2 ? ? ?) ? 0 ? n ? 2 n ?1 对 n ? N 恒成立,

??


4 2 4 2 ? ? ?( ? ) max n ? 2 n ? 1 恒成立,所以 n ? 2 n ?1 ,

……10 分

4 2 2n 2 ? ? ? n ? 2 n ? 1 (n ? 1)(n ? 2) n ? 2 ? 3 n 因为 ,
4 2 1 1 ? ) max ? , ?? 3 所以 3. 所以当 n ? 1 或 2 时, n ? 2 n ? 1 (

……………12 分
46

【思路点拨】 (Ⅰ)利用

a1 ? 1, S4 ? 5S2 ,求出数列的公比,即可求数列 ?an ? 的通项公式;

通过

bn n ?1 ? b n ? 1 ,利用累积法求解{bn}的通项公式. ,推出 n ?1 (Ⅱ)求出等比数列

的前 n 项和,化简

cn ? ? Sn ?1?? nbn ? ? ?

,推出 Cn+1﹣Cn,利于基本不等式求出数列

?cn ?

是单调递减数列,求实数 λ 的取值范围.

【 数 学 文 卷 · 2015 届 安 徽 省 屯 溪 一 中 高 三 第 四 次 月 考 ( 201412 ) 】8、已知函数

?2x ? 1, x ( ? 0), f ( x) ? ? ? f ( x ? 1) ? 1,( x ? 0), 把方程 f ( x) ? x ? 0 的根按从小到大的顺序 排成一个数列,
则该数列的前 n 项和为( )

A.

Sn ? 2 ?1(n ? N? )
n

B.

Sn ?

n(n ? 1) (n ? N ? ) 2

C.

Sn ? n ?1(n ? N? )

D.

Sn ? 2n?1 (n ? N? )

【知识点】数列与函数的综合.B14 D5 【答案】 【解析】B 解析:当 0<x≤1 时,有﹣1<x﹣1<0,则 f(x)=f(x﹣1)+1=2x ﹣1, 当 1<x≤2 时,有 0<x﹣1≤1,则 f(x)=f(x﹣1)+1=2x﹣2+1, 当 2<x≤3 时,有 1<x﹣1≤2,则 f(x)=f(x﹣1)+1=2x﹣3+2, 当 3<x≤4 时,有 2<x﹣1≤3,则 f(x)=f(x﹣1)+1=2x﹣4+3, 以此类推,当 n<x≤n+1(其中 n∈N)时,则 f(x)=f(x﹣1)+1=2x﹣n﹣1+n, 所以,函数 f(x)=2x 的图象与直线 y=x+1 的交点为: (0,1)和(1,2) , 由于指数函数 f(x)=2x 为增函数且图象下凸,故它们只有这两个交点. 然后①将函数 f(x)=2x 和 y=x+1 的图象同时向下平移一个单位,即得到函数 f(x)=2x﹣ 1 和 y=x 的图象, 取 x≤0 的部分,可见它们有且仅有一个交点(0,0) . 即当 x≤0 时,方程 f(x)﹣x=0 有且仅有一个根 x=0. ②取①中函数 f(x)=2x﹣1 和 y=x 图象﹣1<x≤0 的部分,再同时向上和向右各平移一个单 位, 即得 f(x)=2x﹣1 和 y=x 在 0<x≤1 上的图象,此时它们仍然只有一个交点(1,1) . 即当 0<x≤1 时,方程 f(x)﹣x=0 有且仅有一个根 x=1. ③取②中函数 f(x)=2x﹣1 和 y=x 在 0<x≤1 上的图象,继续按照上述步骤进行, 即得到 f(x)=2x﹣2+1 和 y=x 在 1<x≤2 上的图象,此时它们仍然只有一个交点(2,2) . 即当 1<x≤2 时,方程 f(x)﹣x=0 有且仅有一个根 x=2. ④以此类推,函数 y=f(x)与 y=x 在(2,3], (3,4],…, (n,n+1]上的交点依次为(3, 3) , (4,4) ,…(n+1,n+1) . 即方程 f(x)﹣x=0 在(2,3], (3,4],…(n,n+1]上的根依次为 3,4,…,n+1. 综上所述方程 f(x)﹣x=0 的根按从小到大的顺序排列所得数列为:
47

0,1,2,3,4,…,

∴该数列的前 n 项和

Sn ?

n(n ? 1) (n ? N ? ) 2 .

