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直线的斜率与倾斜角示范课


第三章 直线和方程

1

文件名

2

平面解析几何的本质

以代数的方法

平面直角 坐标系
费马

解析几何学的创立者

研究图形的 几何性质
3

倾斜角与斜率

/>(第一课时)

4

问题一

确定直线的要素

要求:做出长20厘米,宽12厘米的长方形的对角线 工具:直角边长10厘米的等腰直角三角板。 C B

O

A
5

文件名

6

数学建构

确定直线的要素
两点 (1) _______确定一条直线;
过一个点有________条直线。 无数条

. .
y o x

y

.
o x
7

(2)一点和直线的方向(即直线的倾斜 程度)可以确定一条直线。

问题二

直线的倾斜角
y

o

x

8

数学建构

直线的倾斜角

当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫 做直线l的倾斜角。 特别地,当直线l与x 轴平行或重合时,规定 它的倾斜角为0°。 y

o

x
9

问题三

倾斜角的范围

思考:任何一条直线都有倾斜角吗?不同
的直线其倾斜角一定不相同吗?倾斜角的取 值范围是什么?

10

问题三

思考:任何一条直线都有倾斜角吗?不同
的直线其倾斜角一定不相同吗?倾斜角的取 值范围是什么?
文件名

倾斜角的范围

0°≤α <180°

11

拓展思考

直线的倾斜角

倾斜角:当直线l与x轴相交时,把x正方 向按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l 重合所成的角,叫做直线的倾斜角。
y

o

x
12

问题四

倾斜角的刻画 ——直线的斜率

13

文件名

14

数学建构

直线斜率的定义

我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做 这条直线的斜率.常用小写字母k表示,即 k=tanα。

思考:任何一条直线都有斜率吗?斜 率的取值范围是多少?

15

任何一条直线都有斜率吗?斜率的取 值范围是多少?(插画板) 倾斜角是900的直线(垂直与x轴的直 线)没有斜率.

倾斜角为锐角时,k>0; 倾斜角为钝角时,k<0; 倾斜角为00时,k=0.
16

概念解析 A 、任一条直线都有倾斜角,也都有斜率 B、直线的倾斜角越大,斜率也越大 C 、平行于x轴的直线的倾斜角是0或π D 、两直线的倾斜角相等,它们的斜率也相等 E 、两直线的斜率相等,它们的倾斜角也相等 F 、直线斜率的范围是R G、过原点的直线,斜率越大,越靠近y轴。
17

数学建构

斜率的坐标计算

已知两点 P(x1,y1), Q(x2,y2),x1≠x2,则直线 y PQ的斜率为:
Q( x2 , y2 )

P( x1 , y1 )

y2 ? y1 ? ?y
x2 ? x1

y 2 ? y1 k= x2 ? x1
x

? ?x

o



?y ? ?x

纵坐标的 增量



请同学们任意给出两点的坐标, 并求过这两点的直线的斜率.

横坐标的 增量
18

数学建构

斜率 公 式 特 点
斜率不存在,这时直线PQ⊥x轴
Q( x1 , y2 )

问题1: 如果 x1=x2,则直线 PQ的斜率怎样? y
公式与点的选择或顺序有关吗? 问题2:

P( x1 , y1 )

是定值,定直线上任意两点确定 的斜率总相等 x 问题3: 求一条直线的斜率需要什么条件? 只需知道直线上任意两点的坐标 而不必求倾斜角
19

o

已知三点A(-3,-3),B(-1,1),C(2,7), 求KAB,KBC

KAB=2

KBC=2

如果KAB=KBC,那么A、B、C三点有怎样的关系? A、B、C三点共线 如果三点A(1,1)、B(3,5)、 C(-1,a)在一条直线上, 求a的值 (a=-3)
20

小结

21

求过点M(0,2)和N(2,3m2+12m+13)(m∈R)的 直线l的斜率k的取值范围。
解: 由斜率公式得直线l 的斜率
3(m ? 2) 2 ? 1 ( 3m ? 12m ? 13) ? 2 3m ? 12m ? 11 ? k? ? 2 2?0 2
2
2

3 1 2 ? ( m ? 2) ? 2 2

??

1 2

1 ? k的取值范围为 ? ? k 2

22

温故

楼梯的倾斜程度用坡度来刻画

2m
1.2m

3m
坡度(比)= 高度

3m
宽度

坡度越大,楼梯越陡.
23

知新

直线倾斜程度的刻画
直线
级宽 级高

y Q
? o
?

P
高度 宽度 M

x

MP = tan ? = tanα 坡度(比)= QM
24

问题2:下列图中标出的直线的倾斜角对不对?如果不对,违背 了定义中的哪一条?
y y y y

o

?

x

o

?

x

? o
(3)

x

?
o
(4)

x

(1)

(2)

一个

问题3:一条直线有几个倾斜角? 一个倾斜角对应几条直线?

两个: 无数条 一斜率; 二是倾斜角

到目前为止,我们学了几种刻画直线方向的量?二者有什么关系

25

倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条 直线的斜率。斜率通常用k表示,即: k ? tan?
问题4:当 ? =0°时,k值如何? 当0°< ? 90°时,k值如何? < 当 ? =90°时,k值如何? 当90° < ? <180°时,k值如何? 问题5:填表说出直线的倾斜角与斜率k之间的关系:

?的大小
K




0°~90°
K>0

90° 90°~180°
不存在 K<0

26

问题6:每一条直线都有斜率?

有几个斜率?
没有斜率的直线是怎样的直线? 例1:直线 l1 的倾斜角 ? 1=30°,直线 求 l1的斜率, l 2 的倾斜角。
y

l 2 , l2 ? l1

l1
o

?1

?2
l2

3 k1 ? tan?1 ? l1 3 ? l2的倾斜角为 ? 2 ? 90 0 ? 30 0 ? 120 0 x ? l2 的斜率为 k2 ? tan? 2 ? ? 3
解: 的斜率为

27

直线斜率的坐标计算

思考1:在直角坐标系中,经过两点 A(2,4)、B(-1,3)的直线有 几条?直线AB的斜率是多少?
y B α α C o

A

x
28

建构数学
问题5: 直线的倾斜方向与直线斜率有何联系? y y k>0
p
O

.

(1)

直线从左下 x 方向右上方 倾斜

.

p

O

(2)

k<0 直线从左上 方向右下方 x 倾斜

y
O

.
p
(3)

k=0 x
直线与x轴平 行或重合

y

.
(4)

k不存在 p 直线垂直于 x轴
29

O

x

★题: ★★题:

1

2

3

4

★★★题:

5

30

已知直线l经过点P(2,3)与Q(-3,2)
1 则直线的斜率为________ 5

31

已知点P(2,3),点Q在y轴上,若直

线PQ的斜率为1 ,则点Q的坐标为 (0,1) __________。
32

斜率为2的直线,经过点(3,5),(a,7),
(-1,b)三点,则a,b的值为( A、a=4,b=0 C、a=4,b=-3

C)

B、a=-4,b=-3 D、a=-4,b=3
33

1.直线的倾斜程度:斜率,了解斜率定义、几何意义

会求斜率(通过直线上的任意两点)。
2.理解斜率与倾斜角的关系 3.平面解析几何的本质是 用代数方法研究图形的几 何性质,体现了数形结合的重要数学思想。

34

课后作业:
课本P70 练习1、2、4

35


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