当前位置:首页 >> 数学 >>

2012北京市高三一模理科数学分类汇编10套


2012 北京市高三一模数学理分类汇编 1:集合、简易逻辑与函数
【2012 北京市丰台区一模理】1.已知集合 A ? {x | x ? 1}, B ? {a} ,若 A ? B ? ? ,则 a 的
2

取值范围是 A. (??, ?1) ? (1, ??) B. ? ??, ?1? ? ?1, ?? ? C. (-1,1) 【答案】B

【 2012 北





D.[-1,1] 京 市
2















1.









M ?? , a 0 ?
( ) (A) 1 【答案】C

N ?,?

x 2? x Z5 如果 0 ?, x ? x ?

?

则 , 等于M ?

?N

,

a

(B) 2

(C) 1或2

(D)

5 2

【2012 北京市海淀区一模理】 已知集合 A = (1) 那么 m 的值可以是 (A) - 1 【答案】D (B) 0

{x x > 1},B = {x x < m},且 A ? B =
(D) 2

R,

(C)1

【2012 年北京市西城区高三一模理】 已知全集 U ? R , 1. 集合 A ? {x | (A) (0,1) (B) (0,1] (C) (??,0] ? (1, ??) (D) (??,0) ? [1, ??) 【答案】C 【解析】 A ? {x

1 则 ( ? 1} , ?U A ? x



1 ? 1} ? {x 0 ? x ? 1} ,所以 CU A ? {x x ? 0或x ? 1} ,选 C. x

【2012 北京市门头沟区一模理】已知全集 U ? R ,集合 A ? x x ? 3 x ? 4 ? 0 ,
2

?

?

B ? ? x x ? ?2或x ? 3? ,则集合

A?

U

B 等于

(A) x ?2 ? x ? 4 (C) x ?1 ? x ? 3 【答案】C

?

?

(B) x ?2 ? x ? ?1 (D) x 3 ? x ? 4

?

?

?

?

?

?

【2012 北京市石景山区一模理】1.设集合 M ? {x | x ? 2 x ? 3 ? 0} , N ? {x | log 1 x ? 0} ,
2

2

则 M ? N 等于(



-1-

A. (?1,1) 【答案】B

B. (1,3)

C. (0,1)

D. (?1,0)

【解析】 M ? {x | x ? 2 x ? 3 ? 0} ? {x | ?1 ? x ? 3} , N ? {x | log 1 x ? 0} ? {x | x ? 1} ,
2

2

所以

M ? N ? {x 1 ? x ? 3}

,答案选 B.

【2012 北京市石景山区一模理】14.集合

U ? ?( x, y ) | x ? R, y ? R?, M ? ?( x, y ) | x ? y ? a?, P ? ?( x, y) | y ? f ( x)?,
现给出下列函数:① y ? a ,② y = loga x ,③ y ? sin( x ? a) ,④ y ? cos ax ,
x

若 0 ? a ? 1 时,恒有 P ? CU M ? P, 则所有满足条件的函数 f (x) 的编号是 【答案】①②④ 【解析】由 P ? CU M ? P, 可知



M ? P ? ? ,画出相应的图象可知,①②④满足条件。
??1,x ? M , 对于两个集合 M,N,定义集合 ?1, x ? M .

【2012 北京市海淀区一模理】 (20)(本小题满分 14 分) 对 于 集 合 M , 定 义 函 数 f M ( x) ? ?

M ?N ? {x f M (x ) f N x ? ? 1} ? ( ) . 已知 A = {2, 4,6,8,10} , B = {1, 2, 4,8,16} .
(Ⅰ)写出 f A (1) 和 f B (1) 的值,并用列举法写出集合 A?B ; (Ⅱ) Card(M)表示有限集合 M 所含元素的个数, Card ( X ?A) ? Card ( X ?B) 的最小值; 用 求 (Ⅲ)有多少个集合对(P,Q) ,满足 P, Q ? A ? B ,且 ( P?A)?(Q?B) ? A?B ? 【答案】解: (Ⅰ) f A (1)=1 , f B (1)= - 1 , A?B ? {1,6,10,16} . ?????3 分 ( Ⅱ ) 根 据 题 意 可 知 : 对 于 集 合 C, X , ① 若 a ? C 且 a ? X , 则

C a r d ( ? X } a ( ? C { ?) C a ? ( r (d ? C{? X }

C ? r d )C 1X a ( ? ; ② ) a?. (C ?



a? C d1 C



a? X





a )r

X

所以 要使 Card ( X ?A) ? Card ( X ?B) 的值最小,2,4,8 一定属于集合 X ;1,6,10,16 是否属于 X 不影响 Card ( X ?A) ? Card ( X ?B) 的值;集合 X 不能含有 A ? B 之外的元素. 所以 当 X 为集合{1,6,10,16}的子集与集合{2,4,8}的并集时, Card ( X ?A) ? Card ( X ?B) 取到

-2-

最小值 4. (Ⅲ)因为 A?B ? {x f A ( x) ? f B ( x) ? ?1} , 所以 A?B ? B?A . 由定义可知: f A?B ( x) ? f A ( x) ? f B ( x) .

???????????????8 分

所以 对任意元素 x , f ( A?B ) ?C ( x) ? f A?B ( x) ? fC ( x) ? f A ( x) ? f B ( x) ? f C ( x) ,

f A? ( B?C ) ( x) ? f A ( x) ? f B?C ( x) ? f A ( x) ? f B ( x) ? fC ( x) .
所以 f ( A?B ) ?C ( x) ? f A? ( B?C ) ( x) . 所以 ( A?B)?C ? A?( B?C ) . 由 ( P?A)?(Q?B) ? A?B 知: ( P?Q)?( A?B) ? A?B . 所以 ( P?Q)?( A?B)?( A?B) ? ( A?B)?( A?B) . 所以 P?Q?? ? ? . 所以 P?Q ? ? ,即 P = Q . 因为 P, Q ? A ? B , 所以 满足题意的集合对(P,Q)的个数为 27 ? 128 . 【 2012 北 京 市 丰 台 区 一 模 理 】 7 . 已 知 a ? b , 函 数 f ( x) ? s i nx ,g ( ?) x 命 c ox 题 s .

p : f ( a) f ( b? ,命题 q : g ( x)在(a, b) 内有最值,则命题 p 是命题 q 成立的 ? ) 0
( A.充分不必要条件 C.充要条件 【答案】A ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
2

【2012 北京市东城区一模理】 (2)若集合 A ? {0 , m } , B ? {1 , 2} ,则“ m ? 1 ”是 “ A ? B ? {0 , 1 , 2} ”的 (A)充分不必要条件 (C)充分必要条件 【答案】A 【2012 北京市东城区一模理】 (9)命题“ ?x0 ? (0, ), tan x0 ? sin x0 ”的否定是 (B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

? 2

.

-3-

【答案】 ?x ? (0, ), tan x ? sin x 【2012 北京市丰台区一模理】8.已知定义在 R 上的函数 y ? f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? f ( x) ,当

? 2

?1 ? x ? 1 时, f ( x) ? x3 ,若函数 g ( x) ? f ( x) ? log a | x | 至少有 6 个零点,则 a
( A. a ? 5或a ? )

1 5

C. a ? [ , ] ? [5, 7] 【答案】D

1 1 7 5

1 5 1 1 D. a ? [ , ] ? [5, 7] 7 5

B. a ? (0, ) ? ?5, ?? ?

?? x 2 ? ax, x ? 1, 【2012 北京市海淀区一模理】 (7)已知函数 f ( x) ? ? 若 ?x1 , x2 ? R, x1 ? x2 ,使 x ? 1, ?ax ? 1,
得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立,则实数 a 的取值范围是 (A) a < 2 (C) - 2 < a < 2 (B) a > 2 (D) a > 2 或 a < - 2

【答案】A 【2012 年北京市西城区高三一模理】6.若 a ? log 2 3 , b ? log3 2 , c ? log 4 6 ,则下列结论 正确的是( )

(A) b ? a ? c (B) a ? b ? c (C) c ? b ? a (D) b ? c ? a 【答案】D 【解析】 0 ? log 3 2 ? 1 , log 2 3 ? log 4 9 ? log 4 6 ? 1 所以 b ? c ? a ,选 D。 【 2012 年北 京市 西城 区高 三 一模 理】13.

?x 2 , 0 ? x ? c, ? 已知函 数 f ( x) ? ? 其中 x 2 ? x, ? 2 ? x ? 0, ? ?
1

1 c ? 0 .那么 f ( x) 的零点是_____;若 f ( x) 的值域是 [ ? , 2] ,则 c 的取值范围是_____. 4
【答案】 ?1 和 0 , (0, 4] 【解析】当 0 ? x ? c 时,由 x ? 0 得, x ? 0 。当 ? 2 ? x ? 0 时,由 x 2 ? x ? 0 ,得 x ? ?1 , 所以函数零点为 ?1 和 0 。当 0 ? x ? c 时, f ( x) ? x ,所以 0 ? f ( x) ?
1 2

c ,当 ? 2 ? x ? 0 , 1 1 1 1 所以此时 ? ? f ( x) ? 2 。 f ( x) 的值域是 [ ? , 2] , 若 则有, f ( x) ? x 2 ? x ? ( x ? ) 2 ? , 2 4 4 4 c ? 2 ,即 0 ? c ? 4 ,即 c 的取值范围是 (0,4] 。 1 1 【2012 北京市门头沟区一模理】14.给出定义:若 m ? ? x ? m ? (其中 m 为整数),则 m 2 2
-4-

1 2

叫离实数 x 最近的整数,记作 ? x ? ? m ,已知 f ( x ) ? ? x ? ? x ,下列四个命题: ①函数 f ( x) 的定义域为 R ,值域为 ? 0, ? ; 2 ③函数 f ( x) 是周期函数,最小正周期为 1; 其中正确的命题是 【答案】①③④ 【2012 北京市朝阳区一模理】6.已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,且对任意的 x? R , 都有 f ( x ? 2) ? f ( x) .当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? x .若直线 y ? x ? a 与函数 y ? f ( x) 的图
2

? 1? ? ?

②函数 f ( x) 是 R 上的增函数; ④函数 f ( x) 是偶函数,



象在 [0, 2] 内恰有两个不同的公共点,则实数 a 的值是 A. 0 B. 0 或 ?

1 2

C. ?

1 1 或? 4 2

D. 0 或 ?

1 4

【答案】D 【2012 北京市朝阳区一模理】7. 某工厂生产的 A 种产品进入某商场销售,商场为吸引厂家第 一年免收管理费,因此第一 年 A 种产品定价为每件 70 元,年销售量为 11.8 万件. 从第二年开始,商场对 A 种产品 征收销售额的 x% 的管理费(即销售 100 元要征收 x 元),于是该产品定价每件比第一年 增加了

70 ? x% 元,预计年销售量减少 x 万件,要使第二年商场在 A 种产品经营中收取的 1 ? x%
C. 8.8 D. 10

管理费不少于 14 万元,则 x 的取值范围是 A. 2 B. 6.5 【答案】D

? 1 x 3 x ? 2, ?( ) ? , 【 2012 北 京 市 朝 阳 区 一 模 理 】 13. 已 知 函 数 f ( x) ? ? 2 若函数 4 ? log 2 x, 0 ? x ? 2. ?
g ( x) ? f ( x) ? k 有两个不同的零点,则实数 k 的取值范围是
【答案】 ( ,1) .

3 4

? 2? x ? 1, x ? 0, 【2012 北京市东城区一模理】 (8)已知函数 f ( x) ? ? 若方程 f ( x) ? x ? a 有 ? f ( x ? 1), x ? 0. 且只有两个不相等的实数根,则实数 a 的取值范围是
(A) ? ??,1? 【答案】A (B) ? ?? ,1? (C) ? 0 ,1? (D) ? 0 , ? ? ?

-5-

1 ? ? ? x ? a, x ? 2 , ? 【2012 北京市石景山区一模理】12.设函数 f ( x) ? ? 的最小值为 ?1 ,则实数 a ? log x, x ? 1 2 ? ? 2
的取值范围是 【答案】 a ? ? .

1 2

【解析】因为当 x ?

