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黑龙江省大庆铁人中学2013-2014学年高二数学上学期期末试题 文


大庆铁人中学 2012 级高二上学期期末考试 数学试题(文)
时间:120 分钟 满分:150 分 一、选择题: 2 2 1. “ab<0”是“方程 ax +by =1 表示双曲线”的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.F1,F2 是定点,且|F1F2|=6,动点 M 满足|MF1|+|MF2|=6,则 M

点的轨迹方程是( ) A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段 2 2 3.椭圆 x +my =1 的焦点在 y 轴上,长轴长是短轴长的 2 倍,则 m 的值是 1 1 A. B. C.2 D.4 4 2 4.某校选修乒乓球课程的学生中,高一年级有 30 名,高二年级有 40 名.现用分层抽样的 方法在这 70 名学生中抽取一个样本,已知在高一年级的学生中抽取了 6 名,则在高二年级 的学生中应抽取的人数为( A.6 B.8
4

) C.10 D.12 )

5.若曲线 y=x 的一条切线 l 与直线 x+4y-8=0 垂直,则 l 的方程为( A. 4x-y-3=0 B.x+4y-5=0
3 2

C.4x-y+3=0 D.x+4y+3=0

6.已知 f(x)=2x -6x +m (m 为常数)在[-2,2]上有最大值 3,那么此函数在[-2,2]上的 最小值是 A.-37 C.-5 ( ) B.-29 D.以上都不对

7.若如图所示的程序框图输出的 S 的值为 126, 则条件①为( A.n≤5? C.n≤7?
x

) B.n≤6? D.n≤8?
2

8.曲线 y=e 在点(2,e )处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( 2 9 2 e 2 2 A. e B.2e C.e D. 4 2
2

)

9.给出两个命题:p:平面内直线 l 与抛物线 y ? 2 x 有且只有一个交点,则直线 l 与该抛

y2 ? 1右焦点 F 的最短弦长是 8.则( 物线相切;命题 q:过双曲线 x ? 4
2

)

A.q 为真命题 C. “p 且 q”为真命题 10.设 F1、F2 是椭圆 E :

B. “p 或 q”为假命题 D. “p 或 q”为真命题

x2 y 2 3a ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点, P 为直线 x ? 上一点, 2 2 a b


?F2 PF1 是底角为 30 的等腰三角形,则 E 的离心率为(

A.

1 2

B.

2 3

C.

? ?

D.

? ?

11.将某选手的 9 个得分去掉 1 个最高分,去掉 1 个最低分,7 个剩余分数的平均分为 91,现场 做的 9 个分数的茎叶图后来有一个数据模糊,无法辨认,在图中以 x 表示:

,则 7 个剩余分数的方差为(



A.

116 9

B.

36 7

C.36

D.

6 7 7

12.设 F 为双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点,在 x 轴上 F 点的右侧有一点 A ,以 FA 为直径的 16 9

圆与双曲线左、右两支在 x 轴上方的交点分别为 M 、 N ,则

FN ? FM FA

的值为(



A.

2 5

B.

5 2

C.

4 5

D.

5 4

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。 ^ ^ ^ 13. 已知 x、y 的取值如下表所示,若 y 与 x 线性相关,且y=0.95x+a,则a=____ .

x y

0 2.2

1 4.3

3 4.8

4 6.7

14.将二进制数 101 101(2)化为八进制数,结果为__________.

1 3 x ? ax 2 ? 2ax ? 3 有极值,则实数 a 的取值范围为 3 16.右图是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶离水面 2 米,
15.已知函数 f ( x) ? 水面宽 4 米,水位下降 1 米后,水面宽 米.

三、解答题: 17.(本小题满分 10 分) 命题 p:关于 x 的不等式

x 2 ? 2 a x ? 4 ? 0, 对 一 切 x ? R 恒 成 立 ; 命 题 q : 函

f ( x) ? ( 3 ? 2 a x) 是增函数.若 p 或 q 为真,p 且 q 为假,求实数 a 的取值范围.

18.(本小题满分 12 分) 抛物线的顶点在原点,以 x 轴为对称轴,经过焦点且倾斜角为 135°的直线,被抛物线所截 得的弦长为 8,试求该抛物线的方程.

