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2015创新设计二轮专题复习配套-专题训练1-3-2


第2讲
一、选择题

数列的综合问题

1.(2014· 杭州质量检测)设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和.若 a4<0,a5>|a4|, 则使 Sn>0 成立的最小正整数 n 为 A.6 C.8 解析 ∵a4<0,a5>|a4|, B.7 D.9 ( ).

∴a4+a5>0, 8?a4+a5? 8?

a1+a8? ∴S8= = >0. 2 2 ∴最小正整数为 8. 答案 C

?n+1?π 2.(2014· 广州综合测试)在数列{an}中,已知 a1=1,an+1-an=sin 2 ,记 Sn 为数列{an}的前 n 项和,则 S2014= A.1 006 C.1 008 解析 B.1 007 D.1 009 ( ).

?n+1?π ?n+1?π 由 an+1-an=sin 2 ?an+1=an+sin 2 ,所以 a2=a1+sin π=1

3π +0=1,a3=a2+sin 2 =1+(-1)=0,a4=a3+sin 2π=0+0=0,a5=a4+ 5π sin 2 =0+1=1,∴a5=a1,如此继续可得 an+4=an(n∈N*),数列{an}是一个 以 4 为周期的周期数列,而 2 014=4×503+2,因此 S2 a3+a4)+a1+a2=503×(1+1+0+0)+1+1=1 008. 答案 C
014=503×(a1+a2+

?1? 3. (2014· 吉林省实验中学模拟)an=?n(2x+1)dx, 数列?a ?的前项和为 Sn, 数列{bn} ? n? ?0

的通项公式为 bn=n-8,则 bnSn 的最小值为 A.-3 B.-4

(

).

C.3 解析

D.4 1 an=?n(2x+1)dx=n2+n=n(n+1),所以a = n ?0

n?n-8? 1 1 n 9 - ,所以 S ,所以 b = n + 1 + -10≥-4,当且 n= nSn= n n+1 n+1 n+1 n+1 仅当 n+1= 答案 B 9 ,即 n=2 时等号成立,所以 bnSn 的最小值为-4. n+1

4 .已知各项都为正的等比数列 {an} 满足 a7 = a6 + 2a5 ,存在两项 am , an 使得 1 4 am· an=4a1,则m+n的最小值为 3 A.2 25 C. 6 解析 5 B.3 4 D.3 由 a7=a6+2a5,得 a1q6=a1q5+2a1q4,整理有 q2-q-2=0,解得 q= am· an=4a1, ( ).

2 或 q=-1(与条件中等比数列的各项都为正矛盾, 舍去), 又由

1 2 m+n-2 得 aman=16a2 =16a2 1,即 a12 1,即有 m+n-2=4,亦即 m+n=6,那么 m 4 1 ? 1 4? 1?4m n ? 1? +n=6(m+n)?m+n?=6? n +m+5?≥6?2 ? ? ? ? ? 3 m+n=6,即 n=2m=4 时取得最小值2. 答案 A 4m n 4m n ? 3 ?= , 当且仅当 · + 5 n =m, n m ? 2

二、填空题 5.(2013· 辽宁卷)已知等比数列{an}是递增数列,Sn 是{an}的前 n 项和.若 a1,a3 是方程 x2-5x+4=0 的两个根,则 S6=________. 解析 ∵a1,a3 是方程 x2-5x+4=0 的两根,且 q>1,

∴a1=1,a3=4,则公比 q=2, 1×?1-26? 因此 S6= =63. 1-2 答案 63

6.(2014· 江苏五市联考)各项均为正数的等比数列{an}中,a2-a1=1.当 a3 取最小

值时,数列{an}的通项公式 an=________. 解析 根据题意,由于各项均为正数的等比数列{an}中,

a2-a1=1,所以 q>1. a2 1 ∵a =q,∴a1(q-1)=1,a1= , q-1 1 ?q-1?2+2?q-1?+1 q2 ∴a3= = q-1 q-1 =q-1+ 1 +2≥2 q-1 1 ?q-1?· +2=4, q-1


当且仅当 q=2 时取得等号,故可知数列{an}的通项公式 an=2n 1. 答案 2n-1

7.(2014· 咸阳一模)已知函数 f(x)=x+sin x,项数为 19 的等差数列{an}满足 an∈ ? π π? ?-2,2? ,且公差 d≠0. 若 f(a1) + f(a2) +…+ f(a18) + f(a19) = 0 ,则当 k = ? ? ________时,f(ak)=0. 解析 因为函数 f(x)=x+sin x 是奇函数,所以图象关于原点对称,图象过原

? π π? 点. 而等差数列{an}有 19 项, an∈?-2,2?, 若 f(a1)+f(a2)+…+f(a18)+f(a19) ? ? =0,则必有 f(a10)=0,所以 k=10. 答案 10

