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四川省成都高新区2013届高三12月统一检测数学(文)试题


2012 年高 2013 届成都高新区 12 月学月统一检测

数学(文)
(考试时间: 月 日 总分:150 分)

第Ⅰ卷(选择题,共 50 分)
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分。在每小题给出的四个选项中。只有一项是 符合题目要求的。 1、已知集合 A ? {x | x ? x ? 2 ? 0}, B ? {x | ?1 ? x ? 1} ,则(
2

) D.A∩B=? )

A .A?B ? 2、复数 z ?

B.B?A ?

C.A=B

m ? 2i (m ? R, i为虚数单位) 所对应复平面内的点在第二象限,则( 1 ? 2i A. m ? 4 B. m ? 0 C. ?1 ? m ? 4 D. m ? ?1


3、已知等比数列 ? an ? 的前三项依次为 a ? 1, a ? 1 , a ? 4 ,则 an ? ( A. 4 ? ?

?3? ? ?2?

n

B. 4 ? ?

?2? ? ?3?

n

C. 4 ? ? )

?3? ? ?2?

n?1

D. 4 ? ?

?2? ? ?3?

n?1

4、x 是实数,则下列不等式恒成立的是( A. x ? 4 ? 4 x
2

B.

1 ?1 x ?1
2
2

C. lg( x ? 1) ? lg(2x )
2

D. x ?1 ? x )

5、 设 l 、m、n 表示三条直线,α、β、r 表示三个平面,则下面命题中不成立的是( A.若 l ⊥α,m⊥α,则 l ∥m B.若 m ? β,n 是 l 在 β 内的射影,m⊥ l ,则 m⊥n C.若 m ? α,n ? α,m∥n,则 n∥α n=1,m=1 D.若 α⊥r,β⊥r,则 α∥β 6、已知 ?1 ? x ? y ? 4且2 ? x ? y ? 3 ,则 z ? 2 x ? 2 y 的最
2 2

开始

n=n+1 是 m=m+n

小值( A. 3

) B. 4 C. 2 D. 2 否 输出 m

??? ? ??? ? 7、如图,非零向量 OA = a , OB =b,且 BC ? OA ,C 为垂足,设

结束

向量 OC ? ? a,则 ? 的值为( ) A.

????

a ?b | a |2

B.

a? b | a || b |

C.

a ?b | b |2

D.

| a || b | a? b

B

O

C

A

8、在数列 {an } 中, a1 ? 1, an ?1 ? an ? n. 利用如右上图所示的程序框图计算数列的第 10 项,则判断语 句应填( ) A .n>10? D. n ? 9? ??? ? ???? ? 9、在平面直角坐标系中, O(0,0), P(6,8) ,将向量 OP 按逆时针旋转 后,得向量 OQ 则点 Q 的坐 4 C.n<9? 标是( ) B. (?7 2, 2)
2

B. n ? 10?

A. (?7 2, ? 2)

C. (? 2, 7 2)
b

D. (?4 6, 2)

2 a 10、已知方程 x ? 9 x ? 2 ? 0 和 x ? 6 x ? 2 ? 0分别存在两个不等实根 ,其中这四个根组成一个

公比为 2 的等比数列,则 a ? b ? ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 二.填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在题中横线上) 11、在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边且 2a sinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC 则 A=______________. 12、函数 y ?

1 ? (4 x ? 3) 0 的定义域为_______________. log 0.5 (2 x ? 1)
2

13、已知函数 y ? f ( x)的导数为f '( x) 且 f ( x) ? x f '( ) ? sin x ,则 f '( ) ? ______

?

?

3

3

14、现有下列命题: ①设 a, b 为正实数,若 a ? b ? 1 ,则 a ? b ? 1 ;
2 2

②设 a , b 均为单位向量,若 | a ? b |? 1则? ? [0, ) ;

?

?

? ?

2? 3

2 n 3 ?lg | x ? 1| ,x ? 1 2 , ④设函数 f ( x) ? ? 则关于 x的方程f ( x)+2f ( x) ? 0 有 4 个解。 0, x ?1 ?
③数列 {n(n ? 4)( ) }中的最大项是第4项 ;

其中的真命题有____________。 (写出所有真命题的编号). 15、选做题(请在以下两题中任选一题作答,若两题都做,只计(1)题分) (1)在平面直角坐标系 xoy 中, ?