19.(本小题满分 12 分) 设 f ( x) ? 2x 3 ? ax2 ? bx ? 1 的导数为 f / ( x) ,若函数 y ? f / ( x) 的图像关于直线 x ? ? 对称,且 f / (1) ? 0 。 (1)求 a , b 的值; (2)求函数 f ( x) 的极值。 20.(本小题满分 12 分) 某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出 60 名学生,将其成绩(均为整数) 分成六段 ?40,50? , ?50,60? ? ?90,100? 后画出如下部分频率分布直方图.观察图形 的信息,回答下列问题: (1)求第四小组的频率,并补全这个频率分布直方图; (2)估计这次考试的及格率( 60 分及以上为及格)和平均分; (3)从成绩是 70 分以上(包括 70 分)的学生中选两人,求他们在同一分数段的概率.

1 2

频 率 组 距

0.025 0.015 0.01 0.005 40 50 60 70 80 90 100 分 数

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? 2a ln x , a ? R
2

(1)讨论 f ( x) 单调区间; (2)当 a ?

1 时,证明:当 x ? 1 时,证明: f ( x) ? x 。 2

22.(本小题满分 12 分) 设椭圆 M: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率与双曲线 x -y =1 的离心率互为倒数,且内切于圆 x
2

y2 x2 a b

2

2

2

+y =4.(1)求椭圆 M 的方程;(2)若直线 y= 2x+m 交椭圆于 A、B 两点,椭圆上一点 P(1, 2),求△PAB 面积的最大值.

大庆铁人中学 2012 级高二上学期期末考试 数学试题(文) 一、选择题:CDABAA BDBCBC 二、填空题:13. 三、解答题: 2.6
2

2014. 1

14. 55(8)

15. a ? 0 或 a ? ?2

16. 2 6

17. 解:p 为真:△=4 a -16<0 ? -2< a <2 q 为真:3-2 a >1 ? a <1 因为 p 或 q 为真,p 且 q 为假 ? p,q 一真一假 当 p 真 q 假时, ?

------------2 分 ------------4 分 ------------5 分 ------------7 分

?? 2 ? a ? 2 ?a ? 1

? 1≤ a ? 2 ? a ? ?2

?a ? 2或a ? ?2 当 p 假 q 真时, ? ?a ? 1

------------9 分

? a 的取值范围为 ?1,2? ? ?? ?,?2?
18. 解析 依题意,设抛物线方程为 y =2px(p>0), 1 则直线方程为 y=-x+ p. 2 设直线交抛物线于 A(x1,y1)、B(x2,y2)两点, 过 A、B 分别作准线的垂线,垂足分别为 C、D, 则由抛物线定义得 |AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD| =x1+ +x2+ , 2 2 即 x1+x2+p=8.① 又 A(x1,y1)、B(x2,y2)是抛物线和直线的交点, 1 ? ?y=-x+ p, 2 由? 2 ? ?y =2px,
2

------------10 分

p

p

消去 y,

得 x -3px+ =0,所以 x1+x2=3p. 4 将其代入①得 p=2,所以所求抛物线方程为 y =4x. 当抛物线方程设为 y =-2px(p>0)时, 同理可求得抛物线方程为 y =-4x. 综上,所求抛物线方程为 y =4x 或 y =-4x. 19. (1) a ? 3, b ? ?12 (2)极大值为 f (?2) ? 21,极小值为 f (1) ? ?6 20. 【解析】 (1)因为各组的频率和等于 1,故第四组的频率: f4=1-(0.025+0.15*2+0.01+0.005)*10=0.032 分 直方图如右所示????????????.4 分 (2)依题意,60 及以上的分数所在的第三、四、五、六组, 频率和为(0.015+0.03+0.025+0.005)*10=0.75 所以,抽样学生成绩的合格率是 75% 6分 利用组中值估算抽样学生的平均分 45?f1+55?f2+65?f3+75?f4+85?f5+95?f6???????.8 分 =45?0.1+55?0.15+65?0.15+75?0.3+85?0.25+95?0.05 =71 估计这次考试的平均分是 71 分????????????????.10 分 (3)[70,80),[80,90) ,[90,100]的人数是 18,15,3。所以从成绩是 70 分以上(包 括 70 分)的学生中选两人,他们在同一分数段的概率。
2 2 87 C18 ? C15 ? C32 ????????14 分 P? ? 2 210 C36
2 2 2 2 2

