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山东省济宁市学而优教育咨询有限公司高二数学测试题15


一、选择题(共 10 题,每题 5 分,共 50 分)
1.下列语句是命题的是( ▲ ) A.这是一幢大楼 B.0.5 是整数 C.指数函数是增函数吗? D.x>5

2.θ 是任意实数,则方程 x 2 ? y 2 sin ? ? 4 的曲线不可能是 ( ▲ ) A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆 ②“等腰三角形都相似”的逆命题;
1



3.下列命题中正确的是( ▲ ) 2 2 ①“若 x +y ≠ 0,则 x,y 不全为零”的否命题;
2

③“若 m>0,则方程 x +x-m=0 有实根”的逆命题; ④“若 x- 3 2 是有理数,则 x 是无 理数”的逆否命题 A.①④ B.①③④ 4.已知 P 是双曲线 C.②③④ D.①②③

x2 y 2 ? ? 1 上一点,双曲线的一条渐近线方程为 3x ? 2 y ? 0 ,F1,F2 分别 a2 9

是双曲线的左右焦点,若|PF1|=5,则|PF2|等于( ▲ ) A. 1 或 9 B. 5 C. 9 D. 13 5. 设 A、B 两点的坐标分别为(-1,0),(1,0),条件甲: AC ? BC ? 0 ; 条件乙:点 C 的坐标是 方程 件 6. 设双曲线以椭圆 + = 1 (y?0)的解. 则甲是乙的( ▲ ) 4 3 A.充分不必要条 件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条

x2 y2

x2 y 2 ? ? 1 长轴的两个端点为焦点,其准线过椭圆的焦点,则双曲线的渐 25 9
B. ?

近线的斜率为( ▲ ) A. ?2

4 3
3 2

C. ?

1 2

D. ?

3 4

7. 命题“对任意的 x ? R , x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是( ▲ ) A.不存在 x ? R , x ? x ? 1 ? 0
3 2

B.存在 x ? R , x ? x ? 1 ? 0
3 2

C.对任意的 x ? R , x ? x ? 1 ? 0
3 2

D.存在 x ? R , x ? x ? 1 ? 0
3 2

2 2 8. 若直线 y ? kx ? 1 与双曲线 x ? y ? 4 始终有公共点,则 k 的取值范围是( ▲ )

A. ??1,1?

B. ? ?1,

? ?

5? ? 2 ?

C. ??

? ?

5 5? , ? 2 2 ?

D.以上都不对

9. 如图,F1 和 F2 分别是双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两个焦点,A 和 B 是以 O 为 a2 b2

圆心,以 O F1 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且△ F2 AB 是等边三角形,

则双曲线的离心率为( ▲ ) A.

3

B. 5

C.

5 2

D. 1 ? 3

10.离心率为黄金比

x2 y 2 5 ?1 的椭圆称为“优美椭圆”.设 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 是优美椭圆, a b 2

F、A 分别是它的左焦点和右顶点,B 是它的短轴的一个顶点,则 ?FBA 等于( ▲ ) A. 60
?

B. 75

?

C. 90

?

D. 120

?

第Ⅱ卷 (共 100 分) 二、填空题(每题 5 分,共 25 分)
11.如果椭圆

x2 y2 ? ? 1 的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是___▲____ 36 9 x2 ? ? y 2 ? 1上的一点, 且 ?F1PF2 ? , 则 ?F1 PF2 F1,F2 是双曲线的两个焦点, 3 4

12.P 是双曲线

的面积是___▲____ 13. 已知经过抛物线 y 2 ? 4 x 焦点 F 的直线与抛物线相交于 A,B 两点,若 A,B 两点 的横坐 标之和为 3,则 AB =___▲____

14. 已知由双曲线

x y ? ? 1 右支上的点 M 和左右焦点 F1F2 构成三角形,则 ? M F1F2 的内切 9 4


2

2

圆与边 F1F2 的切点坐标是

x2 y 2 15. 设双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率 e ?[ 2,2] , 则两条渐近线夹角的正弦值的取 a b
值范围是▲

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写文字说明,证明过程或演算步 骤.)

