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湖南师大附中2013届高三第三次月考(数学文)


湖南师大附中 2013 届高三第三次月考试卷 数学(文科)
本试卷分选择题、填空题和解答题三部分,共 21 个小题,考试时间 120 分钟,试卷满分 150 分. 一、选择题:本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.“函数 f ( x) ? mx ? 1 在 R 上是增函数”是“ 3m ? 4 ?

0 ”的 ( B ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

4 ,则 f ( x) ? mx ? 1 在 R 上是增函数;反之不然,故选 B. 3 2.已知数列 {an } 为等差数列,且 a1 ? a7 ? a13 ? 4? ,则 tan( a2 ? a2 的值为 ( A ) 1)
【解析】若 3m ? 4 ? 0 ,即 m ? A. ? 3 B.

3

C. ? 3

D. ?

3 3

4π 8π 【解析】因为 a1+a7+a13=4π ,则 a7= 3 ,所以 tan(a2+a12)=tan2a7=tan 3 =- 3,故选 A. 3.已知 f ( x) ? x ,若 0 ? a ? b ? 1 ,则下列各式中正确的是
1 2

( C )

1 1 a b 1 1 D. f ( ) ? f (a) ? f ( ) ? f (b) a b 1 1 1 【解析】因为函数 f ( x) ? x 2 在 (0, ??) 上是增函数,又 0 ? a ? b ? ? ,故选 C. b a 3 1? a ? 0 ,则 a 的取值范围是 4.若 log 2 a ( B ) 1? a 1 1 1 A. (0, ) B. ( ,1) C. ( ,?? ) D. (1,??) 2 2 2 1 ? a3 1 ? a3 1 ? a3 ? 1 ,从而 log 2 a ?1 , ? 0 ,不合要求.当 0 ? a ? 1 时, 【解析】当 a ? 1 时, 1? a 1? a 1? a 1 1 1 ? a3 ? 0 ,则 2a ? 1 ,即 a ? ,所以 ? a ? 1 ,故选 B. 要使 log 2 a 2 2 1? a 1 2 5.设 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数, y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? 对称, f ( ? ) ? A ) 且 则 ( 3 3 A. 0 B.1 C. ?1 D. 2 1 【解析】 因为 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数, f (0) ? 0 .又 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? 对 则 3 2 2 2 称,所以 f ( ) ? 0 .于是 f (? ) ? ? f ( ) ? 0 ,故选 A. 3 3 3 6.如果圆柱的底面直径和高相等, 且圆柱的侧面积是 4? , 则圆柱的体积等于 ( D ) A. 4 ? B. 4? C. 2 ? D. 2?
A. f (a ) ? f (b) ? f ( ) ? f ( ) B. f ( ) ? f ( ) ? f (b) ? f ( a)

1 1 a b 1 1 C. f (a ) ? f (b) ? f ( ) ? f ( ) b a

-1-

2 2 【解析】设圆柱的底面半径为 r ,则高为 2r ,侧面积为 4? r .由已知 4? r = 4? ,从而 r ? 1 .

所以圆柱的体积 V ? ? r ? 2r ? 2? ,故选 D.
2

1 的值等于 2 1 2 3 A. B. C. D. 1 2 2 2 【解析】原式= 2sin 45? cos15? ? sin 30? ? 2sin 45? cos15? ? sin(45? ? 15?) = 2sin 45? cos15? -( sin 45? cos15? - cos 45? sin15? )
7. 2 sin 45? cos15? ? = sin 45? cos15? + cos 45? sin15? = cos 60? =

( C )

3 .故选 C. 2

H F

G

8.对于向量 a,b,定义 a×b 为向量 a,b 的向量积,其运算 E 结果为一个向量,且规定 a×b 的模|a×b|=|a||b|sinθ(其中 θ 为向量 a 与 b 的夹角),a×b 的方向与向量 a,b 的方向都 垂直,且使得 a,b,a×b 依次构成右手系.如图,在直四棱柱 ABCD-EFGH 中,∠BAD=60°,AB=AD=AE=2,则

D A

C B ( D )

??? ???? ??? ? ? ( AB ? AD) ? AE =
A. 4

C. 2 2 D. 4 2 ??? ???? ? 【解析】据向量积定义知,向量 AB ? AD 垂直平面 ABCD,且方向向上. ??? ???? ??? ? ? 因为四棱柱 ABCD-EFGH 为直棱柱,则 AE⊥平面 ABCD,所以向量 AB ? AD 与 AE 同向. ??? ???? ? 又 = 2×2×sin60° = , 所 2 3 | AB ? AD | ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ??? ? ( AB ? AD) ? AE ?| AB ? AD | ? | AE | cos0 ? 4 3 , B. 8 故选 D.