? x ? 1 ? 3t (t为参数), 则直线倾斜角的余弦值为________. ? y ? 4 ? 4t

(2)已知函数 f ( x) ?| x ? 2 | ? | x ? 5 | ,则 f ( x) 的取值范围是_______________. 三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 16、(12 分)某日用品按行业质量标准分成五个等级,等级系数 X 依次为 1、2、3、4、5.现从一批该 日用品中随机抽取 20 件,对其等级系数进行统计分析,得到频率分布表如下: X f 1 a 2 0 3 0 .45 4 b 5 c

.2

(1)若所抽取的 20 件日用品中,等级系数为 4 的恰有 4 件,等级系数为 5 的恰有 2 件,求 a、b、c 的值; (2)在(1)的条件下,将等级系数为 4 的 3 件日用品记为 x1,x2,x3,等级系数为 5 的 2 件日用品记 为 y1,y2,现从 x1,x2,x3,y1,y2,这 5 件日用品中任取两件(假定每件日用品被取出的可能性相同) ,写出所 . 有可能的结果,并求选取的两件日用品中恰有一件等级系数为 4 的概率。 ...... ...... 17、 (12 分)已知向量 m ? (sin

??

?x

? ?x A ,, ? ( 3 A cos 1) n , cos ? x)( A ? 0,? ? 0) ,函数 2 2 2

?? ? f ( x) ? m?n 的最大值为 6,最小正周期为 ? .
(1)求 A, ? 的值; (2)将函数 y ? f ( x) 的图像向左平移 求 g ( x)在[0, ,

5? ]上的值域. 6

? 个单位,再向上平移 1 个单位,得到函数 y ? g ( x) 的图像. 12

18、 (12 分)已知数列 ?a n ?是公差为 2 的等差数列,且 a1 ? 1 , a3 ? 1 , a 7 ? 1 成等比数列. (1)求 ?a n ?的通项公式; (2)令 bn ?

1 an ? 1
2

(n ? N ? ) ,记数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,求证: Tn ?

1 . 4

19、 (12 分)如图,在梯形 ABCD 中, AB / /CD ,

AD ? DC ? CB ? 1, ?ABC ? 60? ,四边形 ACFE 为矩形,平面

ACFE ? 平面 ABCD , CF ? 1 . (1)求证: BC ? 平面 ACFE ; (2)点 M 在线段 EF 上运动,设平面 MAB 与平面 FCB 所成二

面角的平面角为 ? (? ? 90 ) ,试求 cos ? 的取值范围.
?

20、 (13 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? 1(a ? 0) , g ( x) ? x ? bx .
2

3

(1)若曲线 y ? f ( x) 与曲线 y ? g ( x) 在它们的交点( (1, c) 处有公共切线,求 a,b 的值; (2)当 a ? ?3,b ? ?9 时,函数 f ( x) ? g ( x) 发在区间 [ k, 上的最大值为 28,求 k 的取值范围. 2]

21、 (14 分)已知函数 f ? x ? ? px ?

p ? e 2 ? 2e ? p ? ln x , g ? x ? ? ln x ? ?1 ? ? ,其中 e ? 2.71828?. x? p2 ? x

(1)若 f ? x ? 在其定义域内是单调函数,求实数 p 的取值范围; (2)若 p?(1, ?? ) ,问是否存在 x0 ? 0 ,使 f ? x0 ? ? g ? x0 ? 成立?若存在,求出符合条件的一 个 x0 ;否则,说明理由.

