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三角函数复习之辅助角公式经典讲义


三角函数复习之辅助角公式 一、两角和与差及二倍角强化训练
1、下列各式中,值为

1 的是 2
B、 cos 2

A、 sin15? cos 15?

?
12

? sin 2

?
12

C、

tan 22.5? 1 ? tan 2 22.5?

D、

1 ? cos 30? 2

2、已知 sin( ? ? ? )cos ? ? cos( ? ? ? )sin ? ? 3、已知 tan(? ? ? ) ?

2 ? 1 ? , tan( ? ? ) ? ,那么 tan(? ? ) 的值是_____ 5 4 4 4 ? ? 1 ? 2 4、已知 0 ? ? ? ? ? ? ? ,且 cos( ? ? ) ? ? , sin( ? ? ) ? 求 cos( ? ? ? ) 的值 2 2 9 2 3
5、求值 sin 50 (1 ? 3 tan10 )
? ?

3 ,那么 cos 2 ? 的值为____ 5

6、已知

sin ? cos ? 2 ? 1, tan(? ? ? ) ? ? ,求 tan(? ? 2? ) 的值 1 ? cos 2? 3

7、已知 A、B 为锐角,且满足 tan A tan B ? tan A ? tan B ?1 ,则 cos( A ? B) =_____ 8、设 ?ABC 中, tan A ? tan B ? 3 ? 3 tan Atan B , sin Acos A ? ____三角形 9、若 ? ? ( ? , ? ) ,化简

3 ,则此三角形是 4

3 2

1 1 1 1 ? ? cos 2? 为_____ 2 2 2 2

2 cos 4 x ? 2 cos 2 x ?
10、化简:

2 tan( ? x) sin 2 ( ? x) 4 4
11、已知 tan ? ? 2 ,求 sin ? ? sin ? cos ? ? 3cos ?
2 2

?

?

1 2

12、若 sin x ? cos x ? t ,则 sin x cos x ?

__

13、若 ? ? (0, ? ),sin ? ? cos ? ? 1 ,求 tan ? 的值。

2

14、若 ? , ? ? (0, ? ) , 且 tan ? 、tan ? 是方程 x ? 5 x ? 6 ? 0 的两根, 则求 ? ? ? 的值____
2

二、辅助角公式 1、回顾 两角和与差的正弦公式:
? ?

sin ?? ? ? ?

=___________

sin ?? ? ? ?

=___________
2 2 sin ? ? cos ? 化简 2 2

口答:利用公式展开 sin ? ? ? ? =_____________________反之,若要将 4
?

??

为只含正弦的三角比的形式,则可以是

2 2 sin ? ? cos ? =____________ 2 2

尝试:将以下各式化为只含有正弦的形式,即化为 A sin(? ? ? ) ? A ? 0 ? 的形式 (1)
3 1 sin ? ? cos ? 2 2

(2) sin ? ? 3 cos ?

2、辅助角公式及推导: 3、例题:例1、试将以下各式化为 A sin(? ? ? ) ? A ? 0 ? 的形式. (1)
3 1 sin ? ? cos ? (2) sin? ? cos? (3) 2 sin ? ? 6 cos ? (4) 3sin? ? 4 cos? 2 2

例 2、试将以下各式化为 A sin(? ? ? ) ( A ? 0, ? ? [?? , ? ) )的形式. (1) sin ? ? cos ? (2) cos? ? sin? (3) ? 3 sin ? ? cos ? 例 3、若 sin( x ? 50 ? ) ? cos( x ? 20 ?) ? 3 ,且 0? ? x ? 360? ,求角 x 的值。 例 4、若 3 sin( x ? 4、课堂练习
?? ?? ? ? (1)、 3 sin ? ? ? ? ? 3cos ? ? ? ? =________________(化为 A sin(? ? ? ) ? A ? 0 ? 的形式)
? 6? ? 6?

?
12

) ? cos( x ?

2 ? ) ? ,且 ? ? x ? 0 ,求 sin x ? cos x 的值。 2 12 3

?

(2) 、关于 x 的方程 2sin x ? 5 cos x ? 有解,求实数 k 的取值范围。 (3)、已知 sin x ? 3 cos x ? (4)、已知函数 f ( x) ?
4m ? 6 ,求实数 m 的取值范围。 4?m

1 k

3 1 5 ?? ? sin x ? cos x 。若 cos x ? ? , x ? ? , ? ? ,求 f ( x) 的值; 4 4 13 ?2 ?

