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2015高考数学讲义《不等关系与一元二次不等式》


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§ 7.1 不等关系与一元二次不等式

1.不等式的定义 在客观世界中,量与量之间的不等关系是普遍存在的,我们用数学符号>、<、≥、≤、≠连接两个数或 代数式以表示它们之间的不等关系,含有这些不等号的式子,叫做不等式. 2.两个实数比较大小的方法 a-b>0?a > b ? ? (1)作差法?a-b=0?a = b ? ?a-b<0?a < b

(a,b∈R);

? ?a (2)作商法?b=1?a = b ? <1?a < b ?a b
3.不等式的性质 (1)对称性:a>b?b<a; (2)传递性:a>b,b>c?a>c; (3)可加性:a>b?a+c>b+c, a>b,c>d?a+c>b+d; (4)可乘性:a>b,c>0?ac>bc, a>b>0,c>d>0?ac>bd;

a >1?a > b b

(a∈R,b>0).

(5)可乘方:a>b>0?an>bn(n∈N,n≥1); n n (6)可开方:a>b>0? a> b (n∈N,n≥2). 4.“三个二次”的关系

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判别式 Δ=b2-4ac
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Δ>0

Δ =0

Δ<0

二次函数 y= ax2+bx+c (a>0)的图象 一元二次方程 ax2 +bx+c=0(a>0) 的根 有两相异实根 x1, x2(x1<x2) 有两相等实根 x1=x2= - b 2a 没有实数根

ax2+bx+ c>0(a>0)的解集 ax2+bx+ c<0(a>0)的解集

{x|x<x1 或 x>x2}

{x|x≠x1}

[ 来源: 中_国 教_育出 _版网]

{x|x∈R}

{x|x1<x<x2}

?

?

1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)a>b?ac2>bc2. a b (2)a>b>0,c>d>0? > . d c 1 1 (3)若 ab>0,则 a>b? < . a b ( ( ( ) ) )

(4)若不等式 ax2+bx+c>0 的解集是(-∞,x1)∪(x2,+∞),则方程 ax2+bx+c=0 的两个根是 x1 和 x2. ( ) ) ) ) (5)若方程 ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根,则不等式 ax2+bx+c>0 的解集为 R.( (6)不等式 ax2+bx+c≤0 在 R 上恒成立的条件是 a<0 且 Δ=b2-4ac≤0. 2.设 a<b<0,则下列不等式中不成立的是 1 1 A. > a b
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( (

1 1 B. > a-b a

C.|a|>-b

D. -a> -b )

1 1? 2 3.已知不等式 ax2-bx-1≥0 的解集是? ?-2,-3?,则不等式 x -bx-a<0 的解集是( A.(2,3) B.(-∞,2)∪(3,+∞) 1 1? C.? ?3,2? 1? ?1 ? D.? ?-∞,3?∪?2,+∞?

4.若不存在整数 x 满足不等式(kx-k2-4)(x-4)<0,则实数 k 的取值范围是________. 5.(2013· 江苏)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数.当 x>0 时,f(x)=x2-4x,则不等式 f(x)>x 的解集用区间表示 为________.

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题型一 不等式的性质及应用 例1 (1)设 a>b>1,c<0,给出下列三个结论:
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c c ① > ;②ac<bc;③logb(a-c)>loga(b-c). a b 其中所有正确结论的序号是 A.① B.①② C.②③

( D.①②③

)

(2)(2012· 四川)设 a,b 为正实数.现有下列命题: 1 1 ①若 a2-b2=1,则 a-b<1;②若 - =1,则 a-b<1;③若| a- b|=1,则|a-b|<1;④若|a3-b3|=1, b a 则|a-b|<1. 其中的真命题有________.(写出所有真命题的编号) 思维启迪 利用不等式的性质进行变形,比较大小时要注意题设条件. 思维升华 判断多个不等式是否成立, 需要逐一给出推理判断或反例说明.常用的推理判断需要利用不等 式的性质,常见的反例构成方式可从以下几个方面思考:①不等式两边都乘以一个代数式时,考察所乘 的代数式是正数、负数或 0;②不等式左边是正数,右边是负数,当两边同时平方后不等号方向不一定 保持不变;③不等式左边是正数,右边是负数,当两边同时取倒数后不等号方向不变等. ln 2 ln 3 ln 5 (1)若 a= ,b= ,c= ,则 2 3 5 A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<a<c ) ( )

