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3.4基本不等式1


下图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标。 思考1:会标中含有怎样的几何图形?

思考2:你能否在这个图案中找出一些 相等关系或不等关系?

D

探究1:
1.正方形ABCD的

a ?b
2

2

b
G H



F E

a ?b 面积S=_____
2

2

C

2.四个直角三角形的

A

a

2ab 面积和S’ =__
3.S与S’有什么样的不等关系?
S>S′即 a 2

B

? b >2ab
2

(a≠b)

4.问:那么它们有相等的情况吗?

问题4:s, S’有相等的情况吗?何时相等?
?形的角度

图片说明:当直角三角形 变为等腰直角三角形,即 a=b时,正方形EFGH缩为一 个点,这时有

a ? b =2ab
2 2

?数的角度

当a=b时 a2+b2-2ab=(a-b)2=0

2 2 问5:当a,b为任意实数时, a ? b ? 2a ? b 还成 立吗?

结论:一般地,对于任意实数a、b,我们有 2 2

a ? b ? 2a ? b

当且仅当a=b时,等号成立 此不等式称为重要不等式

a ? b ? 2a ? b
2 2

如果a ? 0, b ? 0, 我们用 a , b分别代替a, b, 可得到什么结论?
替换后得到:( 即:

a ) ? ( b ) ≥2 a ? b
2 2

a ? b≥2 ab

a?b 即: ≥ ab (a ? 0, b ? 0) 2
你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗?

a?b 证明:要证 ≥ ab 2
只要证

a?b 证明不等式: ≥ ab (a ? 0, b ? 0) 2

a ? b≥ _______ 2 ab _____ 要证①,只要证 a ? b ? 2 ab ≥0
2

分 析 法

① ②

(a ? 0, b ? 0, a ? ( a ) , b ? ( b ) )
2

要证②,只要证

(___ a ? ___) b ≥0
2



显然, ③是成立的.当且仅当a=b时, ③中的等号成立.

特别地,若a>0,b>0,则

≥ a ? b _____ 2 ab

a?b 通常我们把上式写作: ab≤ (a ? 0, b ? 0) 2
当且仅当a=b时取等号,这个不等式就叫做基本不等式.

适用范围: a>0,b>0

作用:求最大(小)值问题

a?b 在数学中,我们把 叫做正数a,b的算术平均数, 2 ab 叫做正数a,b的几何平均数;
文字叙述为: 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗? 如图, AB是圆的直径, O为圆心, 点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接 AD、BD、OD. a?b ①如何用a, b表示OD? OD=______ 2
②如何用a, b表示CD?

D
A a OC b B

E

ab CD=______

BC DC Rt△ACD∽Rt△DCB, 所以 ? DC AC

所以DC 2 ? BC ? AC ? ab

你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?
如图, AB是圆的直径, O为圆心, 点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接 AD、BD、OD. a?b ①如何用a, b表示OD? OD=______ 2
②如何用a, b表示CD?

D
A a OC b B

E

ab CD=______
≥ OD_____CD >

③OD与CD的大小关系怎样?

a?b ≥ ab 2

几何意义:半径不小于弦长的一半

填表比较:

a ? b ≥2ab
2 2

a?b ≥ ab 2
a>0,b>0

适用范围 文字叙述 “=”成立条件

a,b∈R

两数的平方和不 两个正数的算术平均数不 小于它们积的2倍 小于它们的几何平均数

a =b

a =b

1 例1. (1)已知x ? 0, 求x ? 的最值; x 1 (2)已知 x ? 0, 求x ? 的最值 ; x 1 ( 3)若x ? 3,函 数y ? x ? ,当x为 何 值 时 , 函 数 x?3 有最值,并求其最值。
1 1 解: x ? ? 2 x? ? 2 x x 1 当且仅当 x ? 即x ? 1时原式有最小值 2. 结论 1:两个正数积为定值,则和有最小值 x

1 1 1 2、解 : x ? ? ?[( ? x ) ? ( ? )] ? ?2 ( ? x ) ? ( ? ) ? ?2 x x x 1  当且仅当? x ? ? 即x ? ?1时有最大值? 2. x 3、解 :   ?x ? 3 1 1 ?y ? x ? ? ( x - 3) ? ?3 x?3 x-3

1    ? 2 ( x ? 3) ? ?3?5 x?3 1 当且仅当x ? 3 ? ,即x ? 4时,函数有最大值, x?3 最大值为5。

1 例2. 若 0<x< 2 , 求函数 y=x(1-2x) 的最大值.
分析: 2 x+(1-2x) 不是 =1为 常数. 1 解: ∵0<x< 2 , ∴1-2x>0. 1 ∴y=x(1-2x)= 2 ?2x?(1-2x) 1 2x+(1-2x) ]2 1 ≤ ?[ = 8. 2 2 1 当且仅当 2x=(1-2x), 即 x= 4 时, 取“=”号. 1. ∴当 x = 1 时 , 函数 y = x (1 2 x ) 的最大值是 8 4
配凑系数

