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高中数学竞赛 第24讲 三角不等式教案


第 24 讲

三角不等式

含有未知数的三角函数的不等式叫做三角不等式.三角不等式首先是不等式,因此, 处理不等式的常用方法如配方法、比较法、放缩法、基本不等式法、反证法、数学归纳法等 也是解决三角不等式的常用方法.其次,三角不等式又有自己的特点——含有三角式,因而 三角函数的单调性、 有界性以及图像特征、 三角公式及三角恒等变形的方法等

都是处理三角 不等式的常用工具.

A 类例题
? 例 1 已知 ? 、 ? 为锐角,且 x(? ? ? ? ) ? 0 ,求证对一切 x ? 0 ,有 (cos ? ) x ? (sin ? ) x 2
分析 要证的不等式两边均为指数式,且指数相同,可考虑利用函数 f ( x) ? x? 的单调

性,因此首先应比较 cos? 与 sin ? 的大小,而函数 f ( x) ? x? 的单调性与 α 的符号有关,可 分情况讨论. 证明 (1)若 x>0,则 ? ? ? ?

?
2

,则

?
2

?? ?

?
2

? ? ? 0 ,由正弦函数的单调性,得

0 ? sin( ? ? )? sin ? ,即 0 ? cos ? ? sin ? ? 1 ,又 x>0,故有 (cos ? ) x ? (sin ? ) x . ? 1 2

?

( 2 ) 若 x<0 , 则 ? ? ? ?

?
2

,则 0?? ?

?
2

?? ?

?
2

,由正弦函数的单调性,得

0 ? sin ? ? sin( ? ? ) ? 1 ,即 0 ? sin ? ? cos ? ? 1 ,又 x<0,故有 (cos ? ) x ? (sin ? ) x . 2

?

说明 比较不同角的正弦与余弦的大小, 可先化同名, 再利用正余弦函数的单调性比较, 而一组

?
2

? ? 的诱导公式是实现正、余弦转化的有力工具.

例 2 已知 0 ? ? ? ? ,试比较 2 sin 2? 和 cot 分析 两个式子分别含有 2? 与 两式均为正,可考虑作商来比较. 解法一
2sin 2? cot

?
2

的大小.

? 的三角函数,故可考虑都化为 ? 的三角函数,注意到 2
?
2 1 ? cos ? sin ?

?
2

? 4sin ? cos ? tan

? 4sin ? cos ?

1 1 ? = 4cos ? ? 4cos2 ? ? ?4(cos ? ? )2 ? 1 ,∵ 0 ? ? ? ? ,所以当 cos ? ? ,即 ? ? 时,上式 2 2 3

有最大值 1,当 0 ? ? ? ? 且 ? ? 当 0 ?? ?? 且? ?

?
3

时,上式总小于 1.因此,当 ? ?

?
3

时, 2 sin 2? = cot

?
2



?
3

时, 2 sin 2? ? cot

?
2



解法二 设 tan

?
2

? t ,由 0 ? ? ? ? 得 0 ?

?
2

?

?
2

,故 tan

?
2

? t ? 0 ,则 cot

?

1 ? , 2 t

用心 爱心 专心

1

2sin 2? ? 4sin ? cos ? ?

4(1 ? t 2 ) ? 2t ,于是有 (1 ? t 2 ) 2

cot

?
2

- 2 sin 2? = ?

1 4(1 ? t 2 ) ? 2t 9t 4 ? 6t 2 ? 1 (3t 2 ? 1) 2 ? ? ?0 t (1 ? t 2 ) 2 t (1 ? t 2 )2 t (1 ? t 2 )2

因此,当 ? ?

?
3

时, 2 sin 2? = cot

?
2

;当 0 ? ? ? ? 且 ? ?

?
3

时, 2 sin 2? ? cot

?
2



链接 本题用到以下两组三角公式: (1)半角公式 (2)万能公式:
sin ? ? 2 tan 1 ? tan

tan

?
2

?

1 ? cos ? sin ? ? sin ? 1 ? cos ?

?
2
2

?
2

; cos ? ?

1 ? tan 2 1 ? tan
2

? ?
2 ; tan ? ? 2

2 tan 1 ? tan

?
2
2

?
2

例 3 已知 x ? [0, ? ] ,求证:cos(sinx)>sin(cosx) 分析一 从比较两数大小的角度来看,可考虑找一个中间量,比 cos(sinx)小,同时比 sin(cosx)大,即可证明原不等式.

? 证法一 (1)当 x ? 0, , ? 时,显然 cos(sinx)>sin(cosx)成立. 2
(2)当

?
2

? x ? ? 时, 0 ? sin x ? 1 ?