2

p2

21. (1) a ? 0 , (0,??) 上是增函数; a ? 0 , (0, a ) 减 ( a ,??) 增 (2)设 g ( x) ? f ( x) ? x , g ' ( x) ? 0 , g ( x) 增, g ( x) ? g (1) ? 0 ,所以 f ( x) ? x 22. (1)双曲线的离心率为 2,则椭圆的离心率为 e= =

c a

2 2 2 ,圆 x +y =4 的直径为 4, 2

2a=4 ? ?c 2 则 2a=4,得:? = a 2 ? ?b =a -c
2 2

2

?a=2 ? ?c= 2 ?b= 2,

所求椭圆 M 的方程为 + =1.?????4 分 4 2

y2 x2

? ?y= 2x+m (2)直线 AB 的直线方程:y= 2x+m.由?x2 y2 + =1 ? ?2 4
0,???5 分 由 Δ =(2 2m) -16(m -4)>0,得-2 2<m<2 2, ∵x1+x2=- 2 m -4 m,x1x2= .????6 分 2 4
2 2 2

,得 4x +2 2mx+m -4=

2

2

∴|AB|= 1+2|x1-x2|= 3? = 3? 1 2 m -m2+4= 3 2

x1+x2 m2

2

-4x1x2

4- ,????7 分 2

|m| 又 P 到 AB 的距离为 d= .?????8 分 3 则 S
△ ABC

1 1 = |AB|d = 2 2

3

4-

m2 |m|
2 3

1 = 2

m

2



m2
2



1 2 2

m2


-m 1

2

?????10 分

2 2

?

m2+

-m 2

2

= 2,?????12 分

当且仅当 m=±2∈(-2 2,2 2)取等号.???13 分 ∴(S△ABC)max= 2.

大庆铁人中学 2013 级高二上学期期中考试 数学试题(文) 2014. 1 时间:120 分钟 满分:150 分 出题人:苏杰 亮

审核人:郭振

一、选择题: 2 2 1. “ab<0”是“方程 ax +by =1 表示双曲线”的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.F1,F2 是定点,且|F1F2|=6,动点 M 满足|MF1|+|MF2|=6,则 M 点的轨迹方程是( ) A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段 2 2 3.椭圆 x +my =1 的焦点在 y 轴上,长轴长是短轴长的 2 倍,则 m 的值是( ) 1 1 A. B. C.2 D.4 4 2 4.某校选修乒乓球课程的学生中,高一年级有 30 名,高二年级有 40 名.现用分层抽样的 方法在这 70 名学生中抽取一个样本,已知在高一年级的学生中抽取了 6 名,则在高二年级 的学生中应抽取的人数为( A.6 B.8
4

) C.10 D.12 )

5.若曲线 y=x 的一条切线 l 与直线 x+4y-8=0 垂直,则 l 的方程为( A. 4x-y-3=0 B.x+4y-5=0
3 2

C.4x-y+3=0 D.x+4y+3=0

6. 已知 f(x)=2x -6x +m (m 为常数)在[-2,2]上有最大值 3,那么此函数在[-2,2]上的 最小值是 A.-37 C.-5 ( ) B.-29 D.以上都不对

7.若如图所示的程序框图输出的 S 的值为 126, 则条件①为( A.n≤5? C.n≤7?
x

) B.n≤6? D.n≤8?
2

8. 曲线 y=e 在点(2,e )处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( 2 9 2 e 2 2 A. e B.2e C.e D. 4 2
2

)

9.给出两个命题:p:平面内直线 l 与抛物线 y ? 2 x 有且只有一个交点,则直线 l 与该
2 抛物线相切;命题 q:过双曲线 x ?

y2 ? 1右焦点 F 的最短弦长是 8.则( 4

)

A.q 为真命题 C. “p 且 q”为真命题

B. “p 或 q”为假命题 D. “p 或 q”为真命题

x2 y 2 3a 10.设 F1F2 是椭圆 E : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点, P 为直线 x ? 上一点, 2 a b

?F2 PF1 是底角为 30 的等腰三角形,则 E 的离心率为( 1 2 ? ? A. B. C. D. 2 3 ? ?



