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函数的零点与二分法


函数与方程教学设计
农大附中 张晓东 一、教材分析 1.本单元的教学内容范围 2.4 函数与方程 2.4.1 函数的零点 2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法 2.本单元的教学内容在模块中的地位和作用 函数的应用是学习函数的主要目的之一。本模块安排了 2.3, 2.4, 3.4 三节函数应用的学习,2.3, 3.4 节主要是关注函数在生活实践及其它领域中的 应用, 而本节内容重点放在函数在数学内部的应用,使函数的学习构成一个完整 的有机体,同时本模块的结构也给学生呈现了研究一个问题完整的思路和方法。 本节内容不但揭示函数、方程、不等式等内容的横向联系,又体现螺旋上升的学 习函数的纵向联系。在二分法求函数零点近似解的过程中渗透的算法思想,为模 块 3 学习算法作了必要的准备, 另外, 也为进入大学学习介值定理、 区间套定理, 体会极限的思想等起到基础性的作用。函数与方程的学习,对学生进一步理解函 数的概念和性质,树立数学应用的意识,形成正确的世界观起到重要的作用。 3.本单元教学内容的总体教学目标 (1)进一步了解函数的广泛应用 (2)结合二次函数的图像,判断一元二次方程根的存在性及根的个数,从而了 解函数零点与方程根的联系 (3)根据具体函数的图像,能够借助计算器用二分法求函数零点的近似解,了 解这种方法是求函数零点近似解的常用方法 4.本单元的教学内容重点和难点分析 重点:理解函数零点的概念,判定二次函数零点的个数,会求函数的零点,能够 借助计算器或计算机用二分法求函数零点的近似解。 难点: 函数零点的性质, 二分法求函数零点近似解的原理及隐含其中的数学思想 方法的理解。 5.其它相关问题 本单元的两节内容属于新增内容,涉及函数在数学内部的应用。大纲教材讲 函数应用主要是讲函数在解决实际问题中的应用,而未涉及数学内部的应用。课 标这样处理对于学生完整地理解函数的应用,掌握分析、研究问题的方法大有好 处。函数与方程安排在这个位置也是恰当的,前面学习的函数性质,二次函数的 相关知识, 为本节的学习提供了必要的准备,反过来通过本节的学习可以更好的 认识和巩固前面的知识,温故知新,体现了本套教材低起点,循序渐进,螺旋式 上升的特色。 再者,教材内容的呈现力图使学生在对二次函数的零点与方程的根 的关系研究过程中体会由特殊到一般的思维方法; 在经历用二分法求函数零点近 似解的探索过程中,初步体会数形结合、逼近、算法等重要的数学思想方法;在 经历无限逼近的过程中,感受整体与局部、定性与定量、精确与近似的对立统一 辩证观,体会事物间相互转化的辩证思想;在数学阅读中了解数学发展史,了解 数学文化; 在批注中拓展知识。这也是课标强调对数学本质认识和注重提高学生 的数学思维能力的体现。
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二、本单元教学方式和教学方法的概述 本单元可以根据学生的情况分别采取以下教学方式: (1)根据“倡导积极主 动、勇于探索的学习方式;注重信息技术与数学课程整合”理念和学生基础较好 的实际情况,选用利用计算器或计算机自主探究、学习的方式进行教学。在教学 中教师的作用是促使学生获得知识,形成能力,提炼思想方法。 (2)根据学生基 础较薄弱的实际和“注重提高学生的数学思维能力”的课程理念,选用师生互动 下的讲授式教学模式。教师的讲要适度,不要代替学生的学,教师的作用放在启 发和必要时提供帮助上。 三、本单元所需教学资源的概述 教师教学用书配套光盘 1 课件集锦中课件 1210,教参中的“资源拓展”所提供 的相关资料. 教材中的“练习” 、 “习题” 。 四、本单元学时建议 2.4 函数与方程 2.4.1 函数的零点 2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法

1 课时 1 课时

教案设计: 方案一

函数的零点
农大附中 毛春桃

一、教学目标
1、 知识与技能: (1)理解函数零点的概念与性质,会求函数的零点。 (2)能判断二次函数零点的存在性,了解函数的零点与方程的根之间的关系,初步形成用 函数的观点处理问题的意识。 2、 过程与方法: (1)在对二次函数的零点与方程根的关系研究过程中,体会由特殊到一般的思维方法。 (2)通过由零点的性质作函数图像的过程及函数零点的性质的总结,渗透“数形结合”的 思想方法。 3、 情感、态度与价值观:在函数与方程的联系中,让学生初步体会事物间相互转化的辩证 思想;在教学中让学生体验探究的过程、发现的乐趣。

二、教学重点、难点
教学重点:函数零点的概念、求法及性质; 教学难点:函数零点的应用。

三、教学方法
本节课是对初中内容的加深,学生对相关知识比较熟悉,因此采用以学生活动为主体,自主
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探究,合作交流的教学方法。

四、教学过程
教学 环节 复习 引入 教学内容 (1)二次方程是否有实根的判定方法。 (2)二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的顶点坐标、对称轴 方程等相关内容。 1、 实例引入 例 1:已知函数 y ? x2 ? x ? 6 , (1)当 x 取何值时, y ? 0? 函数 零点 的概 念 (2)作出函数的简图。 问题一:观 察函数的零 点在其图像 上的位置。 学生动手解 题,并观察 思考,教师 总结例 1。 让学生感知知 识发展的过 程,了解函数 零点与方程根 的关系,渗透 数形结合的思 想。 培养学生类比 的思想,让学 生体会由特殊 到一般的思维 方法 体验二次函数 零点的各种情 形,对一般二 次函数零点的 总结做出铺 垫。 师生互动 学生思考后 回答 设计意图 复习旧知,利 于学生理解本 节课的知识。

x ? ?2 或 x ? 3 是函数 y ? x2 ? x ? 6 的零点。
2、 函数的零点

问题二:结 合引例给函 一般地, 如果函数 y ? f ( x) 在实数 a 处的值等于零, 数的零点下 定义。学生 即 f (a) ? 0 ,则 a 叫做这个函数的零点 思考后回答 例 2:已知函数 y ? 4x ? 4x ? 1 , y ? x ? 2
2 2

分别求函数的零点。

学生计算、 画图后回 答。

3、 二次函数零点的判定 二次 函数 零点 判定 二 次 函 数 y ? ax ? bx ? c 的 零 点 个 数 , 方 程
2

问题三:对 于二次函数

y ? ax2 ? bx ? c
ax2 ? bx ? c ? 0 的实根个数见下表。
判别式 方程的根 两个不相等的 实根 两个相等的实 根 无实根 函数的零点 两个零点 一个二重零点 无零点 是否一定有 零点?如何 判定? 学生讨论, 小组代表发 言。师生共 同总结,并 完成表格。

??0 ??0 ??0

培养学生的归 纳能力,让学 生体验成功的 快乐。利用表 格的形式,有 利于学生对比 记忆。

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4、 深化概念 引导学生回答下列问题: ( 1 )如何求函数的零点?函数的零点与图像的关 系。 结合例 1、例 2 指出函数、方程、不等式三者间存在 的联系。 引伸: 概念 深化

学生思考、 回答,老师 点评、总结 (1)求函数 的零点即为 求出相应方 程的解或函 数图象与 x (2)如果函数 y ? f ( x) 在其定义域内为单调函数, 轴交点的横 坐标。 则函数 y ? f ( x) 在其定义域内最多有几个零点? (2)单调函 数在其定义 ( 3 ) 如 果 偶 函 数 y ? f ( x) 的 定 义 域 为 R , 且 域内最多有 一个零点 f (0) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在其定义域内的零点 的个数有什么规律?对 R 上奇函数呢?

进一步深化学 生对函数零点 概念的理解; 理清函数与方 程间的联系; 让学生思考问 题 2、3 不仅可 以复习旧知 识,而且让学 生体验了函数 图象与方程的 关系,感受到 “数形结合” 在解题中的魅 力。 为引出函数零 点的性质作出 铺垫

函数 零点 的性 质及 应用

练 习 : 求 函 数 y ? ? x2 ? 2 x ? 3 的 零 点 , 并 指 出

学生思考、 回答。

y ? 0, y ? 0 时, x 的取值范围。

函数 零点 的性 质及 应用

5.二次函数零点的性质 ①二次函数的图像是连续的,当它通过零点时(不 是二次零点) ,函数值变号。 ②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号。 引伸:对任意函数,只要它的图像是连续不间断的, 结合例 1, 上述性质同样成立。 教师引导 二次函数的零点的应用 学生总结 ①利用二次函数的零点研究函数的性质,作出函数 的简图。 ②根据函数的零点判断相邻两个零点间函数值的符 号,观察函数的一些性质。 引伸:二次函数的零点的应用可推广到一般函数。

引导学生初步 了解函数零点 的性质及应 用,有利于培 养学生观察、 分析、归纳的 能力,深化对 函数零点的认 识。

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6.函数零点的应用 例 3.求函数 y ? x 3 ? 2 x 2 ? 3x 的零点,并画出它的 图像 (1)学生求出函数的零点。 (2)3 个零点把 x 轴分成 4 个区间。 (3)由函数零点的性质,在每一个区间上所有函数 值保持同号, 启发学生分别在每一个区间内, 取x的 一些值,根据点的变化趋势画出函数的图象。 学生求出零 点,教师引 导,师生共 同完成作 图,并归纳 作图的方 法。