二、填空题:本大题共 7 个小题,每小题 5 分,共 35 分,把答案填写在题中的横线上. 9.若复数 z ? (m2 ? 2m ? 3) ? (m ?1)i 是纯虚数,则实数 m 的值为 -3 . 【解析】由纯虚数概念有 ?

? m 2 ? 2m ? 3 ? 0 ?m ? 1 ? 0

? m ? ?3 .

10.设抛物线 x 2 ? 12y 的焦点为 F,经过点 P(2,1)的直线 l 与抛物线相交于 A、B 两点,若点 P 恰为线段 AB 的中点,则|AF|+|BF|= 8 . 【解析】过点 A,B,P 分别作抛物线准线 y ? ?3 的垂线,垂足为 C,D,Q,据抛物线定义, 得|AF|+|BF|=|AC|+|BD|=2|PQ|=8. 11. CD 是锐角△ABC 的边 AB 上的高,且 【解析】由

CD 2 CD 2 ? ? 1 ,则∠A+∠B= 90° . AC 2 BC 2

CD 2 CD 2 ? ? 1 ,得 sin 2 A ? sin 2 B ? 1 ,即 sin 2 A ? 1 ? sin 2 B ? cos 2 B . AC 2 BC 2 又三角形为锐角三角形,则 sin A ? cos B ,故 A+B=90°. ? x ? ?4 ? 4t 12. 已 知 直 线 l 的 参 数 方 程 为 ? (t 为 参 数 ) 圆 C 的 极 坐 标 方 程 为 , ? y ? ?1 ? 2t ? ? ? 2 2 cos(? ? ) ,则圆心 C 到直线 l 的距离是 5 . 4 2 2 【解析】直线 l 的普通方程为 x ? 2 y ? 6 ? 0 ,圆 C 的直角坐标方程为 x ? y ? 2x ? 2 y ? 0 .

-2-

所以圆心 C(1,-1)到直线 l 的距离 d ?

|1 ? 2 ? 6 | ? 5. 5

13.已知定义在 R 上的函数 f ( x)满足f ( x ? 1) ? ? f ( x),且f ( x) ? ?

?1 (?1 ? x ? 0) ,则 ?? 1 (0 ? x ? 1)

f(3)= -1 . 【解析】由 f ( x ? 1) ? ? f ( x) ,得 f ( x ? 2) ? ? f ( x ? 1) ? f ( x) ,所以 f (3) ? f (1) ? ?1 . 14.设 a>0 为常数,若对任意正实数 x,y 不等式 ( x ? y )( ? 4 . 【解析】 ( x ? y )( ? ) ? 1 ? a ?

1 x

a ) ? 9 恒成立,则 a 的最小值为 y

2 1 a y ax ? ? 1 ? a ? 2 a ? a ? 1 ,当 y ? ax 时取等号. x y x y 2 2 1 a 所以 ( x ? y )( ? ) 的最小值为 a ? 1 ,于是 a ? 1 ? 9 ,所以 a≥4,故 a 的最小值为 x y

?

?

?

?

?

?

4. 15.已知集合 M={1,2,3,4}, A ? M ,集合 A 中所有元素的乘积称为集合 A 的“累积值” , 且规定:当集合 A 只有一个元素时,其累积值即为该元素的数值,空集的累积值为 0. 设集 合 A 的累积值为 n. (1)若 n=3,则这样的集合 A 共有 2 个; (2)若 n 为偶数,则这样的集合 A 共有 13 个. 【解析】若 n=3,据“累积值”的定义,得 A={3}或 A={1,3},这样的集合 A 共有 2 个. 因为集合 M 的子集共有 24=16 个,其中“累积值”为奇数的子集为{1},{3},{1,3}共 3 个, 所以“累积值”为偶数的集合共有 13 个.

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 如图,设 A 是单位圆和 x 轴正半轴的交点,P,Q 是单位圆上两点, O 是坐标原点,且

?AOP ?

?

3 4 ? (Ⅰ)若点 Q 的坐标是 ( , ) ,求 cos( ? ? ) 的值; 5 5 6 ??? ???? ? (Ⅱ)设函数 f ?? ? ? OP ? OQ ,求 f ?? ? 的值域.
【解】 (Ⅰ)由已知可得 cos ? ? 所以 cos( ? ?