利用基本不等式求最值问题:

(1)如果a,b>0,且ab=P(定值),那么

a?b 2 如果a ? 0, b ? 0, 那么a ? b ? 2 ab或ab ? ( ). 2

a=b 时取“=”). 小 值______( 2 p 当且仅当_____ a+b有最____ (2)如果a,b>0,且a+b=S (定值),那么 1 2 s 大 a=b 时取“=”). ab有最____值______( 当且仅当______ 4

积为定值,和有最小值;和为定值,积有 最大值。
利用基本不等式求最值的条件:一正、二定、三相等。

例 3.(1) 如图 , 用篱笆围成一个面积为 100m2 的矩形菜 园,问这个矩形的长、宽各为多少时,所用篱笆最短,最 短的篱笆是多少? x A
D

y
B C

例 3.(1) 如图 , 用篱笆围成一个面积为 100m2 的矩形菜 园,问这个矩形的长、宽各为多少时,所用篱笆最短,最 A D 短的篱笆是多少?

解:如图设BC=x ,CD=y , 若x、y皆为正数, 则xy=100,篱笆的长为2(x+y)m.

y
B

x

C

x ?则当 y xy的值是常数P时, ? x ? y≥2 100 ? 20, ? ≥ xy 2当且仅当x=y时, ? 2( x ? y)≥40 x+y有最小值_______. 2 P 当且仅当 x=y 时,等号成立 此时x=y=10.
x ?? yxy ≥2 xy ? 2 P? x ? 10 10m时,所用的篱笆 因此,这个矩形的长、宽都为 ? 100 解? ,可得 ? 最短,最短的篱笆是 40m. ? x? y ? y ? 10

例3.(2)如图,用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜 园,问这个矩形菜园的长和宽各为多少时,菜园的面积 最大,最大面积是多少? A D

解:如图,设BC=x ,CD=y ,
则 2( xx +、 y)= 36 , x + y =18 若 y皆为正数,
B

y

x

C

则当x+y的值是常数 矩形菜园的面积为 xy m2S时, 当且仅当 =y时, x ? y x18 ? xy ≤ ? ?1 9 2 得 xy ≤ 81 2 2 S ; xy有最大值 _______ 4 当且仅当x=y时,等号成立 即x=y=9 x? y S 1 2 因此,这个矩形的长、宽都为 xy ≤ ? ? xy≤ 9m S 时, 4 2 2 2 菜园面积最大,最大面积是 81m

已知 x, y 都是正数, P, S 是常数. (1) xy=P ? x+y≥2 P(当且仅当 x=y 时, 取“=”号). 2(当且仅当 x=y 时, 取“=”号). (2) x+y=S ? xy≤ 1 S 4

利用基本不等式求最值时,要注意
①各项皆为正数; ②和或积为定值; ③注意等号成立的条件.
一“正” 二“定” 三“相等”

例4.某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池,其容 积为4800m3,深为3m.如果池底每平方米的造价为 150元,池壁每平方米的造价为120元,怎样设计水 池能使总造价最低?最低总造价是多少?

分析:水池呈长方体形,它的高是3m,底面的长 与宽没有确定.如果底面的长与宽确定了, 水池的总造价也就确定了.因此应当考察底 面的长与宽取什么值时水池总造价最低。

解:设底面的长为xm,宽为ym,水池总造价为z元. 4800 根据题意,有:
z ? 150 ? 3 ? 240000 ? 720(x ? y) ? 120(2 ? 3x ? 2 ? 3y)

由容积为4800m3,可得:3xy=4800 因此 xy=1600 由基本不等式与不等式的性质,可得
240000 ? 720(x ? y) ? 240000 ? 720 ? 2 xy
z ? 240000 ? 720 ? 2 1600
z ? 297600



当x=y,即x=y=40时,等号成立 所以,将水池的地面设计成边长为40m的正方 形时总造价最低,最低总造价为297600元.

小 结
1. 两个重要的不等式

(1)a, b ? R,那么a 2 ? b2≥2ab ,当且仅当a ? b时,等号成立

a?b (2) ab≤ (a >0,b>0),当且仅当a ? b时,等号成立。 2 2. 利用基本不等式求最值
已知 x, y 都是正数, P, S 是常数. (1) xy=P ? x+y≥2 P(当且仅当 x=y 时, 取“=”号). 2(当且仅当 x=y 时, 取“=”号). (2) x+y=S ? xy≤ 1 S 4

求最值时注意把握 “一正,二定,三相等”


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