?
2

,?

?
2

? cos x ? 0 ,则 cos(sinx)>0>sin(cosx).

(3)当 0 ? x ?

?
2

时,有 0<sinx<x<

? ? ,而函数 y=cosx 在 (0, ) 上为减函数,从而有 2 2

cos(sinx)>cosx;而 0 ? cos x ? 从而 cos(sinx)>sin(cosx).

?
2

,则 sin(cosx)<cosx,因此 cos(sinx) >cosx >sin(cosx),

分析二 cos(sinx)可看作一个角 sinx 的余弦,而 sin(cosx)可看作一个角 cosx 的正 弦,因此可考虑先用诱导公式化为同名三角函数,再利用三角函数的单调性来证明. 证法二 当 0 ? x ? 即 0<sinx<

?
2

? ? 时, 0<sinx<1, 有 0<cosx<1, sinx+cosx= 2 sin( x ? ) ? 2 ? , 且 4 2

? ? ? -cosx< ,而函数 y=cosx 在 (0, ) 上为减函数,所以 2 2 2 ? -cosx)=sin(cosx),即 cos(sinx)>sin(cosx).x 在其他区域时,证明同 2

cos(sinx)>cos( 证法 1.

? 说明 (1)本题的证明运用到结论: x ? (0, ) 时, sin x ? x ? tan x ,这是实现角与三角 2 函数值不等关系转化的重要工具,该结论可利用三角函数线知识来证明. (2)证法一通过中
间量 cosx 来比较,证法二利用有界性得 sinx+cosx ?
用心 爱心 专心

? ,再利用单调性证明,这是比较大 2
2

小常用的两种方法; (3)本题结论可推广至 x ? R .

情景再现
1.在锐角△ABC 中,求证: sin A ? sin B ? sin C ? cos A ? cos B ? cos C .

? ? 2.已知 x, y ? (0, ) , tan x ? 3 tan y ,求证: x ? y ? . 2 6

? 3.当 x ? [0, ] 时,求证: cos cos x ? sin sin x . 2 B 类例题
例4 在 ?ABC 中,证明: sin A ? sin B ? sin C ?
3 3 2

分析一 本题中有三个变量 A、B、C,且满足 A+B+C=180°,先固定其中一个如角 C, 由于 A+B =180°- C,故对不等式的左边进行和差化积,将其转化为与 A-B 有关的三角函数 进行研究. 证法一 我们先假定 C 是常量,于是 A+B= ? ? C 也是常量.
sin A ? sin B ? sin C ? 2sin A? B A? B c A? B cos ? sin C ? 2cos cos ? sin C , 2 2 2 2

显然,对于同一个 C 值,当 A=B 时,上式达到最大值. 同样,对同一个 A 或 B,有类似结论;因此,只要 A、B、C 中任意两个不等,表达式
sin A ? sin B ? sin C 就没有达到最大值,因而,当 A=B=C=

? 时, sin A ? sin B ? sin C 有最大值 3

3 3 ,∴原不等式得证. 2

说明 不等式中含有多个变量时,我们往往固定其中部分变量,求其他变量变化时,相 应表达式的最值,这种方法称为逐步调整法. 分析二 即证
sin A ? sin B ? sin C 3 ? ,观察左边的形式,从而考虑用琴生不等式进行 3 2

证明. 证法二 函数 y ? sin x 是区间(0,π )上的上凸函数,从而对任意的三个自变量
x1 , x2 , x3 ? (0, ? ) ,总有 sin(

x1 ? x2 ? x3 sin x1 ? sin x2 ? sin x3 ,等号当 x1 ? x2 ? x3 时成立.因此 )? 3 3

sin A ? sin B ? sin C 180? 3 A? B ?C sin A ? sin B ? sin C ? sin ? ,从而有 ,因此原不等 )? 3 3 2 3 3 式成立.

有 sin(

说明 本方法是利用凸函数性质解题, 三角函数在一定区间内均为凸函数, 因此很多三 角不等如均可利用凸函数的性质证明. 链接 关于凸函数与琴生不等式的有关知识 凸函数定义:函数 f(x)如果对其定义域中任意的 x1、x2,都有如下不等式成立:f ( (
x1 ? x2 1 )≤ [f(x1)+f(x2)],则称 f(x)是下凸函数,等号当 x1=x2 时成立.如果总有 f 2 2 x1 ? x2 1 )≥ [f(x1)+f(x2)],则称 f(x)是上凸函数,等号当 x1=x2 时成立. 2 2