1 1 时, log 2 x ? ?1 ,所以要使函数的最小值 ? 1 ,则必须有当 x ? 时, 2 2 1 f ( x) ? ? x ? a ? ?1 , 又 函 数 f ( x) ? ? x ? a 单 调 递 减 , 所 以 f ( x) ? ? ? a 所 以 由 2 1 1 ? ? a ? ?1 得 a ? ? 。 2 2

2012 北京市高三一模数学理分类汇编 2:导数.
【2012 北京市海淀区一模理】 (12)设某商品的需求函数为 Q = 100 - 5P ,其中 Q, P 分别表 示需求量和价格,如果商品需求弹性

EQ Q' EQ 大于 1(其中 ,则 =P , Q ' 是 Q 的导数) EP Q EP
.

商品价格 P 的取值范围是 【答案】 (10, 20)

【2012 北京市门头沟区一模理】10.曲线 y ? x 与直线 x ? 1 及 x 轴所围成的图形的面积
3

为 【答案】



1 4

【2012 北京市门头沟区一模理】18.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ? (Ⅰ)当 0 ? a ?

1? a ?1 . x

1 时,讨论函数 f ( x) 的单调性; 2 1 2 ( Ⅱ ) 设 g ( x) ? x ? 2 b x? 4, 当 a ? 时 , 若 对 任 意 x1 ? (0, 2) , 当 x2 ? [1, 2 ] , 时 4
f ( x1 ) ? g ( x2 ) 恒成立,求实数 b 的取值范围.

1 1 ? a ?ax 2 ? x ? (1 ? a) 【答案】解: (Ⅰ) f ( x) ? ? a ? 2 ? x x x2
/

?????2 分

-6-

??
/

[ax ? (1 ? a)]( x ? 1) ( x ? 0) x2

令 f ( x) ? 0

1? a ?????3 分 , x2 ? 1 a 1 当 a ? 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 在 (0, ??) 上单减 ???4 分 2 1 1? a 当 0 ? a ? 时, ? 1, 2 a 1? a 在 (0,1) 和 ( , ??) 上,有 f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单减, a 1? a 在 (1, ?????6 分 ) 上, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单增 a 1 1? a 1 3 (Ⅱ)当 a ? 时, ? 3 , f ( x) ? ln x ? x ? ?1 4 a 4 4x
得 x1 ? 由(Ⅰ)知,函数 f ( x) 在 (0,1) 上是单减,在 (1, 2) 上单增 所以函数 f ( x) 在 (0, 2) 的最小值为 f (1) ? ?

1 ???????8 分 2

若对任意 x1 ? (0, 2) ,当 x2 ? [1, 2] 时, f ( x1 ) ? g ( x2 ) 恒成立, 只需当 x ? [1, 2] 时, g max ( x) ? ?

1 即可 2

1 ? ? g (1) ? ? 2 ? 所以 ? ,???????11 分 ? g (2) ? ? 1 ? ? 2
代入解得

b?

11 4 11 , ??) . 4
???????13 分

所以实数 b 的取值范围是 [

【2012 北京市朝阳区一模理】18. (本小题满分 13 分) 设函数 f ( x) ?

eax ,a?R . x2 ? 1

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程; (Ⅱ)求函数 f (x) 单调区间. 【答案】解:因为 f ( x) ?

e ax eax (ax 2 ? 2 x ? a) , 所以 f ?( x) ? . ( x 2 ? 1) 2 x2 ? 1

-7-

(Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? 所以 f (0) ? 1,

e x ( x 2 ? 2 x ? 1) ex , f ?( x) ? , ( x 2 ? 1)2 x2 ? 1

f ?(0) ? 1 .
?????4 分

所以曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为 x ? y ? 1 ? 0 . (Ⅱ)因为 f ?( x) ?

eax (ax 2 ? 2 x ? a) e ax ? 2 (ax 2 ? 2 x ? a) , 2 2 2 ( x ? 1) ( x ? 1)

?????5 分

(1)当 a ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 得 x ? 0 ;由 f ?( x) ? 0 得 x ? 0 . 所以函数 f ( x) 在区间 (??,0) 单调递增, 在区间 (0, ??) 单调递减. ?????6 分 (2)当 a ? 0 时, 设 g ( x) ? ax ? 2 x ? a ,方程 g ( x) ? ax ? 2 x ? a ? 0 的判别式
2 2

? ? 4 ? 4a 2 ? 4(1 ? a)(1 ? a),
①当 0 ? a ? 1时,此时 ? ? 0 . 由 f ?( x) ? 0 得 x ?

?????7 分

1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 ,或 x ? ; a a

由 f ?( x) ? 0 得

1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 ?x? . a a 1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 ) 和( , ??) , a a
?????9 分

所以函数 f ( x) 单调递增区间是 ( ??,

单调递减区间 (

1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 , ). a a

②当 a ? 1 时,此时 ? ? 0 .所以 f ?( x) ? 0 , 所以函数 f ( x) 单调递增区间是 (??, ??) . ③当 ?1 ? a ? 0 时,此时 ? ? 0 . 由 f ?( x) ? 0 得 ?????10 分

1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 ?x? ; a a 1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 ,或 x ? . a a

由 f ?( x) ? 0 得 x ?

1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 ) 和( , ??) , 所以当 ?1 ? a ? 0 时,函数 f ( x) 单调递减区间是 ( ??, a a
-8-

1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 , ). 单调递增区间 ( a a

?????12 分

④当 a ? ?1 时, 此时 ? ? 0 , f ?( x) ? 0 ,所以函数 f ( x) 单调递减区间是 (??, ??) . 【2012 北京市东城区一模理】(18)(本小题共 14 分) 已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? 2ex ? 3e2 ln x ? b 在 ( x0 , 0) 处的切线斜率为零. 2

(Ⅰ)求 x0 和 b 的值; (Ⅱ)求证:在定义域内 f ( x) ≥ 0 恒成立; (Ⅲ) 若函数 F ( x) ? f ?( x) ?

a 有最小值 m ,且 m ? 2e ,求实数 a 的取值范围. x
3e 2 . x
????2 分

【答案】 (Ⅰ)解: f ?( x) ? x ? 2e ?

由题意有 f ?( x0 ) ? 0 即 x0 ? 2e ? 得 f (e) ? 0 即

3e2 ? 0 ,解得 x0 ? e 或 x0 ? ?3e (舍去) .?4 分 x0
????5 分

1 2 1 e ? 2e2 ? 3e2 ln e ? b ? 0 ,解得 b ? ? e2 . 2 2

(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知 f ( x) ?

1 2 e2 x ? 2ex ? 3e 2 ln x ? ( x ? 0) , 2 2

f ?( x)

? x ? 2e ?

3e2 ( x ? e)( x ? 3e) ? ( x ? 0) . x x

在区间 (0, e) 上,有 f ?( x) ? 0 ;在区间 (e, ??) 上,有 f ?( x) ? 0 . 故 f ( x) 在 (0, e) 单调递减,在 (e, ??) 单调递增, 于是函数 f ( x) 在 (0, ??) 上的最小值是 f (e) ? 0 . 故当 x ? 0 时,有 f ( x) ≥ 0 恒成立. (Ⅲ)解: F ( x) ? f ?( x) ? ????9 分

????10 分

a a ? 3e2 ? x? ? 2e ( x ? 0) . x x

a ? 3e2 ? 2e ? 2 a ? 3e 2 ? 2e ,当且仅当 x ? a ? 3e2 当 a ? 3e 时,则 F ( x) ? x ? x
2

时等号成立,故 F ( x) 的最小值 m ? 2 a ? 3e ? 2e ? 2e ,符合题意;
2

????13 分

-9-

当 a ? 3e2 时,函数 F ( x) ? x ? 2e 在区间 (0, ??) 上是增函数,不存在最小值,不合 题意; 当 a ? 3e2 时,函数 F ( x) ? x ? 值,不合题意. 综上,实数 a 的取值范围是 (3e , ??) .
2

a ? 3e2 ? 2e 在区间 (0, ??) 上是增函数,不存在最小 x

????14 分

【2012 北京市石景山区一模理】18. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x ? 2a ln x .
2

(Ⅰ)若函数 f ( x) 的图象在 (2, f (2)) 处的切线斜率为 1 ,求实数 a 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅲ)若函数 g ( x) ?

2 ? f ( x) 在 [1, 2] 上是减函数,求实数 a 的取值范围. x
????1 分

2a 2 x 2 ? 2a 【答案】解:(Ⅰ) f '( x) ? 2 x ? ? x x
由已知 f '(2) ? 1 ,解得 a ? ?3 . (II)函数 f ( x) 的定义域为 (0, ??) .

????3 分

(1)当 a ? 0 时, f '( x) ? 0 , f ( x) 的单调递增区间为 (0, ??) ; ??5 分 (2)当 a ? 0 时 f '( x) ?

2( x ? ?a )( x ? ?a ) . x

当 x 变化时, f '( x), f ( x) 的变化情况如下:

x
f '( x)

(0, ?a )
-

?a

( ? a , ??)
+

0
极小值

f ( x)

由上表可知,函数 f ( x) 的单调递减区间是 (0, ? a ) ; 单调递增区间是 ( ? a , ??) . ????8 分

- 10 -

(II)由 g ( x) ?

2 2 2a ,????9 分 ? x 2 ? 2a ln x 得 g '( x) ? ? 2 ? 2 x ? x x x

由已知函数 g ( x) 为 [1, 2] 上的单调减函数, 则 g '( x) ? 0 在 [1, 2] 上恒成立,

2 2a ? 2x ? ? 0 在 [1, 2] 上恒成立. 2 x x 1 即 a ? ? x 2 在 [1, 2] 上恒成立. ????11 分 x 1 1 1 令 h( x) ? ? x 2 ,在 [1, 2] 上 h '( x) ? ? 2 ? 2 x ? ?( 2 ? 2 x) ? 0 , x x x 7 所以 h( x ) 在 [1, 2] 为减函数. h( x) min ? h(2) ? ? , 2 7 所以 a ? ? . ????14 分 2
即? 【2012 年北京市西城区高三一模理】18.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? e ? ( ? a ? 1) ,其中 a ? ?1 .
ax

a x

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)求 f (x) 的单调区间. 【答案】 (Ⅰ)解:当 a ? 1 时, f ( x) ? e x ? ( ? 2) , f ?( x) ? e x ? ( ? 2 ? 由于 f (1) ? 3e , f ?(1) ? 2e , 所以曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程是 2ex ? y ? e ? 0 . (Ⅱ)解: f ?( x) ? aeax ??4 分 ???6 分

1 x

1 x

1 ) . ??2 分 x2

( x ? 1)[(a ? 1) x ? 1] , x ? 0. x2

① 当 a ? ?1时,令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? ?1 .

f (x) 的单调递减区间为 (??, ?1) ;单调递增区间为 (?1,0) , (0, ??) ??8 分
当 a ? ?1 时,令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? ?1 ,或 x ?

1 . a ?1 1 , ??) ;单调递增区间 a ?1

② 当 ? 1 ? a ? 0 时, f (x) 的单调递减区间为 (??, ?1) , ( 为 (?1,0) , (0,

1 ). a ?1

????10 分 ??11 分

③ 当 a ? 0 时, f ( x) 为常值函数,不存在单调区间.

- 11 -

④ 当 a ? 0 时,f (x) 的单调递减区间为 (?1,0) , (0,

1 单调递增区间为 (??, ?1) , ); a ?1
????13 分

(

1 , ??) . a ?1

【2012 北京市海淀区一模理】(18)(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) ? e
? kx

1 ( x 2 ? x ? ) (k ? 0) . k

(Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)是否存在实数 k ,使得函数 f ( x ) 的极大值等于 3e ?若存在,求出 k 的值;若不存在, 请说明理由. 【答案】解: (Ⅰ) f ( x ) 的定义域为 R .
?2

1 f '( x) ? ?ke? kx ( x 2 ? x ? ) ? e? kx (2 x ? 1) ? e? kx [?kx 2 ? (2 ? k ) x ? 2] , k
即 f '( x) ? ?e
? kx

(kx ? 2)( x ? 1) (k ? 0) .

???????????????2 分

令 f '( x) ? 0 ,解得: x ? ?1 或 x ?

2 . k
).

当 k ? ?2 时, f '( x) ? 2e ( x ? 1) ? 0 ,故 f ( x ) 的单调递增区间是 (- ? ,
2x 2

???????????????3 分 当 ?2 ? k ? 0 时,

f ( x ) , f '( x ) 随 x 的变化情况如下:
x

2 ( ??, ) k
?