渗透数形结合 的思想,说明 函数零点的应 用。 降低课本例题 难度,主要考 虑学生分组分 解法分解因式 的困难,对课 本例题可布置 学生按所讲例 题的思路课后 思考 进一步巩固本 节所学内容 让学生回顾本 节所学知识与 方法,使知识 结构更系统、 更完善。 让学生体验正 确运用所学知 识自主探求问 题的方法,激 发学生获取新 知识的兴趣, 为学习新知识 作准备。 巩固所学内 容。为下节课 学习做准备。

7.课堂练习 教材第 72 页练习 A1(1) (4) (5) ,练习 B1(2) 8.课堂小结 (1)一个定义(函数的零点) (2)二个性质(函数零点的性质) (3)三个思想(函数,特殊到一般,数形结合)

学生练习。

归纳 小结

学生总结, 教师补充完 善。

课外 拓展

函数 y ? x 3 ? x 2 ? 2x ? 1 在下列哪些整数间有零点 ①-2 与-1 之间②-1 与 0 之间③0 与 1 之间 ④1 与 2 之间⑤2 与 3 之间

学生课外思 考

布置 作业

教材第 72 页练习 A1(6)练习 B1(1) (3) ,2

学生练习。

补充练习: 1.若函数 y= ax2-x-1 只有一个零点,求实数 a 的零点。 2.若函数 f(x)= x2-ax-b 的两个零点是 2 和 3,求函数 g(x)=bx2-ax-1 的零点。 3.若函数 f(x)=x2+2x+a 没有零点,求实数 a 的取值范围. 4.若函数 f(x)=ax+b 有一个零点是 2,求函数 g(x)=bx2-ax 的零点 5.若方程 7 x ? (k ? 13) x ? k ? k ? 2 ? 0 的两根分别在区间(0,1) , (1,2)内,求 k 的取值
2 2

范围。 6.函数 f ( x) ? 3( x ? 2)(x ? 3)(x ? 4) ? x 必有一个零点的区间是(

) .

A.(-5, -4)

B.(-4,3)

C.(-1, 0)

D.(0,2)

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方案二

函数的零点
温泉二中 杨冬香

一、 教学目标
(1)知识与技能: 了解函数零点与方程根的关系; 能判断二次函数零点的存在性, 掌握函数零点的 概念;会求简单函数的零点。 (2) 、过程与方法: 由二次函数为载体探究方程的根与函数的零点的关系, 以探究的方法发现在某区 间上图象连续的函数存在零点的判定方法;通过探讨函数零点性质的形成过程, 培养学生观察、归纳、探究的能力。 (3) 、情感、态度、价值观: 体会数形结合的数学思想,从特殊到一般的归纳思想。在函数与方程的联 系中发展学生对定性与定量的认识, 渗透事物整体与局部的关系, 让学生初步体 会对立与统一的辩证思想。

教学重点、难点
重点:函数零点的概念及存在性的判定;函数零点的求法; 难点 :发现与理解方程的根与函数零点的关系;探究发现函数存在零点的方法。 利用函数的零点作图;数学思想的渗透。

教学方法
本节课是对初中内容的加深,学生对相关知识比较熟悉,因此采用以学生活动为主体,自主 探究,合作交流的教学方法较多。利用多媒体辅助教学。

教学过程
教 学 环 节 复 习 引 入
解方 程

教学内容

师生互动

设计意图

x 2 ? 2x ? 3 ? 0 x 2 ? 2 x ? 1 ? 0
??0
??0

x 2 ? 2x ? 3 ? 0
??0
无实根

学生思考后动笔 填表

?




实数 根

x ? ?1, x ? 3

x ?1

复习一元二 次函数的有 关知识,再 次渗透数形 结合的思想 发动点

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对应 函数 图象
?1

3
3
1

与轴 交点

?? 1,0?, ?3, 0?。(1,0)

无交点 结合引例给函数 的零点下定义, 观察图象与 x 轴 交点的横坐标与 方程根的大小关 系。并引出函数 零点概念。 画图、思考、并 归纳出结论:函 数图象与 x 轴交 点的个数等于对 应方程根的个 数;函数图象与 轴的焦点的横坐 标的大小与对应 方程的根的大小 相等。 它既是几个 特殊的函数 与方程,又 具有很强的 概括性,包 括方程有两 不相等的 根、两相等 的根、无根 的情况,研 究它们有利 于培养学生 思维的完整 性,也为学 生归纳方程 与函数的关 系铺好了台 阶。 此部分的设 置一方面让 学生理解函 数零点的含 义,另一方 面通过对比 让学生再次 加深对二者 关系的认 识,使函数 图象与 x 轴 交点的横坐 标到函数零 点的概念转 变,变得更 自然、更易 懂。通过对 比教学揭示

提出问题:对于函数 y ? x 2 ? 2x ? 3 , y ? x2 ? 2 x ? 1 ,

y ? x 2 ? 2x ? 3
概 念 形 成 (1) 当 x 取何值时, y ? 0? (2) 作出函数的简图。

一、函数的零点的有关概念: 1 定义: 一般地,如果函数 y ? f ( x) 在实数 a 处的值等于零,即

f (a) ? 0 ,则 a 叫做这个函数的零点。
归纳:函数的零点并不是“点” ,它不是以坐标的形 式出现。 2、函数零点的意义: 函数 y ? f ( x) 的零点就是方程 f ( x) ? 0 实数根,亦即函数

教师提出问题, 学生思考回答, 师生完善。 思考: 1、零点是不是 点? 2、零点是不是 f(0)?

y ? f ( x) 的图象与 x 轴交点的横坐标.
归纳:方程 f ( x) ? 0 有实数根 ? 函数 y ? f ( x) 的图象与

x 轴有交点 ? 函数 y ? f ( x) 有零点.

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知识点之间 的密切关 系。 理解点

概 念 深 化

3、函数零点的求法: 引导学生回答下列问题: (1)如何求函数的零点? (2)函数的零点与图像的关系。 (3)函数的零点与方程的关系 结合引例指出函数、方程、不等式三者间存在的联系。 Ⅰ:可以解方程 f ( x) ? 0 而得到(代数法) ; Ⅱ:可以将它与函数 y ? f ( x) 的图象联系起来,并利用 函数的性质找出零点. (几何法)

学生思考、回答、 遵循由浅入 师生点评、总结。 深、循序渐 进的原则 掌握点

练 习 巩 固

例 1:求函数 y ? ? x 2 ? 2 x ? 3 的零点,并指出 y ? 0, y ? 0 时, x 的取值范围。 解略:

先学生练习,然 后教师带领大家 一起寻找方法, 落实方法。

注意由浅入 深、循序渐 进地建立函 数与方程的 关系: 内化点 从学生认为 较简单的一 元二次方程 与相应的二 次函数入 手,由具体 到一般,建 立一元二次 方程的根与 相应的二次 函数的零点 的联系,然 后将其推广 到一般方程 与相应的函 数的情形. 掌握点

4、归纳二次函数零点的判定 二 次 函 数 y ? ax2 ? bx ? c 的 零 点 个 数 , 二 次 方 程

提问 1: 对于二次 函 数

y ? ax2 ? bx ? c
应 用 举 例

ax2 ? bx ? c ? 0 的实根个数见下表。
判别式 方程的根 两个不相等的 实根 两个相等的实 根 无实根 函数的零点 两个零点 一个二重零点 无零点

??0 ??0
??0

5、函数零点的性质(以二次函数为例) ① 二次函数的图像是连续的,当它通过零点时(不是二次 零点) ,函数值变号。 ② 相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号。 引伸:对任意函数,只要它的图像是连续不间断的,上述性 质同样成立。

是否一定有零 点?如何判定? 提问 2: 函数的 零点有哪些特 性? 学生讨论,小组 代表发言。师生 共同总结,并完 成表格。归纳出 二次函数零点的 性质。

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二、函数的零点的应用 提出问题: 本节的前半节一直以二次函数作为模本研究, 如 果不是我们熟知的函数怎样求它的零点呢? 例 求函数 y ? x3 ? x 的零点,并画出它的图像 解略: 应 用 举 例 归纳: (1)利用二次函数的零点研究函数的性质,作出函数 的简图。 (2)根据函数的零点判断相邻两个零点间函数值的符号, 观察函数的一些性质。

可以借助计算器 完成部分数据的 计算

学生求出零点, 教师引导,师生 共同完成作图, 并归纳作图的方 法。

巩固函数零 点的求法, 渗透二次以 外的函数的 零点情况。 总结讨论二 次函数的零 点的存在情 况 本节的前半 节一直以二 次函数作为 模本研究, 此题是从特 殊到一般的 升华,也全 面总结了二 次函数零点 情况,给学 生一个清晰 的解题思 路。进而培 养学生总结 归纳能力。 内化点

5、 课堂练习 教材第 72 页练习 A 1(2) (4)B 1(1) (3) 巩 固 练 习 拓 展 延 伸 观察与思考: 观察下面函数 y ? f ( x) 的图象

学生练习。 教师单独指导

进一步加深 对函数零点 的理解及掌 握求法

由于时间的关系 可以留作课下学 生讨论交流完成 课后练习。 结论的得出为下 节课的二分法作 下铺垫

数学教学的 新理念,就 是想法设法 在教学中培 养学生的创 新能力和探 究意识,本 组探究题目 就是为了培

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填 空 : 在 区 间 ?a, b ? 上 ______( 有 / 无 ) 零 点 ; . f (a ) ? f (b) _____0(<或>) 在区间 ?b, c ? 上______(有/无)零点; f (b) ? f (c) _____0(< 或>) . 在区间 ?c, d ? 上______(有/无)零点;f (c) ? f ( d ) _____0 (< 或>) . 归纳:你可以得出什么样的结论?

