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高中数学复习平面向量练习题


(2012 年兴化)如图, A , B , C 是直线 l 上三点, P 是直线 l 外一点, 若 AB ? BC ? a , ? APB ? 90 0 , ? BPC ? 45 0 , 则 PA ? PC = ▲ .(用 a 表示)
l

P

A

B 第 13 题图

C
<

br />答案: ?

4 5

a

2

说明:本题有如下几种常见思路: 思路 1: PA , PB 所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系, A ( m , 0 ), ( 0 , n ) , C ( ? m , 2 n ) 以 设 则 D 根据 AB ? BC ? a 可以求出 A , B 两点坐标(用 a 表示) P 思路 2:如图,设点 C 在直线 AP 上的射影为 D,则 ? PDC 为等腰直角三角形,PB 为 ? ADC 的中位线, 则 PC ?
2 PD ?

A

B

C

2 PA ,再在三角形 APC 中用余弦定理即可求出 PA , PC ;

或根据 2 PB ? CD ? PB ? PA ,再在 ? APB 用勾股定理求出 PA ,进而求出 PC 。 本题也可作如下图的辅助线解决 (关键是要充分利用好中点条件和特殊角构造直角三角形) :

P

P D

A

B D

C

A

B

C

(苏锡常二模)已知点 P 在 ? ABC 所在平面内,若 2 PA ? 3 PB ? 4 PC ? 3 AB ,则 ? PAB 与 ? PBC 的面积的比值为 答案:
4 5

.

(盐城二模)已知向量 a 的模为 2, 向量 e 为单位向量, 若 ? 3 , 则向量 a 与 e 的夹角大小为 ▲ . 答案:
?
3

(南通一模)在平面直角坐标系 x O y 中,已知向量 a = (1,2), a ▲ . 答案:0

?

1 b ? 2

(3,1),则 a ? b

?

法一 由 a ?

?a ? 1 b? ? 5 得a 2

2

?

1 a ?b ? 5 2 ? 1 b ? 2

,即 5 ?

1 a ? b ? 5 ,所以 a ? b ? 0 2


? 0

法二 由 a = (1,2), a

(3,1)得 b = ( ? 4 ,2),所以 a ? b

.

( 苏 州 期 末 ) 在 等 边 三 角 形 ABC 中 , 点 P 在 线 段 A B 上 , 满 足 A P ? ? A B, 若
? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? C P ? A B? P A P,则实数 ? 的值是___________. ? B

? ? ??

? ? ??

答案: 1 ?

2 2

(天一)9.在 ? A B C 中,已知 A B ? A C 答案:4

??? ???? ?

? 4

, AB ? BC

??? ???? ?

? ?12

,则

??? ? AB

= ▲ .

(南京三模)6.已知正△ABC 的边长为 1, C P ? 7 C A ? 3 C B , 则 C P ? A B = 答案: -2

??? ?

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?





( 江 苏 百 校 联 考 ) 11 . 在 ? A B C 中 , A B 边 上 的 中 线 C O ? 2 , 若 动 点 P 满 足
??? ? ??? ? ???? ??? ??? ???? ? ? 1 2 2 A P ? sin ? ? A B ? c o s ? ? A C (? ? R ) ,则 ( P A ? P B ) ? P C 的最小值是 2





【解析】本题主要考查平面向量的概念与数量积. 【答案】 ? 2 解答如下: 因为 A P ?
??? ? 1 2 ??? ? ???? ???? ???? 2 2 2 2 2 2 sin ? ? A B ? c o s ? ? A C ? sin ? ? A O ? c o s ? ? A C 且 sin ? , co s ? ? [0,1] ,
??? ? ??? ? ???? ???? ???? ????

所 以 点 P 在 线 段 O C 上 , 故 ( P A ? P B ) ? P C ? 2 P O ? P C , 设 | P O | ? t ( t ? [0, 2 ]) , 则
??? ??? ???? ? ? 2 ( P A ? P B ) ? P C ? 2 t ( 2 ? t ) ? ( ? 1) ? 2 t ? 4 t ,当 t ? 1 时取最小值 ? 2

(南师大信息卷)已知 ? A B O 三顶点的坐标为 A (1, 0 ), B (0, 2 ), O (0, 0 ), P ( x , y ) 是坐 标平面内一点,且满足 提示:由已知得 且
??? ??? ? ? ??? ??? ? ? A P ? O A ? 0, B P ? O B ? 0

,则 O P ? A B 的最小值为 3 . ,
y ? 2

??? ??? ? ?

??? ??? ? ? A P ? O A ? ( x ? 1, y ) ? (1, 0 ) ? x ? 1 ? 0

??? ??? ? ? B P ? O B ? ( x , y ? 2 ) ? (0, 2 ) ? 2 ( y ? 2 ) ? 0 ??? ??? ? ?