6

, ?AOQ ? ? , ? ? ?0, ? ? .

y

Q P O A x (2 分)

3 4 , sin ? ? . 5 5 ? sin ? sin

3 3 4 1 3 3?4 . (6 分) ? ? ? ? ? 6 6 6 5 2 5 2 10 ??? ???? ? ? ? ? 3 1 cos? ? sin ? ? sin(? ? ) . (Ⅱ)f ?? ? ? OP ? OQ ? (cos ,sin ) ? (cos ? ,sin ? ) ? 6 6 3 2 2
) ? cos ? cos
(9 分) 因为 ? ?[0, ? ) ,则 ? ? 故 f ?? ? 的值域是 ( ?

?

?

?

?

? 4? 3 ? ? [ , ) ,所以 ? ? sin(? ? ) ? 1 . 3 3 3 2 3
(12 分)

3 ,1] . 2

-3-

17.(本小题满分 12 分) 某中学高三文科共有四个班, 第二次月考后, 随机在各班抽取了部分学生的数学 成绩进行统计分析.已知各班被抽取的学生人数恰好成等差数列,且人数最少的班被 抽取了 22 人. 从四个班抽取出来的所有学生的数学成绩的频率分布直方图如图所 示,其中共有 5 人的成绩在 120~130 分(含 120 分但不含 130 分). 频率/组距 (Ⅰ)求各班被抽取的学生人数各为多少人? (Ⅱ)在被抽取的所有学生中任选一人, 0.035 求该生的数学成绩不小于 90 分的概率. 0.030 【解】 (Ⅰ)由频率分布直方图知, 0.025 成绩在 120~130 分的频率是 0.005×10=0.05. 分) 0.020 又成绩在该分数段的人数为 5,所以抽取的学生 0.015 总人数为

(2

0.005 分) 分数 0 因为各班被抽取的学生人数成等差数列, 70 80 90 100 110 120 130 且首项为 22,设其公差为 d ,则 4 ? 22 ? 6d =100,所以 d ? 2 . 故各班被抽取的学生人数分别是 22 人,24 人,26 人,28 人. (8 分) (Ⅱ)由直方图知,分数不小于 90 分的频率为(0.035+0.025+0.01+0.005)×10=0.75. 故在被抽取的所有学生中任选一人,该生的数学成绩不小于 90 分的概率是 0.75. (12 分) 18.(本小题满分 12 分) 在等腰直角三角形 ABC 中,D 是斜边 BC 的中点,沿 AD 将△ABD 折起,使∠BDC=90°. (Ⅰ)求证:CD⊥平面 ABD; A (Ⅱ)求二面角 A—BC—D 的余弦值. A D B D C B (2 分) (5 分)

5 ? 100 人. 0.05

0.010

(4

C

【解】 (Ⅰ)因为△ABC 是等腰直角三角形,D 是斜边 BC 的中点,所以 AD⊥CD. 又∠BDC=90°,所以 BD⊥CD. 因为 AD 与 BD 交于点 D,所以 CD⊥面 ABD. (Ⅱ) 如图,取 BC 的中点 E,连 DE、AE A 因为 AB=AC,则 AE⊥BC. 因为 BD=CD,则 DE⊥BC. 所以∠AED 为二面角 A—BC—D 的平面角. 因为 AD⊥BD,AD⊥CD,所以 AD⊥面 BCD. D 设 AD=1,则 BD=DC=1,AB=AC=BC= 2 . E 6 ? 从而△ABC 是正三角形, 所以 AE= 2 sin 60 ? . B

(7 分) C (10 分) (11 分) (12 分)

2

在 Rt△ADE 中,sin∠AED= 所以 cos∠AED=

AD 6 ? . AE 3

3 3 ,故二面角 A—BC—D 的余弦值为 . 3 3
-4-

19.(本小题满分 13 分) 某创业投资公司计划在 2010 年向某企业投入 800 万元用于开发新产品,并在今后若干年 内,每年的投入资金都比上一年减少 20% .估计 2010 年可获得投资回报收入 400 万元,由于 该项投资前景广阔,预计今后的投资回报收入每年都会比上一年增加 25% . (Ⅰ) 设第 n 年(2010 年为第一年)的投入资金为 an 万元, 投资回报收入为 bn 万元, an 和 bn 求 的表达式; (Ⅱ)从哪一年开始,该投资公司前几年的投资回报总收入将超过总投入? 【解】 (Ⅰ)据题意,每年投入的资金依次成首项为 800 万元,公比为 投资回报收入依次成首项为 400 万元, 公比为 所以 an ? 800 ? ( )

4 的等比数列,每年的 5
(2 分) (4 分)

5 的等比数列. 4

4 5

n ?1

b , n ? 400 ? ( )

5 4

n ?1

.