16. (本小题满分 12 分) 设命题 p : 4x ? 3 ≤1,命题 q : x2 ? (2a ? 1) x ? a(a ? 1) ≤0 ,若 ? p 是 ? q 的必要非充 分条件,求实数 a 的取值范围.

17.(本小题满分 12 分)
0) ,并且以坐标轴为对称轴,求椭圆 (1)已知椭圆的长轴是短轴的 3 倍,且过点 A(3,

的标准方程.
x2 y2 ? ?1 (2)设双曲线与椭圆 27 36 有共同的焦点,且与椭圆相交,在第一象限的交点 A

的纵坐标为 4,求此双曲线的方程.

18.(本小题满分 12 分) 已知直线 l : y ? 2 x ? m 和椭圆 C :
x2 ? y 2 ? 1. 4
20 . 17

(1) m 为何值时, l 和 C 相交、相切、相离; (2) m 为何值时, l 被 C 所截线段长为

19. (本小题满分 12 分)
2 直线 y = kx -2 与抛物线 y ? 2 x 相交于 A,B 两点,O 为坐标原点.

⑴若 k = 1,求证:OA⊥OB; ⑵求弦 AB 中点 M 的轨迹方程.

x2 y 2 6 C: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) b 20.(本小题满分 13 分)已知椭圆 a 的离心率为 3 ,短轴一

个端点到右焦点的距离为 3 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;
3 O B (Ⅱ) 设直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点, 坐标原点 O 到直线 l 的距离为 2 , 求△A

面积的最大值.

21. (本小题满分 14 分)已知 M(-3,0)﹑N(3,0),P 为坐标平面上的动点,且直线 PM 与直线 PN 的斜率之积为常数 m(m ? -1,m ? 0). (1)求 P 点的轨迹方程并讨论轨迹是什么曲线?
m?? 5 9 , P 点的轨迹为曲线 C,过点 Q(2,0)斜率为 k1 的直线 ? 1 与曲线 C 交于

(2)若

不同的两点 A﹑B,AB 中点为 R,直线 OR(O 为坐标原点)的斜率为 k2 ,求证 k1k2 为定 值;

??? ? ??? ? QB ? ? AQ (3)在(2)的条件下,设 ,且 ? ? [2,3] ,求 ? 1 在 y 轴上的截距的变化
范围.

高二年级数学参考答案
一 、 选 择 题 1、 B 2、 C 3、 A 4、 C 5、 B 6、 C 7、 D 8、 C 9、 D 10、 C 二 、 填 空 题 11、x ? 2 y ? 8 ? 0 12、 3 13、5 14、 (3,0)15、[ 三、解答题 16. 设命题 p : 4 x ? 3 ≤1,命题 q : x2 ? (2a ? 1) x ? a(a ? 1) ≤0 ,若 ? p 是 ? q 的必要非充 分条件,求实数 a 的取值范围. 解:由 4x ? 3 ≤1 ,得 因此, ?p : x ?

3 ,1] 2

1 ≤ x ≤ 1, 2

1 或 x ?1, 2

由 x2 ? (2a ? 1) x ? a(a ? 1) ≤ 0 ,得 a ≤ x ≤ a ? 1 . 因此 ?q : x ? a 或 x ? a ? 1 , 因为 ? p 是 ? q 的必要条件 所以 ?q ? ?p ,即 x| x ? a,或x ? a ? 1 ? ? x | x ? ,或x ? 1? . 如下图所示:

?

?

? ?

1 2

? ?