,即 x ? 1 ,且 .
? ?



所以 O P ? A B

? ( x , y ) ? ( ? 1, 2 ) ? ? x ? 2 y ? ? 1 ? 4 ? 3

(南通三模)已知单位向量 a 、 b 的夹角为 120 o ,那么 | 2a ? xb | ( x ? R ) 的最小值是 ▲ .
2

?

?

解析:考查向量模的运算。常用 a
2a ? xb
2

? a

2

这一特性;
2

? 4a

2

? x b
2

2

? 4 xab ? 4 ? x

? 2 x ? ( x ? 1) ? 3 ,
2

答案: 3

( 无 锡 期 末 ) 设 点 O 是 ? ABC 的 三 边 中 垂 线 的 交 点 , 且 AC
BC ? AO 的范围是

2

? 2 AC ? AB

2

? 0 ,则



解析:本题考查向量的运算,二次函数在给定区间上的值域。 取 BC 的中点 D, 则 BC ? AO ? BC ? ( AD ? DO ) ? BC ? AD ? ( AC ? AB ) ?
???? ???? ???? ???? ???? ???? ???? ???? ??? ? ? ???? 1 ??? 1 2 2 ( A B ? A C ) ? (b ? c ) , 2 2

2 2 2 2 又由已知知: b ? 2 b ? c ? 0 ,得 c ? ? b ? 2 b ,且 0 ? b ? 2 ,

∴ B C ? A O ? b ? b ? (b ?
2

???? ????

1 2

) ?
2

1 4

? [?

1 4

, 2 ) ,即 BC ? AO 的范围是 [ ? 1 4

1 4

, 2) 。

(说明,消元时必须考虑相关参数的取值范围,否则易错为 [ ?

, ? ? ) ,前功尽弃)

(南京市 2012 届高三 3 月第二次模拟考试) 在面积为 2 的 ? ABC
E,F 分别是 AB, 的中点, P 在直线 EF 上, PC ? PB ? BC AC 点 则
2

中,

的最小值是______________

【答案】 2 3 解法一:问题可转化为已知 ? P B C 的面积为 1,求 PC ? PB ? BC 设 ? P B C 中点 P , B , C 所对的边分别为 p , b , c , 由题设知 b c sin P ? 2 ,
???? ??? ???? 2 ? 2 2 2 2 P C ? P B ? B C ? b c c o s P ? (b ? c ? 2 b c c o s P ) ? b ? c ? b c c o s P
2

的最小值。


? 2bc ? bc cos P ?

2(2 ? cos P ) s in P

从而进一步转化为

2 ? cos P s in P

的最小值。 (可数形结合,可用引入辅助角化一个三角函数的

形式,可用万能公式转化后换元等,下略) 解法二:建立坐标系,立即得目标函数。 由题设知, ? P B C 的面积为 1,以 B 为原点,BC 所在直线为 x 轴,过点 B 与直线 BC 垂直的 直线为 y 轴建立平面直角坐标系,设 C ( a , 0 ), P ( t , )( a ? 0 ) ,
a ??? ? 2 ???? 2 则 P B ? ( ? t , ? ), P C ? ( a ? t , ? ), a a 2

∴ P C ? P B ? B C ? ?t (a ? t ) ?

???? ??? ?

???? 2

4 a
2

? a ? (t ?
2

a 2

) ?
2

4 a
2

?

3a 4

2

? 0?2 3 ,

当且仅当 t ?

a 2

,a ?

4

16 3

时取等号,∴ PC ? PB ? BC

2

的最小值是 2 3 。

(南京二模)设向量 a=(2,sinθ),b=(1,cosθ),θ 为锐角 (1)若 a· b=
13 6

,求 sinθ+cosθ 的值;
?
3

(2)若 a//b,求 sin(2θ+

)的值.

13 1 解: (1) 因为 a·b=2+sinθcosθ= 6 ,所以 sinθcosθ=6.

……………… 2 分

4 所以 (sinθ+cosθ)2=1+2 sinθcosθ=3. 2 3 又因为 θ 为锐角,所以 sinθ+cosθ= 3 . (2) 解法一 因为 a∥b,所以 tanθ=2. 所以 sin2θ=2 sinθcosθ= 2 sinθcosθ 2 tanθ 4 = = , sin2θ+cos2θ tan2θ+1 5 cos2θ-sin2θ 1-tan2θ 3 =-5.……………… 11 分 2 2 = sin θ+cos θ tan2θ+1 ……………… 5 分 ……………… 7 分

cos2θ=cos2θ-sin2θ=

π 1 3 所以 sin(2θ+3 )=2sin2θ+ 2 cos2θ 4-3 3 1 4 3 3 =2×5+ 2 ×(-5 )= 10 . ……………… 14 分

( 江 苏 最 后 1 卷 ) 已 知 △ ABC 中 , ∠ A , ∠ B , ∠ C 的 对 边 分 别 为 a , b , c , 且
2 a co s B ? c co s B ? b co s C .

