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高中数学 平面向量的概念及线性运算课后练习二


高中数学 平面向量的概念及线性运算课后练习二 新人教 A 版必修 4
题 1: 题面:下面四个命题: (1)所有的单位向量相等; (2)长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量; (3)由于零向量 的方向不确定,故 0 与任何向量不平行; (4)对于任何向量 a , b ,必有| a + b |≤| a |+| b |. 其中正确命题的序号为 .
? ? ? ? ? ? ?

题 2: 题面:对于 空间中的非零向量 ① AB ? ③|
- ?
- ? - ? - ? - ?

AB, BC , AC
- ? - ?

- ?

- ?

- ?

BC ? AC ;② AB ? AC ? BC ;
- ?

AB | ? | BC |?|

AC | ;④ |

- ?

AB | ? | AC |?| BC |


- ?

- ?

- ?

其中一定不成立的是

题 3: 题面:三棱锥 P-ABC 中,M 为 BC 的中点,以 PA, PB, PC 为基底,则 AM 可表示为 ____.
- ? - ? - ?
-?

题 4:

题面:如图,已知梯形 ABCD 中, AB∥CD ,且 AB=2CD , E 、 F 分别是 DC 、 AB 的中点,设

AD ? a , AB ? b ,试以 a , b 为基底表示 DC , EF , FC .

- ?

? - ?

?

? ?

- ?

- ?

- ?

题 5: 题面:在四面体 O ? ABC 中, OA ? a , OB ? b , OC ? c , D 为 BC 的中点,
- -? ? - -? ? - -? ?

E 为 AD 的中点,则 OE ?

- -?

(用 a , b , c 表示).

? ? ?

题 6: 题面:已知 ?ABC 和点 M 满足 MA? MB ? MC ? 0 .若存在实 m 使得 AM ? AC ? m AM 成 立,则 m =( A.2 B.3 ) C.4 D.5
-? -? -? ? -? -? -?

题 7:

题面: 已知 O, N, P 在 ?ABC 所在平面内, 且| 且 PA? PB ?
- ? - ?

OA |?| OB |?| OC |, NA? NB? NC ? 0 ,
)

- -?

- -?

- -?

- ?

- ?

- ?

?

PB? PC ? PC? PA

- ?

- ?

- ?

- ?



则点 O,N,P 依次是 ?ABC 的 ( B.重心 外心 内心 D.外心 重心 内心

A.重心 外心 垂心 C.外心 重心 垂心

(注:三角形的三条高线交于一点,此点为三角型的垂心)

题 8: 题 面 : O
- -? - -?

是 △ ABC

所 在 平 面 上 的 一 定 点 , 动 点

P

满 足

OP ? OA ? ? (

AB | AB | cos ?B
- ?

- ?

?

AC | AC | cos ?C
- ?

- ?



∈ [0 , +∞ ), 则 点 P 形 成 的 图

形 一 定 通 过 △ ABC 的

. (填 外 心 或 内 心 或 重 心 或 垂 心 )

课后练习详解

题 1: 答案:(4). 详解:(1)单位向量指模为 1 的向量,方向可为任意的,故错误; (2)由共线向量的定义,方向相反的两个向量一定是共线向量,故错误; (3)规定:零向量与任何向 量为平行向量,故错误; (4)因为| a + b | = a + b +2 a ? b ≤ a + b +2| a |?| b |=(| a |+| b |) ,故正确
2 2 2 2 2 2

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

故答案为:(4).

题 2: 答案:②. 详解:根据空间向量的加减法运算, 对于①: AB ? 对于②: AB ?
- ?
- ? - ?

BC ? AC 恒成立; AC ? CB ,即②不成立;
- ? - ?
- ? - ?

- ?

- ?

对于③:当 AB, BC , AC 方向相同时,有 |
- ? - ? - ?
-?

AB | ? | BC |?| AC | ;
- ?

- ?

- ?

- ?

对于④:当 AB, BC , AC 共线且 BC 与 AB, AC 方向相反时, 有|

- ?

AB | ? | AC |?| BC | .

- ?

- ?

- ?

故答案为:②.

题 3: 答案: AM
- ?

1 -? 1 -? -? ? PB? PC ? PA . 2 2

详解:在△ABC 中,M 为 BC 的中点,则由 平行四边形法则得

-? 1 -? -? AM ? ( AB ? AC ) 2

又 AB = PB ? PA, AC ? PC ? PA -? 1 -? -? -? -? ? AM ? ( PB ? PA? PC ? PA) 2 -? 1 -? 1 -? -? ? AM ? PB ? PC ? PA 2 2

-?

-?

-? -?

- ?

- ?

题 4: 答案: DC
- ?

1 ? -? 1 ? ? -? ? ? b , EF ? b ? a , FC ? a . 2 4
?

详解:∵DC∥AB,AB=2DC,E、F 分别是 DC、AB 的中点,

? FC ? AD ? a , DC ? AF ?
-? -? -? -?

-?

-?

1 -? 1 ? AB ? b . 2 2
-? -?

? EF ? ED ? DA? AF 1 -? -? 1 -? ? ? DC ? AD ? AB 2 2 1 1? ? 1? ? ? ? b? a? b 2 2 2 1? ? ? b? a 4

题 5: 答案:

1? 1? 1? a? b? c 2 4 4

详解: 因 为 D 是 BC 的 中 点 , E 是 AD 的 中 点 ,
- -? -? - -? 1 - OD ? (OB ? OC), 2 - -? -? - -? -? 1 - -? - -? 1 - 1- 1? 1? 1? OE ? (OA ? OD) ? OA ? (OB ? OC) ? a? b? c 2 2 4 2 4 4

题 6: 答案:B 详解:由 MA? MB ? MC ? 0 知 , 点 M 为 △ ABC 的 重 心 , 设 点 D 为 底 边 BC 的 中 点 ,
-? -? - -?

则 AM ?

-?

2 -? 2 1 -? -? 1 -? -? -? A D? ? ( A B? A C ) ? ( AB ? A)C A B 3 3 2 3
-? -?

所以有 A B? A C= 3 A M,故 m ? 3 故选B

-?

题 7: 答案: C 详解:由 | 由 NA?
- ?

OA |?| OB |?| OC | 值,O 为△ABC 的外心;
- ? ?

- -?

- -?

- -?

NB ? NC ? 0 知,O 为△ABC 的重心. PB? PC
- ? - ?

- ?

∵ PA? PB ? ∴ CA ?
- ? -?

- ? - ?

∴ ( PA? PC ) ? PB ?

- ?

- ?

- ?

?

0 ,∴ CA? PB ? 0

- ? - ?

?

PB
- ?

-?

同理 PA ? BC ,∴P 为△ABC 的垂心.

题 8: 答案:垂 心 .

详解:

BC? ( -? ? -? )? ? | BC | ? | BC |? 0 , | AB | cos ?B | AC | cos ?C

- ?

AB

- ?

AC

- ?

? BC 与? ( -? ? -? )垂直 , | AB | cos ?B | AC | cos ?C
∵ , OP ? OA ? ? ( -? ? -? ) | AB | cos ?B | AC | cos ?C
- -? - -?

- ?

AB

- ?

AC

- ?

AB

- ?

AC

- ?

∴ 点 P 在 BC 的 高 线 上 , 即 P 的 轨 迹 过 △ ABC 的 垂 心 故答案为:垂心.


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