用心 爱心 专心

3

其几何意义是,不等式①表示定义域中任意两点 x1、x2,中点 M 所对应的曲线上点 Q 位于弦上对应点 P 的下面,不等式②则有相反的意义. Q P Q P

x1

M

x2

x1

M

x2

定理:若 f(x)是在区间 I 内的下凸函数,则对区间 I 内的任意 n 个点 x1,x2,?,xn, 恒有 f (
x1 ? x2 ? ? ? xn 1 ) ≤ [f(x1)+f(x2)+?+f(xn)], 等号当 x1=x2=?=xn 时成立. f(x) 若 n n

为上凸函数,不等号反向. 上述不等式称为琴生不等式,琴生不等式是丹麦数学家琴生(Jensen)于 1905~1906 年建立的.三角函数如 y=sinx,y=cosx 在(0,

? )是上凸函数;y=tanx,y=cotx 在(0, 2

? )是下凸函数. 2
例 5 已知 x, y, z ? R , 0 ? x ? y ? z ? 求证:

?
2

. ( 90 年 国 家

?
2

? 2sin x cos y ? 2sin y cos z ? sin 2 x ? sin 2 y ? sin 2 z

集训队测试题) 分析 将二倍角均化为单角的正余弦,联想单位圆 线,两两正余弦的乘积联想到图形的面积. 证明 即证 即证明

中的三角函数

?
4

? sin x cos y ? sin y cos z ? sin x cos x ? sin y cos y ? sin z cos z

?
4

? sin x(cos x ? cos y) ? sin y(cos y ? cos z) ? sin z cos z

注意到上式右边是如图所示单位圆中三个阴影矩形的面积之和,而 一象限的面积,所以上式成立,综上所述,原不等式成立.

? 为此单位圆在第 4

? 6 例 6 已知不等式 2(2a ? 3) cos(? ? ) ? ? 2sin 2? 4 sin ? ? cos ?
? (2004 年首届东南地区数学奥赛试题) ? 3a ? 6 对于 ? ? [0, ] 恒成立.求 a 的取值范围. 2
分析 所给不等式中有两个变量,给出其中一个的范围,求另一个的范围,常采用分离

? 2 变量的方法.注意到与角 θ 有关的几个三角函数式, cos(? ? ) ? (sin ? ? cos? ) , 4 2 sin 2? ? 2 sin ? cos ? ,因此考虑令 sin ? ? cos ? ? x 进行变量代换,以化简所给不等式,再寻求 解题思路.


? ? 2 设 sin ? ? cos ? ? x ,则 cos(? ? ) ? x, sin 2? ? x2 ? 1 ,当 ? ? [0, ] 时, 2 4 2

x ? ?1, 2 ? .从而原不等式可化为: ? ?
用心 爱心 专心 4

6 6 (2a ? 3) x ? ? 2( x2 ? 1) ? 3a ? 6 ,即 2 x2 ? 2ax ? 3x ? ? 3a ? 4 ? 0 , x x

2 2 2 ? ? 2 x( x ? ? a) ? 3( x ? ? a) ? 0 , (2 x ? 3) ? x ? ? a ? ? 0 x x x ? ?

? x ? ?1, 2 ? ? (1) ? ?

∴原不等式等价于不等式(1) ,

? x ? ?1, 2 ? , ? 2 x ? 3 ? 0 ? ?

2 (1)不等式恒成立等价于 x ? ? a ? 0 x ? ?1, 2 ? 恒成立. ? ? x

?

?

从 而 只 要 a?( ? x
?(x ? 2 ?? m) a? x x3 ?( x

2 m) x

a

x

?? (? x

? , . 2又 ) f ( x) ? x ? 2 在 ?1, 2 ? 上 递 减 , 1 ? ? ? x

? 1 , ,所以 a ?)3 . 2 ?

? 例 7 三个数 a,b,c ? (0, ) ,且满足 cosa ? a , sin cos b ? b , cos sin c ? c ,按从小到大的 2 顺序排列这三个数. (第 16 届全苏竞赛题) 分析 比较 a,b,c 三数的大小, a ? cos a , b ? sin cos b ? cos b , c ? cos sin c ? cos c ,等式
的两边变量均不相同,直接比较不易进行,故考虑分类讨论,先比较 a 与 b,由
a ? cos a , b ? sincos b

对等号两边分别比较,即先假定一边的不等号方向,再验证另一侧的不等号方向是否一致.