11.将某选手的 9 个得分去掉 1 个最高分,去掉 1 个最低分,7 个剩余分数的平均分为 91,现场 做的 9 个分数的茎叶图后来有一个数据模糊,无法辨认,在图中以 x 表

示: 则 7 个剩余分数的方差为( A. ) C.36 D.

116 9

B.

36 7

6 7 7

11.如图,AB 是平面 a 的斜线段 ,A 为斜足,若点 P 在 ... 平面 a 内运动,使得△ABP 的面积为定值, 则动点 P 的轨迹是 A.圆 B. 椭圆 C.一条直线 D.两条平行直线 12.设 F 为双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点,在 x 轴上 F 点的右侧有一点 A ,以 FA 为直径的 16 9

圆与双曲线左、右两支在 x 轴上方的交点分别为 M 、 N ,则

FN ? FM FA

的值为(



A.

2 5

B.

5 2

C.

4 5

D.

5 4
已知 x、y 的 4 6.7 如 下 表 所 若y与x线 ^ 关,且y=

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。 13. 取值 示, 性相 ^ ^ 0.95x+a,则a=____ 2.6

x y

0 2.2

1 4.3

3 4.8

14.将二进制数 101 101(2)化为八进制数,结果为__________.55(8) 15.已知函数 f ( x) ?

1 3 x ? ax 2 ? 2ax ? 3 有极值,则实数 a 的取值范围为 3 答案 a ? 0 或 a ? ?2

16.右图是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶离水面 2 米, 水面宽 4 米,水位下降 1 米后,水面宽 米. 2 6

三、解答题: 17.(本小题满分 10 分)
2

已知命题 p : x ? 7 x ? 10 ? 0 ,命题 q : x2 ? 2x ? ?1 ? a ??1 ? a ? ? 0 , (a ? 0) , 若“ ? p ”是“ ? q ”的必要而不充分条件,求 a 的取值范围 . 18.(本小题满分 12 分) 抛物线的顶点在原点,以 x 轴为对称轴,经过焦点且倾斜角为 135°的直线,被抛物线所截 得的弦长为 8,试求该抛物线的方程. 解析 依题意,设抛物线方程为 y =2px(p>0), 1 则直线方程为 y=-x+ p. 2 设直线交抛物线于 A(x1,y1)、B(x2,y2)两点, 过 A、B 分别作准线的垂线,垂足分别为 C、D, 则由抛物线定义得 |AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD| =x1+ +x2+ , 2 2 即 x1+x2+p=8.① 又 A(x1,y1)、B(x2,y2)是抛物线和直线的交点, 1 ? ?y=-x+ p, 2 由? ? ?y2=2px,
2 2

p

p

消去 y,

得 x -3px+ =0,所以 x1+x2=3p. 4 将其代入①得 p=2,所以所求抛物线方程为 y =4x. 当抛物线方程设为 y =-2px(p>0)时, 同理可求得抛物线方程为 y =-4x. 综上,所求抛物线方程为 y =4x 或 y =-4x. 19.(本小题满分 12 分)
3 2 / / 设 f ( x) ? 2x ? ax ? bx ? 1 的导数为 f ( x) ,若函数 y ? f ( x) 的图像关于直线 x ? ?
2 2 2 2 2

p2

1 2

对称,且 f (1) ? 0 。
/

(1)求 a , b 的值; (2)求函数 f ( x) 的极值。

(1) a ? 3, b ? ?12 (2)极大值为 f (?2) ? 21,极小值为 f (1) ? ?6 20.(本小题满分 12 分) 某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出 60 名学生,将其成绩(均为整数) 分成六段 ?40,50? , ?50,60? ? ?90,100? 后画出如下部分频率分布直方图.观察图形 的信息,回答下列问题: (1)求第四小组的频率,并补全这个频率分布直方图; (2)估计这次考试的及格率( 60 分及以上为及格)和平均分; (3)从成绩是 70 分以上(包括 70 分)的学生中选两人,求他们在同一分数段的概率.
频 率 组 距