养学生的探 究能力,问 题设计层层 递进、层层 加深。有助 于学生理解 概念,这样 设计不仅符 合学生的认 知特点,也 无形中给学 生渗透从特 殊到一般的 方法与过 程。

归 纳 小 结 布 置 作 业

课堂小结 (1) 知识方面 学习了函数的零点的定义及其求法, 利用函数的零点作函数 的简图。总结归纳了函数零点的性质 (2) 数学思想方法 渗透了从特殊到一般、数形结合的思想。 教材第 75 页练习 A1(1)2(2)3(2)5(1)

学生总结, 师生补充完善。

学生练习。

补充练习: 1、观察二次函数 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3 的图象:
1 在区间 ?? 2,1? 上有零点吗?______; f ( ?2) ? _______, f (1) ? _______, ○

f (?2) ? f (1) _____0(<或>) .
思考:若 f (?2) ? f (1) <0,那么函数 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3 在 ?? 2,1? 上一定有零点吗?
2 在区间 ?2,4 ? 上有零点______; f ( 2) ? f ( 4) ____0(<或>) ○ .

思考:若 f ?a ? ? ?b ? ? 0 ,那么函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 3 在[ a , b ]上一定有零点吗?
2

思考:若函数 y ? f ( x) 满足 f ?m? ? f ?n? ? 0 ,在区间 [m, n] 上一定有零点吗? 若函数 y ? f ( x) 满足 f (m) ? f (n) ? 0 ,在区间 [m, n] 上一定有零点吗? 2、求下列函数的零点:
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(1) y ? ? x 2 ? x ? 30 ; (2) f ( x) ? ( x 2 ? 2)(x 2 ? 3x ? 2) 3、求函数 y ? x 3 ? 2 x 2 ? x ? 2 ,并画出它的大致图象. 4、 .利用函数的图象,指出下列函数零点所在的大致区间: (1) f ( x) ? ? x 3 ? 3x ? 3 ; (2) f ( x) ? 3( x ? 2)(x ? 3)(x ? 4) ? x .

方案三

函数的零点 —— 一、教学目标
4、 知识与技能: (1)理解函数零点的意义,会求函数的零点。 (2)能判断二次函数零点的存在性,了解函数的零点与方程的关系,初步形成用函数的观 点处理问题的意识。 5、 过程与方法: (1)以具体的二次函数为例,求出零点,并通过作图加以说明,从而给出函数零点的概念, 体会由特殊到一般的思维方法。 (2)通过由零点的性质作函数图像的过程及函数零点的性质的总结,渗透数形结合的思想 方法。 6、 情感、态度与价值观:让学生初步体会事物间相互转化的辩证思想。 北京市第六十七中学 贾康康

二、 教学重点、难点
教学重点:函数零点的概念、求法及性质; 教学难点:函数零点的应用。

三、 教学方法
本节课是对初中内容的加深,学生对相关知识比较熟悉,因此采用以学生活动为主体,自主 探究,合作交流的教学方法。

四、教学过程
教学 环节 教学内容 (1) 一元二次方程是否有实根的判定方法 复习 引入 (2) 二 次 函 数 y ? ax ? bx ? c 的 顶 点 坐
2

师生互动

设计意图 以旧引新, 利于学生 构建知识 网络。 为函 数的零点

学生思考后回答

标、对称轴方程等相关内容。
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判定及其 应用作出 铺垫。 6、 实例引入 例 1:已知函数 y ? x2 ? x ? 6 , (3) 当 x 取何值时, y ? 0? 函数 零点 的概 念 (4) 作出函数的简图。 问题一: 观察函数 的零点在其图像 上的位置。 学生动 手解题, 并观察思 考,教师总结引 例。 让学生感 知知识发 展的过程, 了解函数 零点与方 程根的关 系, 渗透数 形结合的 思想。 培养学生 归纳能力, 让学生体 会由特殊 到一般的 思维方法。 体验二次 函数零点 的各种情 形, 对一般 二次函数 零点的总 结做出铺 垫。

x ? ?2 或 x ? 3 是函数 y ? x2 ? x ? 6 的零点。
7、 函数的零点 一般地,如果函数 y ? f ( x) 在实数 a 处的值等于 零,即 f (a) ? 0 ,则 a 叫做这个函数的零点 引导学生填写下列表格: 一元 二次 方程 二次 函数 函数图像 方程 的根 问题二: 结合引例 给函数的零点下 定义。 教师提出问 题,学生思考回 答,师生完善。

问题三: 引导学生 填写表格, 并思考 图像与 x 对于二次函数
轴交点

y ? ax2 ? bx ? c
如何求函数的零 点?是否所有的 x1 ? ?1 (-1,0) 二次函数都有零 x2 ? 3 小 (3, 0) 点? 学生讨论, 组代表发言。

x 2 ? 2x y ? x ?
2

?3 ? 0

2x ? 3

二次 函数 零点 判定

x 2 ? 2x y ? x 2 ? ? 1 ? 0 2x ? 1

x1 ? x2
=1

(1, 0)

x 2 ? 2x y ? x 2 ? ? 3 ? 0 2x ? 3

无实 根

没有 交点

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8、 二次函数零点的判定 二 次 函 数 y ? ax2 ? bx ? c 的 零 点 个 数 , 方 程

ax2 ? bx ? c ? 0 的实根个数见下表。
判别式 方程的根 两个不相等的 实根 两个相等的实 根 无实根 函数的零点 两个零点 一个二重零点 无零点 师生共同总结, 并 完成表格。

??0 ??0

进一步深 化学生对 函数零点 概念的理 解。 利用表 格的形式, 有利于学 生对比记 忆。

??0

练 习 : 求函 数 y ? ? x 2 ? 2 x ? 3 的 零 点,并 指 出

y ? 0, y ? 0 时, x 的取值范围。
二次函数零点的性质 ③ 二次函数的图像是连续的, 当它通过零点时 (不 是二次零点) ,函数值变号。 ④ 相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号。 对任意函数,只要它的图像是连续不间断的,上述 性质同样成立。 二次函数的零点的应用 ① 利用二次函数的零点研究函数的性质,作出函 数的简图。 ② 根据函数的零点判断相邻两个零点间函数值的 符号,观察函数的一些性质。 例 求函数 y ? x ? 2 x ? 3x 的零点,并画出它的
3 2

为引出零 点的性质 学生思考、回答。 作出铺垫 引导学生 初步了解 函数性质 零点的性 质及应用, 有利于培 养学生观 察、分析、 归纳的能 力, 深化对 函数零点 的认识。 渗透数形 结合的思 想, 说明函 数零点的 应用。

函数 零点 性质 及应 用

结合引例, 教师引 导学生总结。

图像 总结步骤: (1)求函数的零点; (2)零点把 x 轴分成多个区间;

学生求出零点, 教 师引导, 师生共同 完成作图, 并归纳 作图的方法。

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(3)取点、列表; (4)描点、作图。 9、 课堂练习 教材第 72 页练习 A1(1) (4) (5) ,练习 B1(2) 学生练习。 进一步巩 固本节所 学内容 让学生体 验正确运 用所学知 识自主探 求问题的 方法, 激发 学生获取 新知识的 兴趣, 为进 一步学习 新知识作 准备。 让学生回 顾本节所 学知识与 方法, 使知 识结构更 系统、 更完 善。 让学生巩 固所学内 容。 为下节 课的学习 做好准备。

巩固 练习

思 考 题 : 若 f (a) ? f (b) ? 0 , 函 数 f ( x ) 在 区 间

? a, b? 上零点的存在情况。

课后练习。

归纳 小结

课堂小结 (3) 知识方面 学习了函数的零点的定义、性质及其求法,利用函 数的零点作函数的简图。 (4) 数学思想方法 主要有由特殊到一般的思想和数形结合的思想。

学生总结, 师生补 充完善。

布置 作业

教材第 72 页练习 A1(6)练习 B1(1) (3)

学生练习。

教案:2.4.1 函数的零点
北京农大附中 一、教学目标: 1、知识与技能:了解函数的零点与方程根的关系。理解函数零点的意义, 能判断二次函数零点的存在性,会求简单函数的零点。培养学生对事物的观察、 归纳能力和探究能力。 2、过程与方法:通过描绘函数图像,分析零点的存在性. 体验函数零点概 念的形成过程,提高数学知识的综合应用能力。 3、情感态度与价值观:培养学生的数形结合思想,渗透由抽象到具体思想,
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洪彬

使学生理解动与静的辨证关系,在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的 意义和价值.让学生初步体会事物间相互转化的辩证思想。 二、教学重点、难点: 重点是函数零点的概念及求法;难点是利用函数的零点作图。 三、教学方法: 本节课是对初中内容的加深,学生以相关知识比较熟悉,因此采用以学生活 动为主,自主探究,合作交流的教学方法为宜。 四、教学流程: 问题情境 结合描绘的二次函数图像,提出问题,引入课题.

组织探究

体验数学,对二次函数的零点及零点存在性的初步认识.

意义建构

感知数学,以零点存在性为练习重点进行练习.