2012 年高 2013 届成都高新区学月统一检测

数学(文)参考答案
(考试时间: 月 日上午 一、选择题 题号 选项 二、填空题 11. 13. 1 B 2 D 3 C 4 D 5 D 6 B 7 A 8 D 9 C 10 D 总分:150 分)

2? 3

12. ( , ) ( ,1) ∪ 14.①②③ (2) [?3,3]

1 3 2 4

3 4

3 6 ? 4? 3 15.(1) 5
三、解答题

16. 解: (1)由频率分布表得 a ? 0.2 ? 0.45 ? b ? c ? 1,即a+b+c=0.35 , 因为抽取的 20 件日用品中,等级系数为 4 的恰有 3 件,

3 ? 0.15, ??????????????????????2 分 20 2 等级系数为 5 的恰有 2 件,所以 c ? ? 0.1 ,??????????4 分 20
所以 b ?

从而 a ? 0.35 ? b ? c ? 0.1 所以 a ? 0.1, b ? 0.15, c ? 0.1. ?????????????????6 分 (2)从日用品 x1 , x2 , y1 , y2 中任取两件,所有可能的结果为:

{x1 , x2 },{x1 , x3},{x1 , y1},{x1, y2},{x2 , x3},{x2 , y1},{x2 , y2},{x3 , y1},{x3 , y2},{ y1, y2} ?10 分
设事件 A 表示“从日用品 x1 , x2 , x3 , y1 , y2 中任取两件,其中恰有一件等级为 4” ,则 A 包含的基 本事件为: {x1 , y1},{x1 , y2 },{x2 , y1},{x2 , y2 },{x3 , y1},{x3 , y2} 共 6 个, 又基本事件的总数为 10,故所求的概率 P( A) ?

6 ? 0.6. ????????12 分 10

17.解:由题意有

?? ? 3 1 ? f ( x) ? m ? n ? A( sin ? x ? cos ? x) ? A sin(? x ? ) ??????4 分 2 2 6
∵最大值为 6,周期为 ? 且 A ? 0, ? ? 0 ∴ A ? 6 ,? ?

2? 2? ? ? 2 ????????????????6 分 T ?

(2)∵ y ? f ( x)向左平移 ∴ g ( x) ? 6sin(2 x ? ∵ x ? [0,

?

?
3

12

,向上移动1个单位

) ? 1??????????????????8 分

5? ? ? ] 则 2 x ? ? [ , 2? ] ???????????????10 分 6 3 3

∴ sin(2 x ?

?

3

) ?[?1,1]

即 g ( x)的值域为[-5,7]???????????????????12 分 18.解: (1)数列 ?a n ?是公差为 2 的等差数列,

a1 ? 1 , a3 ? 1 , a7 ? 1 成等比数列, a3 ? a1 ? 5 , a7 ? a1 ? 13
所以由 (a 3 ? 1) ? (a1 ? 1) ? ( a 7 ? 1)
2

?????????????? 3 分

得 (a1 ? 5) ? (a1 ? 1) ? (a1 ? 13)
2

解之得 a1 ? 3 ,所以 a n ? 3 ? 2(n ? 1) ,即 a n ? 2n ? 1 ???????????6 分 (2)由(1)得 a n ? 2n ? 1

bn ?

1 an ? 1
2

?

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ( ? ) ?????????9 分 2 (2n ? 1) ? 1 4 n(n ? 1) 4 n n ? 1

Tn ?

1 1 1 1 1 1 (1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) 4 2 2 3 n n ?1 1 1 1 1 1 ?????????????????12 分 ? (1 ? )? ? ? 4 n ? 1 4 4(n ? 1) 4

19.解: (1)证明:在梯形 ABCD 中, ∵ AB // CD , AD ? DC ? CB ? 1 , ∠ ABC = 60 ,∴ AB ? 2 ?????????????????????2 分
?

∴ AC ? AB ? BC ? 2 AB ? BC ? cos 60 ? 3
2 2 2 o

∴ AB ? AC ? BC
2 2

BC ⊥ AC ????????????????4 分 ∵ 平面 ACFE ⊥平面 ABCD ,平面 ACFE ∩平面 ABCD ? AC , ∴ BC ⊥平面 ACFE ??????????????6 分 BC ? 平面 ABCD
(2)由(1)可建立分别以直线 CA, CB, CF 为 x轴,y轴, z轴 的如图所示空间直角坐标 系,令 FM ? ? (0 ? ? ?