(5)、已知函数 f ( x) ? 2 cos x sin( x ? x 的取值集合;

?
3

)?

3 。求函数 f ( x) 的最小正周期及取得最大值时 2

(6)、已知函数 f ( x) ? 2cos 2 x ? sin x ? 4cos x 。求 f ( ) 的值及 f ( x) 的最值。
2

?

3 2? x (7)、设 f ( x) ? cos( x ? ) ? 2cos 2 , x ? R 。求 f ( x) 的值域及 f ( x) 的对称中心。 3 2
(8)、已知 f ( x) ? cos(2 x ?

?

) ? 2sin( x ? )sin( x ? ) 在区间 ? ? ? , ? ? 上的值域 ? 3 4 4 ? 12 2 ? ?

?

?

三角函数基础测试题
一、 选择题:

1. 下列各式中,不正确 的是 ... (A)cos(―α ―π )=―cosα (C)tan(5π ―2α )=―tan2α

( (B)sin(α ―2π )=―sinα



(D)sin(kπ +α )=(―1)ksinα (k∈Z) ( )

2.若 secθ <0,且 tanθ >0, 则角θ 的终边在 (A)第一象限 3. y=sin ( (B)第二象限 (C)第三象限
2 x 3? ? ) x∈R 是 3 2

(D)第四象限 ( ) (D)减函数

(A)奇函数 (B)偶函数 4.函数 y=3sin(2x― 移得到 (

(C)在[(2k―1)π , 2kπ ] k∈Z 为增函数

? )的图象,可看作是把函数 y=3sin2x 的图象作以下哪个平 3 ? ? ? ? ) (A)向左平移 (B)向右平移 (C)向左平移 (D)向右平移 3 3 6 6

5.在△ABC 中,cosAcosB>sinAsinB,则△ABC 为 (A)锐角三角形 6.α 为第三象限角, (A)3 7.已知 cos2θ = (B)直角三角形
1 cos ? 1 ? tan ?
2





(C)钝角三角形 化简的结果为 (D)-1 (

(D)无法判定 )

?

2 tan ? sec 2 ? ? 1

(B)-3

(C)1

13 11 7 2 ,则 sin4θ +cos4θ 的值为( ) (A) (B) (C) (D)-1 3 9 18 18 1 ? ? 8. 已知 sinθ cosθ = 且 <θ < ,则 cosθ -sinθ 的值为 ( ) 8 4 2 3 3 3 3 (A)- (B) (C) (D)± 2 2 4 4

9. △ABC 中,∠C=90°,则函数 y=sin2A+2sinB 的值的情况 (A)有最大值,无最小值 (C)有最大值且有最小值 10、关于函数 f(x)=4sin(2x+





(B)无最大值,有最小值 (D)无最大值且无最小值

? ), (x∈R)有下列命题 3 ? ) 6

(1) y=f(x)是以 2π 为最小正周期的周期函数 (2) y=f(x)可改写为 y=4cos(2x- (3)y= f(x)的图象关于(-
? , 0)对称 6

(4) y= f(x)的图象关于直线 x=- (C).(2)(3)

? 对称 6

其中真命题的个数序号为(

)(A).(1)(4) (B).(2)(3)(4)

(D).(3) )

11. 设 a=sin14°+cos14°, b=sin16°+cos16°, c=

6 , 则 a、 b、 c 大小关系 ( 2

(A)a<b<c
1 2

(B)b<a<c

(C)c<b<a

(D)a<c<b ( )

12.若 sinx< ,则 x 的取值范围为 (A)(2kπ ,2kπ +

5? 5? ? ? )∪(2kπ + ,2kπ +π ) (B) (2kπ + ,2kπ + ) 6 6 6 6 5? 7? ? ? (C) (2kπ + ,2kπ + ) (D) (2kπ - ,2kπ + ) 以上 k∈Z 6 6 6 6
二、 填空题:

13.一个扇形的面积是 1cm2,它的周长为 4cm, 则其中心角弧度数为______。 14.已知 sinα+cosβ = ,sinβ -cosα= ,则 sin(α-β )=__________。 15.求值:tan20°+tan40°+ 3 tan20°tan40°=_____________。 16.函数 y=2sin(2x-
三、 解答题:

1 3

1 2

? )的递增区间为_______________________。 3

17、求值:

1 3 ? ? sin 10 cos 10 ?