探索研究

建立数学,进一步探索函数零点存在性的判定.

例题研究 题 研 课外升华 究

应用数学, 零点的存在性判断及零点的确定.

利用计算机绘制某类特殊函数图像,找出零点,并尝试 进行系统的总结.

五、教学过程: 教学 环节 教学内容 师生互动 设计意图 以旧引新,利于学生 建构知识网络。

(1) 一元二次方程是否有实根的判 学生思考后回答 复习 引入 定方法: (2)二次函数 y=ax2+bx+c 的顶点 坐标,对称轴方程等相关内容。 1、实例引入 引例:已知函数 y=x2-x-6 问题:观察函数

让学生动手动脑

的零点在其图象上的 来感知知识发生发展
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(1)当 x 取何值时,y=0? (2)作出函数的简图

位置。

的过程,了解函数的 零点和方程根的联 系,提高作图与识图 以及自主解决问题的 能力,使学生养成独 立思考的好习惯。通 过数与形的结合说明 函数图像与性质的关 系。

x=-2 或 x=3 是函数 y=x2-x-6 的零 学生动手解题,并观 察思考,教师总结引 点。 例,引导学生解方程, 画函数图象,分析方 程的根与图象和 x 轴 交点坐标的关系。

2、深化概念 引导学生回答下列问题: ①如何求函数的零点? ②函数的零点与图象的关系。 概念 引入 ③结合引例指出函数、方程、不等式三 者间存在的联系。 结合图像认真理解函 数零点的意义,并对 零点出现的条件进行 思考,根据函数零点 的意义探索其求法.

以问题研讨形式 替代教师的说明,有 学生思考、回答,师 利于学生对知识的掌 生点评、总结。 握,并进一步深化对 函数零点概念的理 解。通过函数零点概 念的形成过程,让学 生对零点的概念由初 步的认识到掌握,并 且对一般概念的形成 过程有一个更深认识

3、练习:求函数 y=x2-2x+3 的零点,并 巩固 练习 指出 y>0,y<0 时,x 的取值范围。

学生练习

让学生进行模仿练 习,能及时巩固所学 知识与方法,也突出 了对二次函数零点的 应用。

4、函数零点的概念: 概念 形成

问题:对于二次

通过函数零点概

对 于 函 数 y ? f ( x)(x ? D) , 把 使 函数 y=ax2+bx+c 是否 念的形成过程,让学
f ( x) ? 0 成 立 的 实 数 x 叫 做 函 数 一定有零点?如何判 生对零点的概念由初 y ? f ( x)(x ? D) 的零点.

定?

步的认识到掌握,并

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函数零点的意义: 函 数 y ? f ( x) 的 零 点 就 是 方 程 亦即函数 y ? f ( x) 的图 f ( x) ? 0 实数根, 象与 x 轴交点的横坐标.

且对一般概念的形成 过程有一个更深刻的 学生讨论,小组 认识。 代表发言,师生共同 倡导学生合作学 习,让学生体验成功 的快乐,激发学生的 学习兴趣,利用表格 的形式,有利于学生 对比记忆。

即:方程 f ( x) ? 0 有实数根 ? 函数 总结,并完成表格。
y ? f ( x) 的图象与 x 轴有交点 ? 函数 y ? f ( x) 有零点.二次函数零点的判定

二次函数 y=ax2+bx+c 的零点个数, 方程 ax2+bx+c=0 的实根个数见下表。 判别式 方程的根 函数的零 点 △>0 两 个 不 相 两个零点 等的实根 △=0 两个相等 一个二重 的实根 △<0 无实根 零点 无零点

5、二次函数零点的性质 ①二次函数的图象是连续的,当它 结合引例,教师引 导学生总结。引导学 号。 生运用函数零点的意 ②相邻两个零点之间的所有的函数 义探索二次函数零点 值保持同号。 的情况. 根据函数零点的 通过零点时(不是二重零点) ,函数值变 不间断的,上述性质同样成立。 6、二次函数的零点的应用 性质,作出函数的简图; 点间函数值的符号,观察函数的一些性 质。
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结合引例,引导 学生初步了解函数零 点的性质及应用,既 有利于突出重点,又 有利于培养学生观 察、分析、归纳的数 学能力,同时也深化

概念 形成

对任意函数,只要它的图象是连续 意义,探索研究二次 了 对 函 数 零 点 的 认 函数的图像的性质, 识。 完全独立完成对二次 析 , 总结概括形成结

①利用二次函数的零点研究函数的 函 数 零 点 情 况 的 分 ②根据函数的零点判断相邻两个零 论,并进行交流。

例 :求函数 y=x3-2x2-x+2 的零点,并画 学生求出零点,教师 引导,师生共同完成 出它的图象。 作图,并归纳作图的 方法。 通过以上两例题你能总结出求函数 例 1,例 2 是两个类 型,通过对比使学生 引导学生归纳: 能总结出一般的函数 应 用 1 (代数法) ○ 求方程 f ( x) ? 0 的实数根; 零点求法。 举例 ②(几何法)对于不能用求根公式的方 程,可以将它与函数 y ? f ( x) 的图象联 系起来,并利用函数的性质找出零点. 培养学生的归纳概括 能力及对数学问题的 反思意识。 学生练习
y ? f ( x) 零点的求法吗?

学生利用零点作图有 一定的困难,故师生 共同分析怎样列表、 取值、画函数的简图, 突出重点,解决难点。 引导学生探索判断函 数零点的方法,指出 可以借助计算机或计 算器来画函数的图 象,结合图象确定零 点所在的区间,然后 利用函数单调性判断 零点的个数. 结合图象对函数有一 个零点形成直观的认 识. 进一步巩固本节所学 内容 让学生体验正确运用 所学知识自主探求问 题的方法,激发学生 获取新知识的兴趣,

巩固 练习

7、课堂练习 教材第 72 页练习 A 第 1(2) (4) 题,第 2(1)题。 8、观察下面函数 y ? f ( x) 的图象

课后练习

为进一步学习新知识 做准备。

1 在区间 [a, b] 上______(有/无)零 ○ 巩固 练习 点;
f (a ) · f (b) _____0(<或>) .

2 在区间 [b, c] 上______(有/无)零 ○ 点; f (b) · f (c) _____0(<或>) . 3 在区间 [c, d ] 上 ______( 有 / 无 ) ○ 零点;f (c) ·f ( d ) _____0 (<或>) . 由以上两步探索,小组讨论,你们 可以得出什么样的结论?
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课堂小结 (1)知识方面 学习了函数的零点的定义及其求 学生总结,师生补充 法,利用函数的零点作函数的简图。 (2)数学思想方法 归纳 小结 主要有转化的思想、数形结合的思 想。 完善。 让学生回顾本节所 学知识与方法,以逐 步提高学生自我获取 知识的能力,有利于 发现教与学中存在的 问题,并及时反馈纠 正,使知识结构更系 统、更完善。 布置 作业 教材第 72 页练习 B 第 1 (3) , 2(2) 学生练习 题 六.补充练习: 1.利用函数图象判断下列方程有没有根,有几个根: (1) ? x 2 ? 3x ? 5 ? 0 ; (2) 2 x( x ? 2) ? ?3 ; (3) x 2 ? 4 x ? 4 ; (4) 5x 2 ? 2 x ? 3x 2 ? 5 . 2.已知 f(x)=2x4-7x3-17x2+58x-24. ,请探究方程 f ( x) ? 0 的根.如果方 程有根,指出每个根所在的区间(区间长度不超过 1) . 2 3.已知 f(x)=2(m+1)x +4mx+2m-1: (1) m 为何值时,函数的图象与 x 轴有两个零点; (2)如果函数至少有一个零点在原点右侧,求 m 的值. 设计意图:结合图象考察零点所在的大致区间与个数,结合函数的单调性说 明零点的个数;让学生认识到函数的图象及基本性质(特别是单调性)在确定函 数零点中的重要作用.培养动手,和分析图表的能力.列表,借助计算机或计算 器来画函数的图象帮助分析. 相对应例题给出一元四次函数及指数型的函数零点 的探究,拓展学生的思维,以达到触类旁通。巩固学生这节课所学的知识,通过 学生的作业反馈,来找出学生掌握不足的地方,再给予纠正,真正实现“学数学 用数学” 。 七.学生学习评价表: “主动探究学习” 模式把知识作为一种过程而非结果,肯定学生的学习是一种 建构独特意义的过程, 强调学生的主动参与,旨在提高学生的创新精神和创新能 力。因此,评价决不是单一的、封闭的,而应该是一个开放的、多元的动态过程, 它除了注重对学生的学习作评判之外, 更主要的是不断地为学生的学习活动提供
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让学生巩固所学 内容,为下节课的学 习做好准备。

可资借鉴的资料,促进学生深入地更有效地进行主动探究学习。 1.坚持评价目标的全面性; 2.坚持评价内容的多维性; 3.坚持评价方式的多样性; 4.坚持评价主体的多元性; 5.坚持评价的发展性; 6.坚持评价的及时性. 评价主体 评价内容 评价等级(5、4、3) 总结评定 任 1.善于观察,认真思考 课 教 师 学 生 自 身 3.积极讨论,发表观点 2.善于表达,大胆实践 3. 分析得当, 解答具有合理 性、条理性 4.作业完成良好 5.积极主动地面对困难 1.主动探究,猜测验证 2.善于观察,大胆实验,勤 于操作实践

