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高中数学 2.4平面向量的数量积同步练习2 新人教A版必修4


§2.4.1 平面向量的数量积

【学习目标、细解考纲】 学习目标、细解考纲】 1.掌握平面向量数量积的意义;体会数量积与投影的关系。 2.正确使用平面向量数量积的重要性质及运算律。 3.理解利用平面向量数量积,可以处理有关长度、角度和垂直问题。 【知识梳理、双基再现】 知识梳理、双基再现】

r r
1._______________________________________叫做 a与b 的夹角。

r r

r r r r
是 a与b 的 夹 角 。

(或________)记作 2.已知两个______向量 a与b ,我们把______________叫 a与b 的数量积。 ___________ 即 a ? b = ______________________ 其 中 θ

r r

r

r

______________________叫做向量 a在b 方向上的___________。 3.零向量与任意向量的数量积为___________。

r r
4.平面向量数量积的性质:设 a与b 均为非空向量: ① a ⊥ b ? ___________

r

r

r r

r r
r

②当 a与b 同向时, a ?b =________ __________或 a = ___________。 ③ cos θ = ___________ ④ a ? b ______________

当 a与b 反向时, a ? b =________,特别地, a ? b =

r r

r r

r r

r r

r r
5. a ?b 的几何意义:________________________________________。 6.向量的数量积满足下列运算律 已知向量 a, c 与实数 λ 。 b , ① a ? b =___________(______律) ②

rrr

r r

( λ a ) ? b =___________ r r r ③ ( a+b ) ? c =___________
r r
【小试身手、轻松过关】 小试身手、轻松过关】

r

r

r r r r r r

rr

1.已知 a =4, b =2且a与b 的夹角为 120?,则 a、 ___________。 b= 2.已知 a ? b =12,且 a =3, b =5 则 b在a 方向上的投影为________。

r r

uuu r

uuu uuu v v

3. 已知 ? ABC 中, AB = AC =4且 AB,AC=8 ,则这三角形的形状为______________。
用心 爱心 专心 -1-

4. a =3, b =5,a+λ b与a-λ b 垂直,则 λ =___________。 【基础训练、锋芒初显】 基础训练、锋芒初显】

v

v

v

v v

v

v

v

v

5.已知 a =6,e 是单位向量,它们之间夹角是 45?,则 a在e 方向上的投影_________。 6. a 2 =1,b =2,(a ? b)、 a=0, 则 a 与 b 的夹角为( A. 30? B.45 ? C. 60 ?

v

v2

v v v

v

uv

) D.90 ? )

7.已知 a.b 都是单位向量,下列结论正确的是( A. a ? b=1

uu uu v v
B. a =b
2 2

v

v

v v

C. a ? b ? a=b

D. a ? b=0

v v

v v v v v uv

v v


8.若 a+b=c,a-b=d, 且向量 c与d 垂直,则一定有(

v v
A. a=b C. a ⊥ b

v

v v v v

B. a = b

v

v

D. a = b 且a ⊥ b

v

9.边长为 2 的等边三角形 ABC 中,设 AB=C,BC=a,CA=b 则 a ? b+c ? a等于 ______. 10.有下面四个关系式①0. 0 =0;② a ? b c=a(b ? c); ③ a ? b=b ? a, ④ 0.a=0 ,其中正确的有 ( ) B.3 个 C.2 个 D.1 个 )

uuu u uuu v uuuv v v v v

v v v v

v

( )

v v v v v v

v v v v

v

A. 4 个

v v v 11.已知 b =3,a在b 方向上的投影为
A.3 B.

2 C.2 9
) B.

v v 2 ,则 a ? b 为( 3
D.

1 2

12.下列各式正确的是( A. a ? b = a b

uu uu v v =a 2 ? b 2 v v v v v v v v v v v v v C.若 a ⊥ b-c , 则 a ? b=a ? c D. 若 a ? b=a ? c 则 b=c v v v v v v v v 13. a =1, b =2 则 a与b 的夹角为 120?,则 a+2b , 2a+b 的值为(
v v v v

( )

(a ? b)
v v

2

(

) (

)



A.-5

B.5

C.- 5

D. 5 )

14. ? ABC 中, AB=a,BC=b,且a ? b >0,则 ? ABC 为( A.锐角三角形 C. 钝角三角形 B. 直角三角形 D. 等腰直角三角形

uuu r uuu r r r

r r

15.已知 a,b,c 为非寒向量,且 a ? c=b ? c ,则有(

rrr

r r r r

) D. a=b或 a-b ⊥ c

r r
A. a=b

B. a ⊥ b

r

r

C. a ? b ⊥ c

(

r r

)

r

r r

( )
r r

r

【举一反三、能力拓展】 举一反三、能力拓展】
用心 爱心 专心 -2-

r r
16.向量 a与b 夹角为

r r r r r r π , a =2, b =1求 a+b ?a ? b 的值。
3

17.已知向量 a、 满足 a =13, b =19, a+b =24, 求 a ? b 。 b

rr

r

r

r r

r r

e 18.设 e1、2 是两个垂直的单位向量,且 a= ? 2e1 +e 2 ,b=e1 ? λ e 2 .
(1)若 a ? b,求λ的值; (2)若 a ⊥ b,求λ 的值。

r r

r

r r

r

r

(

r r

)

r r

v

19.设 a+b=2i a-b= ? 8j , +16 j,其中、为两个互相垂直的单位向量,求 a ?b ij

r r

rr r

r

r

rr

r r

用心 爱心 专心

-3-

【名师小结、感悟反思】 名师小结、感悟反思】 1.两向量的数量积是一个数,而不是向量。 2.向量的数量积不能是结合体。 3.计算长度 a = a ?a , a ± b =

r

uu r r rr

r r a ?b cos θ = r r a b

(a ± b) =
r r
2

r2 r r r2 a ± 2a ? b+b

求向量夹角

证明垂直 a ? b=0 ? a ± b ,数量积三公式可解决长度、角度、垂直等问题

r r

r r

§ 2.4.1 平面向量的数量积

1.-4 2.4 3.正三角形
± 3 5

6.B 7.B 8.B 9.D

11.B

r r
12.C 13.B 14.C 16. a+b = 7

r r
17. a-b =22

r r a-b = 21 r r r r
∴ a+b ?a-b = 21

4.

18.(1)m=-2, λ =2 (2) λ =2

1

v r
5. 3 2 10.D 15.D 19. a ? b=-63

用心 爱心 专心

-4-


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