2 k
0
极大值

2 ( , ?1) k
?

?1
0
极小值

( ?1, ??)
?

f '( x )

f ( x)

?

?
2 k

?
2 k

所以,函数 f ( x ) 的单调递增区间是 ( ??, ) 和 ( ?1, ??) ,单调递减区间是 ( , ?1) . ???????????????5 分 当 k ? ?2 时,

f ( x ) , f '( x ) 随 x 的变化情况如下:

- 12 -

x

( ??, ?1)
?

?1
0
极大值

2 ( ?1, ) k
?

2 k
0
极小值

2 ( , ??) k
?

f '( x )

f ( x)

?

?
2 k

?
2 k

所以,函数 f ( x ) 的单调递增区间是 ( ??, ?1) 和 ( , ?? ) ,单调递减区间是 ( ?1, ) . ???????????????7 分 (Ⅱ)当 k = - 1 时, f ( x ) 的极大值等于 3e . 理由如下: 当 k ? ?2 时, f ( x ) 无极大值. 当 ?2 ? k ? 0 时, f ( x ) 的极大值为 f ( ) ? e (
?2

2 k

?2

4 1 ? ), k2 k

???????????????8 分 令e (
?2

4 1 4 1 4 ? ) ? 3e?2 ,即 2 ? ? 3, 解得 k ? ?1 或 k ? (舍). 2 k k 3 k k
???????????????9 分

ek 当 k ? ?2 时, f ( x ) 的极大值为 f (?1) ? ? . k
???????????????10 分 因为 ,

0??

ek ? e ?2

1 1 ? k 2,

所以 ?

e k 1 ?2 ? e . k 2

因为

1 ?2 e ? 3e ?2 , 2
?2

所以 f ( x ) 的极大值不可能等于 3e .

???????????????12 分
?2

综上所述,当 k ? ?1 时, f ( x ) 的极大值等于 3e . ???????????????13 分 【2012 北京市房山区一模理】18. (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? ln(1 ? x) ? mx .
- 13 -

(I)当 m ? 1时,求函数 f (x) 的单调递减区间; (II)求函数 f (x) 的极值; (III)若函数 f ( x) 在区间 ? 0, e ? 1? 上恰有两个零点,求 m 的取值范围. ? ?
2

【答案】解: (I)依题意,函数 f ( x) 的定义域为 ?? 1,?? ? , 当 m ? 1时, f ( x) ? ln(1 ? x) ? x ,

? f ?( x) ?

1 ?1 1? x 1 ?x 由 f ?( x) ? 0 得 ? 1 ? 0 ,即 ?0 1? x 1? x 解得 x ? 0 或 x ? ?1 , 又? x ? ?1 ,? x ? 0

????????2 分

? f ( x) 的单调递减区间为 (0, ??) .
(II) f ?( x) ?

????????4 分

1 ? m , ( x ? ?1) 1? x

(1) m ? 0 时, f ?( x) ? 0 恒成立

f (x) 在 (?1, ? ?) 上单调递增,无极值.
(2) m ? 0 时,由于 所以 f (x) 在 ? ? 1,

????????6 分

1 ? 1 ? ?1 m

? ?

1 ? ?1 ? ? 1? 上单调递增,在 ? ? 1, ? ? ? 上单调递减, m ? ?m ?

从而 f ( x)极大值 ? f (

1 ? 1) ? m ? ln m ? 1 . m

????????9 分

(III)由(II)问显然可知, 当 m ? 0 时, f ( x) 在区间 ? 0, e 2 ? 1? 上为增函数, ? ?

?在区间 ?0, e 2 ? 1? 不可能恰有两个零点. ? ?
当 m ? 0 时,由(II)问知 f ( x)极大值 = f ( 又 f (0) ? 0 ,?0 为 f ( x) 的一个零点.

????????10 分

1 ? 1) , m
????????11 分

? f (e 2 ? 1) ? 0 ? ?若 f ( x) 在 ?0, e 2 ? 1? 恰有两个零点,只需 ? 1 ? ? 2 ?0 ? ? 1 ? e ? 1 m ?

- 14 -

? 2 ? m(e 2 ? 1) ? 0 2 ? 即? ? 2 ? m ?1 1 e ?1 ? m ?1 ? ? e2
(注明:如有其它解法,酌情给分)

????????13 分

2012 北京市高三一模数学理分类汇编 3:三角函数
【2012 北京市房山区一模理】11.已知函数 f ?x ? ? sin??x ? ? ? ( ? >0, 0 ? ? ? ? )的图象 如图所示,则 ? ? __, ? =__.

【答案】

8 9 , ? 5 10

【2012 北京市海淀区一模理】 (11)若 tan ? =

1 ? ,则 cos(2? + ) = 2 ?

.

【答案】 -

4 5
4 4

【2012 年北京市西城区高三一模理】5.已知函数 f ( x) ? sin ? x ? cos ? x 的最小正周期是

π ,那么正数 ? ? (
(A) 2 (B) 1 (C) 【答案】B



1 1 (D) 2 4

n s n s s 【 解 析 】 f ( x) ? s i ?x ? c o ?x ? s i ?x ? c o ?x ? ? c o2?x , 所 以 周 期
4 4 2 2

T?

2? ? ? ? ? ,所以? ? 1,选 B. 2? ?

【2012 北京市门头沟区一模理】4.在 ?ABC 中,已知 ?A ? 为 (A) 3 ? 1 (B) 3 ? 1 (C)

?
4

, ?B ?

?
3

, AB ? 1 ,则 BC

6 3

(D) 2

- 15 -

【答案】A 【2012 北京市朝阳区一模理】15. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? cos( x ? ) . (Ⅰ)若 f (? ) ?

π 4

7 2 ,求 sin 2? 的值; 10
? ? ?? ? π π? ? ,求函数 g ( x) 在区间 ? ? , ? 上的最大值和最小值. 2? ? 6 3?
π 4 7 2 , 10

(II)设 g ( x) ? f ? x ? ? f ? x ?

【答案】解: (Ⅰ)因为 f (? ) ? cos(? ? ) ?

所以

2 7 2 , (cos ? ? sin ? ) ? 2 10

所以 cos ? ? sin ? ?

7 . 5 49 , 25
?????6 分

平方得, sin 2 ? ? 2sin ? cos ? ? cos 2 ? = 所以

sin 2? ?

24 . 25
? ? π? π π ? = cos( x ? ) ? cos( x ? ) 2? 4 4

(II)因为 g ( x) ? f ? x ? ? f ? x ?

=

2 2 (cos x ? sin x) ? (cos x ? sin x) 2 2

1 (cos 2 x ? sin 2 x) 2 1 = cos 2 x . 2
= 当 x ? ??

?????10 分

? π π? ? π 2π ? , ? 时, 2 x ? ? ? , ? . ? 6 3? ? 3 3?

所以,当 x ? 0 时, g ( x) 的最大值为 当x?

1 ; 2
?????13 分

π 1 时, g ( x) 的最小值为 ? . 3 4
2 2

【2012 北京市东城区一模理】 (15) (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? (sin2x ? cos2x) ? 2sin 2x . (Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期;

- 16 -

(Ⅱ)若函数 y ? g ( x) 的图象是由 y ? f ( x) 的图象向右平移 单位长度得到的,当 x? [ 0 ,

? ]时,求 y ? g ( x) 的最大值和最小值. 4
2 2

? 个单位长度,再向上平移 1 个 8

【答案】解: (Ⅰ)因为 f ( x) ? (sin 2 x ? cos 2 x) ? 2sin 2 x

? sin 4x ? cos 4x
? ? 2 sin(4 x ? ) , 4
所以函数 f ( x) 的最小正周期为 (Ⅱ)依题意, y ? g ( x) ? ????6 分

? ? 2 sin [ 4( x ? ) ? ] ?1 8 4
???10 分

? . 2

????8 分

? ? 2 sin(4 x ? ) ? 1 . 4
因为 0 ? x ?

? ? ? 3? ,所以 ? ? 4 x ? ? . 4 4 4 4

????11 分

当 4x ? 当 4x ?

? ? 3? 时, g ( x) 取最大值 2 ? 1 ; ? ,即 x ? 4 2 16

? ? ? ? ,即 x ? 0 时, g ( x) 取最小值 0 . 4 4

????13 分

【2012 北京市石景山区一模理】15. (本小题满分 13 分) 在 ?ABC 中,角 A , B , C 所对应的边分别为 a , b , c ,且 (2a ? c) cos B ? b cos C . (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若 cos A ?

2 , a ? 2 ,求 ?ABC 的面积. 2

【答案】解: (Ⅰ)因为 (2a ? c) cos B ? b cosC ,由正弦定理,得

(2 sin A ? sin C ) cos B ? sin B cosC .

????2 分

∴ 2 sin A cos B ? sin C cos B ? sin B cosC ? sin(B ? C ) ? sin A .??4 分 ∵ 0? A?? , ∴ cosB ? ∴ sinA ? 0 , 又∵

1 . 2

0 ? B ?? ,

∴ B?

?
3



????6 分 ????8 分

(Ⅱ)由正弦定理

a b ,得 b ? 6 , ? sin A sin B

- 17 -

由 cos A ?

2 ? ? 可得 A ? ,由 B ? ,可得 2 3 4

sin C ?

6? 2 , 4

????11 分 ????13 分

∴ s ? 1 ab sin C ? 1 ? 2 ? 6 ? 6 ? 2 ? 3 ? 3 .

2

2

4

2

【2012 北京市门头沟区一模理】15. (本小题满分 13 分) 已知:函数 f ( x) ? 3 sin 2 (Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的单调递增区间.

?x
2

? sin

?x
2

cos

?x
2

(? ? 0) 的周期为 ? .

【答案】解: (Ⅰ) f ( x) ? 分

3 1 (1 ? cos ? x) ? sin ? x 2 2

???????????4

? 3 f ( x) ? sin(? x ? ) ? 3 2
因为函数的周期为 ? 所以 ? ? 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 分 当 2k? ?

??????????? 6 分

???????????7 分

f (x ) ?

? 3 s i xn ( 2 ? ? ) 3 2

???????????8

?
2

3 2 ? 5? k? ? ? x ? k ? ? (k ? Z ) 12 12

? 2x ?

?

? 2k? ?

?

(k ? Z ) 时函数单增???????????10 分
???????????12

分 所以函数 f ( x) 的单增区间为 [k? ? 13 分 【2012 年北京市西城区高三一模理】15.(本小题满分 13 分) 在△ ABC 中,已知 sin( A ? B) ? sin B ? sin( A ? B) .

?
12

, k? ?

5? ] ,其中 k ? Z 12

?????????

- 18 -

(Ⅰ)求角 A ; (Ⅱ)若 | BC | ? 7 , AB ? AC ? 20 ,求 | AB ? AC | . 【答案】 (Ⅰ)解:原式可化为 sin B ? sin(A ? B) ? sin(A ? B) ? 2 cos A sin B . ?3 分 因为 B ? (0, π) , 所以 cos A ? 所以 sin B ? 0 , ????5 分

??? ?

??? ???? ?

1 . 2

π . ?????6 分 3 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ??? ? ? (Ⅱ)解:由余弦定理,得 | BC |2 ? | AB |2 ? | AC |2 ? 2| AB || AC | ? cos A .????8 分
因为 A? (0, π) , 所以 A ? 因为 | BC |? 7 , AB ? AC ? | AB || AC | ? cos A ? 20 , 所以 | AB |2 ? | AC |2 ? 89 . 因为 | AB ? AC |2 ? | AB |2 ? | AC |2 ? 2 AB ? AC ? 129 , 所以 | AB ? AC | ? 129 . 【2012 北京市海淀区一模理】 (15) (本小题满分 13 分) 在 ?ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a, b, c ,且 A , B , C 成等差数列. (Ⅰ)若 b =

??? ?

??? ???? ?

??? ???? ?

??? ?

????

????10 分

??? ??? ? ?

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

????12 分 ????13 分

??? ???? ?

13 , a = 3 ,求 c 的值;

(Ⅱ)设 t ? sin Asin C ,求 t 的最大值. 【答案】解: (Ⅰ)因为 A, B, C 成等差数列, 所以 2B ? A ? C . 因为 A ? B ? C ? ? , 所以 B ?