1 1 1 1 1 1 (2)若 < <0, 则下列不等式: ① < ; ②|a|+b>0; ③a- >b- ; ④ln a2>ln b2 中, 正确的不等式是( a b a b a+b ab A.①④ B.②③ C.①③ D.②④

题型二 一元二次不等式的解集 例2 求下列不等式的解集:

(1)-x2+8x-3>0; (2)ax2-(a+1)x+1<0. 思维启迪 (1)可利用求根公式得到方程-x2+8x-3=0 的解,再求不等式的解集;(2)含参数 a,要进行 分类讨论.

思维升华 含有参数的不等式的求解,往往需要对参数进行分类讨论.

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(1)若二次项系数为常数,首先确定二次项系数是否为正数,再考虑分解因式,对参数进行分类讨论,若 不易分解因式,则可依据判别式符号进行分类讨论; (2)若二次项系数为参数,则应先考虑二次项系数是否为零,确定不等式是否是二次不等式,然后再讨论 二次项系数不为零的情形,以便确定解集的形式;
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(3)对方程的根进行讨论,比较大小,以便写出解集. 1 1 (1)若不等式 ax2+bx+2>0 的解为- <x< ,则不等式 2x2+bx+a<0 的解集是________. 2 3 x-1 (2)不等式 ≤0 的解集为________. 2x+1 题型三 不等式恒成立问题 例3 设函数 f(x)=mx2-mx-1.

(1)若对于一切实数 x,f(x)<0 恒成立,求 m 的取值范围; (2)若对于 x∈[1,3],f(x)<-m+5 恒成立,求 m 的取值范围. 思维启迪 (1)分 m=0 和 m≠0 讨论,m≠0 可结合图象看 Δ 的条件; (2)可分离参数 m,利用函数最值求 m 的范围.

思维升华 (1)对于一元二次不等式恒成立问题, 恒大于 0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全 部在 x 轴上方, 恒小于 0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在 x 轴下方.另外常转化为求二 次函数的最值或用分离参数法求最值. (2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元,谁是参数,一般地,知道谁的范围,谁就是主元,求谁的范围, 谁就是参数. x2+2x+a 已知函数 f(x)= ,若对任意 x∈[1,+∞),f(x)>0 恒成立,试求实数 a 的取值范围. x

转化与化归思想在不等式中的应用 典例: (10 分)(1)(2012· 江苏)已知函数 f(x)=x2+ax+b(a, b∈R)的值域为[0, +∞), 若关于 x 的不等式 f(x)<c 的解集为(m,m+6),则实数 c 的值为________. (2)已知 a∈[-1,1],不等式 x2+(a-4)x+4-2a>0 恒成立,则 x 的取值范围为________.
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思维启迪 (1)考虑函数 f(x)、方程 f(x)=0 和不等式的关系; (2)可把不等式看作关于 a 的一次不等式. 温馨提醒 本题解法中利用了转化与化归思想. (1)中利用“三个二次”之间的联系,将不等式、函数、方程之间相互转化; (2)中将已知不等式看作关于 a 的一次不等式,体现了主元与次元的转化.利用转化与化归思想的原则是 熟悉化原则、简单化原则、直观化原则、正难则反原则.