(后附:本节课的教学设计)

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函数的零点
北京农大附中 一、 学习目标: 1、知识目标:理解函数零点的意义,能判断二次函数零点的存在性,会求 简单函数的零点,了解函数的零点与方程根的关系。 2、能力目标:体验函数零点概念的形成过程,提高数学知识的综合应用能 力。培养学生对事物的观察、归纳能力和探究能力。 3、情感目标:培养学生的数形结合思想,渗透由抽象到具体思想,使学生理 解动与静的辨证关系,在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价 值.让学生初步体会事物间相互转化的辩证思想。 二、教学重点、难点: 重点是函数零点的概念及求法;难点是利用函数的零点作图。 三、教学内容安排: 2.4.1 函数的零点 1、本小节重点是理解函数零点的概念,判定二次函数零点的个数,会求函 数的零点, 能够借助计算器或数学软件用二分法求相应方程的近似解.难点是函 数零点的应用。 2、函数的零点.教材以二次函数 y=x2-x-6 为例,求出零点,并通过作图加 以说明, 从而给出了函数零点的概念, 体现了由特殊到一般的思维方法. 教学中, 应引导学生自主探索,通过抽象、概括形成概念.值得注意的是:不是所有函数 都有零点,如 y=1,y=x2+1 就不存在零点. 3、函数零点个数的判定.将二次函数 y=ax2+bx+c 的零点个数的判定,转化 为二次方程 ax2+bx+c=0 实根个数的判定,这是初中已学过的内容,可以由学生 自己归纳总结. 4、零点的两条性质.教学时,应结合函数图象加以说明.这两条性质对其
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洪彬

他连续函数也适用. 5、求三次函数的零点,并作出图象.求零点的关键是学生能正确地进行因 式分解,而作出它的图象,可先由零点分析出函数值的正负变化情况,再进行适 当的取点.通过例题进一步总结求函数零点的方法,以及零点在作图中的应用.

教学流程: 问题情境 结合描绘的二次函数图像,提出问题,引入课题.

组织探究

体验数学,对二次函数的零点及零点存在性的初步认识.

意义建构

感知数学,以零点存在性为练习重点进行练习.

探索研究

建立数学,进一步探索函数零点存在性的判定.

例题研究 题 研 课外升华 究

应用数学, 零点的存在性判断及零点的确定.

利用计算机绘制某类特殊函数图像,找出零点,并尝试 进行系统的总结.

四、教学资源建议: 1.利用 TI 计算器绘制某类特殊函数图像,找出零点,并尝试进行系统的总结. 可以利用 TI 图形计算器分析二次函数(供有条件的学校使用)

y ? x2 ? 2x ? 3 的函数值符号随 x 在一定范围内变化而变化的特点.

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利用函数图象判断下列方程有没有根,有几个根. (1) ? x 2 ? 3x ? 5 ? 0 ; (2) 2 x( x ? 2) ? ?3 ; (3) x 2 ? 4 x ? 4 ; (4) 5x 2 ? 2 x ? 3x 2 ? 5

2.补充练习:

1.利用函数图象判断下列方程有没有根,有几个根: (1) ? x 2 ? 3x ? 5 ? 0 ; (2) 2 x( x ? 2) ? ?3 ; (3) x 2 ? 4 x ? 4 ; (4) 5x 2 ? 2 x ? 3x 2 ? 5 . 2.已知 f(x)=2x4-7x3-17x2+58x-24. ,请探究方程 f ( x) ? 0 的根.如果方 程有根,指出每个根所在的区间(区间长度不超过 1) . 2 3.已知 f(x)=2(m+1)x +4mx+2m-1:
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(1) m 为何值时,函数的图象与 x 轴有两个零点; (2)如果函数至少有一个零点在原点右侧,求 m 的值. 3.通过函数求值、函数的作图建立信息技术与数学的整合,培养学生使用计算 机技术学习数学的习惯与技能。 培养师生使用计算机技术学习数学和讲授数学,现今变得非常紧迫和必 要.在教学中,应当由教师制作课件进行演示,向师生使用数学软件学习数学和 研究数学转变.教材向师生提供了三套软件:Scilab、工作表和几何画板。 五.教学方法与学习指导策略建议 1.教学方法:本节课是对初中内容的加深,学生以相关知识比较熟悉,因此采 用以学生活动为主,自主探究,合作交流的教学方法为宜。 2.学习指导策略建议 (1)认知起点 建构主义的基本主张认为学习是一个积极主动的建构过程, 学习者不是被 动地接受外在信息, 而是根据先前认知结构主动地有选择性地知觉外在信息,建 构当前事物的意义,所以课程实施决不是教师给学生灌输知识、技能,也不是学 生只被动地陷于接受、记忆、模仿和练习等低等而乏味的活动。高中数学课程应 该是学生在自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式下,师 生之间、 学生之间进行愉快而有效的多边互动。所有这些活动都需要学生在知识 起点方面有所准备。通过初中数学的学习,学生已经对一次函数、二次函数的性 质与图像有了深刻了解,以此为基础课本在第二章《基本初等函数》介绍了指数 函数、对数函数、幂函数的基本性质,并且要求学生能够运用计算机绘制它们的 图像, 此时学生已经对初等函数的本质属性、初等函数的图像与性质的联系有了 较高层次的认识,所以在本节课提出函数零点的概念,不会显得突然,反而对学 生的认知过程有很好的帮助。 (2) . 学习兴趣 有了良好的知识基础, 学生的知识起点自然就会比较平顺的与本节课的 内容进行衔接,这样学生的学习兴趣会得到的保障。另外,在现代化教学设备 方面,我们配备了最型新 TI 计算器,而这种计算器的功能强大,可以帮助学 生简单、准确地描绘函数图像,所以学生的兴趣又得到了的提高。其实这些都 是次要的,重要的是学生对知识的渴望,这种对未知世界的好奇感可以指引他 们的学习向着正确的方向发展。 (3) .学习障碍 本节课的学习障碍为零点概念的认识。零点的概念是在分析了众多图像 的基础上,由图像与 x 轴的位置关系得到的一个象形的概念,学生可能会设法 画出图像找到所有任意函数的可能存在的所有零点, 但是并不是所有函数的图 像都能具体的描绘出,所以在概念的接受上有一点的障碍。 (4) .学习难度 新教材关注学生的学习兴趣和认知特点, 一方面注意控制教材内容总量 精选学生终身学习必备的基础知识和基本技能, 一方面适当降低某些知识的难 度要求,改变原理性知识偏重思辨和过深、过难的现象,本节课就充分体现了 这一点 。难度适中,知识要点突出,层次分明,符合学生的思维特点。
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求函数零点近似解的一种计算方法──二分法 杨 琳 四、 教学目标
7、 知识目标:通过具体实例了解二分法是求方程近似解的常用方法,理解用二分法求函数 零点的原理,从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用. 8、 能力目标:能借助计算器用二分法求方程的近似解,并了解这一数学思想,为学习算法 做准备. 9、 情感目标:感受“无限逼近”过程,引导学生体会“用有理数逼近无理数”的思想方法。

五、 教学重点、难点
重点是学会用二分法求函数的零点;难点理解用二分法求函数零点的原理。

六、 教学方法
本节课采用以学生活动为主体,自主探究,合作交流的教学方法。

四、教学过程
教学 环节 复习 引入 求下列函数的零点: (1) y= - 3x+2 (2) (3) (4) 教学内容 师生互动 设计意图

y ? x 2 ? 5x ? 4 y ? x 3 ? 8x y ? x 3 ? 3x ? 1

(只需求一个实数零点)

学生思考 后回答, 前三道题 没 有 困 难,第四 题学生求 不出来, 教师可引 导学生我 们虽不能 求出零点 的 精 确 值,但我 们可以求 出零点的 近似解。 学 生 猜 MP3 的价 格,然后 让学生说

学生已经会 求一次函数、 二次函数以 及简单的三 次函数的零 点,但是有一 些三次函数 或更高次的 函数我们不 会或不能求 出它们的零 点的精确值, 这时我们就 要寻求一种 求零点近似 值的方法。 通 过 猜 MP3 的价格,让学 生体会逐渐 逼近的过程,

前三道题大家已经可以解出零点, 但第四题用分解因式的方 法我们不能求出相应的零点,不能求出零点的精确值,那么我 们能不能用别的方法求出函数零点的近似值呢? 大家看过李咏主持的《幸运 52》节目吗? 下面请同学猜一部
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方法 形成

MP3 的价格? 分小组讨论,怎样才能又快又准的猜出 MP3 的价格。 步骤: (1) 先说出一个你认为合理的最高价格 a0 及最高价格 b0, 使 得手机价格 x ? [a0 , b0 ] (2) 说出 a0 , b0 的平均价格 x0, ①若 x0 为 MP3 价格则结束; ②若 x0 高于 MP3 价格,算出 a0 与 x0 的平均价格为 x1, 令