0.025 0.015 0.01 0.005 40 50 60 70 80 90 100 分 数

【解析】 (1)因为各组的频率和等于 1,故第四组的频率: f4=1-(0.025+0.15*2+0.01+0.005)*10=0.032 分 直方图如右所示????????????.4 分 (2)依题意,60 及以上的分数所在的第三、四、五、六组, 频率和为(0.015+0.03+0.025+0.005)*10=0.75 所以,抽样学生成绩的合格率是 75% 6分 利用组中值估算抽样学生的平均分 45?f1+55?f2+65?f3+75?f4+85?f5+95?f6???????.8 分 =45?0.1+55?0.15+65?0.15+75?0.3+85?0.25+95?0.05 =71 估计这次考试的平均分是 71 分????????????????.10 分 (3)[70,80),[80,90) ,[90,100]的人数是 18,15,3。所以从成绩是 70 分以上(包 括 70 分)的学生中选两人,他们在同一分数段的概率。

P?

2 2 87 C18 ? C15 ? C32 ????????14 分 ? 2 210 C36

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? 2a ln x , a ? R
2

(1)讨论 f ( x) 单调区间;

(2)当 a ?

1 时,证明:当 x ? 1 时,证明: f ( x) ? x 。 2

(1) a ? 0 , (0,??) 上是增函数; a ? 0 , (0, a ) 减 ( a ,??) 增 (2)设 g ( x) ? f ( x) ? x , g ' ( x) ? 0 , g ( x) 增, g ( x) ? g (1) ? 0 ,所以 f ( x) ? x

22.(本小题满分 12 分) 设椭圆 M: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率与双曲线 x -y =1 的离心率互为倒数,且内切于圆 x
2

y2 x2 a b

2

2

2

+y =4.(1)求椭圆 M 的方程;(2)若直线 y= 2x+m 交椭圆于 A、B 两点,椭圆上一点 P(1, 2),求△PAB 面积的最大值.

(1)双曲线的离心率为 2,则椭圆的离心率为 e= = 2a=4 ? ?c 2 2a = 4 , 得 : ? = a 2 ? ?b =a -c
2 2

c a

2 2 2 ,圆 x +y =4 的直径为 4, 2



2

?a=2 ? ?c= 2 ?b= 2,

所求椭圆 M 的方程为

y2
4



x2
2



1.?????4 分

? ?y= 2x+m (2)直线 AB 的直线方程:y= 2x+m.由?x2 y2 + =1 ? ?2 4
0,???5 分 由 Δ =(2 2m) -16(m -4)>0,得-2 2<m<2 2, ∵x1+x2=- 2 m -4 m,x1x2= .????6 分 2 4
2 2 2

,得 4x +2 2mx+m -4=

2

2

∴|AB|= 1+2|x1-x2|= 3? = 3? 1 2 m -m2+4= 3 2

x1+x2 m2

2

-4x1x2

4- ,????7 分 2

|m| 又 P 到 AB 的距离为 d= .?????8 分 3 则 S
△ ABC

1 1 = |AB|d = 2 2

3

4-

m2 |m|
2 3

1 = 2

m

2



m2
2



1 2 2

m2

-m

2

?????10 分



1 2 2

?

m2+

-m 2

2

= 2,?????12 分

当且仅当 m=±2∈(-2 2,2 2)取等号.???13 分 ∴(S△ABC)max= 2.

3.以下茎叶图记录了甲、乙两组各 5 名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分).

已知甲组数据的中位数为 15,乙组数据的平均数为 16.8,则 x,y 的值分别为( A.2,5 B.5,5 C.5,8 D.8,8

)

将某选手的 9 个得分去掉 1 个最高分,去掉 1 个最低分,7 个剩余分数的平均分为 91,现场做 的 9 个分数的茎叶图后来有一个数据模糊,无法辨认,在图中以 x 表

示: 则 7 个剩余分数的方差为( A. ) C.36 D.

116 9

B.