方法与技巧 1.判断不等式是否成立,主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法,特别是对于有一定条件限制的 选择题,用特殊值验证的方法更简单. 2.比较法是不等式性质证明的理论依据,是不等式证明的主要方法之一,比较法的主要步骤为作差——变 形——判断正负. 3.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础;一般可把 a<0 的情况转化为 a>0 时的情形. 4.简单的分式不等式可以等价转化,利用一元二次不等式的解法进行求解. 失误与防范 1.不等式的性质应用要准确,尤其在不等式两边同乘以或同除以一个数时,一定要搞清符号. 2.对于不等式 ax2+bx+c>0,求解时不要忘记讨论 a=0 时的情形. 3.当 Δ<0 时,ax2+bx+c>0 (a≠0)的解集是 R 还是?,要注意区别.

A 组 专项基础训练 (时间:40 分钟) 一、选择题
[ 来源:中教网]

1.下面四个条件中,使 a>b 成立的充分而不必要的条件是 A.a>b+1 B.a>b-1 C.a2>b2 D.a3>b3

(

)

2.(2013· 陕西)设[x]表示不大于 x 的最大整数,则对任意实数 x,y 有 A.[-x]=-[x] B.[2x]=2[x] C.[x+y]≤[x]+[y] D.[x-y]≤[x]-[y] )

(

)

1? x 2 ? x 1 3.已知 p=a+ ,q=? ,其中 a>2,x∈R,则 p,q 的大小关系是( ?2? a-2 A.p≥q B.p>q C.p<q D.p≤q
? ?

1? ? 4.(2013· 安徽)已知一元二次不等式 f(x)<0 的解集为?x|x<-1或x>2?,则 f(10x)>0 的解集为( A.{x|x<-1 或 x>-lg 2} C.{x|x>-lg 2} B.{x|-1<x<-lg 2} D.{x|x<-lg 2}
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)

5.若集合 A={x|ax2-ax+1<0}=?,则实数 a 的取值范围是 A.{a|0<a<4} 二、填空题 6.已知 a<0,-1<b<0,那么 a,ab,ab2 的大小关系是__________.(用“>”连接) 7.函数 y= x2+x-12的定义域是____________. B.{a|0≤a<4} C.{a|0<a≤4} D.{a|0≤a≤4}

(

)

8.已知不等式 x2-2x+k2-1>0 对一切实数 x 恒成立,则实数 k 的取值范围为______________. 三、解答题 1 9.若不等式 ax2+5x-2>0 的解集是{x| <x<2}. 2 (1)求实数 a 的值; (2)求不等式 ax2-5x+a2-1>0 的解集.

10.(1)设 x<y<0,试比较(x2+y2)(x-y)与(x2-y2)· (x+y)的大小; 1 1 x y (2)已知 a,b,x,y∈(0,+∞)且 > ,x>y,求证: > . a b x+a y+b

B 组 专项能力提升 (时间:30 分钟) 1.若 a<0,则关于 x 的不等式 x2-4ax-5a2>0 的解集是 A.(-∞,-a)∪(5a,+∞) C.(5a,-a) B.(-∞,5a)∪(-a,+∞) D.(a,-5a) ( )

3 x 2.设函数 f(x)=x2-1,对任意 x∈[ ,+∞),f( )-4m2· f(x)≤f(x-1)+4f(m)恒成立,则实数 m 的取值范围 2 m 是________. 2a-3 3.设 f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数,若 f(1)>1,f(2)= ,则实数 a 的取值范围是________. a+1
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4.求使不等式 x2+(a-6)x+9-3a>0,|a|≤1 恒成立的 x 的取值范围.

5.某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律:每生产产品 x(百台),其总成本 为 G(x)万元,其中固定成本为 2 万元,并且每生产 100 台的生产成本为 1 万元(总成本=固定成本+生
2 ? ?-0.4x +4.2x-0.8 ? 产成本),销售收入 R(x)满足 R(x)= ?10.2 ?x>5? ?

?0≤x≤5?



假定该产品销售平衡,那么根据上述统计规律: (1)要使工厂有盈利,产品数量 x 应控制在什么范围? (2)工厂生产多少台产品时盈利最大?求此时每台产品的售价为多少?

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