? . 3

???????????????2 分

因为 b =
2

13 , a = 3 , b2 ? a 2 ? c2 ? 2ac cos B ,
???????????????5 分 ???????????????6 分

所以 c ? 3c ? 4 ? 0 . 所以 c ? 4 或 c ? ?1 (舍去). (Ⅱ)因为 A ? C ?

2 ?, 3

- 19 -

所以 t ? sin A sin(

2? ? A) 3

? sin A(

3 1 cos A ? sin A) 2 2

?

3 1 1 ? cos 2 A sin 2 A ? ( ) 4 2 2

?

1 1 ? ? sin(2 A ? ) . 4 2 6 2? , 3

???????????????10 分

因为 0 ? A ?

所以 ?

? ? 7? ? 2A ? ? . 6 6 6

所以当 2 A ?

? ? ? 3 ? ,即 A ? 时, t 有最大值 . 4 6 2 3

???????????????13 分 【2012 北京市房山区一模理】15. (本小题共 13 分) 已 知 ?ABC 的 三 个 内 角 A , B , C 所 对 的 边 分 别 是 a , b , c ,

tan A ? tan B ? 3 ? 3 tan A tan B , a ? 2, c ? 19 .
(Ⅰ)求 tan( A ? B) 的值; (Ⅱ)求 ?ABC 的面积.

【答案】解: (I)解? tan A ? tan B ? 3 ? 3 tan A tan B

? 3(1 ? tan A tan B)

? tan( A ? B) ?

tan A ? tan B ? 3 1 ? tan A tan B

????????5 分 ????????7 分

(II)由(I)知 A ? B ? 60? ,?C ? 120?

? c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC
∴ 19 ? 4 ? b 2 ? 2 ? 2 ? b? ? ∴b ? 3

? 1? ? ? 2?
????????10 分

- 20 -

∴ S ?ABC ?

1 1 3 ab sin C ? ? 2 ? 3 ? 2 2 2

?

3 3 2

????????13 分

2012 北京市高三一模数学理分类汇编 4:数列
【2012 北京市丰台区一模理】10.已知等比数列 {an } 的首项为 1,若 4a 1 , 2a2 , a3 ,成等差数 列,则数列 {

1 } 的前 5 项和为 an



【答案】

31 16

【2012 北京市房山区一模理】13.设 f (x) 是定义在 R 上不为零的函数,对任意 x, y ? R ,都 有 f ( x) ? f ( y) ? f ( x ? y) ,若 a1 ? 范围是 .

1 , a n ? f (n)( n ? N * ) ,则数列 {a n } 的前 n 项和的取值 2

【答案】 ? ,1? 【2012 北京市海淀区一模理】 (2)在等比数列 {an } 中, a1 = 8,a4 = a3a5 ,则 a7 = (A)

?1 ? ?2 ?

1 16

(B)

1 8

(C)

1 4

(D)

1 2

【答案】B 【2012 年北京市西城区高三一模理】7.设等比数列 {an } 的各项均为正数,公比为 q ,前 n 项 和为 S n .若对 ?n ? N ,有 S 2 n ? 3S n ,则 q 的取值范围是(
*



(A) (0,1] (B) (0, 2) (C) [1, 2) (D) (0, 2) 【答案】A 【解析】 q ? 1 ,S 2 n ? 2na1 ,3S n ? 3na1 , 若 所以恒有 S 2 n ? 3S n , 所以 q ? 1 , 成立。 q ? 1 , 当 由 S 2 n ? 3S n 得

a1 (1 ? q 2 n ) 3a1 (1 ? q n ) 2n n ? , 若 0 ? q ? 1 , 则 有 1 ? q ? 3(1 ? q ) , 即 1? q 1? q (q n ) 2 ? 3q n ? 2 ? 0 ,解得 0 ? q n ? 1 ,或 q n ? 2 (舍去) ,此时 0 ? q ? 1 。若 q ? 1 ,由

a1 (1 ? q 2 n ) 3a1 (1 ? q n ) 2n n n 2 n n ? , 1 ? q ? 3(1 ? q ) , (q ) ? 3q ? 2 ? 0 , 得 即 解得 1 ? q ? 2 , 1? q 1? q 显然当 q ? 2, n ? 2 时,条件不成立,综上,满足条件的 q 的取值范围是 0 ? q ? 1 ,答案选
A. 【2012 北京市门头沟区一模理】2.在等差数列 ? an ? 中, a1 ? 3 , a3 ? 2 ,则此数列的前 10

- 21 -

项之和 S10 等于 (A) 55.5 (C) 75 【答案】B (B) 7.5 (D) ?15

( 【2012 北京市朝阳区一模理】3.已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 S n ? 2an ?1 n ? N) ,则
a5 ?
A. ?16 B. 16 C. 31 D. 32 【答案】B 【2012 北京市东城区一模理】 (6)已知 x , y , z ?R ,若 ?1 , x , y , z , ?3 成等比数 列,则 xyz 的值为 (A) ?3 【答案】C 【2012 北京市石景山区一模理】 等差数列 ?a n ?前 9 项的和等于前 4 项的和. a4 ? ak ? 0 , 10. 若 则 k =________. 【答案】 10 【 解 析 】 法 1 : 有 题 意 知 S 9 ? S 4 , 即 a5 ? a6 ? a7 ? a8 ? a9 ? 0 , 所 以 a7 ? 0 , 又 (B) ?3 (C) ?3 3 (D) ?3 3

?

a 4 ? a k ? 0 ? 2a7 ,所以 4 ? k ? 14, k ? 10 。
法 2:利用方程组法求解。 【2012 北京市石景山区一模理】20. (本小题满分 13 分) 若数列 { An } 满足 An ?1 ? An
2



则称数列 { An } 为“平方递推数列” .已知数列 {a n } 中,

a1 ? 2 ,点( an , an?1 )在函数 f ( x) ? 2 x 2 ? 2 x 的图像上,其中 n 为正整数.
(Ⅰ)证明数列 {2a n ? 1} 是“平方递推数列” ,且数列 {lg(2a n ? 1)} 为等比数列; (Ⅱ)设(Ⅰ)中“平方递推数列”的前 n 项之积为 T n ,即

T n? (2a1 ? 1)( 2a2 ? 1)? 2a n ? 1) ,求数列 {a n } 的通项及 T n 关于 n 的表达式; (
(Ⅲ)记 bn ? log 2 an ?1 Tn ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n ,并求使 Sn ? 2012 的 n 的最小值.
2 2 2 【答案】解: (I)因为 an ?1 ? 2an ? 2an , 2an ?1 ? 1 ? 2(2an ? 2an ) ? 1 ? (2an ? 1)

- 22 -

所以数列 {2a n ? 1} 是“平方递推数列” . 由以上结论 lg(2an ?1 ? 1) ? lg(2an ? 1) ? 2lg(2an ? 1)
2

--------2 分

, --------3 分

所以数列 {lg(2a n ? 1)} 为首项是 lg5 公比为 2 的等比数列. (II) lg(2an ? 1) ? [lg(2a1 ? 1)] ? 2
n ?1

? 2n ?1 lg 5 ? lg 52

n?1

, --------5 分

n?1 1 n?1 2an ? 1 ? 52 , an ? (52 ? 1) . 2

l gTn ? l g a12 ( ?

?1 ) ? ?

ang ( 2 ? l ?

n

1) ?

(2



1) l g 5
--------7 分

Tn ? 52
(III) bn ?

n

?1

.

lg Tn (2n ? 1) lg 5 1 ? ? 2 ? n ?1 n ?1 lg(2an ? 1) 2 lg 5 2

S n ? 2n ? 2 ?
2n ? 2 ? n?

1 . 2n ?1

--------10 分

1 ?2012 2n ?1

1 ? 1007 2n
. --------13 分

nm i n? 1007

【2012 北京市东城区一模理】 (20) (本小题共 14 分) 若 对 于 正 整 数 k , g ( k ) 表 示 k 的 最 大 奇 数 因 数 , 例 如 g (3) ? 3 , g (10) ? 5 . 设

Sn ? g (1) ? g (2) ? g (3) ? g (4) ? ? ? g (2n ) .
(Ⅰ)求 g (6) , g (20) 的值; (Ⅱ)求 S1 , S 2 , S 3 的值; (Ⅲ)求数列 ? S n ? 的通项公式. 【答案】解: (Ⅰ) g (6) ? 3 , g (20) ? 5 . ????2 分 (Ⅱ) S1 ? g (1) ? g (2) ? 1 ? 1 ? 2 ;

S2 ? g (1) ? g (2) ? g (3) ? g (4) ? 1 ? 1 ? 3 ? 1 ? 6 ;

- 23 -

S3 ? g (1) ? g (2) ? g (3) ? g (4) ? g (5) ? g (6) ? g (7) ? g (8) ? 1 ? 1 ? 3 ? 1 ? 5 ? 3 ? 7 ? 1 ? 22
. ????6 分 (Ⅲ)由(Ⅰ) (Ⅱ)不难发现对 m ?N? , 8分 所以当 n ? 2 时, Sn ? g (1) ? g (2) ? g (3) ? g (4) ? ? ? g (2n ? 1) ? g (2 n ) 有 g (2m) ? g (m) . ????

? [ g (1) ? g (3) ? g (5) ? ? ? g (2n ? 1)] ? [ g (2) ? g (4) ? ? ? g (2n )] ? [1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1)] ? [ g (2 ?1) ? g (2 ? 2) ? ? ? g (2 ? 2n?1 )]

?

(1 ? 2n ? 1) ? 2n ?1 ? [ g (1) ? g (2) ? ? ? g (2n ?1 )] 2

? 4n ?1 ? Sn ?1
于是 Sn ? Sn ?1 ? 4n ?1 , n ? 2 , n ? N .
?

????11 分

所以 Sn ? ( Sn ? Sn ?1 ) ? ( Sn ?1 ? Sn ? 2 ) ? ? ? ( S2 ? S1 ) ? S1

? 4n?1 ? 4n?2 ? ? ? 42 ? 4 ? 2
?
13 分 又 S1 ? 2 ,满足上式, 所以对 n ?N? , Sn ?

4(1 ? 4n ?1 ) 4n 2 ? 2 ? ? , n ? 2 , n ? N? . 1? 4 3 3

????

1 n (4 ? 2) . 3

????14 分

【2012 北京市门头沟区一模理】20. (本小题满分 13 分)
2 an 1 (n ? 1, 2,?) . 数列 ?a n ?满足 a1 ? , an ?1 ? 2 3 an ? an ? 1

(Ⅰ)求 a2 , a3 ; (Ⅱ) 求证: a1 ? a 2 ? ? ? a n ?

a 1 ? n ?1 ; 2 1 ? an ?1

(Ⅲ)求证:

1 1 1 1 ? 2n ?1 ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ? ? 2n . 2 3 2 3
- 24 -

【答案】 (Ⅰ)解: a2 ? (Ⅱ)证明:由 a n ?1 ?

1 1 , a3 ? ???????2 分 7 43
1 a n ?1 ? 1 1 ? ?1, 2 an an
(1)

2 an 知 2 an ? an ? 1

1 a n ?1
所以

?1 ?

1 1 ( ? 1) . an an

an ?1 a2 a ? n ? n ? an , 1 ? an ?1 1 ? an 1 ? an
an ? an a ? n ?1 . 1 ? an 1 ? an ?1
???????5 分



从而

a1 ? a2 ? ? ? an

?

a a a a1 a a ? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n ?1 1 ? a1 1 ? a 2 1 ? a 2 1 ? a3 1 ? a n 1 ? a n ?1 a a a1 1 ? n ?1 ? ? n ?1 . 1 ? a1 1 ? a n ?1 2 1 ? a n ?1
1 1 1 1 ? 2n ?1 ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ? ? 2n 等价于 2 3 2 3
???????7 分

?

(Ⅲ) 证明

证明

a 1 1 1 1 1 ? 2n ?1 ? ? n ?1 ? ? 2n , 2 3 2 1 ? a n ?1 2 3 32
n ?1

即 8分 当 n ? 1时 ,

?

n 1 ? a n ?1 ? 32 . a n ?1

(2)

???????

1?1 1 1 ? a2 ? 6 , 32 ? 6 ? 32 , a2

即 n ? 1 时, (2)成立. 设 n ? k (k ? 1) 时, (2)成立,即 3 当 n ? k ? 1时,由(1)知
k 1 ? ak ?2 1 ? a k ?1 2 1 1 ? a k ?1 ? ( )?( ) ? 32 ; ak ?2 a k ?1 a k ?1 a k ?1

2 k ?1

?

k 1 ? a k ?1 ? 32 . a k ?1

???????11 分

- 25 -

又由(1)及 a1 ?