(Ⅱ)设经过 n 年的总投入为 Sn 万元,总收入为 Tn 万元,则

4 5 800[1 ? ( )n ] 400[1 ? ( )n ] 4 n 5 ? 4000[1 ? ( ) ] ,T ? 4 ? 1600[( 5 )n ? 1] . (6 分) Sn ? n 4 5 5 4 1? 1? 5 4 5 n 4 4 5 ? ?4000( ( ) ) n ? 0 ,即 5 ? ( ) n ? 2 ? ( ) n ? 7 ? 0 . (7 分) ) 1 ? 由 Tn ? Sn ? 0 ,得 1600(( ) 1 4 5 5 4 4 n 2 2 设 x ? ( ) ,代入上式整理得,5 x ? 7 x ? 2 ? 0 ,解得 x ? 或 x ? 1(舍去). (9 分) 5 5 4 n 256 2 4 1024 2 ? . ? ;当 n ? 5 时, ( ) n = 当 n ? 4 时, ( ) ? (11 分) 625 5 3125 5 5 5 4 n 4 n 2 因为 y ? ( ) 是减函数,所以当 n ? 5 时,有 ( ) ? 成立,从而 Tn ? Sn ? 0 成立. (12 分) 5 5 5
答:从 2014 年开始,该投资公司前几年的投资回报总收入将超过总投入. (13 分)

20.(本小题满分 13 分)

x2 y 2 设双曲线 C : 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) ,点 A、B 分别为双曲线 C 实轴的左端点和虚轴的 a b 上端点,点 F 、 F2 分别为双曲线 C 的左、右焦点,点 M、N 是双曲线 C 的右支上不同两点, 1 ??? ??? ???? ? ? ? ??? ? 点 Q 为线段 MN 的中点. 已知在双曲线 C 上存在一点 P, 使得 PA ? PB ? PF2 ? ( 3 ? 3)OP .
(Ⅰ)求双曲线 C 的离心率; (Ⅱ)设 a 为正常数,若点 Q 在直线 y ? 2 x 上,求直线 MN 在 y 轴上的截距的取值范围. 【解】 (Ⅰ)由题设,点 A(?a, 0) , B(0, b) , F1 (?c,0) , F2 (c,0) ,其中 c ? a2 ? b2 .(1 分) 因为 PA ? PB ? PF2 ? ( 3 ? 3)OP ,则 OA ? OB ? OF2 ? 3OP . 设点 P ( x0 , y0 ) ,则 (?a ? c, b) ? 3( x0 , y0 ) ,所以 x0 ? 因为点 P 在双曲线

??? ??? ???? ? ? ?

??? ?

??? ??? ???? ? ? ?

??? ?

1 b (c ? a) , y0 ? . 3 3

(3 分) (4 分)

x2 y 2 (c ? a ) 2 b 2 ? 2 ? 1 上,所以 ? 2 ? 1 ,即 (c ? a)2 ? 4a2 . a2 b 3a 2 3b
-5-

因为 c ? a ,所以 c ? a ? 2a ,即 c ? 3a ,故离心率 e ?

c ? 3. a

(6 分) (7 分)

a (Ⅱ)由(Ⅰ)知 c ? 3a ,则 b ? c ? a ? 8 . 若 MN ? x 轴,则 Q 在 x 轴上,不合题意.
2 2 2 2

设直线 MN 的方程为 y ? kx ? m ,代入

x2 y 2 ? ? 1 ,得 8x2 ? (kx ? m)2 ? 8a2 ,即 a 2 8a 2
(9 分)

(*) (8 ? k 2 ) x2 ? 2kmx ? m2 ? 8a2 ? 0 . 2 若 k ? 8 ,则 MN 与双曲线 C 的渐近线平行,不合题意. 设点 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) , Q( x0 , y0 ) ,则 x ? x2 2km km 8m x1 ? x2 ? ? , x0 ? 1 , y0 ? kx0 ? m ? . 2 2 8?k 2 8?k 8? k2 8m 2km ? 若点 Q 在直线 y ? 2 x 上,则 . 2 8?k 8? k2 因为点 M、N 在双曲线的右支上, 所以 m≠0, 从而 k=4. 此时,方程(*)可化为 8 x ? 8mx ? m ? 8a ? 0 .
2 2 2

