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广东省湛江市2008-2009学年高二上学期期末考试数学试题(文科)


湛江市 2008-2009 学年度第一学期期末调研考试
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高中数学选修 1 - 1 试卷

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说明:本卷满分 150 分.考试用时 120 分钟. 第一部分选择题(共 50 分)
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一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代号填入下面答题卡中.。。
学科网题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 得分

选项 1.下列语句是命题的一句是 A.x — 1 = 0 B.2+3=8 2.椭圆

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C.你会说英语吗

D.这是一棵大树

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x2 y2 ? ? 1的离心率为 25 16
B.

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A.

9 25

3 4

C.

4 5

D.

3 5

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3.函数 f (x) = (2 ? x)2 的导数是 A. f ?( x) ? 4?x B. f ?( x) ? 4? 2 x C. f ?( x) ? 8? 2 x D. f ?( x) ? 16?x

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4.若 lim

?x ?0

f ( x0 ? 3?x) ? f ( x0 ) ? 1 ,则 f ?( x0 ) ? ?x
B.

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A.1

1 3

C.3

D. ?

1 3

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5.双曲线

x2 y2 ? ? 1 右支点上的一点 P 到右焦点的距离为 2,则 P 点到左焦点的距离为 16 9

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A.6 B.8 C.10 D.12 6.“a≠1 或 b≠2”是“a+b≠3”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

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7. 已知 p : ?

? “-p” , “-q” , {0},q : {2} ? {1,2,3} 由他们构成的新命题 "? p", "?q", " p ? q" ?

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" p ? q" 中,真命题有

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A.1 个

B.2 个

C .3 个

D.4 个

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8.若函数 f ( x) ? x 3 ? 3bx ? 3b 在(0,1)内有极小值,则 A.0<b<1 B.b<1 C.b>0 D. b ?

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1 2

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9.动圆与定圆: A : ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 1 外切,且和直线 x=l 相切,则动圆圆心的轨迹是 A.直线 B.抛物线 C.椭圆 D.双曲线

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10.过抛物线 y ? ax2 (a ? 0) 的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、Q 两点,若线段 PF 与 FQ 的长分别为 p、q,则

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1 1 ? 等于 p q
1 2a
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A.2a

B.

C.4a

D.

4 a

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第二部分

非选择题(共 100 分)
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二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 11.曲线 y ? x 2 ? x 在点 A(2,6)处的切线斜率是___________。

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12.双曲线

y2 x2 ? ? 1 的渐近线方程是____________________。 3 4
2

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“?x ? R,x ? x ? 3 ? 0” 13.全称命题 的否定是____________________。

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x2 y2 ? ? 1 的焦点 F1 、F2,P 为椭圆上的一点,已知 PF1 ? PF2 ,则 ?F1 PF2 14.椭圆 25 9
的面积为_____________________。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题满分 12 分) 写出命题 若 x ? 2 ? ( y ? 1) 2 ? 0 ,则 x = 2 且 y= 一 1”的逆命题、否命题、逆 否命题,并判断它们的真假.

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16.(本小题满分 12 分)

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已知双曲线与椭圆可

14 x2 y2 ? ? 1 共焦点,它们的离心率之和为 ,求双曲线方程。 5 9 25

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17.(本小题满分 14 分) 是否存在实数 p,使 4x+P < 0 是 x ? x ? 2 ? 0 的充分条件?如果存在,求出 P
2

的取值范围;否则,说明理由.

18.(本小题满分 14 分) 己知函数 f ( x) ? ? x ? 3x ? 9 x ? a
3 2

(I) 求 f ( x) 的单调减区间; (Ⅱ) 若 f ( x) 在区间[一 2,2]上的最大值为 20,求它在该区间上的最小值.

19.(本小题满分 14 分) 如图,己知矩形 ABCD 的两个顶点 A、D 位于 x 轴上,另两个顶点 B、C 位于抛物 线 y ? 4 ? x 2 在 x 轴上方的曲线上,求这个矩形 ABCD 面积的最大值

20.(本小题满分 14 分)

己知双曲线 C:

x2 ? y 2 ? 1(a ? 0) 与直线 l:x + y = 1 相交于两个不同的点 A、B 2 a
5 PB ,求 a 的值。 12

(I) 求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围; (Ⅱ) 设直线 l 与 y 轴交点为 P,且 PA ?

湛江市 2008--2009 学年度第一学期期末调研考试 高中数学选修 1-1 答案
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1.B 2.D 3.C 4.B 5.C 6.D 7.B 8.A 9.B 10.C 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分,其中第 14 题第一空 3 分,第二空 2 分)

11.5; 三、解答题

12. y ? ?

3 x; 2

13. ? x0 ? R,x0 ? x0 ? 3 ? 0 ;

2

14.9.