36 7

6 7 7

教师版高二数学期末考试数学试卷理科 2013-1-16 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,有且 只有一项符合题目要求。把答案填写在答题卡上) 2 2 1. “ab<0”是“方程 ax +by =1 表示双曲线”的( C ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.F1,F2 是定点,且|F1F2|=6,动点 M 满足|MF1|+|MF2|=6,则 M 点的轨迹方程是( D ) A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段 2 2 3.椭圆 x +my =1 的焦点在 y 轴上,长轴长是短轴长的 2 倍,则 m 的值是( A ) 1 1 A. B. C.2 D.4 4 2 2 2 1 答案解析 长轴长为 2a= ,短轴长为 2,∴ =4.∴m= . 4 m m 1 4.已知向量 a=(8, x,x),b=(x,1,2),其中 x>0.若 a∥b,则 x 的值为( B ) 2 A.8 B.4 C.2 D.0 解析 因 x=8,2,0 时都不满足 a∥b.而 x=4 时,a=(8,2,4)=2(4,1,2)=2b,∴a∥b. λ x=8 ? ? x x 另解: a∥b?存在 λ >0 使 a=λ b?(8,, x)=(λ x, λ , 2λ )?? =λ 2 2 ? ?x=2λ
?λ =2 ? ?? ?x=4 ?

.

∴选 B. 5.若点 P 到点 F(0,2)的距离比它到直线 y+4=0 的距离小 2,则 P 的轨迹方程为( C ) 2 2 2 2 A.y =8x B.y =-8x C.x =8y D.x =-8y 解析 由题意知 P 到 F(0,2)的距离比它到 y+4=0 的距离小 2,因此 P 到 F(0,2)的距 离与到直线 y+2=0 的距离相等,故 P 的轨迹是以 F 为焦点,y=-2 为准线的抛物线,∴P 2 的轨迹方程为 x =8y. 6.给出两个命题:p:平面内直线 l 与抛物线 y ? 2 x 有且只有一个交点,则直线 l 与该
2

抛物线相切;命题 q:过双曲线 x ?
2

y2 ? 1右焦点 F 的最短弦长是 8。则( B. ) 4

B. “p 或 q”为假命题 C. “p 且 q”为真命题 D. “p 或 q”为真命题 → → → → → → 7.在空间四边形 ABCD 中,AB?CD+AC?DB+AD?BC=( B. ) A.-1 B.0 C.1 D.不确定 思路 数形结合法,用特殊图形(如正四面体)计算,或在一般图形中,选取基向量,用基底 表示题中向量,然后再计算. 8. 设 F1F2 是椭圆 E :

A.q 为真命题

x2 y 2 3a ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点, P 为直线 x ? 上一点, 2 2 a b
C )

?F2 PF1 是底角为 30 的等腰三角形,则 E 的离心率为( 1 2 ? ? A. B. C. D. 2 3 ? ?

9..如图,AB 是平面 a 的斜线段 ,A 为斜足,若点 P 在平面 a 内运动, ... 使得△ABP 的面积为定值,则动点 P 的轨迹是( B )

A.圆

B. 椭圆

C.一条直线

D.两条平行直线

解析:本小题其实就是一个平面斜截一个圆柱表面的问题。考虑到三角形面积为定值,底边 一定,从而 P 到直线 AB 的距离为定值,若忽略平面的限制,则 P 轨迹类似为一以 AB 为轴 心的圆柱面,加上后者平面的交集,轨迹为椭圆!还可以采取排除法,直线是不可能的,在 无穷远处,点到直线的距离为无穷大,故面积也为无穷大,从而排除 C 与 D,又题目在斜线 段下标注重点符号,从而改成垂直来处理,轨迹则为圆,故剩下椭圆为答案! 10.设 F 为双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点,在 x 轴上 F 点的右侧有一点 A ,以 FA 为直径的 16 9

圆与双曲线左、右两支在 x 轴上方的交点分别为 M 、 N ,则

FN ? FM FA

的值为( C )

A.

2 5

B.

5 2

C.

4 5

D.