故选 B. 【思路点拨】函数 y=f(x)与 y=x 在(0,1], (1,2], (2,3], (3,4],…, (n,n+1]上的 交点依次为(0,0) , (1,1) , (2,2) , (3,3) , (4,4) ,…, (n+1,n+1) .即方程 f(x) ﹣x=0 在(2,3], (3,4],…, (n,n+1]上的根依次为 3,4,…n+1.方程 f(x)﹣x=0 的 根按从小到大的顺序排列所得数列为 0,1,2,3,4,…,可得数列的前 n 项和.

【数学文卷·2015 届四川省德阳市高三第一次诊断考试(201412)word 版】20.已知数列 {

an }满足 a1 ? 4 , an?1 ? an ? p ? 3n ? 1, n ? N * ,p 为常数 a1 , a2 ? 6, a3 成等差数列。
的通项公式;

(1)求 P 的值及数列

n2 b b a ? n ,求数列{ bn }的最大项。 (2)设数列{ n }满足 n = n
【知识点】单元综合 D5

4 【答案】 (Ⅰ)an=3n+n. (Ⅱ) 9
【解析】 (Ⅰ)解:因为 a1=4,an+1=an+p?3n+1, 所以 a2=a1+p?31+1=3p+5;a3=a2+p?32+1=12p+6. 因为 a1,a2+6,a3 成等差数列,所以 2(a2+6)=a1+a3, 即 6p+10+12=4+12p+6,所以 p=2. 依题意,an+1=an+2?3n+1, 所以当 n≥2 时,a2-a1=2?31+1,a3-a2=2?32+1, …an-1-an-2=2?3n-2+1,an-an-1=2?3n-1+1. 相加得 an-a1=2(3n-1+3n-2+…+32+3)+n-1,

3(1 ? 3n ?1 ) 所以 an-a1=2 1 ? 3 +(n-1),所以 an=3n+n.
当 n=1 时,a1=31+1=4 成立,所以 an=3n+n.

n2 n2 n n (Ⅱ)证明:因为 an=3n+n,所以 bn= (3 ? n) ? n = 3 .
(n ? 1)2 n 2 ?2n 2 ? 2n ? 1 n ?1 n 3n ?1 因为 bn+1-bn= 3 -3 = , (n∈N*) .
1? 3 若-2n2+2n+1<0,则 n> 2 ,即 n≥2 时,bn+1<bn.

48

1 4 4 又因为 b1= 3 ,b2= 9 ,所以 bn≤ 9 .
【思路点拨】 (Ⅰ)根据 a1=4,an+1=an+p?3n+1,可得数列的前 3 项,利用 a1,a2+6,a3 成等差数列,确定 p 的值,再利用叠加法,可求数列{an}的通项公式;

n2 n2 1 4 n n (Ⅱ)确定以 bn= (3 ? n) ? n = 3 ,进而可知 n≥2 时 bn+1<bn,结合 b1= 3 ,b2= 9 ,可
证结论.

【数学卷·2015 届江苏省南通中学高三上学期期中考试(201411) 】20. (本题满分 16 分) 在数列

{an } 中, a1 ? 1 ,且对任意的 k ? N * , a2 k ?1 , a2 k , a2 k ?1 成等比数列,其公比为 qk .
* a a a qk =2( k ? N * ), a ? a3 ? a5 ? ... ? a2 k ?1 ; 求 1 (2) 若对任意的 k ? N , 2 k , 2 k ?1 , 2 k ? 2

(1) 若

成等差数列,其公差为 ① 求证: ②若

d k ,设

bk ?

1 qk ? 1 .

{bk } 成等差数列,并指出其公差;

d1 =2,试求数列 {d k } 的前 k 项的和 Dk .

【知识点】单元综合 D5

【答案】 (1)

a1 ? a3 ? a5 ?

1 ? 4n 1 n k (k ? 3) ? a2 k ?1 ? ? (4 ? 1) Dk ? D ? 2k 2 . 1? 4 3 2 (2) , 或 k

a2 k ?1 ?4 q ? 2 a ,a ,a , a k 2 k ? 1 【解析】 (1)因为 ,所以 ,故 1 3 5

, a2 k ?1 是首项 a1 ? 1 ,公比为 4

的等比数列,所以 (2)因为

a1 ? a3 ? a5 ?

? a2 k ?1 ?