15.解:逆命题:若 x=2 且 y=-1,则 x ? 2 ? ( y ? 1) 2 ? 0 ;真命题?????4 分 否命题:若 x ? 2 ? ( y ? 1) 2 ? 0 ,则 x≠2 或 y≠-1;真命题 逆否命题:若 x≠2 或 y≠-l,则 x ? 2 ? ( y ? 1) 2 ? 0 ;真命题 16.解:由于椭圆焦点为 F(O,±4),离心率为 e= ???.8 分 ???12 分

4 ???????????3 分 5

所以双曲线的焦点为 F(O,±4),离心率为 2,????????????6 分 从而 c=4,a=2,b= 2 3 . ???????????????10 分

所以所求双曲线方程为
2

y2 x2 ? ? 1 ?????????????????12 分 4 12

17.解:由 x ? x ? 2 ? 0 ,解得 x>2 或 x<-1,令 A= {x x ? 2或x ? ?1 },??3 分 由 4 x ? p ? 0 ,得 B= {x x ? ? } ,?????????????????6 分 当 B ? A 时,即 ? 此时 x ? ?

p 4

p ? ?1 ,即 p ? 4 ,???????????????10 分 4
???????????????12 分

p ? ?1 ? x 2 ? x ? 2 ? 0 , 4

2 ∴当 p ? 4 时, 4x ? p ? 0是x ? x ? 2 ? 0 的充分条件.??????????14 分

18.解:(I) f ( x) ? ?3x 2 ? 6 x ? 9 ??????????????????2 分 令 f ?( x) ? 0,解得x ? ?1或x ? 3 ???????????????5 分

∴函数 f ( x ) 的单调递减区间为(-∞,-1)、(3,+∞) ??????6 分 (Ⅱ)∵ f (?2) ? 8 ? 12 ? 18 ? a ? 2 ? a , f (2) ? ?8 ? 12 ? 18 ? a ? 22 ? a , ∴ f (2) ? f (?2) .????????????????????????8 分 由(I) 知 f ( x ) 在[-2,-1]上单调递减 ∵在(-1,3)上 f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x ) 在[-1,2]上单调递增,???10 分 因此 f (2)和f (?1) 分别是 f ( x ) 在区间[-2,2]上的最大值和最小值 于是有 22+a=20,解得 a =-2. ?????????????????12 分 故 f ( x) ? ? x 3 ? 3x 2 ? 9x ? 2 .因此 f (?1) ? 1 ? 3 ? 9 ? 2 ? ?7 ,????13 分 即函数 f ( x ) 在区间[-2,2]上的最小值为-7. ???????????14 分

19.解:设点 B( x, 4 ? x ) (O<x≤2)????????????????1 分
2

则 S=2 x(4 ? x ) ? 2x ? 8x ????????????????3 分
2 3

∴ S ? ? ?6 x ? 8, ∴ S ? ? ?6 x ? 8 ? 0时, x ?
2

2 3 ,????????6 分 3

0? x? ∴ S ? ? ?6 x ? 8 ? 0,
2

2 3 ????????????????9 分 3

∴ S ? ? ?6 x ? 8 ? 0,
2

2 3 2 3 3 ? x ? 2;所以x ? 是函数 S ? ?2 x ? 8 x 的最大 3 3

值点,

S max ? S (

2 3 32 3 )? ???????????????????13 分 3 9

所以当 x ?

32 3 2 3 时,矩形 ABCD 面积的最大值是 ??????14 分 3 9

x2 ? y 2 ? 1 有两个 20.解:(Ⅰ)由曲线 C 与直线相交于两个不同的点,知方程组 { a 2 x ? y ?1
不同的解,消去 Y 并整理得: (1 ? a 2 ) x 2 ? 2a 2 x ? 2a 2 ? 0 ①?????2 分

双曲线的离心率 e ?

1? a2 1 ? ? 1 ??????????????5 分 a a2
6 且e ? 2 ?????????????6 分 2

∵ 0 ? a ? 2且a ? 1 ∴e ? ,

即离心率 e 的取值范围为 (

6 .??????????7 分 ,2 ) ? ( 2, ? ?) 2

(Ⅱ)设 A(x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), P(0,1) ∵ PA ?

5 5 5 PB ,∴ ( x1 , y1 ? 1) ? ( x2 , y 2 ? 1) ,得 x1 ? x 2 ????9 分 12 12 12

由于 x1 , x 2 是方程①的两个根,∴ x1 ? x2 ? ?

2a 2 2a 2 , x x ? ? 1 2 1? a2 1? a2



17 2a 2 5 2 2a 2 x2 ? ? , x ? ? , 消去x2 , 2 12 1 ? a 2 12 1? a2

2a 2 289 ? 得? ,????????????????????????12 分 2 60 1? a
解得 a ?

17 。?????????????????????????14 分 13

若以上各题有其它解法,请评卷老师酌情给分。


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