出他们在 猜 MP3 价 格时的思 路。引导 学生,得 出结论。

并归纳出二 分法。若学生 没有直接取 中点,可多叫 几个学生,比 较方法的优 劣,逐渐向二 分法靠拢。

a1 ? a0 , b1 ? x0
③若 x0 高于 MP3 价格,算出 b0 与 x0 的平均价格为 x1, 令

a1 ? x0 , b1 ? b0
(3) 说出 a1 , b1 的平均价格 x1, ①若 x1 为 MP3 价格则结束; ②若 x1 高于 MP3 价格,算出 a1 与 x1 的平均价格为 x2, 令

a2 ? a1 , b2 ? x1
③若 x1 高于 MP3 价格,算出 b1 与 x1 的平均价格为 x2, 令

a2 ? x1 , b2 ? b1
┄┄ 继续上述步骤,直到猜出手机价格为止。 上述动态过程,每次都将所给最高价格和最低价格一分为 二,进行比较后得到新的最高价格、最低价格,再一分为二, 如此下去,逐步逼近 MP3 的价格。这种思想就是二分法。 我们体会到了二分法在实际生活中的用处,其实它在数学 中也有很大的用处。大家看我们能不能用这种方法去求 方法 深化 学生分小 组讨论函 数的正实 数零点的 近似解。 前面已深入 讨论了二分 法的实施步 骤,学生可以 模仿上面的 步骤得到正 实数零点的 近似解。 让学生自己 归纳总结二 分法步骤,可 能有一定困 难,在学生总 结的基础上,

y ? x 3 ? 3x ? 1 的正实数零点的近似解呢?(精确到 0.1)

总结 方法 二分法及步骤:

分组讨论 二分法的 具 体 步 骤,教师 点 评 完 善。
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已知函数y ? f ( x )定义在区间D上, 求它在D上的 一个零点x0的近似值x, 使它满足给定的精确度 . 第一步:在D内取一个闭区间 [a0,b0 ] ? D, 使 f ( a0 )与f (b0 )异号,即f ( a0 ) ? f (b0 ) ? 0.零点位于 区间[a0 , b0 ]中。
第二步:取区间 [a0 , b0 ]的中点,则此中点对应 的 1 1 (b0 ? a0 ) ? ( a0 ? b0 ) 2 2 计算f ( x0 )和f ( a0 )并判断 : 坐标为x0 ? a0 ? (1)如果f ( x0 ) ? 0, 则x0就是f ( x )的零点, 计算终止; ( 2)如果f ( a0 ) ? f ( x0 ) ? 0, 则零点位于区间 [a0 , x0 ]中, 令a1 ? a 0 , b1 ? x0 ; (3)如果f ( a0 ) ? f ( x0 ) ? 0, 则零点位于区间 [ x0 , b0 ]中, 令 a1 ? x0 , b1 ? b0 ; 第三步:取区间 [a1 , b1 ]的中点,则此中点对应 的 1 1 (b1 ? a1 ) ? ( a1 ? b1 ) 2 2 计算f ( x1 )和f ( a1 )并判断 : 坐标为x1 ? a1 ? (1)如果f ( x1 ) ? 0, 则x1就是f ( x )的零点, 计算终止; ( 2)如果f ( a1 ) ? f ( x1 ) ? 0, 则零点位于区间 [a1 , x1 ]中, 令 a 2 ? a1 , b2 ? x1 ; (3)如果f ( a1 ) ? f ( x1 ) ? 0, 则零点位于区间 [ x1 , b1 ]中, 令 a 2 ? x1 , b2 ? b1 ;
继续实施上述步骤,直到区间 [an , bn ] ,函数的零点总位于 区间 [an , bn ] 上,当 an和bn 按照给定的精确度所取的近似值相 同时,这个相同的近似值就是函数 y=f(x)的近似零点,计算终 止。这时函数 y=f(x)的近似零点满足给定的精确度。 练习 巩固 教材 P75 练习 B 1、2 思考题:1 你能否把二分法步骤用表格的形式表示出来? 2 除了二分法,能否还有其他的方法求函数的零点。 课堂小结 1 二分法是一种求函数零点近似解的通法。 2 利用二分法来解函数零点近似解的操作步骤。
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进一步规范 化。

学生练 习。 学生练 习。 师生共同 总结

进一步巩固 所学知识 给数学感兴 趣的同学拓 宽视野。 总结回顾

小结

3 体现了极限及无限逼近的数学思想方法 注:二分法求零点,本教材所指为变号零点,变号零点的概念 大家回去看书(P72) 。 作业 1 P75 A 7 2 阅读 P72-74 B 1 、2 课后练习 巩固课堂所 学知识

求函数零点近似解的计算方法——二分法
温泉二中 刘红莲

七、 教学目标
10、 知识目标: 了解函数变号零点与不变号零点的区别, 会判断函数变号零点的存在性, 掌握求函数变号零点的近似解的常用方法——二分法 11、 能力目标: 体验求函数零点的近似解的常用方法——二分法的求解过程, 提高数学 知识的综合应用能力。 12、 情感目标: 让学生初步体会二分法是解决一类问题的一种算法, 是一种通法可以通 过程序化进行,进一步的是自己去寻找计算函数零点的另一种算法。

八、 教学重点、难点
重点:学会用二分法求函数零点; 难点:二分法求函数零点近似解的原理及隐含其中的数学思想方法的理解。

九、 教学方法
本节课可以通过实例领会函数变号零点的求法——二分法, 并会将二分法的过程与步骤作程 式化总结,以便于应用计算机求解。

四、教学过程
教学 环节 教学内容 师生互动 设计意图

央视节目《幸运 52》中有一个猜商品价格的游戏,选手 若猜中, 则商品归自己所有, 在规定的一分钟内谁都想尽 量多猜中几件商品的价格。 引入

师:假如你 是这个游戏 的参加者, 你有什么方 法能尽可能 快的猜出所 展示的商品 的价格吗? 学生: 思考、 回答 学生互动, 讨论交流; 师生共同总 结解决问题

一方面可 以激发学 生的学习 兴趣; 另一方面 可以从游 戏中让学 生明白二 分法的原 理 通过就具 体问题的 讨论得出 二分法是

接下来看这样的问题:有一段 10 千米的长的线路发生故 障如何查出故障所在的位置。

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方法 形成

请同学们想一想: 我们通过怎样的方法才能在最短的时间 内线路的故障所在呢?

的简洁途 径。

解决问题 的一种有 效计算方 法,

问题: 二分法除了可以解决以上的实际问题, 是否还可以 解决我们数学中的什么问题?——求函数的零点的近似 解问题

问题:二分 法除了可以 解决以上的 实际问题, 是否还可以 解决我们数 学中的什么 问题?教师 提出问题, 学生思考 教师:要注 意判断函数 是否可用二 分法求零 点。 类比上述方 法师生共同 完成此题的 求解过程 注:用二分 法求函数零 点的近似 值,首先要 选好计算的 初始区间, 这个区间既 要符合条 件,又要使 其长度尽可 能的小,以 便减少运算 量。

引出课题: 求函数零 点近似解 的计算方 法——二 分法

例 1 用二分法求函数 f ? x ? ? x ? 5 的一个正零点(精确
2

到 0.01 ) 解:⑴由 f ? 2? ? ?1, f ? 2.5? ? 6.25 , f ? 2??f ? 2.5? ? 0 可知函数的一个正零点在 ? 2, 2.5? 区间中; ⑵取 ? 2, 2.5? 的区间中点 2.25 ; ⑶计算 f ? 2.25? ? 5.0625 ? 5 ? 0.0625 ; ⑷ 由 于 f ? 2??f ? 2.25? ? 0 , 则 有 零 点 的 新 区 间 为

?2, 2.25?
⑸取 ? 2, 2.25? 的区间中点 2.125 ; ⑹计算 f ? 2.125? ? 4.494425 ? 5 ? ?0.505575 ; 方法 深化 ⑺由于 f ? 2.125??f ? 2.25? ? 0 ,则有零点的新区间为

?2.125, 2.25?;
⑻取 ? 2.125, 2.25? 的区间中点 2.1875 ; ⑼计算 f ? 2.1875? ? 4.7851563 ? 5 ? ?0.248437 ; ⑽由于 f ? 2.1875??f ? 2.25? ? 0 ,则有零点的新区间为

用二分法 求函数零 点的一般 步骤讲解, 通过师生 共同对例 1 中二次 函数零点 的近似解 求解过程 及教参中 的课件展 示, 使学生 对这个求 解的过程 有一个直 观的认识, 进一步熟 悉求解原 理及步骤, 再次体现 二分法的 思想

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?2.1875, 2.25? ;
⑾取 ? 2.1875, 2.25? 的区间中点 2.21375 ; ⑿计算 f ? 2.21375? ? 4.900689 ? 5 ? ?0.099311; ⒀由于 f ? 2.21375??f ? 2.25? ? 0 ,则有零点的新区间为

?2.21375,2.25? ;
⒁取 ?2.21375,2.25? 的区间中点 2.231875 ⒂计算 f ? 2.231875? ? 4.981266 ? 5 ? ?0.018734 ; ⒃由于 f ? 2.231875??f ? 2.25? ? 0 ,则有零点的新区间 为 ?2.231875,2.25? ; ⒄取 ?2.231875,2.25? 的区间中点 2.2409375 ; ⒅计算 f ? 2.2409375? ? 5.022081 ? 5 ? 0.022081 ; ⒆由于 f ? 2.231875??f ? 2.2409375? ? 0 , ⒇由于 f ? 2.23640625??f ? 2.2409375? ? 0 ,则有零点 的新区间为 ?2.236406255,2.2409375? ;又因为零点要 求精确到 0.01 ,而区间两端点近似值相同都是 2.24 所以 函数 f ? x ? ? x ? 5 的一个正零点为:2.24
2

接下来由 学生求解 例 2 中三 次函数零 点的近似 解, 从而达 到掌握用 二分法求 函数零点 的方法。

例 2 用二分法求函数 f ? x ? ? x ? x ? 2x ? 2 的一个正零
3 2

点(精确到 0.01 ) 用二分法求函数零点的一般步骤: 第一步: 在 D 内取一个闭区间 ? a0 , b0 ? ? D , 使 f ? a0 ? 与 师:引导学 生归纳、总 结用二分法 求函数零点 的一般步骤 并仔细体会 此步骤的实 现过程,感 悟其中的思 想方法.

f ? b0 ? 异 号 , 即 f ? a0 ? ? f ?b0 ? ? 0 , 零 点 位 于 区 间

?a0 , b0 ? 中。
第二步:取区间 ? a0 , b0 ? 的中点,则此中点对应的坐标为

1. 结 合 以 上两个题 目的求解

第 30 页 共 40 页

自主 探索

x0 ? a0 ?