? 解 (1)若 a ? b ,则 cos a ? sin cos a ,但由 cosa ? (0, ) ,故有 cos a ? sin cos a 矛盾,即 2 a≠b. (2)若 a ? b ,则由单调性可知 cos a ? cos b ,又由 a ? b 及题意可得 cos a ? sin cos b ,而 sin cos b ? cosb ,因此又可得 cos a ? cos b ,从而产生矛盾.综上, a ? b . 类似地,若 c ? a ,则由题意可得 cos a ? cos sin a ,从而可得 a ? sin a 与 a ? sin a 矛盾;若 c ? a ,则 sin c ? sin a ? a ,即 sin c ? a ,? cos sin c ? cos a ,即 c ? a 矛盾. 综上可得: b ? a ? c . 说明 本题的实质是用排除法从两个实数的三种可能的大小关系排除掉两种,从而得第 三种,体现了“正难则反”的解题策略.

情景再现
4.在三角形 ABC 中, 求证: (1) sin
A B C 3 3 (2) sin A sin B sin C ? ? sin ? sin ? ; 3. 2 2 2 2 8

5.设 x ? y ? z ? 数学联赛)

?
12

,且 x ? y ? z ?

?
2

,求乘积 cos x sin y cos z 的最值. (1997 年全国高中

6. 求证:| sin x ? cos x ? tan x ? cot x ? sec x ? csc x |? 2 2 ? 1(2004 年福建省数学竞赛题)

C 类例题
例 8 已知当 x ? [0,1] 时,不等式 x2 cos ? ? x(1 ? x) ? (1 ? x)2 sin ? ? 0 恒成立,试求 ? 的取值 范围. (1999 年全国高中数学联赛题) 分析一 不等式左边按一、三两项配方,求出左边式子的最小值,根据最小值应当为正 求出 ? 的取值范围.
用心 爱心 专心 5

解法一 设 f ( x) ? x2 cos? ? x(1 ? x) ? (1 ? x)2 sin ? , 则由 x ? [0,1] 时 f ( x) ? 0 恒成立,有
f (0) ? sin ? ? 0 , f (1) ? cos ? ? 0 ,

? f ( x) ? ( x cos? )2 ? [(1 ? x) sin ? ]2 ? 2 x(1 ? x) sin ? cos ? ? 2 x(1 ? x) sin ? cos ? ? x(1 ? x)
sin ? 1 时, ? [ x cos? ? (1 ? x) sin ? ]2 ? 2 x(1 ? x)( ? sin ? cos ? ) ? 0 ,当 x ? 2 sin ? ? cos ?

x cos? ? (1 ? x) sin ? ? 0 ,令 x0 ?

sin ? sin ? ? cos ?

,则 0 ? x0 ? 1 ,

1 1 1 1 sin 2? ? ,即 sin 2? ? ,且 sin ? ? 0, cos ? ? 0 , f ( x0 ) ? 2 x0 (1 ? x0 )( sin ? cos ? ? ) ? 0 ,故 2 2 2 2

所求范围是: 2k? ?
sin 2? ?

?
12

? ? ? 2k? ?

5 ? 5 ? , k ? Z ,反之,当 2k? ? ? ? ? 2k? ? ? , k ? Z 时,有 12 12 12

1 ,且 sin ? ? 0, cos ? ? 0 ,于是只要 x ? [0,1] 必有 f ( x) ? 0 恒成立. 2

分析二 不等式左边视为关于 x 的二次函数,求出此二次函数的最小值,令其大于 0, 从而求出 ? 的取值范围. 解法二 由条件知, cos ? ? 0,sin ? ? 0 ,若对一切 x ? [0,1] 时,恒有
f ( x) ? x 2 cos ? ? x(1 ? x) ? (1 ? x)2 sin ? ? 0 , f x) c 1 n?? ? 1 2 ? x ? 2 ? 0 ( s ? i ) ( n) n s i s i s 即 ( o

?? x

? ?



x ? [0,1] 时恒成立,则必有 cos ? ? f (1) ? 0,sin ? ? f (0) ? 0 ,另一方面对称轴为

x?

1 ? 2sin ? 4(cos ? ? sin ? ? 1) sin ? ? (1 ? 2sin ? ) 2 ? 0 ,即 ? [0,1] ,故必有 2(cos ? ? sin ? ? 1) 4(cos ? ? sin ? ? 1)

4 cos ? sin ? ? 1 ? 0 , sin 2? ?

1 ? 5? ,又由于 cos ? ? 0,sin ? ? 0 故 2k? ? ? ? ? 2k? ? , k ? Z . 2 12 12

分析三 原不等式看作关于 x 与 1-x 的二次齐次式,两边同除 x(1-x). 2 解法三 原不等式化为: cos ? +(1-x) sin ? >x(1-x), x=0 得 sin ? >0,=1 得 cos ? >0; x2 ① x ②当 x≠0 且 x≠1 时,上式可化为: 不等式得
x 1? x cos ? + sin ? >1 对 x∈(0,1)恒成立,由基本 1? x x

x 1? x x 1? x cos ? + sin ? ≥ 2 sin ? cos ? ,∴ cos ? + sin ? 的最小值为 1? x x 1? x x
sin ? x 1? x cos ? = sin ? 即 x ? 时取到,因此 1? x x sin ? ? cos ?