1 ? ?a ≤ , ? 1? 因此 ? 2 解得 a ? ?0, ? . ? 2? ? a ? 1≥ 1 , ?
0) ,并且以坐标轴为对称轴,求椭圆的 17. (1)已知椭圆的长轴是短轴的 3 倍,且过点 A(3,
标准方程. 解:若椭圆的焦点在 x 轴上, 设方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) . a 2 b2

?2a ? 3 ? 2b, ?a ? 3, ? 由题意 ? 9 解得 ? 0 ? ? 1, ?b ? 1. ? ? a 2 b2

? 椭圆的方程为

x2 ? y 2 ? 1; 9 y 2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) , a 2 b2

若椭圆的焦点在 y 轴上,设方程为

?2a ? 3 ? 2b, ?a ? 9, ? 由题意 ? 0 解得 ? 9 ? ? 1, ?b ? 3. ? ? a 2 b2

? 椭圆方程为

y 2 x2 ? ?1 . 81 9 x2 y 2 x2 ? y 2 ? 1,或 ? ? 1 . 9 81 9 x2 y2 ? ? 1 有共同的焦点,且与椭圆相交,在第一象限的交点 A 的纵坐 27 36

故椭圆方程为

(2) 设双曲线与椭圆

标为 4,求此双曲线的方程. 解:设双曲线方程为

y2 x2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) , a2 b2

由已知椭圆的两个焦点 F1 (0,?3), F2 (0,3) ,又双曲线与椭圆交点 A 的纵坐标为 4,

? 4 2 ( 15) 2 y2 x2 ? ? 2 ? A( 15,4) , ? a 2 ? b 2 ? 1, 解得 ?a2 ? 4 ,故双曲线方程为 ? ? 1 . 4 5 2 2 ?b ? 5 ? ?a ? b ? 9
18、解: (1)把 y ? 2 x ? m 代入 由 ? ? 0 ,可得 m ? ? 17 . 所以,当 m ? ? 17 时, l 和 C 相切; 当 ? 17 ? m ? 17 时, l 与 C 相离. (2)设 l 与 C 相交于 A( x1,y1 ),B( x2,y2 ) , 由( 1)可得, x1 ? x2 ? ?

x2 ? y 2 ? 1 可得 17 x 2 ? 16mx ? 4m2 ? 4 ? 0 , ? ? 16(17 ? m2 ) . 4

16 4m2 ? 4 . m , x1 x2 ? 17 17

因此, ( x1 ? x2 )2 ?

17 ? 16 ? 16m2 . 172
17 ? 16 ? 16m2 ? 20 ? ?? ? . 172 ? 17 ?
2

所以,由弦长公式得 5 ?

解得 m ? ?2 3 .因此 m ? ?2 3 时, l 被 C 所截得线段长为

20 . 17

19、解:⑴若 k = 1,设 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,将 x=y+2 代入 y 2 ? 2 x 消去 x 得

y2 ? 2 y ? 4 ? 0 ,
由韦达定理得: y1 ? y2 ? 2, y1 y2 ? ?4 ,??????????????2 分 所以 x1 x2 ? ? y1 ? 2?? y2 ? 2? ? y1 y2 ? 2 ? y1 ? y2 ? ? 4 ? 4 . 于 是 k OA ?kOB ?

y1 y2 ? ? ?1 ,故 OA⊥OB.??????????????5 分 x1 x2

⑵ 设弦 AB 中点 M 的坐标为 M(x0,y0) 则由 y12 ? 2 x1 , y2 2 ? 2 x2 得

? y1 ? y2 ?? y1 ? y2 ? ? 2 ? x1 ? x2 ? ,

y1 ? y2 1 ? ? y1 ? y2 ? ? 2, k ? .???????7 分 x1 ? x2 y0

代入 y0 = kx0-2,消去 k 得: y02 ? 2 y0 ? x0 .?????????????8 分 将 y = kx -2 代入 y 2 ? 2 x 得 ky 2 ? 2 y ? 4 ? 0 ,则

1 k ? 0, ? ? 4 ? 16k ? 0 ? k ? ? ,????????????????????10 分 4
故k ?