1 ? an 1 (n ? 1) 均为整数, 知 an 3

从而由

k k k 1 ? a k ?1 1 ? a k ?1 1 ? 32 有 ? 32 ? 1 即 ? 32 , a k ?1 a k ?1 a k ?1

所以

k k k ?1 1 ? ak ?2 1 1 ? a k ?1 ? ? ? 32 ? 32 ? 32 , ak ?2 a k ?1 a k ?1

即(2)对 n ? k ? 1也成立. 所以(2)对 n ? 1的正整数都成立, 即

1 1 1 1 ? 2n ?1 ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ? ? 2n 对 n ? 1 的正整数都成立. 2 3 2 3

???13 分

【2012 北京市房山区一模理】20. (本小题共 13 分) 在直角坐标平面上有一点列 P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y 2 ) ?, Pn ( xn , y n ) ? , 对一切正整数 n , 点 1

Pn 位于函数 y ? 3x ?

13 5 的图象上,且 Pn 的横坐标构成以 ? 为首项,? 1为公差的等差数列 4 2

?x n ?.
(I)求点 Pn 的坐标; (II) 设抛物线列 c1 , c 2 , c3 ,?, c n ,? ,中的每一条的对称轴都垂直于 x 轴, n 条抛物线 c n 第 的顶点为 Pn ,且过点 Dn (0, n ? 1) ,记与抛物线 c n 相切于 Dn 的直线的斜率为 k n ,求:
2

1 1 1 ? ??? ; k1 k 2 k 2 k 3 k n ?1 k n

an ? S ? T ,其中 a1 是 S ? T 中的最大数, ? 265 ? a10 ? ?125 ,求 ?a n ?的通项公式. 5 3 【答案】 (I)x n ? ? ? (n ? 1) ? (?1) ? ?n ? 解: ?????????? 2 2
2分

(III)设 S ? x | x ? 2 x n , n ? N , T ? y | y ? 4 y n , n ? N
*

?

?

?

*

?,等差数列 ?a ? 的任一项
n

? yn ? 3 ? xn ?

13 5 3 5 ??????????3 分 ? ?3n ? ,? Pn (?n ? , ?3n ? ) 4 4 2 4 (II)? c n 的对称轴垂直于 x 轴,且顶点为 Pn .?设 c n 的方程为: 2n ? 3 2 12 n ? 5 ??????????5 分 y ? a( x ? ) ? , 2 4 2 把 Dn (0, n ? 1) 代入上式,得 a ? 1 ,
??????????7 分

? c n 的方程为: y ? x 2 ? (2n ? 3) x ? n 2 ? 1 . y ? ? 2 x ? 2n ? 3 当 x ? 0 时, k n ? 2n ? 3

- 26 -

1 1 1 1 ? ( ? ) k n ?1 k n (2n ? 1)( 2n ? 3) 2 2n ? 1 2n ? 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? [( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] k1 k 2 k 2 k 3 k n ?1 k n 2 5 7 7 9 2n ? 1 2n ? 3 1 1 1 1 1 = ( ? ??????????9 分 )? ? 2 5 2n ? 3 10 4n ? 6 (III) S ? {x | x ? ?(2n ? 3), n ? N , n ? 1} , T ? { y | y ? ?(12n ? 5), n ? N , n ? 1} ? { y | y ? ?2(6n ? 1) ? 3, n ? N , n ? 1} ??????????10 分 ? S ? T ? T , T 中最大数 a1 ? ?17 . 设 {a n } 公差为 d ,则 a10 ? ?17 ? 9d ? (?265,?125 ) ,由此得 ? ?

1

248 ? d ? ?12, 又 ? a n ? T ? d ? ?12 m(m ? N * ), 9 ? d ? ?24,? a n ? 7 ? 24 n(n ? N * ). ?

?????????11 分 ?????????13 分

2012 北京市高三一模数学理分类汇编 5:立体几何
【2012 北京市丰台区一模理】5.若正四棱锥的正视图和侧视图如右图所示,则该几何体的表

面积是( A.4 B. 4 ? 4 10 C.8 D. 4 ? 4 11



【答案】B 【2012 北京市房山区一模理】10. 一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为

.

- 27 -

【答案】

2 3

【2012 北京市海淀区一模理】 (8)在正方体 ABCD - A ' B ' C ' D ' 中,若点 P (异于点 B )是
A B C D

A' B' C'

D'

棱上一点,则满足 BP 与 AC ' 所成的角为 45° 的点 P 的个数为 (A)0 (C)4 【答案】B 【2012 北京市海淀区一模理】(16)(本小题满分 14 分) 在四棱锥 P - ABCD 中, AB // CD , AB ^ AD , AB = 4, AD = 2 2, CD = 2 , (B)3 (D)6

PA ^ 平面 ABCD , PA = 4 .
P

A C

D

(Ⅰ)设平面 PAB ? 平面 PCD ? m ,求证: CD // m ; (Ⅱ)求证: BD ? 平面 PAC ;

B

- 28 -

(Ⅲ)设点 Q 为线段 PB 上一点,且直线 QC 与平面 PAC 所成角的正弦值为

3 PQ ,求 的 3 PB

值. 【答案】 (Ⅰ)证明: 因为 AB // CD , CD ? 平面 PAB , AB ? 平面 PAB , 所以 CD //平面 PAB . ???????????????2 分

因为 CD ? 平面 PCD ,平面 PAB ? 平面 PCD ? m , 所以 CD // m . ???????????????4 分

(Ⅱ)证明:因为 AP ^ 平面 ABCD , AB ^ AD ,所以以 A 为坐标原点, AB, AD, AP 所 在的直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系, 则 B(4, 0, 0) , P(0, 0, 4) , D(0, 2 2, 0) , C (2, 2 2, 0) . ???????????????5 分

??? ? ???? 所以 BD ? (?4, 2 2, 0) , AC ? (2, 2 2, 0) ,
??? ? AP ? (0, 0, 4) ,
所以 BD ? AC ? (?4) ? 2 ? 2 2 ? 2 2 ? 0 ? 0 ? 0 ,
z P

??? ???? ?

??? ??? ? ? BD ? AP ? (?4) ? 0 ? 2 2 ? 0 ? 0 ? 4 ? 0 .
所以 BD ? AC , BD ? AP . 因为 AP ? AC ? A , AC ? 平面 PAC ,
A C B x D y

PA ? 平面 PAC , 所以 BD ? 平面 PAC .
(Ⅲ)解:设

???????????????9 分

PQ = ? (其中 0 #? PB ??? ? ??? ? 所以 PQ = ? PB .

1 ) Qxyz ) , (, ,

,直线 QC 与平面 PAC 所成角为 ? .

所以 ( x, y, z - 4) = ? (4,0, - 4) .

ì x = 4? , ? ? ? 所以 í y = 0, 即 Q(4? ,0, - 4? + 4) . ? ? z = - 4? + 4, ? ? ? ??? ? 所以 CQ = (4? - 2, - 2 2, - 4? + 4) . ???????????????11 分
由(Ⅱ)知平面 PAC 的一个法向量为 BD ? (?4, 2 2, 0) . ???????????????12 分

??? ?

- 29 -

??? ??? ? ? ??? ??? ? ? CQ ×BD 因为 sin ? = cos < CQ, BD > = ??? ??? , ? ? CQ ×BD

所以

3 ?4(4? ? 2) ? 8 . ? 3 2 6 ? (4? ? 2) 2 ? 8 ? (?4? ? 4) 2

7 ? [0,1] . 12 PQ 7 所以 . = PB 12
解得 ? ?

???????????????14 分

【2012 年北京市西城区高三一模理】4.已知正六棱柱的底面边长和侧棱长相等,体积为

12 3 cm3 .其三视图中的俯视图如图所示,则其左视图的面积是(
(A) 4 3 cm (B) 2 3 cm (C) 8cm (D) 4 cm 【答案】A
2 2
2 2



【解析】正六棱柱的左视图是一个以 AB 长为宽,高为 2 的矩形, AB ? 2 3

所以左视图的面积为 2 3 ? 2 ? 4 3 ,选 A. 【2012 北京市门头沟区一模理】3.己知某几何体的三视图如右图所示,则其体积为

- 30 -

(A)8 【答案】B

(B) 4

(C)

4 3

(D) 2 3

AA 【2012 北京市门头沟区一模理】 正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 的底面边长为 2 2 , 1 ? 2 , 8.
点 M 是 BC 的中点,P 是平面 A1 BCD1 内的一个动点, 且满足 PM ? 2 ,P 到 A1 D1 和 AD 的距离相等,则点 P 的轨迹的长度为 (A) ? 【答案】D 【2012 北京市朝阳区一模理】 已知平面 ? , 4. 直线 a, b, l , a ? ? , b ? ? ,“ l ? a 且 l ? b ” 且 则 是“ l ? ? ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【2012 北京市朝阳区一模理】10. 已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积 为 . (B) ?

2 3

(C) 2 2

(D) 2

【答案】

3 2

4【2012 北京市石景山区一模理】设 m, n 是两条不同的直线, ? , ? , ? 是三个不同的平面,下 列命题正确的是( ) B. 若? ? ? , ? ? ? , 则? // ? D. 若m ? ? , n // ? , 则m ? n

A. 若m // n, m // ? , 则n // ? C. 若m // ? , n // ? , 则m // n 【答案】D

【解析】根据线面垂直的性质可知选项 D 正确。

- 31 -

【2012 北京市石景山区一模理】7.某几何体的三视图如图所示,则它的体积是(



、 A. 8 ?

4 3 4 2 2 3 32 B. 8 ? C. 8 ? D. 3 3 3 3

【答案】A 【解析】由三视图可知,该组合体下面是边长为 2 的正方体,上面是底边边长为 2,侧高为 2 的四棱锥。四棱锥的高为 3 ,四棱锥的体积为

1 2 3 ? 2? 3 ? ,所以组合体的体积 3 3

为8 ?

2 3 ,答案选 A. 3

【2012 北京市石景山区一模理】8.如图,已知平面 ? ? ? ? l , A 、 B 是 l 上的两个 点, C 、 D 在平面 ? 内,且 DA ? ? , CB ? ? ,

?

P A B C

AD ? 4 , AB ? 6, BC ? 8 ,在平面 ? 上有一个
动点 P ,使得 ?APD ? ?BPC ,则 P ? ABCD 体积 的最大值是( A. 24 3 【答案】C 【2012 北京市石景山区一模理】17 . (本小题满分 14 分) ) B. 16 C. 48

?

D

D. 144

如图,三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AA1 ⊥面 ABC , BC ? AC, BC ? AC ? 2 ,

AA1 ? 3 , D 为 AC 的中点.
(Ⅰ)求证: AB1 // 面BDC1 ;

B1

B

C
- 32 -

C1 D A1 A

(Ⅱ)求二面角 C1 ? BD ? C 的余弦值; (Ⅲ)在侧棱 AA1 上是否存在点 P ,使得

CP ? 面BDC1 ?请证明你的结论.
【答案】 (I)证明:连接 B1C,与 BC1 相交于 O,连接 OD. ∵BCC1B1 是矩形,∴O 是 B1C 的中点. 又 D 是 AC 的中点,∴OD//AB1. ∵AB1 ? 面 BDC1,OD ? 面 BDC1,∴AB1// 面 BDC1. ????4 分
B1

…………1 分

z

B

(II)解:如图,建立空间直角坐标系, 则 C1(0,0,0) ,B(0,3,2) , C(0,3,0) ,A(2,3,0) , D(1,3,0) ,
A1 C1 D C

y
A

x
???? ???? ? C1 B ? (0,3, 2) , C1D ? (1,3, 0) ,
设 n ? ( x1 , y1 , z1 ) 是面 BDC1 的一个法向量,则

????5 分

?