(1)求角 B 的大小; (2)设向量 m ? (c o s A , c o s 2 A ) , n ? (1 2 , ? 5 ) ,求当 m ? n 取最大值时, tan ( A ?
2

??

?

?? ?

?
4

)的

值.
0

解: (1)由题意, 2 sin A co s B ? sin C co s B ? co s C sin B
0

所以 2 sin A co s B ? sin ( B ? C ) ? sin ( ? ? A ) ? sin A . 因为 0 < A < p ,所以 sin A ? 0 . 所以 c o s B ?
1 2
?? ? (2)因为 m ? n ? 1 2 co s A ? 5 co s 2 A

7

0

3

.因为 0 < B < p ,所以 B ?

?
3

.

1

6

所以 m ? n ? ? 1 0 c o s 2 A ? 1 2 c o s A ? 5 ? ? 1 0 (c o s A ? ) 2 ?
5

?? ?

3

43 5

?? ? 3 所以当 c o s A ? 时, m ? n 取最大值 5

此时 s in A ?

4 5

(0< A< p ) ,于是 ta n A ?
?

4 3

,所以 ta n ( A ?
?

?
4

)?

ta n A ? 1 ta n A ? 1

?

1 7

(2012 年常州期末) 已知 m 、x ? R ,向量 a ? ( x , ? m ), b ? (( m ? 1) x , x ) 。 当 m ? 0 时, (1) 若 | a |? | b | ,求 x 的取值范围; (2)若 a ? b ? 1 ? m 对任意实数 x 恒成立,求 m 的取值范 围。
? ?

? ?

18. 2012 年兴化) ( 如图, P 是单位圆在第一象限上的任意一点, A ( ? 1, 0 ) ,点 B ( 0 , ? 1) , 点 点
PA 与 y 轴 于 点 N , PB 与 x 轴 交 于 点 M , 设 PO ? x PM ? y PN
P (cos ? , sin ? ) .

, ( x, y ? R ) ,

y

(1)求点 M 、点 N 的坐标, (用 ? 表示) ;
P

(2)求 x ? y 的取值范围. 解: (1)因为 PA 与 y 轴交与于点 N ,可设 N ( 0 , t ), 由 P 、 N 、 A 三点共线,设 AN ? ? AP , ? ? R ①
A

N

O

M

x

又 A ( ? 1, 0 ) , P (cos ? , sin ? ) , 所 以 AN ? (1, t ) ,
AP ? (cos ? ? 1, sin ? )

B













1 ? ? (cos ? ? 1), t ? ? sin ? ,

因为点 P 是单位圆在第一象限上的任意一点,所以 cos ? ? 0 , sin ? ? 0 , 且 0 ? ? ? 所以 t ? 同理 M (
sin ? 1 ? cos ? cos ? 1 ? sin ?

?
2



,此时 N ( 0 ,
,0 ) .

sin ? 1 ? cos ?

),

…………………………4 分 …………………………7 分

说明:可以用直线方程或比例等其他方法求解 (2)由(1)知 PO ? ( ? cos ? , ? sin ? ) ,
PM ? ( cos ? 1 ? sin ? ? cos ? , ? sin ? ) ? ( sin ? 1 ? cos ? ? sin ? cos ? 1 ? sin ? , ? sin ? ) , ),

PN ? ( ? cos ? ,

? sin ? ) ? ( ? cos ? ,

? sin ? cos ? 1 ? cos ?

………………9 分

代入 PO ? x PM ? y PN ,得:
? cos ? ? ? sin ? cos ? 1 ? sin ? x ? ( ? cos ? ) y ,整理得 sin ? ? x ? (1 ? sin ? ) y ? 1 ? sin ? y,

② ③

? sin ? ? ? sin ? ? x ?

sin ? cos ? 1 ? cos ?

整理得 (1 ? cos ? ) x ? cos ? ? y ? 1 ? cos ?

②+③,解得:
x? y ? 2 ? sin ? ? cos ? 1 ? sin ? ? cos ? ?1? 1 1 ? sin ? ? cos ? ?1? 1? 1 2 sin( ? ?

?
4

,……12 分
)

由0 ? ? ? 所以 1 ?

?
2

,知

2 2

? sin( ? ?

?
4

) ?1,

2 sin( ? ?

?
4

) ? ( 2 ,1 ?

2], 3 2

即 x ? y ? [1 ?

1 1? 2

,1 ?

1 2

) ,故 x ? y 的取值范围为 [ 2 ,

).

………………15 分


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