2 sin ? cos ? ,等号当

2 sin ? cos ? >1.∴ sin 2? ?

1 ? 5? ,又由于 cos ? ? 0,sin ? ? 0 故 2k? ? ? ? ? 2k? ? , k ? Z . 2 12 12

例 9 已知 a, b, A, B 都是实数,若对于一切实数 x ,都有
f ( x) ? 1 ? a cos x ? b sin x ? A cos 2 x ? B sin 2 x ? 0 ,求证: a 2 ? b 2 ? 2 , A2 ? B 2 ? 1 . (1977 第十

九届 IMO) 分析 根据函数式的特征及所要证明的式子易知,应首先将不等式化成
f ( x) ? 1 ? a2 ? b2 sin( x ? ? ) ? A2 ? B2 sin(2x ? ?) ? 0 ,其中 x 为任意实数,注意到所要证的结

论中不含未知数 x,故考虑用特殊值方法. 证明 若 a 2 ? b2 ? 0 , A2 ? B 2 ? 0 ,则结论显然成立;
用心 爱心 专心 6

故下设 a 2 ? b2 ? 0 , A2 ? B 2 ? 0 : 令 sin ? ?
a a ?b
2 2

, cos ? ?

b a ?b
2 2

,sin ? ?

A A ?B
2 2

, cos ? ?

B A ? B2
2

得,

f ( x) ? 1 ? a2 ? b2 sin( x ? ? ) ? A2 ? B2 sin(2x ? ? ) ,即对于一切实数 x ,都有 f ( x) ? 1 ? a2 ? b2 sin( x ? ? ) ? A2 ? B2 sin(2x ? ?) ? 0 (1)
f ( x ? ) ? 1 ? a 2 ? b2 cos( x ? ? ) ? A2 ? B2 sin(2 x ? ? ) ? 0 (2) 2

?

(1)+(2)得: 2 ? a2 ? b2 [sin( x ? ? ) ? cos( x ? ? )] ? 0 ,即 sin( x ? ? ) ? cos( x ? ? ) ? 于一切实数 x 恒成立,
2 a ? b2
2

2 a ? b2
2



? 2 ,因此 a 2 ? b 2 ? 2 .

f ( x ? ? ) ? 1 ? a2 ? b2 sin( x ? ? ) ? A2 ? B2 sin(2x ? ?) ? 0

(3)
1 A ?B
2 2

(1)+(3)得:2 ? 2 A2 ? B2 sin(2 x ? ? ) ? 0 ,即 sin(2 x ? ? ) ?

恒成立,

1 A ? B2
2

?1,

∴ A2 ? B 2 ? 1 . 例 10 设 ? ? ? ? ? ? ? , 求 证 : 对 任 意 满 足 x ? y ? z ? 0 的 实 数 x, y, z 有
yz sin 2 ? ? zx sin 2 ? ? xy sin 2 ? ? 0

分析 由 x ? y ? z ? 0 消去一个未知数 z,再整理成关于 y 的二次不等式,对 x 恒成立, 即可得证. 证明 由题意,则将 z ? ?( x ? y ) 代入不等式左边得, 不等式左边= ?[ y 2 sin 2 ? ? x2 sin 2 ? ? xy(sin 2 ? ? sin 2 ? ? sin 2 ? )] (1)当 sin ? ? 0 ,易证不等式左边 ? 0 成立. ; (2)当 sin ? ? 0 ,整理成 y 的二次方程,证△≤0. 左边 ? ?[ y sin ? ?
? x(sin 2 ? ? sin 2 ? ? sin 2 ? ) 2 ] 2sin ?

x2 [(sin 2 ? ? sin 2 ? ? sin 2 ? )2 ? 4sin 2 ? sin 2 ? ] , 4sin 2 ?

由 (sin 2 ? ? sin 2 ? ? sin 2 ? )2 ? 4sin 2 ? sin 2 ?
? (sin 2 ? ? sin 2 ? ? sin 2 ? ? 2sin ? sin ? )(sin 2 ? ? sin 2 ? ? sin 2 ? ? 2sin ? sin ? )
? 2sin ? sin ? [1 ? cos(? ? ? )] ? 2sin ? sin ? [?1 ? cos(? ? ? )]

? ?4sin 2 ? sin 2 ? [1 ? cos 2 (? ? ? )] ? 0 ,



x2 [(sin 2 ? ? sin 2 ? ? sin 2 ? )2 ? 4sin 2 ? sin 2 ? ] ? 0 ,∴不等式左边 ? 0 成立. 4sin 2 ?

