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2012-2-19归纳l类比演绎推理复习课


合情推理与演绎推理
复习课

知识要点
课标明确规定:数学思维能力包括 “会用归纳、演绎和类比推理” 1.归纳推理:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出 ?
该类事物的全部对象都具这些特征的推理,或由个别 事实 概括出一般结论的推理.? 2.类比推理:两类对象具有某些类似特征和其中一类 对象的某些已知特征.推出另一类对象也具有

这些 特征的推理. 3.合情推理:归纳推理和类比推理都是根据已有的事实, 经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比, 然后提出猜想的推理,我们把它们统称为合情推理.?

知识要点
4.演绎推理:从一般性的原理出发,推出某个特殊 情况下的结论,我们把这种推理称为演绎推理? 归纳——从特殊到一般,结论是似真的;? 演绎——从一般到特殊,结论是必然的;? 类比——从特殊到特殊,结论是似真的.?

例题剖析

类比推理

[例1] 平面几何中, ①在Rt△ABC中,斜边是AB, 则CB=ABcosB;? ②在正三角形中,有外接圆半径等于 内切圆半径的2倍.? 用类比的方法写出立体几何中相似的命题.
[解析] ①如图在三棱锥D-ABC中,DA⊥面ABC, 若二面角A-BC-D的大小为α, 则 S△ABC=S△DBC·cosα; (面积)射影定理 ②正四面体的外接球半径等于内切球半径的3倍.

例题剖析
1 ? S△BCD ? 4r 3

类比推理

?V A? BCD

1 ? S△ BCD ? ( R ? r ) 3

? R ? r ? 4r ? R ? 3r
[点评] 在平面中,边数最少的多边形是三角形. ? 在空间,面数最少的多面体是四面体.? 故三角形与四面体可作一些类比.

延展训练

类比推理
OA? OB? OC? ? ? .? ? 1 运用类比 AA? BB? CC

[例2]已知O是△ABC内任意一点,连结AO,BO, CO并
延长交对边于A′,B′,C′.则 猜想,对空间四面体A-BCD,存在什么类似的结论,并证 明.

延展训练

类比推理

[解析] 设O是四面体ABCD内 任

意一点,连AO,BO,CO,DO并延长 交对面于A′,B′,C′,D′.则

OA? OB? OC? OD? ? ? ? ?1 AA? BB? CC ? DD?

延展训练
OA′ h 则: ? . AA? h?

类比推理

证明:过O,A分别作底面BCD的高,设为h,h′

1 S△ BCD ? h VO ? BCD OA? h 3 ? ? ? ? AA? h? 1 V A? BCD S△ BCD ? h? 3 OB? VO ? CDA OC ? VO ? DAB OD? VO ? ABC 同理 : ? ? ? . OB VB ? CD CC ? VC ? OAB DD? VC ? ABC OA? OB? OC ? OD? ? ? ? ? AA? BB? CC ? DD? VO ? BCD VO ? CDA VO ? DAB VO ? ABC V A? BCD ? ? ? ? ? ? 1. V A? BCD V A? BCD VC ? ABC VC ? ABC V A? BCO

例题剖析

类比推理

[例3]任给7个实数,求证:其中至少存在两个实数x、y,

[分析]

x? y 3 满足: 0 ? ? . 1 ? xy 3

x? y 从 结构看 , 与两角差的正切公式类 1 ? xy 3 π 而 0 ? tan0 , ? tan 3 6

似,

[证明]

? ? 将(? , )分成 6个区间 , 则? i 至少有两个在同一区间 2 2 π 令这两个角为 ?、 ? , 且? ? ? , 则 0 ? ? ? ? ? 6 x? y 再令 x ? tan? , y ? tan? , 则tan( ? ? ) ? ?
1 ? xy

π π 记任给 7个实数为 tan? i ,? i ? ( ? , ), i ? 1,2, ? ,7, 2 2

类比推理

π π π 而正切函数在 ( ? , )上是增函数 . ?由0 ? ? ? ? ? 2 2 6 π 得tan0 ? tan( ? ? ) ? tan ? 即 6 x? y 3 0? ? 1 ? xy 3

例题剖析

归纳推理

[例4]将正三角形的每一边三等分,以每一条边上居中的 一线段为边向外作正三角形得到六个正三角形,重复上 述作法,一直继续下去,设原正三角形的周长为a0,依次所 得的周长所成的数列记为{an},判断{an}是何种数列,并求 通项公式an.