2



3 ) ,则 C (0,0,0), A( 3,0,0) ,

B?0,1,0?, M ?? ,0,1?


AB ? ? 3 ,1,0 , BM ? ?? ,?1,1?

?

?

设 n1 ? ( x, y, z ) 为平面 MAB 的一个法向量, 由 n1 ? AB ? 0 , n1 ? BM ? 0 联立得 ?

?? 3x ? y ? 0 ?? x ? y ? z ? 0



取 x ? 1 ,则 n1 ? 1, 3, 3 ? ? ,???????????????????? 8 分 ∵

?

?

n 2 ? ?1,0,0? 是平面 FCB 的一个法向量
| n1 ? n 2 | 1 ? ? 2 | n1 | ? | n 2 | 1 ? 3 3 ? ? ?1

∴ cos? ?

?

?

?? ? 3 ?

1

???????10 分

2

?4



0?? ? 3

∴ 当 ? ? 0 时, cos? 有最小值

7 , 7

当? ?

3 时, cos? 有最大值
2

1 . ∴ 2

? 7 1? cos ? ? ? , ? ???12 分 ? 7 2?
3 2

20.解: (1)f(x)=ax +1(a>0) ,则 f'(x)=2ax,k1=2a,g(x)=x +bx,则 f'(x)=3x +b,k2=3+b, 由(1,c)为公共切点,可得:2a=3+b ①?????????????3 分

又 f(1)=a+1,g(1)=1+b, ∴a+1=1+b,即 a=b,代入①式可得:a=3,b=3.??????????????6 分 (2)当 a=3,b=﹣9 时,设 h(x)=f(x)+g(x)=x +3x ﹣9x+1 2 则 h′(x)=3x +6x﹣9,令 h'(x)=0,解得:x1=﹣3,x2=1;?????????8 分 ∴k≤﹣3 时,函数 h(x)在(﹣∞,﹣3)上单调增,在(﹣3,2]上单调减,所以在区间[k,2]上的 最大值为 h(-3)=28,-3<k<2 时,函数 h(x)在区间[k,2]的最大值小于 28,所以 k 的取值范围是(-∞, 3].???????????????????????13 分
3 2

p 1 ( px 2 ? x ? p ) p ?( x) ? p ? 2 ? ? 21. 解:由 f ( x) ? px ? ? ln x ,得 f x x x2 x
(1)由题意得: f ?( x) ? 0 在 (0, ??) 恒成立或 f ?( x) ? 0 在 (0, ??) 恒成立 若 f ?( x) ? 0 恒成立,则 px ? x ? p ? 0 恒成立? p ? {
2

??(1 分)

x }min x ?1
2



x 1 1 ? ? (0, ] x ?1 x ? 1 2 x
2
2

? p ? 0 满足题意

?????(3 分)

若 f ?( x) ? 0 恒成立,则 px ? x ? p ? 0 恒成立? p ? {

x 1 }max ? ????(5 分) x ?1 2
2

?1 ? 综合上述, p 的取值范围是 ? ??,0? ? ? , ?? ? . ????????????(6 分) 2 ? ? e2 ? 2e (2) F ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ? px ? 2ln x ? 令 . 则问题等价于: 找一个 x0 ? 0 使 F ? x ? ? 0 成立, px
故只需满足函数的最小值 F ( x) min ? 0 即可,?????????(8 分) 因为 F ?( x) ? p ?

2 e2 ? 2e ( px ? e)( px ? 2 ? e) p e 2?e ? ? ? 2 ( x ? )( x ? ), ??(10 分) 2 2 x px px x p p

而 x ? 0, p ? 1,

e 2 2?e e e ? ? 0, ? 0, 故 当 0 ? x ? 时 , F ?( x) ? 0 ,F (x 递 减 ; 当 x ? 时 , ) p p p p p

F ?( x) ? 0 ,F (x 递增. )
于是, F ( x) min ? F ( ) ? e ? 2 ? 2 ln p ? e ? 2 ? 2e ? 2 ln p ? 2 ? 0 ,????(12 分) 与上述要求 F ( x) min ? 0 矛盾,故不存在符合条件的 x0 ????????????(14 分)

e p

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