情景再现
7.证明:对于任意△ABC,不等式 acosA+bcosB+ccosC≤p 成立,其中 a、b、c 为三角 形的三边,A、B、C 分别为它们的对角,p 为半周长. (第十六届全俄数学竞赛题)
用心 爱心 专心

7

8.设 ? , ? , ? 是一个锐角三角形的三个内角,求证: sin ? ? sin ? ? sin ? ? tan ? ? tan ? ? tan ? ? 2?

习题
1.求证:对所有实数 x, y ,均有 cos x2 ? cos y 2 ? cos xy ? 3 . 2.在锐角三角形 ABC 中,求证: tan Atan B tan C ? 1 3.在锐角三角形 ABC 中.求证: sin A ? sin B ? sin C ? 2

? 2 ? 2 4.求证: 2sin 2 ( ? ) ? cos(sin x) ? sin(cos x) ? 2sin 2 ( ? ) 4 2 4 2 ? 5.已知 ? , ? ? (0, ) ,能否以 sin ? ,sin ? ,sin(? ? ? ) 的值为边长,构成一个三角形? 2
6.已知 ? , ? 为锐角,求证:
1 1 ? 2 ?9 2 cos ? sin ? sin 2 ? cos2 ?
A B C ? tan 2 ? tan 2 ? 1 2 2 2

7.已知 A+B+C= ? ,求证: tan 2

8.在三角形 ABC 中,角 A、B、C 的对边为 a、b、c,求证:

aA ? bB ? cC ? ? . a?b?c 3
n ?1

9. A、 、 为锐角三角形之内角, 为自然数, 设 B C n 求证:tan n A ? tan n B ? tan n C ? 32 . (93 年第三届澳门数学奥林匹克赛题) 10.已知 0 ? ? ?

?
2

, a, b ? 0 ,求证:

2 2 3 a b ? ? (a 3 ? b 3 ) 2 sin ? cos?

11.设 P 是三角形 ABC 内任一点,求证:∠PAB,∠PBC,∠PCA 中至少有一个小于或等 于 30°. 12.解方程 cos cos cos cos x ? sin sin sin sin x (1995 年全俄竞赛题) 本节“情景再现”解答: 1 . 证 明 : 锐 角 三 角 形 可 知 A+B ?
s i nB ? c o C , s C? s in

? ? s , 从 而 A ? -B , 从 而 s i nA ? c oB , 同 理 2 2 cA s o ,三式相加得证.

? ? 2.证明:由已知得 tan x ? 3tan y ? tan y 及 x, y ? (0, ) 知, x ? y ,从而 x ? y ? (0, ) ,要 2 2
证 x? y ?

?
6

,只须证明 tan( x ? y ) ? tan

?
6

?

tan x ? tan y 2 tan y 3 ? ,由于 tan( x ? y) ? ,于 1 ? tan x tan y 1 ? 3 tan 2 y 3

是问题归结为证

2 tan y 3 ? , ( 3tn 即 a 2 3 1 ? 3 tan y

而上式显然成立, 因此原不等式成立. 1 ? 02 ? , ) y

3. 证法一: x∈(0, 当 的大小, sinx=cos( 由 从而 cos(

? ? )时, ∵0<sinx<x< ,∴sinsinx<sinx,再比较 sinx 与 coscosx 2 2

? ? ? ? -x), 即比较( -x)与 cosx, cosx=sin( -x),因此( -x)>cosx, 而 2 2 2 2

? -x)< coscosx,即 sinx<coscosx,从而得证. 2
用心 爱心 专心 8

证法二: sinx+cosx ? 2 ? 所以 cos(cosx)>cos(

?
2

,即 0<cosx<

? ? -sinx< , 2 2

? -sinx)=sin(sinx). 2 4.证明: (1)由琴生不等式即得.
sin A ? sin B ? sin C A? B ?C 3 ? sin ? ,从而得证. 3 3 2

(2) 3 sin A sin B sin C ?

5.解:由条件知,

?
3

?x? y?z?

?
12

,x ?

?
2

? ( y ? z) ?

?
2

? 2?

?
12

?

?
3

, sin( y ? z ) ? 0 ,于

1 1 1 1 ? 1 是 cos x sin y cos z = cos x[sin( y ? z) ? sin( y ? z)] ? cos x sin( y ? z ) ? cos2 x ? cos2 ? ,当 2 2 2 2 3 8

x?

?
3

,y? z?