5 4

解 析 : 对

FN ? FM 1 x2 y 2 ? 2 ?1 有 ? ,特殊情形: A 为右焦点, 2 a b FA e

Rt FM ?A

R t, ? FNA ? F, M

FN ? FM FN ? AN 2a 1 ? ? 。 AN ? FA FA 2c e

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。 11.已知双曲线 x - 2(b>0)的一条渐近线的方程为 y=2x,则 b=________. 答案 2 解析 双曲线 x - 2=1(b>0)的渐近线方程为 y=±bx,比较系数得 b=2.
2 2

y2 b

y2 b

x2 y 2 2 12.椭圆 2 ? 2 ? 1 的长轴长为 6,右焦点 F 是抛物线 x ? 8 y 的焦点 ,则该椭圆的离心 a b 2 率等于 3
13.命题“如果 x-2+(y+1) =0,则 x=2 且 y=-1”的逆否命题为________. 2 [答案] 如果 x≠2 或 y≠-1,则 x-2+(y+1) ≠0 → → → → → 14.在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,向量AB,AD,AA1两两的夹角均为 60°,且|AB|=1,|AD → → |=2,|AA1|=3,则|AC1|= A.5 B.6 C.4 D. 8 → 【分析】 本题考查向量的模的概念和向量的数量积公式. 【答案】 A【解析】 由题知AC1 → → → → 2 → → → 2 2 2 2 → → → → → → =AB+BC+CC1,则|AC1| =|A B +BC+CC1| =1 +2 +3 +2AB?BC+2AB?CC1+2BC?CC1= 1 1 1 → 14+2?1?2? +2?1?3? +2?2?3? =25,所以|AC1|=5. 2 2 2 15.右图是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶离水面 2 米,水面宽 4 米,水位
2

下降 1 米后,水面宽 2 6 米. 三、解答题:共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

x ? 7 x ? 10 ? 0 , 16. (本小题满分 12 分) 已知命题 p : 命题 q : x2 ? 2x ? ?1 ? a ??1 ? a ? ? 0 ,
2

(a ? 0) ,若“ ? p ”是“ ? q ”的必要而不充分条件,求 a 的取值范围
2 2 2 16.解: x ? 7 x ? 10 ? 0 ? 2 ? x ? 5 , x ? 2 x ? 1 ? a ? 0 ? 1 ? a ? x ? 1 ? a , -----4

分 ∵ P 是 q 的充分不必要条件,∴ {x | 2 ? x ? 5} 分 ∴?

{x | 1? a ? x ? 1 ? a} , -----------8

?1 ? a ? 2 ? a ? 4 。 -----------12 分 ?1 ? a ? 5

x2 y2 ? ? 1 共渐近线且过 A 2 3, 18. (本小题满分 12 分) (1)求与双曲线 ? 3 点的双曲线 16 9
方程;(2)求与椭圆 + =1 有相同离心率且经过点(2,- 3)的椭圆方程. 4 3 20、 【解析】 (1)

?

?

x2 y2

x2 y 2 ? ? 1 ???4 分 4 3

(2)由 A1、A2 为双曲线的左、右顶点知,A1(-2,0),A2(2,0). A1P 方程: y ?

y1 ? 0 ?y ?0 ( x ? 2) ,A2Q 方程: y ? 1 ( x ? 2) ,两式相乘得 x1 ? 2 x1 ? 2

y2 ?
2

x12 y12 x12 ? y12 2 2 ? y ? 3(1 ? ) ? ? 1 ,而点 P(x ,即 ( x ? 4) 1,y1)在双曲线上, 1 4 4 3 x12 ? 4
3 2 x2 y 2 ( x ? 4) 即 ? ? 1 ???11 分 4 4 3

故y ??

因为点 P,Q 是双曲线上的不同两点,所以它们与点 A1,A2 均不重合,故点 A1 和 A2 均不在轨 迹 E 上, 过点 0, 3 及 A2(2,0)的直线 l 与双曲线只有唯一交点 A2,故轨迹 E 不过点 0, 3 ,同理 轨迹 E 也不过点 0, ? 3 . 综上分析,轨迹 E 的方程为

?

?

?

?

?

?

x2 y 2 ? ? 1 ,x≠0 且 x≠±2.???13 分 4 3


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