1 1 ? ? ? y0 ? 0或y0 ? ?4 . y0 4

于是,所求轨迹方程为 y2 ? 2 y ? x ? y ? 0, 或y ? ?4? .???????12 分

?c 6 , ? ? 20、答案:解: (Ⅰ)设椭圆的半焦距为 c ,依题意 ? a 3 ? a ? 3, ?
? b ? 1 ,? 所求椭圆方程为

x2 ? y 2 ? 1. 3

(Ⅱ)设 A( x1,y1 ) , B( x2,y2 ) . (1)当 AB ⊥ x 轴时, AB ? 3 . (2)当 AB 与 x 轴不垂直时, 设直线 AB 的方程为 y ? kx ? m .

由已知

m 1? k
2

?

3 2 3 2 ,得 m ? (k ? 1) . 4 2

把 y ? kx ? m 代入椭圆方程,整理得 (3k 2 ? 1) x2 ? 6kmx ? 3m2 ? 3 ? 0 ,

? x1 ? x2 ?
2

?6km 3(m 2 ? 1) x x ? , . 1 2 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1
2 2

? 36k 2m2 12(m2 ?1) ? ? AB ? (1 ? k )( x2 ? x1 ) ? (1 ? k ) ? 2 ? 2 3k 2 ? 1 ? ? (3k ? 1) ?
2

?

12(k 2 ? 1)(3k 2 ? 1 ? m2 ) 3(k 2 ? 1)(9k 2 ? 1) ? (3k 2 ? 1)2 (3k 2 ? 1)2
12k 2 12 12 ? 3? (k ? 0) ≤ 3 ? ? 4. 4 2 1 9k ? 6k ? 1 2 ? 3 ? 6 2 9k ? 2 ? 6 k
2

? 3?

当且仅当 9 k ?

1 3 ,即 k ? ? 时等号成立.当 k ? 0 时, AB ? 3 , 2 k 3

综上所述 AB max ? 2 .

1 3 3 ? . ? 当 AB 最大时, △ AOB 面积取最大值 S ? ? AB max ? 2 2 2

21、.解: (1)由

y y ? ? m, 得 y 2 ? m( x 2 ? 9) , x?3 x?3
2 2

若 m= -1,则方程为 x ? y ? 9 ,轨迹为圆(除 A B 点) ;??????2 分 若 ?1 ? m ? 0 ,方程为

x2 y2 ? ? 1 ,轨迹为椭圆(除 A B 点) ;??3 分 9 ?9m

若 m ? 0 ,方程为

x2 y2 ? ? 1 ,轨迹为双曲线(除 A B 点) 。???4 分 9 ?9m

(2) m ? ?

5 x2 y 2 ? ? 1 ,设 ? 1 的方程为: x ? ty ? 2 时,曲线 C 方程为 9 9 5

与曲线 C 方程联立得: (5t 2 ? 9) y 2 ? 20ty ? 25 ? 0 ,????6 分

?20t ?25 ①, y1 y2 ? 2 ②,???8 分 2 5t ? 9 5t ? 9 18 ?10t 1 5t 5 , 2 ) , k1k2 ? ?(? ) ? ? 。???????10 分 可得 R( 2 5t ? 9 5t ? 9 t 9 9 ??? ? ??? ? (3)由 BQ ? ?QA 得 y2 ? ?? y1 代入①②得:
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 y1 ? y2 ?

(1 ? ? ) y1 ?

?20t 25 2 ③, ? y1 ? 2 ④,???????11 分 2 5t ? 9 5t ? 9

③式平方除以④式得:

1

?

?2?? ?

16t 2 ,???????12 分 5t 2 ? 9

1 1 4 3 5t 2 ? 9 ?2, 而 ? 2 ? ? 在 ? ? [2,3] 上单调递增, ? ? 2 ? ? ? , ? ? 2 ? 3 4 16t 2
1
???????14 分

2 4 28 ? 1 在 y 轴上的截距为 b, b 2 ? ( ? ) 2 = 2 ? [ ,12] ,??? ????15 分 t t 9

b ?[?2 3, ?

2 7 2 7 ] ?[ , 2 3] 。???????16 分 3 3


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