1 1 ? b0 ? a0 ? ? ? a0 ? b0 ? 。 2 2

计算 f ? x0 ? 和 f ? a0 ? ,并判断:

过程由学 总结出求 解步骤

生:仔细体 会二分法原 ①如果 f ? x0 ? ? 0 ,则 x0 就是 f ? x ? 的零点,计算终止; 理,并根据 用二分法求 ②如果 f ? a0 ? ? f ? x0 ? ? 0 ,则零点位于区间 ? a0 , x0 ? 中, 函数零点的 步骤解决一 令 a1 ? a0 , b1 ? x0 ; 些实际问题 ③如果 f ? a0 ? ? f ? x0 ? ? 0 ,则零点位于区间 ? x0 , b0 ? 中, 令 a1 ? x0 , b1 ? b0 第三步:取区间 ? a1 , b1 ? 的中点,则此中点对应的坐标为 2. 同 时 让 学生理解 二分法求 函数零点 的近似解 的基本思 想是: 逐渐 缩小有零 点区间长 度, 知道满 足精确度 的要求。 即: 向学生 渗透隐含 其中的逼 近、 近似的 思想。

x1 ? a1 ?

1 1 ? b1 ? a1 ? ? ? a1 ? b1 ? 。 2 2

计算 f ? x1 ? 和 f ? a1 ? ,并判断: ①如果 f ? x1 ? ? 0 ,则 x1 就是 f ? x ? 的零点,计算终止; ②如果 f ? a1 ? ? f ? x1 ? ? 0 ,则零点位于区间 ? a1 , x1 ? 中, 令 a2 ? a1 , b2 ? x1 ; ③如果 f ? a1 ? ? f ? x1 ? ? 0 ,则零点位于区间 ? x1 , b1 ? 中, 令 a2 ? x1 , b2 ? b1 ?? 继续实施上述步骤,直到区间 ? an , bn ? ,函数的零点总位 于区间 ? an , bn ? 上,当 an 和 bn 按照给定的精确度索取的 近似值相同时,这个相同的近似值就是函数 y ? f ? x ? 的 近似零点,计算终止。这是函数 y ? f ? x ? 的近似零点满 足给定的精确度。 练习 反馈 练习: 用二分法求函数 f ? x ? ? ?x ? x ? 5 的一个负零点
2

学生练习

知识的熟 练与巩固

(精确到 0.01 ) 例如:函数 y ? x ? 2 x ? 1能否用二分法求近似零点。
2

教师:所有

明确二分

第 31 页 共 40 页

拓展 应用

函数是否都 可用二分法 求零点。 学生:尝试 利用二分法 求解

法应用的 条件: 对函数的 图像是连 续不间断 的一类变 号零点有 效。

通过上面题 目的求解, 我们可以看 到用“二分 法”求解函 数在某个区 间上的零点 的近似之一 般都很复 杂,表现在 进行大量的 重复计算, 运算量大, 这种按部就 班的求解问 题的过程实 质上是一种 算法,这类 题一般都要 借助于计算 机来完成。 但它是一种 通法 课堂 练习 教材第 74-75 页练习 A1 B1 课堂小结 (1)知识方面 了解了函数变号零点与不变号零点的区别, 判断函数变号 零点的存在性, 求函数变号零点的近似解的常用方法—— 二分法。 (2)数学思想方法 主要有特殊到一般的思维方法、 逼近的思想、 数形结合的 思想、算法的思想。 求函数 y ? x ? 2 x ? x ? 2 的零点,并画出它的图像
3 2

渗透一些 算法的思 想

学生练习。

知识的熟 练与掌握

归纳 小结

学生总结, 师生补充完 善。

帮助学生 梳理一下 本节课的 知识点

布置 作业

学生练习。

知识的熟 练与掌握

第 32 页 共 40 页

求函数零点近似解的计算方法——二分法 温泉二中 十、 教学目标
13、 知识目标: 了解函数变号零点与不变号零点的区别, 会判断函数变号零点的存在性, 掌握求函数变号零点的近似解的常用方法——二分法 14、 能力目标: 体验求函数零点的近似解的常用方法——二分法的求函数零点近似解的 过程,初步体会属性结合逼近、近似、算法等重要数学思想方法,提高学习数学知识的 综合应用能力。 15、 情感目标: 经历无限逼近的过程, 感受整体与局部、 精确与近似的对立统一辩证观, 让学生初步体会二分法是解决一类问题的一种算法,是一种通法可以通过程序化进行, 进一步的是自己去寻找计算函数零点的另一种算法。

华玲

十一、 十二、

教学重点、难点 教学方法

重点是学会用二分法求函数近似零点;难点是理解用二分法求函数的零点的原理。

本节课可以通过实例领会函数变号零点的求法——二分法, 并会将二分法的过程与步骤作程 式化总结,以便于应用计算机求解。

四、教学过程
教学 环节 教学内容 师生互动 设计意图

引入

在日常生活中,经常遇到电线、网线、或电话线等 线路出现故障: 例如有一段 10 千米的长的电话线路发生故障如何查 出故障所在的位置。 有一段 10 千米的长的线路发生故障如何查出故障所 在的位置。 寻找解决问题的途径

线段演示,学生 思考、各抒己见

引出课题

方法 形成

学生互动,讨论 交流;师生共同 总结解决问题的 简洁途径。介绍 二分法

通过就具 体问题的 讨论得出 二分法是 解决问题 的一种有 效计算方 法, 问题的具 体化

问题:我们由上节课知道并非所有函数都能像一次、 问题: 二次函数可用公式法求出零点, 教师提出问题, 二分法除了可以解决以上的实际问题,是否还可以 学生思考 解决求函数的零点的近似解问题?

第 33 页 共 40 页

例 1 用二分法求函数 f ? x ? ? x2 ? 5 的一个正零点 方法 深化 (精确到 0.1 ) 解法说明:1 应用函数零点的性质选取包含零点的初 始区间[2,3](满足 f(2)×f(3)<0 2 求区间[2,3]的中点 2? 5 及 f( 2? 5 ) 3 利用性质判断 f(2)·f( 2? 5 )<0,确定区间[2, 2? 5 ] 以此类推?? 4[2, 2? 25 ][ 2?125 ], 2? 25 ][ 2?1875 , 2? 25 ] [ 2? 21875 , 2? 25 ]?? 可知 2.24 是该函数的一个零点近似值。 例 2 用二分法求函数 f ? x ? ? x3 ? x2 ? 2x ? 2 的一 个正零点(精确到 0.01 )

教师: 。 类比上述方法师 生共同完成此题 的求解过程 注:用二分法求 函数零点的近似 值,首先要选好 计算的初始区 间,这个区间既 要符合条件,又 要使其长度尽可 能的小,以便减 少运算量。 通过上面题目的 求解,我们可以 看到用“二分法” 求解函数在某个 区间上的零点的 近似值一般都很 复杂,表现在进 行大量的重复计 算,运算量大, 这种按部就班的 求解问题的过程 实质上是一种算 法,这类题一般 都要借助于计算 机来完成。但它 是一种通法

再次体现 二分法的 思想

渗透一些 算法的思 想

用二分法求函数零点的一般步骤: 第一步:在 D 内取一个闭区间 ? a0 , b0 ? ? D ,使

f ? a0 ? 与 f ? b0 ? 异号,即 f ? a0 ? ? f ?b0 ? ? 0 ,零点
位于区间 ? a0 , b0 ? 中。 第二步:取区间 ? a0 , b0 ? 的中点,则此中点对应的坐 标为 自主 探索

学生归纳、总结。 让学生将 知识点归 用二分法求函数 纳总结出 零点的一般步骤 来, 熟悉二 分法的解 题步骤

x0 ? a0 ?

1 1 ? b0 ? a0 ? ? ? a0 ? b0 ? 。 2 2

注意中点计算方 法

计算 f ? x0 ? 和 f ? a0 ? ,并判断:

第 34 页 共 40 页

(1)如果 f ? x0 ? ? 0 ,则 x0 就是 f ? x ? 的零点,计 算终止; ( 2 ) 如 果 f ? a0 ? ? f ? x0 ? ? 0 , 则 零 点 位 于 区 间

? a0 , x0 ? 中,令 a1 ? a0 , b1 ? x0 ;
( 3 ) 如 果 f ? a0 ? ? f ? x0 ? ? 0 , 则 零 点 位 于 区 间

? x0 , b0 ? 中,令 a1 ? x0 , b1 ? b0
第三步:取区间 ? a1 , b1 ? 的中点,则此中点对应的坐 标为

x1 ? a1 ?