? ???? ?n ? 1B ? 0, ?3 y ? 2 z ? 0, ? C 1 1 1 1 ? ? ? ? ???? 即? ,取 n ? (1, ? , ) . n ? 1D ? 0 ? x1 ? 3 y1 ? 0 C ? ? 3 2 ???? ? 易知 C1C ? (0,3, 0) 是面 ABC 的一个法向量. ? ? ???? ? n ? 1C C 2 ? ???? cos n, C1C ? ? ???? ? ? . ? 7 n ? C1C

????7 分 ????8 分

2
∴二面角 C1—BD—C 的余弦值为 7 . (III)假设侧棱 AA1 上存在一点 P 使得 CP⊥面 BDC1. 设 P(2,y,0) (0≤y≤3) ,则 CP ? (2, y ? 3, 0) , ????9 分

??? ?

????10 分

??? ???? ? ?CP? 1 B ? 0, C ? ? 3( y ? 3) ? 0, ? ? 则 ? ??? ???? ,即 ? . C ? CP? 1 D ? 0 ?2 ? 3( y ? 3) ? 0 ?

????12 分

- 33 -

? y ? 3, ? 7 ? 解之 ? y ? ∴方程组无解. 3 ?
∴侧棱 AA1 上不存在点 P,使 CP⊥面 BDC1. 【2012 北京市门头沟区一模理】16. (本小题满分 14 分)

????13 分 ????14 分

如图,在多面体 ABCD ? EF 中,四边形 ABCD 为正方形, EF / / AB , EF ? EA ,

AB ? 2EF , ?AED ? 900 , AE ? ED , H 为 AD 的中点.
(Ⅰ)求证: EH / / 平面 FAC ; (Ⅱ)求证: EH ? 平面 ABCD ; (Ⅲ)求二面角 A ? FC ? B 的大小. D H 【答案】 (Ⅰ)证明: AC ? BD ? O ,连结 HO , FO 因为 ABCD 为正方形,所以 O 是 AC 中点, 又 H 是 AD 中点, 所以 OH / / CD , OH ? A B C E F

E

F

1 CD , 2

D

C

EF / / AB , EF ?

1 AB , 2
H A O B

所以 EF / / OH 且 EF ? OH , 所以四边形 EHOF 为平行四边形, 所以 EH / / FO , 又因为 FO ? 平面 FAC , EH ? 平面 FAC . 所以 EH / / 平面 FAC .???????????4 分 (Ⅱ)证明:因为 AE ? ED , H 是 AD 的中点, 所以 EH ? AD ???????????6 分 又因为 AB / / EF , EF ? EA ,所以 AB ? EA 又因为 AB ? AD 因为 EH ? 平面 AED , 所以 AB ? 平面 AED ,

z E F

D

C

- 34 -

H A

O B y

x

所以 AB ? EH ,???????????8 分 所以 EH ? 平面 ABCD .?????????9 分 (Ⅲ) AC , BD , OF 两两垂直,建立如图所示的坐标系,设 EF ? 1 , 则 AB ? 2 ,

B(0, 2, 0) , C (? 2, 0, 0) , F (0, 0,1) ?????10 分
设平面 BCF 的法向量为 n1 ? ( x, y, z ) , BC ? (? 2, ? 2, 0), CF ? ( 2, 0,1) ,

??

??? ?

??? ?

?? ??? ? ??? ??? ? n1 ? BC ? 0, n1 ? CF ? 0
所以 n1 ? (?1,1, 2) 平面 AFC 的法向量为 n2 ? (0,1, 0)

??

???????????11 分

?? ?

???????????12 分 ???????????13 分

?? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n2 1 cos ? n1 , n2 ?? ?? ?? ? . ? n1 ? n2 2
二面角 A ? FC ? B 为锐角,所以二面角 A ? FC ? B 等于

? .???????????14 分 3

【2012 北京市朝阳区一模理】17. (本小题满分 14 分) 在如图所示的几何体中, 四边形 ABCD 为平行四边形, ABD = 90? , EB ? 平面 ABCD , ?

EF//AB , AB = 2 , EB = 3, EF = 1 , BC = 13 ,且 M 是 BD 的中点.
(Ⅰ)求证: EM// 平面 ADF ; (Ⅱ)求二面角 D-AF-B 的大小; (Ⅲ)在线段 EB 上是否存在一点 P , 使得 CP 与 AF 所成的角为 30? ? 若存在,求出 BP 的长度;若不 存在,请说明理由. A 【答案】证明: (Ⅰ)取 AD 的中点 N ,连接 MN,NF . 在△ DAB 中, M 是 BD 的中点, N 是 AD 的中点,所以 MN//AB,MN = F E

D M B

C

1 AB , 2 所以 MN//EF 且 MN = EF . 所以四边形 MNFE 为平行四边形, 所以 EM//FN .
又因为 EF//AB,EF = 又因为 FN ? 平面 ADF , EM ? 平面 ADF , A

F

E

1 AB , 2

D N B M

C

故 EM// 平面 ADF . ????? 4 分 解法二:因为 EB ? 平面 ABD , AB ? BD ,故以 B 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系

- 35 -

?????1 分 B - xyz . 由已知可得 B(0,0,0), A(0,2,0), D(3,0,0),

3 C (3,-2,0), E (0,0, 3), F (0,1, 3), M ( ,0,0) 2 ???? 3 ??? ? ??? ? F (Ⅰ) EM = ( ,0,- 3) ,AD = (3,-2,0) , AF = ( 0 , - 1 , . 3 ) 2 设平面 ADF 的一个法向量是 n ? ( x, y,z) . ??? ? ? n ? AD ? 0, ? 3 x - 2 y = 0, ? ? 由 ? ??? 得? ? ? n ? AF ? 0, ? -y + 3z = 0. ? ?
y 令 y = 3 ,则 n ? (2,3, 3) . A

z E ?????2 分 x D M B ?????3 分 C

又因为 EM ? n ? ( ,0,- 3) ? (2,3, 3) = 3 + 0 - 3 = 0 ,

????

3 2

???? 所以 EM ? n ,又 EM ? 平面 ADF ,所以 EM// 平面 ADF .
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知平面 ADF 的一个法向量是 n ? (2,3, 3) . 因为 EB ? 平面 ABD ,所以 EB ? BD . 又因为 AB ? BD ,所以 BD ? 平面 EBAF . ??? ? 故 BD ? (3,0,0) 是平面 EBAF 的一个法向量.

?????4 分

??? ? ??? ? BD ? n 1 = ,又二面角 D - AF - B 为锐角, 所以 cos < BD,n ?? ??? ? BD ? n 2
故二面角 D - AF - B 的大小为 60? . ?????10 分 (Ⅲ)假设在线段 EB 上存在一点 P ,使得 CP 与 AF 所成的角为 30? . ??? ? ??? ? 不妨设 P(0,0, t) ( 0 ? t ? 3 ) ,则 PC = (3,-2,-t ), AF = (0,-1, 3) .

??? ??? ? ? PC ? AF 2 - 3t ??? ??? ? ? 所以 cos < PC,AF ?? ??? ??? ? , ? ? PC ? AF 2 t 2 +13
由题意得

2 - 3t 2 t +13
2

?

3, 2

化简得 ?4 3t ? 35 ,

?0. 4 3 所以在线段 EB 上不存在点 P ,使得 CP 与 AF 所成的角为 30? .????14 分
【2012 北京市东城区一模理】 (17) (本小题共 13 分) 如图 1,在边长为 3 的正三角形 ABC 中, E , F , P 分别为 AB , AC , BC 上的点,

解得 t ? ?

35

- 36 -

且满足 AE ? FC ? CP ? 1 .将△ AEF 沿 EF 折起到△ A1 EF 的位置,使二面角 A1 ? EF ? B 成直二面角,连结 A1 B , A1 P .(如图 2) (Ⅰ)求证: A1 E ⊥平面 BEP ; (Ⅱ)求直线 A1 E 与平面 A1 BP 所成角的大小.
A

E

A1

F

E F

B

P

C

B

P

C

图1 【答案】 (Ⅰ)证明:取 BE 中点 D ,连结 DF . 因为 AE ? CF ? 1 , DE ? 1 ,

图2

所以 AF ? AD ? 2 ,而 ?A ? 60? ,即△ ADF 是正三角形. 又因为 AE ? ED ? 1, 所以 EF ? AD . ????2 分

所以在图 2 中有 A1 E ? EF , BE ? EF .????3 分 所以 ?A 1 EB 为二面角 A 1? EF ? B 的平面角. 又二面角 A 1? EF ? B 为直二面角, 所以 A1E ? BE . 又因为 BE ? EF ? E , 所以 A1 E ⊥平面 BEF ,即 A1 E ⊥平面 BEP . ????6 分 ????5 分 图1

(Ⅱ)解:由(Ⅰ)可知 A1 E ⊥平面 BEP , BE ? EF ,如图,以 E 为原点, 间 直 角 坐 标 系 E ? x y z 则 E (0 , 0 , 0) , A1 (0 , 0 , 1) , B(2 , 0 , 0) , ,

z A1

建立空

F (0, 3 , 0) .
在图1中,连结 DP .
x B

E F P C y

- 37 -

因为

CF CP 1 ? ? , FA PB 2 1 BE ? DE . 2

所以 PF ∥ BE ,且 PF ?

所以四边形 EFPD 为平行四边形. 所以 EF ∥ DP ,且 EF ? DP . 故点 P 的坐标为(1, 3 ,0). 图2

所以 A 1 B ? (2 , 0 , ? 1) , BP ? (?1, 3, 0) , EA1 ? (0 , 0 , 1) .????8 分

???? ?

??? ?

???? ?

???? ? ? A1B ? n ? 0, ? 不妨设平面 A1 BP 的法向量 n ? ( x, y, z ) ,则 ? ??? ? ? BP ? n ? 0. ?
?2 x ? z ? 0, ? 令 y ? 3 ,得 n ? (3 , 3 , 6) . ????10 分 ? x ? 3 y ? 0. ? ???? ? ???? n ? EA 1 6 3 ????? ? ? ? 所以 cos? n, EA1 ? ? . ????12 分 2 | n || EA 1 | 1? 4 3
即? 故直线 A1 E 与平面 A1 BP 所成角的大小为

? . 3

????13 分

【2012 年北京市西城区高三一模理】17. (本小题满分 14 分) 如图,四边形 ABCD 与 BDEF 均为菱形, ?DAB ? ?DBF ? 60? ,且 FA ? FC . (Ⅰ)求证: AC ? 平面 BDEF ;
E

(Ⅱ)求证: FC ∥平面 EAD ; (Ⅲ)求二面角 A ? FC ? B 的余弦值.
D

F

C

【答案】 (Ⅰ)证明:设 AC 与 BD 相交于点 O ,连结

A

B

FO .
因为 四边形 ABCD 为菱形,所以 AC ? BD , 且 O 为 AC 中点. ??????1 分

又 FA ? FC ,所以 AC ? FO . ???3 分 因为 FO ? BD ? O , 所以 AC ? 平面 BDEF . ??????4 分 (Ⅱ)证明:因为四边形 ABCD 与 BDEF 均为菱形, 所以 AD // BC , DE // BF , 所以 平面 FBC //平面 EAD .
- 38 -

????7 分

又 FC ? 平面 FBC , 所以 FC // 平面 EAD . ???8 分

(Ⅲ)解:因为四边形 BDEF 为菱形,且 ?DBF ? 60? ,所以△ DBF 为等边三角形. 因为 O 为 BD 中点,所以 FO ? BD ,故 FO ? 平面 ABCD . 由 OA, OB, OF 两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系 O ? xyz . ???9 分 设 AB ? 2 .因为四边形 ABCD 为菱形, ?DAB ? 60? ,则 BD ? 2 ,所以 OB ? 1 ,

OA ? OF ? 3 .
所以 O(0,0,0), A( 3,0,0), B(0,1,0), C (? 3,0,0), F (0,0, 3 ) . 所以 CF ? ( 3, 0, 3) , CB ? ( 3,1, 0) .

??? ?

??? ?

??? ? ?n ? CF ? 0, ? 设平面 BFC 的法向量为 n = ( x, y,z ) ,则有 ? ??? ? ? n ? CB ? 0. ?
所以 ?

? 3 x ? 3 z ? 0, ? 3 x ? y ? 0.

取 x ? 1 ,得 n ? (1,? 3 ,?1) .

????12 分

易知平面 AFC 的法向量为 v ? (0,1, 0) . 由二面角 A ? FC ? B 是锐角,得 cos? n, v ? ?

?????13 分

n?v n v

?