1 时取等号,故最小值为 (y 与 z 相等,且 x 达到最大时,乘积有最小值) . 12 8

?

1 1 1 又 cos x sin y cos z = cos z[sin( x ? y) ? sin( x ? y)] ? cos z sin( x ? y) ? cos2 z 2 2 2
? 1 ? 2? 3 2? 3 ? 5? cos 2 ? , 且当 z ? , x ? y ? 时等号成立, cos x sin y cos z 的取大值为 故 . 2 12 8 8 12 24 6 . 证 明 : 设 f ( x) ?| sin x ? cos x ? tan x ? cot x ? sec x ? csc x | , t ? sin x ? cos x , 则 有

2 2t 2 2 t2 ?1 , f ( x) ?| t ? 2 ? 2 | ?| t ? |?| t ? 1 ? ? 1| t ?1 t ?1 t ?1 t ?1 2 2 当 t ? 1 时, f ( x) ? t ? 1 ? ?1 ? 2 2 ?1; t ?1

s i nx c oxs?

当 t ? 1 时, f ( x) ? ?(t ? 1 ?

2 ) ?1 ? 2 2 ?1 t ?1

因此 | sin x ? cos x ? tan x ? cot x ? sec x ? csc x |? 2 2 ? 1 . 7.证明:因为 cosx(x∈(0,π ) )递减,所以 a-b 与 cosA-cosB 异号,从而(a-b) (cosA-cosB)≤0.即 acosA+bcosB≤acosB+bcosA=C (l)当且仅当 a=b 时等号成立. 同理 acosA+ccosC≤b (2) bcosB+ccosC≤a (3) ,

1 ? [(1) ? (2) ? (3)] 即得所要证的不等式. 2
8.证明: sin ? ? tan ? ?
2 tan 1 ? tan

?
2 ?

2 ? 2

2 tan 1 ? tan

?
2 ?

2 ? 2

2 ? 4 tan ? , ? 2 1 ? tan 4 2

4 tan

?

?0 ? ? ?

?
2

,? tan

?
2

?

?
2

,? sin ? ? tan ? ? 4 tan

?
2

? 2? ,同理得另两个,命题得证.

“习题”解答: 1.证明: cos x2 ? cos y 2 ? cos xy ? 3 显然成立,下面证明等号不能成立.用反证法.若等 号成立,则 cos x 2 ? 1, cos y 2 ? 1, cos xy ? ?1 ,则 x2 ? 2k? , y 2 ? 2n? , k , n ? N * ,则
x2 y 2 ? 4nk? 2 , k , n ? N * ,则 xy ? 2 nk ? ,k ,n ?N * , 2 nk 不可能为奇数,因此 cos xy ? ?1 ,因
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此等号不成立.

? ? ,从而 A ? -B,从而 sin A ? cos B ,同理 2 2 sin B ? cos C ,sin C ? cos A ,三式相乘得 sin A sin B sin C ? cos A cos B cos C .从而可得
2.证明:锐角三角形可知 A+B ?
tan Atan B tan C ? 1 .

3.解: sin A ? sin 2 A,sin B ? sin 2 B , sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B
? cos B cos B ? cos A cos A ? cos 2 B ? cos 2 A ,三式相加得证.

? 4.证明: cos(sin x) ? sin(cos x) ? cos(sin x) ? cos( ? cos x) 2
? 2sin( ? 4

?

cos x ? sin x ? cos x ? sin x )sin( ? ) 2 4 2

又?

2 cos x ? sin x 2 ? 2 ? cos x ? sin x ? 2 ? 2 ? 2 ? , ? , 又 ? ? , ? ? ? ? ? ? ?0, ? 2 2 2 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2

? 由正弦函数在 [0, ] 上的单调性可知,原不等式成立. 2
5.证法一: sin ? ? sin ? ? 2sin
| sin ? ? sin ? |? 2cos

? ??
2

cos

? ??
2

? 2sin

? ??
2

cos

? ??
2

? sin(? ? ? )

? ?? ? ?? ? ?? | sin |? 2cos sin ? sin(? ? ? ) ,因此可以构成三角形. 2 2 2 2 证法二:在直径为 1 的圆内作内接三角形 ABC,使 ?A ? ? , ?B ? ? ,??C ? ? ? (? ? ? ) 则
BC ? sin ? , AC ? sin ? , AB ? sin(? ? ? ) ,因此可构成三角形.

? ??