例题剖析

归纳推理

[分析] 可以比较序号相邻的两个曲线的正三角形 边长的变化来找出{an}相邻两项的数量关系.

[解析]设前一个曲线所含正三角形的边长为l, 4 则有后一个曲线中其长度变为 l ? ? l , 3
an?1 4 ? ? an 3 4 n ? 数列是等比数列 , 故a n ? ( ) a0 3

例题剖析

归纳推理 类比推理

[例5] 在m(m≥2)个不同数的排列P1,P2…Pm中, 若1≤i<j≤m时,Pi>Pj,则称Pi与Pj构成一个逆序, 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数, 记排列(n+1)n(n-1)……321的逆序数为an, 如排列21的逆序数a1=1 (1)求a4,a5并写出an的表达式;?
a (2)令bn= an ? n ?1 ,证明:2n<b1+b2+…+bn<2n+3 an?1 an

例题剖析

归纳推理 类比推理

[例5] 在m(m≥2)个不同数的排列P1,P2…Pm中, 若1≤i<j≤m时,Pi>Pj,则称Pi与Pj构成一个逆序, 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数, 记排列(n+1)n(n-1)……321的逆序数为an, 如排列21的逆序数a1=1 (1)求a4,a5并写出an的表达式;?
[解析] (1)排列54321的逆序有54,53,52,51,43, 42,41,32,31,21,? 归纳推理 ∴a4=10 同理a5=15? an=n+(n-1)+(n-2)+…+2+1= n( n ? 1)
2

an an?1 n n? 2 n n? 2 ( 2)b n ? ? ? ? ?2 ? ? 2, n ? 1、 ?? 2 an?1 an n? 2 n n? 2 n ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? 2n n n? 2 n? 2? 2 2 2 2 ? bn ? ? ? ?1? ? 2? ? , n ? 1、 ?? 2 n? 2 n n? 2 n n n? 2 ? b1 ? b2 ? ? ? bn 类比推理

例题剖析

归纳推理 类比推理

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2n ? 2? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) 1 3 2 4 3 5 4 6 n n? 2 1 1 1 ? 2n ? 2(1 ? ? ? ) 2 n?1 n? 2 2 2 ? 2n ? 3 ? ? ? 2n ? 3 n?1 n? 2

?

综 : 2n ? b1 ? b2 ? ?? bn ? 2n ? 3. 上

延展训练

演绎推理

a [例6]已知 y ? x ? 有如下性质 : 常数 a ? 0, 那么该函数 x 在 0,a 上是减函数,在 a ,?? 上是增函数 . b 2 (1)如果 y ? x ? 在?0,4? 上是减函数,在 ? 4, ? ?上是增函数 , ? x 求实常数 b的值; c ( 2)设常数 c ? ?1,4?, 求函数 f ( x ) ? x ? , x ? ?1,2? x 的最大值和最小值 .

?

?

?

?

a [例6]已知 y ? x ? x 有如下性质 : 常数 a ? 0, 那么该函数 在 0,a 上是减函数,在 a ,?? 上是增函数 . b 2 (1)如果 y ? x ? 在?0,4? 上是减函数,在 ? 4, ? ?上是增函数 , ? x 求实常数 b的值;
分析:本题设计新颖,层层递进,是演绎推理的典型应用.

演绎推理

?

?

?

?

[解析] (1)由函数y=x+

a x

2b 的性质,已知y=x+ 在(0,2b ] x

上是减函数,在[ 2b ,+∞)上是增函数. ? 2b ? 4, b ? 4.

当c ? 2时, f ( 2) ? f (1) ? 0,? f ( 2) ? f (1), 此时 f ( x )的最大值为 f ( 2) ? f (1) ? 3,

在x ? ? 1,2 ?上, 当x ? c时, 函数取得最小值 2 c , c c 又f (1) ? 1 ? c , f ( 2) ? 2 ? , f ( 2) ? f (1) ? 1 ? . 2 2 当c ? ? 1,2)时, f ( 2) ? f (1) ? 0,? f ( 2) ? f (1). c 此时 f ( x )的最大值为 f ( 2) ? 2 ? . 2

( 2) ? c ? ? 1,4 ?. ? c ? ? 1,2 ?. c 又f ( x ) ? x ? 在(0, c ?上是减函数 , 在? x

演绎推理
c ,? ?)上是增函数 ,

当c ? ( 2,4 ?时, f ( 2) ? f (1) ? 0, f ( 2) ? f (1). 此时 f ( x )的最大值为 f (1) ? 1 ? c.