15 . 5
???14 分

所以二面角 A ? FC ? B 的余弦值为

15 . 5

【2012 北京市房山区一模理】17.(本小题共 14 分)

A B 1中 在 直 三 棱 柱 A B C? 1 1 C , B C ? C C? 1

A B , AB ? BC . 点 M , N 分 别 是 =2

CC1 , B1C 的中点, G 是棱 AB 上的动点.
(I)求证: B1C ? 平面 BNG ; (II)若 CG //平面 AB1 M ,试确定 G 点的位置,并给出证明; (III)求二面角 M ? AB1 ? B 的余弦值. 【答案】(I) 证明:∵在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, BC ? CC1 ,点 N 是 B1C 的中点, ∴ BN ? B1C ??????????1 分

- 39 -

AB ? BC , AB ? BB1 , BB1 ? BC ? B
∴ AB ⊥平面 B1 BCC1 ?????????2 分

B1C ? 平面 B1 BCC1
∴ B1C ? AB ,即 B1C ? GB ???????3 分 又 BN ? BG ? B ∴ B1C ? 平面 BNG ?????????????4 分

(II)当 G 是棱 AB 的中点时, CG //平面 AB1 M .???????????5 分 证明如下: 连结 AB1 ,取 AB1 的中点 H,连接 HG, HM , GC , 则 HG 为 ?AB1 B 的中位线 ∴ GH ∥ BB1 , GH ?

1 BB1 ???????6 分 2

∵由已知条件, B1 BCC1 为正方形 ∴ CC1 ∥ BB1 , CC1 ? BB1 ∵ M 为 CC1 的中点,

1 CC1 2 ∴ MC ∥ GH ,且 MC ? GH ∴四边形 HGCM 为平行四边形 ∴ GC ∥ HM
∴ CM ? 又 ∵ GC ? 平面AB1 M , HM ? 平面AB1 M ∴ CG //平面 AB1 M

????????7 分

????????8 分 ????????9 分

(III) ∵ 直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 且 AB ? BC 依题意,如图:以 B1 为原点建立空间直角坐标系 B1 ? xyz ,????????10分

? B1 (0, 0, 0) , B(0, 2, 0) , M (2,1,0) , A(0, 2, 2) , C1 (2, 0, 0)
则 B1 A ? (0, 2, 2) , B1 M ? ( 2,1,0)

????

- 40 -

设平面 B1 AM 的法向量 n ? ( x, y, z ) ,

?

? ???? ? n ? B1 A ? 0 ?2 y ? 2 z ? 0 ? 则 ? ? ????? ,即 ? , ? 2x ? y ? 0 ?n ? B1M ? 0 ?
令 x ? 1,有 n ? (1,?2,2) 又? 平面 B1 AB 的法向量为 B1C1 ? (2, 0, 0) , ????????12分

?????

???? ? ? ????? ? B1C1 ? n 1 ? cos ? B1C1 , n ? = ???? ? = , ? B1C1 ? n 3
设二面角 M ? AB1 ? B 的平面角为 ? ,且 ? 为锐角

????????13 分

???? ? 1 ? ? cos ? ? ? cos B1C1 , n ? . 3

????????14 分

2012 北京市高三一模数学理分类汇编 6:直线与圆、不等式、平 面向量

不等式部分
? y ? 0, ? 【2012 北京市丰台区一模理】2.若变量 x,y 满足条件 ? x ? 2 y ? 1, 则 z ? 3x ? 5 y 的取值范 ? x ? 4 y ? 3, ?
围是 A. ?3, ?? ? 【答案】D B. [?8,3] ( ) D. [?8,9] C. ? ??,9?

? x 2 ? 2 x ? 1, x ? 0 ? 【2012 北京市房山区一模理】6.已知函数 f ( x ) ? ? 2 ,则对任意 x1 , x2 ? R , ? x ? 2 x ? 1, x ? 0 ? 若 0 ? x1 ? x2 ,下列不等式成立的是( )
(A) f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 (C) f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 (B) f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 (D) f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0

【答案】D

? x ? y ? 0, ? 【2012 年北京市西城区高三一模理】3.若实数 x , y 满足条件 ? x ? y ? 3 ? 0, 则 2x ? y 的最 ?0 ? x ? 3, ?
- 41 -

大值为(



(A) 9 (B) 3 (C) 0 (D) ?3 【答案】A

【解析】令 z ? 2 x ? y ,即 y ? 2 x ? z ,做出可行域 ,由图象可 知当直线过点 A 时直线截距最大,z 最小,经过点 B 时,截距最小,z 最大。由题意知 A(0,3), B (3, 3) ,所以最大值为 2 ? 3 - (?3) ? 9 ,选 A. ?
?y ? 0 ? 【2012 北京市门头沟区一模理】13.在平面上有两个区域 M 和 N ,其中 M 满足 ? x ? y ? 0 ?x ? y ? 2 ?



N 由 t ≤ x ≤t ?1

确定,当 t ? 0 时, M 和 N 公共部分的面积是 .

;当 0 ? t ? 1

时, M 和 N 的公共部分面积的最大值为 【答案】

【 2012 北 京 市 朝 阳 区 一 模 理 】 8. 已 知 点 集 A ? ?( x, y ) x ? y ? 4 x ? 8 y ? 16 ? 0? ,
2 2

1 3 , 2 4

B ? ( x, y ) y ? x ? m ? 4, m是常数 ,点集 A 所表示的平面区域与点集 B 所表示的平面
区域的边界的交点为 M , N .若点 D(m, 4) 在点集 A 所表示的平面区域内 (不在边界上) 则 , △ DMN 的面积的最大值是 A. 1 【答案】B B. 2 C. 2 2 D. 4

?

?

? y ? x ? 1, ? 【2012 北京市东城区一模理】 (3)若实数 x , y 满足不等式组 ? y ? x ? 2, 则 z ? x ? 2 y 的最 ? y ? 0, ?
小值为
(A) ?

7 2

(B) ?2

(C)1

(D)

5 2

【答案】A

【2012 北京市房山区一模理】7.直线 y ? kx ? 3 与圆 ?x ? 1? ? ? y ? 2? ? 4 相交于 M , N 两
2 2

- 42 -

点,若 MN ? 2 3 ,则 k 的取值范围是( (A) (??, ?

) (C) (??,

12 ) 5

(B) (??, ?

12 ] 5

12 ) 5

(D) (??,

12 ] 5

【答案】B 【2012 年北京市西城区高三一模理】14. 在直角坐标系 xOy 中,动点 A , B 分别在射线

y?

3 x ( x ? 0) 和 y ? ? 3x ( x ? 0) 上运动,且△ OAB 的面积为 1 .则点 A , B 的横坐标 3

之积为_____;△ OAB 周长的最小值是_____.

【答案】

3 , 2(1 ? 2) 2

【 解 析 】 设 A,B 的 坐 标 分 别 为 A( x1 ,

3 x1 ), B( x 2 ,? 3 x 2 ), ( x1 ? 0, x 2 ? 0) , 则 3

OA ?

2 3

x1 , OB ? 2 x 2 , 由 题 意 知 OA ? OB , 所 以 三 角 形 的 面 积 为

3 1 1 2 2 。 OA ? OB ? ? x1 ? 2 x2 ? x1 x 2 ? 1 ,所以 x1 x 2 ? 2 2 2 3 3
【2012 北京市朝阳区一模理】14.已知△ ABC 中, ?C ? 90?, AC ? 3, BC ? 4 .一个圆心为

1 半径为 的圆在△ ABC 内, 沿着△ ABC 的边滚动一周回到原位. 在滚动过程中, M 圆 M, 4 至少与△ ABC 的一边相切,则点 M 到△ ABC 顶点的最短距离是 ,点 M 的运
动轨迹的周长是 【答案】 .

2 ,9 4

直线与圆部分,
【2012 北京市房山区一模理】7.直线 y ? kx ? 3 与圆 ?x ? 1? ? ? y ? 2? ? 4 相交于 M , N 两
2 2

点,若 MN ? 2 3 ,则 k 的取值范围是( (A) (??, ?

) (C) (??,

12 ) 5

(B) (??, ?

12 ] 5

12 ) 5

(D) (??,

12 ] 5

【答案】B 【2012 年北京市西城区高三一模理】14. 在直角坐标系 xOy 中,动点 A , B 分别在射线

y?

3 x ( x ? 0) 和 y ? ? 3x ( x ? 0) 上运动,且△ OAB 的面积为 1 .则点 A , B 的横坐标 3

之积为_____;△ OAB 周长的最小值是_____.

- 43 -

【答案】

3 , 2(1 ? 2) 2

【 解 析 】 设 A,B 的 坐 标 分 别 为 A( x1 ,

3 x1 ), B( x 2 ,? 3 x 2 ), ( x1 ? 0, x 2 ? 0) , 则 3

OA ?

2 3

x1 , OB ? 2 x 2 , 由 题 意 知 OA ? OB , 所 以 三 角 形 的 面 积 为

3 1 1 2 2 。 OA ? OB ? ? x1 ? 2 x2 ? x1 x 2 ? 1 ,所以 x1 x 2 ? 2 2 2 3 3
【2012 北京市朝阳区一模理】14.已知△ ABC 中, ?C ? 90?, AC ? 3, BC ? 4 .一个圆心为

1 半径为 的圆在△ ABC 内, 沿着△ ABC 的边滚动一周回到原位. 在滚动过程中, M 圆 M, 4 至少与△ ABC 的一边相切,则点 M 到△ ABC 顶点的最短距离是 ,点 M 的运
动轨迹的周长是 【答案】 .

2 ,9 4

平面向量部分
【2012 北京市丰台区一模理】4.已知向量 a ? (sin ? , cos ? ), b ? (3, 4) ,若 a ? b ,则 tan2 ? 等于 A. ( B. )

?

?

?

?

24 7

6 7

C. ?

24 25

D. ?

24 7

【答案】A 【2012 北京市房山区一模理】 8.如图, 边长为 1 的正方形 ABCD 的顶点 A , D 分别在 x 轴、y 轴正半轴上移动,则 OB ? OC 的最大值是 ( )

(A) 2 (B) 1 ? 2 (C) ? (D)4 【答案】A
- 44 -

【2012 北京市房山区一模理】2.如果 a ? (1, k ) , b ? (k , 4), 那么“ a ∥ b ”是“ k ? ?2 ”的 ( ) (A)充分不必要条件 (C)充要条件 【答案】B 【2012 北京市海淀区一模理】 (4)已知向量 a =(1,x),b=( -1 x) ,若 2a ? b 与 b 垂直,则 , (B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

?

?

?

a ?
(A) 2 【答案】C 【2012 北京市门头沟区一模理】 在 ?ABC 所在平面内有一点 O , 6. 满足 2OA ? AB ? AC ? 0 , (B) 3 (C)2 (D)4

??? ??? ??? ? ? ?

?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ??? ? ? OA ? OB ? AB ? 1 ,则 CA? 等于 CB
(A) (B)

3

3 2

(C) 3

(D)

3 2

【答案】C 【2012 北京市朝阳区一模理】2. 已知平面向量 a,b 满足 a ? (a + b)=3 ,且 a = 2, b = 1 ,则 向量 a 与 b 的夹角为 A.

? 6

B.

? 3

C.

?? 3

D.

?? 6

【答案】C 【2012 北京市东城区一模理】 (7)在直角梯形 ABCD 中,已知 BC ∥ AD , AB ? AD ,

??? ??? ? ? AB ? 4 , BC ? 2 , AD ? 4 ,若 P 为 CD 的中点,则 PA ? PB 的值为
(A) ?5 (B) ?4 (C) 4 (D) 5 【答案】D 【2012 北京市东城区一模理】 (14)如图,在边长为 3 的正方形 ABCD 中,点 M 在 AD 上, 正方形 ABCD 以 AD 为轴逆时针旋转 ? 角(0 ≤ ? ≤ ) 到 AB1C1 D 的位置 , 同时点 M 沿着 AD 从点 A 运动到点 D , MN1 ? DC1 ,点 Q 在 MN1 上,在运动过程中点 Q 始终

?????

???? ?

? 3

1 ,记点 Q 在面 ABCD 上的射影为 Q0 ,则在运动过程中向 cos ? ???? ???? ? ? B1 量 BQ0 与 BM 夹角 ? 的正切的最大值为 .
满足 QM ?

???? ?

C1

N1

Q

D

- 45 A

M

Q0

C

B

【答案】

6 12
? ?