6.解: 左?
1 4 1 4 ? 2 ? ? 2 ? 5 ? tan 2 ? ? 4cot 2 ? ? 9 . 2 2 2 cos ? sin ? sin 2? cos ? sin ?
A B B C C A tan ? tan tan ? tan tan 2 2 2 2 2 2

7.证:左 ? tan
? tan ? tan

A B C B A tan ? tan (tan ? tan ) 2 2 2 2 2 A B A? B A? B A B tan ? cot tan (1 ? tan tan ) ? 1 2 2 2 2 2 2

8. 分析: 注意到 ? 可写成 A+B+C, 故即证: aA+bB+cC)≥(a+b+c) ? ,即证 3(aA+bB+cC) 3( ≥(a+b+c)(A+B+C) ,即证(a-b)(A-B)+(b-c)(B-C)+(c-a)(C-A)≥0,由大边对大角得上式成 立. 9. 证明: x ? tan A, y ? tan B, z ? tan C , xyz 设 则 ,, 代入得 xyz ? 3 2 ,故 x n ? y n ? z n ? 3 3 3x n y n z n ? 3 2 . 10.证明:要证原不等式,即证 (
2 2 a b 2 ? ) ? (a 3 ? b 3 )3 ,即 sin ? cos?
3 n ?1

0 ,x ? y ? z ? xyz , x ?y ? ? ? z 而

x3 3 y z



a2 b2 2ab ? ? ? a 2 ? b2 ? 3 3 a 4 b2 ? 3 3 a 2 b 4 sin 2 ? cos2 ? sin ? cos? 上式中将 ? 看作变量, a , b 看作常数,考虑从左边向右边转化
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10

即证 a2 cot 2 ? ? b2 tan 2 ? ? 2ab

sin 2 ? ? cos2 ? ? 3 3 a 4 b2 ? 3 3 a 2 b4 sin ? cos?

即 a 2 cot 2 ? ? b 2 tan 2 ? ? 2ab tan ? ? 2ab cot ? ? 3 3 a4b2 ? 3 3 a2b4 因 为
a2 c

?? t o2

a

b? ? 2

t

2

a ?? a n2

a c ? bo ?

3

t

? ? bt 4 a a, 同

2

理 n

可 a

得 b a t

n

3

b 2 tan 2 ? ? 2ab cot ? ? 3 3 a 2b4 ,从而原不等式成立.

11.证明:如图,PAsin ? 1 =PB sin ? 5,PBsin ? 2=PC sin ? 6,PCsin ? 3=PA sin ? 4, 2 三式相乘得 sin ? 1 sin ? 2 sin ? 3= sin ? 4 sin ? 5 sin ? 6 ,因此有(sin ? 1 sin ? 2 sin ? 3) = sin ? 1 sin ? 2 sin ? 3 sin ? 4 sin ? 5 sin ? 6
A

? sin ?1 ? sin ? 2 ? sin ?3 ? sin ? 4 ? sin ?5 ? sin ? 6 ? ?? ? 6 ? ?
6

6

?1 ?4

?5

P
?6

?3

1 ? ? ?? ?? ?? ?? ?? ? ? ? sin 1 2 3 4 5 6 ? ? ( )6 , 从 而 6 2 ? ?

B

?2

C

sin ? 1 sin ?

2

1 1 1 sin ? 3 ? ( )3 ,因此 sin ? 1 、sin ? 2 、sin ? 3 中至少有一个小于或等于 ,不妨设 sin ? 1 ? , 2 2 2 则 ? 1 ? 30°或 ? 1 ? 150°,此时三个角中至少有一个角小于 30°. 12.解:考虑周期性,只要先解决 x ? [0, 2? ) 的解的情况,而当 x ? [? , 2? ) 时,左边为正,

右边非正,因此方程无解.

? s 由 于 x ? [ 0, ]时 有 c o s c o x ? s i n sxi n 将 x 换 成 cos cos 得 ( 换 成 sinsinx 也 可 以 ) , : x 2
cos cos cos cos x ? sin sin cos cos x , 又 由 于 y ? sin sin x 在 x ? [0, ] 时 为 增 函 数 , 因 此 有

?

2

sin sin cos cos x ? sin sin sin sin x ,综上可得:cos cos cos cos x ? sin sin sin sin x ,因此原方程无解.

? ? ? 当 x ? ( , ? ) 时,令 y ? x ? ,则 y ? (0, ) , 2 2 2

? 在 cos cos x ? sin sin x , x ? [0, ] 中,将 x 换成 cos sin y 得, 2
cos cos(cossin y) ? sin sin(cossin y) ? sin sin(sin cos y) ,将 y ? x ?
cos cos cos cos x ? sin sin sin sin x ,原方程也无解.

?
2

代入得,

综上所述,对 x ? R ,恒有 cos cos cos cos x ? sin sin sin sin x ,原方程无解.

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11


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