演绎推理
综上可知 : 函数 f ( x )min ? 2 c , 当c ? ? 1,2)时, f ( x )的最大值为 f ( x )max c ? 2? . 2

当c ? 2时, f ( x )的最大值为 f ( x )max ? 3,

当c ? (2,4 ?时, f ( x )的最大值为 f ( x )max ? 1 ? c.

第六周周练第 7题


设 P 是△ABC 内任意一点,S△ABC 表示△ABC 的面积,

S ?PCA S ?PAB S ?PBC λ1= S ?ABc ,λ2= S ?ABC ,λ3= S ?ABC ,
定义 f(P)=(λ1, λ, λ3),若 G 是△ABC 的重心, 1 1 1 f(Q)=( 2 , 3 , 6 ) ,则( A ) A.点 Q 在△GAB 内 B.点 Q 在△GBC 内 C.点 Q 在△GCA 内 D.点 Q 与点 G 重合

典题分析 1
已知函数

x f ( x) ? ln( x ? 1) ? . a( x ? 1)

(1)若函数 f ( x) 在[0,+∞)内为增函数, 求正实数 a 的取值范围;

1 f ( x)在[ ? ,1] 2 上的最大值和最小值; (2)当 a ? 1 时,求
(3)试利用(1)的结论,证明:对于大于 1 的任意 正整数 n ,都有

1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ln n. 2 3 4 n

解析:
? f ( x) ? ln( x ? 1) ? x a( x ? 1) ? 1 ?( x) ? ?f (a ? 0) 2 a( x ? 1) , a( x ? 1)

? 函数 f ( x) 在[0,+∞)恒成立 2 分,? a( x ? 1) ? 1 ? 0
对任意 即

x ? ?0, ???

恒成立,

a?

1 x ? 1 对任意 x ?

?0, ??? 恒成立

…….3 分

而当

x ??

1 ( ) max ? 1, 0, ??? 时, x ? 1
…….. 4 分

? a ? 1.

(2)当 a

? 1,

f ?( x) ?

x ( x ? 1) 2
? 1 ? ( x) 在 ? ? 2 , 0 ? 上 ? ?

? 1 ? ?当x ? ?? ,0 ? ? 2 ? 时,
单调递减, ……. 5 分 当

f ?( x) ? 0, f

x ? ? 0,1?

时,

f ?( x) ? 0, f ( x) 在(0,1]上

单调递增

……6 分

?f


1 [ ? ,1] ( x) 在 2 上有唯一极小值点.
….. 7 分

f ( x)min ? f (0) ? 0

1 1 1 f (? ) ? 1 ? ln ? 1 ? ln 2, f (1) ? ? ? ln 2 2 2 2 又 ……… 8 分

1 3 3 ? ln16 ln e3 ? ln16 f (? ) ? f (1) ? ? 2 ln 2 ? ? . 2 2 2 2

1 ? e ? 16,? f (? ) ? f (1) ? 0 2 ,
3



1 f (? ) ? f (1). 2

…….. 9 分

1 1 f (? ) ? 1 ? ln 2. ? f ( x)在[? ,1] 2 2 上的最大值为 1 f ( x )在[ ? ,1] 2 上的最大值是 1 ? ln 2 , 综上,函数
最小值是 0……..10 分

典题分析 2
b 已知函数 f ( x ) ? ax ? ? c(a ? 0)的图象在点 (1, f (1)) x 处的切线方程为 y ? x ? 1, (1)用a表示 b, c;

( 2)若f ( x ) ? ln x在?1, ? ?上恒成立,求 a的取值范围; ? 1 1 1 n ( 3)证明: ? ? ? ? ? ? ? ? ? ln(n ? 1) ? 1 ( n ? 1). 2 3 n 2( n ? 1)


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