1 1 ? b1 ? a1 ? ? ? a1 ? b1 ? 。 2 2

计算 f ? x1 ? 和 f ? a1 ? ,并判断: (1)如果 f ? x1 ? ? 0 ,则 x1 就是 f ? x ? 的零点,计 算终止; ( 2 ) 如 果 f ? a1 ? ? f ? x1 ? ? 0 , 则 零 点 位 于 区 间

?a1, x1 ? 中,令 a2 ? a1, b2 ? x1 ;
( 3 ) 如 果 f ? a1 ? ? f ? x1 ? ? 0 , 则 零 点 位 于 区 间

? x1, b1 ? 中,令 a2 ? x1, b2 ? b1
?? 继续实施上述步骤,直到区间 ? an , bn ? ,函数的零点 总位于区间 ? an , bn ? 上,当 an 和 bn 按照给定的精确 度索取的近似值相同时,这个相同的近似值就是函 数 y ? f ? x? 的 近 似 零 点 , 计 算 终 止 。 这 是 函 数

y ? f ? x ? 的近似零点满足给定的精确度。

第 35 页 共 40 页

练习 反馈

练习: 用二分法求函数 f(x)=2x-5 的零点 用二分法求函数 f ( x) ? x3 ? 3x2 ? 2 x ? 6 的一个正 零点(精确到 0.1)

学生练习

让学生进 一步体会 二分法原 理

拓展 应用

1 例如:函数 y ? x2 ? 2 x ? 1能否用二分法求近似零 点。 2 能否用三分法研究问题?

教师:所有函数 是否都可用二分 法求零点。 学生尝试利用二 分法求解 注意判断函数是 否可用二分法求 零点

明确二分 法应用的 条件: 对函数的 图像是连 续不间断 的一类变 号零点有 效。

课堂 练习

学生练习。 教材第 74-75 页练习 A1 B1 课堂小结 (1)知识方面 了解了函数变号零点与不变号零点的区别,判断函 数变号零点的存在性,求函数变号零点的近似解的 常用方法——二分法。 (2)数学思想方法 主要有特殊到一般的思维方法、逼近的思想、数形 结合的思想、算法的思想。 求函数 y ? x3 ? 2 x2 ? x ? 2 的零点,并画出它的图 像

归纳 小结

学生总结, 师生补充完善。

布置 作业

学生练习。

2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法---二分法
六十七中学 张映晖

一、 教学目标
1、知识目标:理解用二分法求函数零点的原理,学会用二分法求函数的零点.

第 36 页 共 40 页

2、能力目标:让学生能够初步了解逼近思想,极限思想,培养学生探究问题的能力、 严谨的科学态度和创新能力。

3、情感目标:通过具体实例的探究,归纳概括所发现的结论或规律,体会从具体到一 般的认知过程。

二、教学重点、难点
重点是能够借用计算器, 用二分法求相应方程的近似解, 使学生体会函数的零点与方程根之 间的关系,初步形成用函数观点处理问题的意识。 难点是理解用二分法求函数零点的原理

三、教学方法
启发式教学:游戏导入 ?推出课题 ?实践探究 ?总结提炼 ?学生感悟

四、教学过程
教学 环节 情境 设置 教学内容 师生互动 设计意图

看过李咏主持的 《幸运 52》 节目吗?下面我们进行商品竟猜。 学 生 开 始 大家猜一款手机的价格。 竟猜

通过情境的 设置激发学 生学习的热 情,让学生体 会到数学来 源于生活。并 让学生初步 理解二分法 的原理. 竟猜成功的 方法很多,教 师要对各种 方法进行类 比,最后统一 到二分法上. 培养学生分 析问题、归纳 总结的能力。 学生很容易 地解出方程 (1)、 (2) ,对

1、 分析学生竟猜成功的方法。 2、 引出课题 3、 我们体会到了二分法在实际生活中的用处, 其实它在数学 中也有很大的用处. 方法 形成 解方程 (1)2x+6=0 (2) x ? x ? 6 ? 0
2

(3) x ? 3x ? 1 ? 0
3

由学生分 析,教师纠 正补充。 教师展示 多媒体课 件 —— 区 间逼近法

(1)、 (2)题同学们很快正确地解出,那么第(3)题呢?我们 感觉很困难。那么我们能否利用二分法来求它的近似解呢? 求方程 x ? 3x ? 1 ? 0 的一个近似解?(精确到 0.1)
3

生: 如果能够将零点所在的范围尽量缩小,那么在一定精确
第 37 页 共 40 页

度的要求下,我们可以得到零点的近似值。 我们可以通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范 围。取区间(0,1)的中点 0.5,用计算器算得 f (0.5) ? 0.625, 因为 f (0) ? f (0.5) ? 0 ,所以零点在区间(0,0.5)内。再取区 间(0,0.5)的中点 0.25,用计算器算得 f (0.25) ? ?0.23438, 因为 f (0.25) ? f (0.5) ? 0 ,所以零点在区间(0.25,0.5)内。 由于(0,1) ? (0,0.5) ? (0.25,0.5),所以零点所在的范 围越来越小。重复上述步骤,得到 |0.375-0.3125|=0.0625 ? 0.1,所以方程的近似解为 x1 ? 0.3 4. (多媒体展示出用二分法求函数零点的一般步骤)

已知函数y ? f ( x)定义在区间D上, 求它在D上的 一个零点x 0的近似值x, 使它满足给定的精确度 . 第一步:在D内取一个闭区间 [a 0,b0 ] ? D, 使 f (a 0 )与f (b0 )异号,即f (a 0 ) ? f (b0 ) ? 0.零点位于 区间[ a 0 , b0 ]中。 第二步:取区间 [a 0 , b0 ]的中点,则此中点对应 的 1 1 坐标为x 0 ? a 0 ? (b0 ? a 0 ) ? (a 0 ? b0 ) 2 2 计算f ( x 0 )和f (a 0 )并判断 : (1)如果f ( x 0 ) ? 0, 则x0 就是f ( x)的零点, 计算终止; (2)如果f (a 0 ) ? f ( x 0 ) ? 0, 则零点位于区间 [a 0 , x 0 ]中, 令 a1 ? a 0 , b1 ? x 0 ; (3)如果f (a 0 ) ? f ( x 0 ) ? 0, 则零点位于区间 [ x0 , b0 ]中, 令 a1 ? x 0 , b1 ? b0 ; 第三步:取区间 [a1 , b1 ]的中点,则此中点对应 的坐标 1 1 为x1 ? a1 ? (b1 ? a1 ) ? (a1 ? b1 ) 2 2 计算f ( x1 )和f (a1 )并判断 : (1)如果f ( x1 ) ? 0, 则x1就是f ( x)的零点, 计算终止; (2)如果f (a1 ) ? f ( x1 ) ? 0, 则零点位于区间 [a1 , x1 ]中, 令 a 2 ? a1 , b2 ? x1 ; (3)如果f (a1 ) ? f ( x1 ) ? 0, 则零点位于区间 [ x1 , b1 ]中, 令 a 2 ? x1 , b2 ? b1 ;


分小组讨 论求近似 解。 由小组长 阐述解决 问题的方 法。并由同 学来判断 其正误。由 正确的学 生来总结 用二分法 求方程近 似解的方 法。由教师 评价补充 完善。

于( 3 )的解 答就非常困 难,以前的方 法很难解出 这道题,有些 学生就会联 想到二分法, 通过步步逼 近的方法,逐 步找到近似 解。 培养学生探 索、解决问题 的能力。发挥 学生学习的 主动性。 从求方程的 近似解到总 结出用二分 法求函数零 点的步骤,再 利用这个方 法解决问题, 从而让学生 体会从特殊 到一般,再到 特殊的研究 问题的方法。

第 38 页 共 40 页

继续实施上述步骤,直到区间 [an , bn ] ,函数的零点总位于区 间 [an , bn ] 上,当 an和bn 按照给定的精确度所取的近似值相 同时,这个相同的近似值就是函数 y=f(x)的近似零点,计算 终止。这时函数 y=f(x)的近似零点满足给定的精确度。 巩固 练习 练习:教材 P75 练习 B---1,2。 课堂小结 知识方面 (1)二分法是一种求一元方程近似解的通法。 (2)利用二分法来解一元方程近似解的操作步骤。 数学思想方法 区间逼近和极限的方法 研究方法 特殊----一般-----特殊 1、 教材 P75 习题 2----4---A---7;习题 2---4---B---1,2. 2、 把二分法求函数零点的步骤利用图表表示出来; 3、 阅读教材 P72 第二段和 P74 最后一段。 4、 对于学有余力的同学, 你是否还能找到另一种计算函数零 点的算法吗?(可查阅材料或借助计算机) 。 学生练习。 巩固已学知 识 培养学 归纳总结的 习惯

归纳 小结

学生总结, 师生补充 完善。

布置 作业

学生练习。 习题 A 的作 业是巩固所 学知识;习题 B 的作业利用 二分法原理 解决问题。作 业 3 是让学生 了解数学史 和算法的了 解,为算法的 学习打下伏 笔。作业 4 是 针对学有余 力的同学,培 养他们自主 学习的能力。

说明:本教案是在把“变号零点”放在 2.4.1 节讲授的前提下设计的。

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编写人员名单:张晓东 毛春桃 贾康康 华玲 杨冬香 刘红莲

洪彬

赵炎

张映辉

杨琳

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