(10 分)

(11 分) (12 分)

2 2 2 2 由 ? ? 8 m ? 4 ? 8(m ? 8a ) ? 0 , m ? 8a . 得
2 2

又 M、N 在双曲线 C 的右支上,则 x1 ? x2 ? ?m ? 0 ,所以 m ? ?2 2a . 故直线 MN 在 y 轴上的截距的取值范围是 (??, ?2 2a) . 21.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) ? (13 分)

1 3 1 2 ax ? bx ? cx . 3 2 9 5 , x2 x3 ? 6 f ( ?1) ? ,求函数 2 6

(Ⅰ)若函数 f(x)有三个零点 x1 , x2 , x3 ,且 x1 ? x2 ? x3 ? f(x)的单调区间;

1 a ,3a ? 2c ? 2b ,求证:导函数 f ?( x ) 在区间(0,2)内至少有一个零点; 2 b (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,若导函数 f ?( x ) 的两个零点之间的距离不小于 3 ,求 的取值范 a
(Ⅱ)若 f ?(1) ? ? 围. 【解析】 (I)因为 f ( x) ? x( ax ?
2

1 3

1 9 bx ? c) ,又 x1 ? x2 ? x3 ? , x2 x3 ? 6 ,则 2 2

9 , x2 x3 ? 6 . (1 分) 2 1 2 1 因为 x2,x3 是方程 ax ? bx ? c ? 0 的两根,则 3 2 3b 9 3c ? ? , ? 6 .即 b ? ?3a, c ? 2a . (2 分) 2a 2 a 5 1 1 5 1 3 5 又 f (1) ? ,即 a ? b ? c ? ,所以 a ? a ? 2a ? ,即 a ? 1 ,从而 b ? ?3, c ? 2 . 6 3 2 6 3 2 6 1 3 3 2 所以 f ( x) ? x ? x ? 2 x . (3 分) 3 2 2 2 因为 f ?( x) ? x ? 3x ? 2 ,由 x ? 3x ? 2 ? 0 ,得 1 ? x ? 2 . 故 f ( x ) 的单调递减区间是 (1, 2) , 单调递增区间是 (??,1),(2 ? ?) . (4 分) x1 ? 0, x2 ? x3 ?
-6-

1 1 0 a ,所以 a ? b ? c ? ? a ,即 3a ?2 b ?2 c ? . 2 2 , 0 因为 3a ? 2c ? 2b , 所以 3a ? 0, 2b ? 0 , a ? 0 b ? . 即 (5 分) a 于是 f ?(1) ? ? ? 0 , f ?(0) ? c , f ?(2) ? 4a ? 2b ? c ? 4a ? (3a ? 2c) ? c ? a ? c . (6 分) 2 a (1)当 c ? 0 时,因为 f ?(0) ? c ? 0, f ?(1) ? ? ? 0 ,则 f ?( x ) 在区间 (0,1) 内至少有一个零 2
(Ⅱ) 因为 f ?( x) ? ax 2 ? bx ? c , f ?(1) ? ? 点. (2)当 c ? 0 时,因为 f ?(1) ? ? (7 分)

a ? 0, f ?(2) ? a ? c ? 0 ,则 f ?( x ) 在区间(1,2)内至少有 2
(8 分)

一零点. 故导函数 f ?( x ) 在区间(0, 2)内至少有一个零点. (Ⅲ) m, 是导函数 f ?( x) ? ax 2 ? bx ? c 的两个零点, m ? n ? ? 设 n 则 所以 | m ? n |? (m ? n) ? 4mn ? (? ) ? 4(?
2 2

b c 3 b ,mn ? ? ? ? . a a 2 a
(10 分)

3 b b ? ) ? ( ? 2)2 ? 2 . 2 a a b b b 2 2 2 由已知, ( ? 2) ? 2 ? 3 ,则 ( ? 2) ? 2 ? 3 ,即 ( ? 2) ? 1 . a a a b b b b 所以 ? 2 ? 1或 ? 2 ? ?1, 即 ? ?1 或 ? ?3 . a a a a
又 2c ? ?3a ? 2b , 3a ? 2c ? 2b ,所以 3a ? ?3a ? 2b ? 2b ,即 ?3a ? b ? ? 因为 a ? 0 , 所以 ?3 ?

b a

(11 分)

3 a. 4
(12 分)

b 3 ?? . a 4 3 4

综上分析, 的取值范围是 [ ?1, ? ) .

b a

(13 分)

-7-

-8-

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

-9-


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