18.已知 cos(α +β )= ,cos(α -β )= - ,α +β ∈( (
3? , ? ),求 cos2α 的值。 4

4 5

4 5

7? ,2π ),α -β ∈ 4

19.证明 cosα (cosα -cosβ )+ sinα (sinα -sinβ )=2sin2

???
2



20.已知α 、β 均为锐角,sinα =

5 10 ? ,sinβ = ,求证:α +β = 。 5 10 4

21.已知函数 y=Asin(ω x+φ ),(A>0,ω >0,|φ |< 时,y 有最大值为 2,当 x=

? ? )在一个周期内,当 x= 2 6

2? 时,y 有最小值为-2,求函数表达式,并画出函 3

数 y=Asin(ω x+φ )在一个周期内的简图。 (用五点法列表描点)
y

1 O 1
x

22、已知函数 f(x)=2asin2x-2 3 asinxcosx+a+b(a≠0)的定义域为[- 为[-5,1],求常数 a、b 的值。

? ,0],值域 2

八年级基础能力小测试
1 x ? 2x 8? 2 的值。 1、当 x 为何值时,式子 4 的值不大于式子

2、观察函数 y1 和 y2 的图象, 当 x=1,两个函数值的大小为( (A) y1> y2 (C) y1=y2 (B) y1< y2 (D) y1≥ y2



y
1

y 3 2 1

y2

-2

-1 0 -1

1

2

3

4

x

3、已知:如图,点 D 是△ABC 内一点,AB=AC,∠1=∠2.求证:AD 平分∠BAC.

4、

x ?3( x ? 2) ? 4 {1 ?2 x 3 ? x ?1

二次函数知识点
? 二次函数的解析式三种形式 例 1.二次函数的图象经过点(-3,2) , (2,7) , (0,-1) ,求其解析式. 2.已知抛物线的对称轴为直线 x=-2,且经过点 (-l,-1) , (-4,0)两点.求抛物 线的解析式.

3.已知抛物线与 x 轴交于点(1,0)和(2,0)且过点 (3,4),求抛物线的解析式. ? 二次函数图像与性质 对称轴:顶点坐标:与 y 轴交点坐标 增减性:已知,点 A(-1, y1 ) ,B( ? 上,则 y1 , y 2 , y 3 的大小关系 二次函数图像画法: 勾画草图关键点:○ 1 开口方向;○ 2 对称轴;○ 3 顶点;○ 4 与 x 轴交点;○ 5 与 y 轴交点。 图像平移步骤 (1)配方 ; y ? a( x ? h)2 ? k ,确定顶点(h,k)
2 2 , y2 ) ,C(-5, y 3 )在函数 y ? ? x 的图像

(2)对 x 轴 左加右减;对 y 轴 上加下减。 例如果将抛物线 y ? 2 x 向右平移 2 个单位,向下平移 3 个单位,平移后二次函数的关系式
2

二次函数的对称性 二次函数是轴对称图形,有这样一个结论:当横坐标为 x1, x2 其对应的纵坐标相等那么对称 轴x ?

x1 ? x2 2

根据图像判断 a,b,c 的符号 (1)a ——开口方向 (2)b ——对称轴与 a 左同右异 2 a+b+c 与 a-b+c 的符号:a+b+c 是抛物线 y ? ax ? bx ? c (a≠0)上的点(1,a+b+c)的纵坐标, 2 a-b+c 是抛物线 y ? ax ? bx ? c (a≠0)上的点(-1,a-b+c)的纵坐标.根据点的位 置,可确定它们的符号. 3.二次函数与一元二次方程的关系 4.二次函数与一次函数间关系,三角形,四边形,面积,动点等综合性问题 例 已知:如图 1-2-27 所示,直线 y=-x+3 与 x 轴、 y 轴分别交于点 B、C,抛物线 y=-x2+bx+c 经过点 B、C,点 A 是抛物线与 x 轴的另 一个交点. (1)求抛物线的解析式; (2)若点 P 在直线 BC 上,且 SΔ PAC= 1 S ,求点 P 的坐标. 2 Δ PAB


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