1 ? 4n 1 n ? (4 ? 1) 1? 4 3 .

a2 k , a2 k ?1 , a2 k ? 2 成等差数列,所以 2 a2 k ?1 ? a2 k ? a2 k ? 2 ,

a2 k ?


a2 k ?1 1 , a2 k ? 2 ? a2 k ?1 ? qk ?1 ? qk ?1 ? 2 qk q k ,所以 , 1 qk ?1 ? 1 ? qk ? bk ? 1 b ? bk ? 1 qk ? 1 ,即 k ?1 ,

bk ?1 ?
所以 所以

{bk }

成等差数列,其公差为 1.

(3)因为

d1 ? 2

,所以

a3 ? a2 ? 2

,即

a2 2 ? a1a3 ? a2 ? 2


49

所以

a2 ? 2 或 a2 ? ?1 . a2 ? 2 时,
q1 ? a2 1 ?2 b1 ? ?1 b ? 1 ? (k ? 1) ?1 ? k , a1 q ? 1 k ,所以 ,所以 k

(ⅰ)当

a2 k ?1 1 k ?1 2 k ?1 ?k ? qk 2 ? ( ) qk ? q ? 1 a k k k 2 k ? 1 即 ,得 .所以 ,
a2 k ?1 ? ( k ?1 2 k 2 ) ?( ) ? k k ?1

a2 k ?1 2 ? k (k ? 1) ? ( ) 2 ? a1 ? ( k ? 1) 2 a2 k ? qk 1 , ,
k (2 ? k ? 1) k (k ? 3) ? 2 2 .

d ? a2 k ?1 ? a2 k ? k ? 1 , Dk ? 所以 k a2 ? ?1 时,
q1 ?

(ii)当

a2 1 1 1 3 ? ?1 b1 ? ?? bk ? ? ? (k ? 1) ? 1 ? k ? a1 q ? 1 2 2 2, k ,所以 ,

1 1 k? a 2 k ?1 2 2 )2 qk ? ? qk 2 ? ( 1 3 3 3 a ?k? 2 k ?1 k? k? q ? 1 2 2 .所以 2 , 即 k ,得 k? 1 3 k? 2 )2 ? ( 2 )2 ? a2 k ?1 ? ( 3 5 k? k? 2 2 k? 1 1? ? ( 2 ) 2 ? a1 ? (2k ? 1) 2 a 3 a2 k ? 2 k ?1 ? (2k ? 1)(2k ? 3) 1? qk 2 , ,
Dk ? k (2 ? 4k ? 2) ? 2k 2 2 .

所以

d k ? a2 k ?1 ? a2 k ? 4k ? 2 ,
Dk ?

综合得

k (k ? 3) D ? 2k 2 . 2 ,或 k

【思路点拨】利用等比数列求和公式求出,数列性质求出。

【数学卷·2015 届江苏省南通中学高三上学期期中考试(201411) 】14.已知数列

?an ? 满足


an ?1 ? qan ? 2q ? 2 a ,a ,a ,a a ? (q 为常数) , 若 3 4 5 6 ∈{﹣18, ﹣6, ﹣2, 6, 30}, 则 1
【知识点】单元综合 D5 【答案】-2,126,-3 【解析】由已知可得,an+1+2=q(an+2) ,n=1,2,…,

50

①当 an=-2 时,显然有 a3,a4,a5,a6∈{-18,-6,-2,6,30},此时 a1=-2.

q?
②当 an≠-2 时,则

an?1 ? 2 an ? 2 , (q 为常数) ,

又因为 a3,a4,a5,a6∈{-18,-6,-2,6,30}, 所以 a3+2,a4+2,a5+2,a6+2∈{-16,-4,0,8,32}, 因为 an≠-2,所以 an+2≠0, , 从而 a3+2=32,a4+2=-16,a5+2=8,a6+2=-4,或 a3+2=-4,a4+2=8,a5+2=-16,a6+2=32 故

1 有 q=-2 或 q=- 2
代入 an+1=qan+2q-2 得 a1=-3,或 a1=126. 【思路点拨】观察已知式子,移项变形为 an+1+2=q(an+2) ,从而得到 an+2 与 an+1+2 的关 系,分 an=-2 和 an≠-2 讨论,当 an≠-2 时构造等比数列{an+2},公比为 q.计算可得答案. 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文 字 说明、证明过程或演算步骤.

51


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