8.(2013· 新课标全国卷Ⅱ)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S10=0,S15=25, 则 nSn 的最小值为________. 10×9 ? S = 10 a + 10 1 ? 2 d=0, 由已知? 15×14 ? ?S15=15a1+ 2 d=25,

解析

2 解得 a1=-3,d=3,那么 nSn

n2?n-1? n3 10n2 x3 10x2 20 =n2a1+ 2 d= 3 - 3 ,由于函数 f(x)= 3 - 3 (x>0)在 x= 3 处取得 极小值也是最小值,因而检验 n=6 时,6S6=-48,而 n=7 时,7S7=-49. 答案 -49

三、解答题 9.已知数列{an}是各项均为正数的等比数列,a3=4,{an}的前 3 项和为 7. (1)求数列{an}的通项公式;

(2)若 a1b1+a2b2+…+anbn=(2n-3)2n+3,设数列{bn}的前 n 项和为 Sn,求 1 1 1 1 证:S +S +…+S ≤2-n.
1 2 n

(1) 解

2 ?a1q =4, ? 设数列 {an} 的公比为 q ,由已知得 q>0 ,且 ∴ ?a1+a1q+4=7,

?a1=1, ? ?q=2. ∴数列{an}的通项公式为 an=2n-1. (2)证明 当 n=1 时,a1b1=1,且 a1=1,解得 b1=1.

当 n≥2 时,anbn=(2n-3)2n+3-(2n-2-3)2n-1-3=(2n-1)· 2n-1. ∵an=2n-1,∴当 n≥2 时,bn=2n-1. ∵b1=1=2×1-1 满足 bn=2n-1, ∴数列{bn}的通项公式为 bn=2n-1(n∈N*). ∴数列{bn}是首项为 1,公差为 2 的等差数列. 1 1 ∴Sn=n2.∴当 n=1 时,S =1=2-1.
1

1 1 1 1 1 当 n≥2 时, = 2< = - . Sn n n?n-1? n-1 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴S +S +…+S ≤2-1+1-2+…+ -n=2-n. n-1 1 2 n 10.(2014· 四川卷)设等差数列{an}的公差为 d,点(an,bn)在函数 f(x)=2x 的图象 上(n∈N*). (1)若 a1=-2,点(a8,4b7)在函数 f(x)的图象上,求数列{an}的前 n 项和 Sn; 1 (2)若 a1=1,函数 f(x)的图象在点(a2,b2)处的切线在 x 轴上的截距为 2-ln 2,
?an? 求数列?b ?的前 n 项和 Tn. ? n?

1 它在 x 轴上的截距为 a2-ln 2. 1 1 由题意知,a2-ln 2=2-ln 2,解得 a2=2. 所以,d=a2-a1=1.从而 an=n,bn=2n, n-1 n 1 2 3 所以 Tn=2+22+23+…+ n-1 +2n, 2 1 2 3 n 2Tn=1+2+22+…+ n-1. 2 1 1 1 n 因此,2Tn-Tn=1+2+22+…+ n-1-2n 2 n 2 =2- n-1-2n= 2 1
n+1

-n-2 2n+1-n-2 .所以,Tn= . 2n 2n

11.数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,且对任意正整数 n,点(an+1,Sn)在直线 2x+y-2=0 上. (1)求数列{an}的通项公式;
? λ? (2)是否存在实数 λ, 使得数列?Sn+λn+2n?为等差数列?若存在, 求出 λ 的值; ? ?

若不存在,请说明理由. 解 (1)由题意,可得 2an+1+Sn-2=0.①

当 n≥2 时,2an+Sn-1-2=0.② an+1 1 ①-②,得 2an+1-2an+an=0,所以 a =2(n≥2). n 1 因为 a1=1,2a2+a1=2,所以 a2=2. 1 所以{an}是首项为 1,公比为2的等比数列.

?1? - 所以数列{an}的通项公式为 an=?2?n 1. ? ? 1 1-2n 1 (2)由(1)知,Sn= 1 =2-2n-1. 1-2
? λ? λ λ λ 若?Sn+λn+2n?为等差数列, 则 S1+λ+2, S2+2λ+22, S3+3λ+23成等差数列, ? ?

9λ? 3λ 25λ 3λ 7 25λ ? ?3 9λ? 则 2?S2+ 4 ?=S1+ 2 +S3+ 8 ,即 2?2+ 4 ?=1+ 2 +4+ 8 ,解得 λ=2. ? ? ? ? 2 又 λ=2 时,Sn+2n+ n=2n+2, 2 显然{2n+2}成等差数列,故存在实数 λ=2, λ 使得数列{Sn+λn+ n}成等差数列. 2


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