【2012 北京市石景山区一模理】9.设向量 a ? (cos? ,1), b ? (1,3 cos? ) ,且 a // b ,则

?

?

cos2? =
【答案】 ?



1 3

2 【 解 析 】 因 为 a // b , 所 以 cos? ? 3 cos? ? 1 ? 0 , 即 3 c o s ? ? 1 , cos2 ? ?

?

?

1 ,所以 3

cos 2? ? 2 cos2 ? ? 1 ?

2 1 ?1 ? ? 。 3 3

2012 北京市高三一模数学理分类汇编 7:圆锥曲线
【2012 北京市丰台区一模理】9.已知双曲线的中心在原点,焦点在 x 轴上,一条渐近线方程 为y? 【答案】

3 x ,则该双曲线的离心率是 4



5 4
2

【2012 北京市房山区一模理】14. F 是抛物线 y ? 2 px ? p ? 0? 的焦点,过焦点 F 且倾斜角
? 为 ? 的直线交抛物线于 A, B 两点,设 AF ? a, BF ? b ,则:①若 ? ? 60 且 a ? b ,则

a 的 b

值为 ______ ;② a ? b ? ______ (用 p 和 ? 表示).

2 p tan 2 ? ? 1 2p 【答案】① 3 ;② AB ? 或 tan 2 ? sin 2 ?
【2012 北京市海淀区一模理】 (10)过双曲线 限的渐近线的直线方程是 【答案】 4 x - 3 y - 20 = 0 .

?

?

x2 y 2 = 1 的右焦点,且平行于经过一、三象 9 16

【 2012 北 京 市 门 头 沟 区 一 模 理 】 7 . 已 知 点 P 在 抛 物 线 y ? 4 x 上 , 则 点 P 到 直 线
2

l1 : 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 的距离和到直线 l2 : x ? ?1 的距离之和的最小值为

- 46 -

(A)

37 16

(B)

11 5

(C) 2

(D) 3

【答案】C 【2012 北京市东城区一模理】 (13)抛物线 y ? x 的准线方程为
2

;经过此抛物线的焦点是

和点 M (1,1) ,且 与准线相切的圆共有 【答案】 x ? ?

个.

1 4

2
x2 ? y 2 ? 1 ,则此双曲线的离心率 3

【2012 北京市朝阳区一模理】9. 已知双曲线的方程为 为 【答案】 ,其焦点到渐近线的距离为 .

2 3 3

1

【2012 北京市石景山区一模理】19. (本小题满分 13 分) 已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )右顶点与右焦点的距离为 3 ? 1 , a2 b2

短轴长为 2 2 . (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)过左焦点 F 的直线与椭圆分别交于 A 、 B 两点,若三角形 OAB 的

面积为

3 2 ,求直线 AB 的方程. 4

?a ? c ? 3 ? 1 ? ? ? b? 2 ? a 2 ? b2 ? c2 【答案】解: (Ⅰ)由题意, ? ?
解得 a ? 3, c ? 1 . 即:椭圆方程为 ------------2 分 ------------3 分

-------1 分

x2 y2 ? ? 1. 3 2
AB ? 4 3,

(Ⅱ)当直线 AB 与 x 轴垂直时, 此时 S ?AOB ?

3 不符合题意故舍掉;

-----------4 分

当直线 AB 与 x 轴不垂直时,设直线 AB 的方程为: y ? k ( x ? 1) ,
- 47 -

代入消去 y 得: (2 ? 3k 2 ) x 2 ? 6k 2 x ? (3k 2 ? 6) ? 0 .

------------6 分

? ?6 k 2 x1 ? x2 ? ? ? 2 ? 3k 2 ? 2 ? x x ? 3k ? 6 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 ? 1 2 2 ? 3k 2 , ?
所以

-----------7 分

AB ?

4 3(k 2 ? 1) 2 ? 3k 2 .
d? k 1? k 2 ,

------------9 分

原点到直线的 AB 距离

所以三角形的面积 由S ?

S?

1 1 k 4 3( k 2 ? 1) AB d ? 2 2 1 ? k 2 2 ? 3k 2 .
------------12 分 ---------13 分

3 2 ? k2 ? 2 ? k ? ? 2 , 4

所以直线 l AB : 2 x ? y ? 2 ? 0 或 l AB : 2 x ? y ? 2 ? 0 . 【2012 北京市朝阳区一模理】19. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 两 个 焦 点 分 别 为 F1 (? 2, 0) , F2 ( 2, 0) . 点 a 2 b2

M (1, 0) 与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)已知点 N 的坐标为 (3, 2) ,点 P 的坐标为 (m, n)(m ? 3) .过点 M 任作直线 l 与椭圆

C 相交于 A , B 两点,设直线 AN , NP , BN 的斜率分别为 k1 , k 2 , k3 ,若
k1 ? k3 ? 2k2 ,试求 m, n 满足的关系式.
【答案】解: (Ⅰ)依题意, c ? 2 , b ? 1, 所以 a ? b ? c ? 3 .
2 2

故椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 3

?????4 分

? x ? 1, 6 ? (Ⅱ)①当直线 l 的斜率不存在时,由 ? x 2 解得 x ? 1, y ? ? . 2 3 ? ? y ?1 ?3
不妨设 A(1,

6 6 ) , B (1, ? ), 3 3
- 48 -

因为 k1 ? k3 ?

2?

6 6 2? 3 ? 3 ? 2 ,又 k ? k ? 2k ,所以 k ? 1 , 2 1 3 2 2 2
n?2 ? 1 ,即 m ? n ?1 ? 0 . m?3
???7 分

所以 m, n 的关系式为

②当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) .

x2 将 y ? k ( x ? 1) 代入 ? y 2 ? 1整理化简得, (3k 2 ? 1) x 2 ? 6k 2 x ? 3k 2 ? 3 ? 0 . 3
设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? 又 y1 ? k ( x1 ? 1) , y2 ? k ( x2 ? 1) . 所以 k1 ? k3 ?

6k 2 3k 2 ? 3 , x1 x2 ? . 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1

???9 分

2 ? y1 2 ? y2 (2 ? y1 )(3 ? x2 ) ? (2 ? y2 )(3 ? x1 ) ? ? 3 ? x1 3 ? x2 (3 ? x1 )(3 ? x2 )

?

[2 ? k ( x1 ? 1)](3 ? x2 ) ? [2 ? k ( x2 ? 1)](3 ? x1 ) x1 x2 ? 3( x1 ? x2 ) ? 9 2kx1 x2 ? (4k ? 2)( x1 ? x2 ) ? 6k ? 12 x1 x2 ? 3( x1 ? x2 ) ? 9

?

?

2k ?

3k 2 ? 3 6k 2 ? (4k ? 2) ? 2 ? 6k ? 12 3k 2 ? 1 3k ? 1 3k 2 ? 3 6k 2 ? 3? 2 ?9 3k 2 ? 1 3k ? 1
???12 分

2(12k 2 ? 6) ? ? 2. 12k 2 ? 6
所以 2k 2 ? 2 ,所以 k2 ?

n?2 ? 1,所以 m, n 的关系式为 m ? n ?1 ? 0 .???13 分 m?3
???14 分

综上所述, m, n 的关系式为 m ? n ?1 ? 0 . 【2012 北京市门头沟区一模理】19. (本小题满分 14 分) 2

x2 y 2 2 已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 4 经过点 A(2,1) ,离心率为 ,过点 B(3, 0) 的直线 l 与 2 a b ,
椭圆交于不同的两点 M , N . (Ⅰ)求椭圆的方程; 6

,

- 49 -

(Ⅱ)求 BM ?BN 的取值范围.

???? ???? ?

【答案】 (Ⅰ)解: 由离心率为

2 ,可设 c ? 2t , a ? 2t ,则 b ? 2t 2

因为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 经过点 A(2,1) a 2 b2
4 1 3 ? 2 ? 1 ,解得 t 2 ? ,所以 a 2 ? 6, b2 ? 3 2 4t 2t 2

所以

椭圆方程为

x2 y2 ? ?1 6 3

???????4 分

(Ⅱ)由题意可知直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 3) , 直线 l 与椭圆的交点坐标为 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ???????5 分

? y ? k ( x ? 3) ? 由 ? x2 y 2 ?1 ? ? 3 ?6
消元整理得: (1 ? 2k ) x ? 12k x ? 18k ? 6 ? 0
2 2 2 2

???????7



? ? (12k 2 )2 ? 4(1 ? 2k 2 )(18k 2 ? 6) ? 0
0 ? k2 ?1
???????8 分



12k 2 18k 2 ? 6 x1 ? x2 ? , x1 x2 ? ???????9 分 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

???? ???? ? BM ?BN ? ( x1 ? 3, y1 )? x2 ? 3, y2 ) ? ( x1 ? 3)( x2 ? 3) ? y1 y2 (
10 分

???????

? (1 ? k 2 )[ x1 x2 ? 3( x1 ? x2 ) ? 9] ? (1 ? k 2 ) ?
11 分 因为 0 ? k 2 ? 1 ,所以 2 ?

3 3 1 ? (1 ? ) ??? 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

所以 BM ?BN 的取值范围是 (2,3] .???????14 分 【2012 北京市东城区一模理】 (19) (本小题共 13 分) 已知椭圆 C :

???? ???? ?

3 1 (1 ? )?3 2 1 ? 2k 2

x2 y 2 1 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率是 ,其左、右顶点分别为 A1 , A2 , B 2 a b 2
- 50 -

为短轴的端点,△ A1 BA2 的面积为 2 3 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) F2 为椭圆 C 的右焦点,若点 P 是椭圆 C 上异于 A1 , A2 的任意一点,直线 A1 P , A2 P 与直线 x ? 4 分别交于 M , N 两点,证明:以 MN 为直径的圆与直线 PF2 相切于点 F2 .

【答案】 (Ⅰ)解:由已知

? c 1 ? a ? 2, ? ? ? ab ? 2 3, ?a 2 ? b 2 ? c 2 . ? ? ?

????2 分

解得 a ? 2 , b ? 3 .

????4 分

故所求椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1. 4 3

????5 分

(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知 A1 ? ?2, 0 ? , A2 ? 2, 0 ? , F2 ?1, 0 ? . 设 P x0 , y0

?

?? x

0

2 2 ? ?2 ? ,则 3x0 ? 4 y0 ? 12 .

于是直线 A1 P 方程为 y ?

y0 6y ? x ? 2 ? ,令 x ? 4 ,得 yM ? 0 ; x0 ? 2 x0 ? 2
????7 分

所以 M ( 4,

6 y0 2 y0 ) ,同理 N ( 4, ). x0 ? 2 x0 ? 2

所以 F2 M ? ( 3,

?????

???? ? 6 y0 2 y0 ) , F2 N ? ( 3, ). x0 ? 2 x0 ? 2
6 y0 2 y0 ) ? ( 3, ) x0 ? 2 x0 ? 2 6 y0 2 y0 ? x0 ? 2 x0 ? 2

所以 F2 M ? F2 N ? ( 3,

????? ???? ?

?9?

2 2 3 ?12 ? 3 x0 ? 12 y0 ?9? 2 ? 9? 2 x0 ? 4 x0 ? 4 2 9 ? x0 ? 4 ? 2 x0 ? 4

?9?

? 9?9 ? 0.
????9 分

所以 F2 M ? F2 N ,点 F2 在以 MN 为直径的圆上.
- 51 -

设 MN 的中点为 E ,则 E (4,

4 y0 ( x0 ? 1) ). x0 2 ? 4

????10 分

又 F2 E ? (3,

???? ?

???? ? 4 y0 ( x0 ? 1) ) , F2 P ? ? x0 ? 1, y0 ? , x0 2 ? 4

2 ???? ???? ? ? 4 y0 ? x0 ? 1? 4 y0 ( x0 ? 1) 所以 F2 E ? F2 P ? (3, ) ? ? x0 ? 1, y0 ? ? 3 ? x0 ? 1? ? 2 x0 ? 4 x0 2 ? 4

? 3 ? x0 ? 1? ?
所以 F2 E ? F2 P .

?12 ? 3x ? ? x
2 0

0

? 1?

x ?4
2 0

? 3 ? x0 ? 1? ? 3 ? x0 ? 1? ? 0 .

????12 分

因为 F2 E 是以 MN 为直径的圆的半径, E 为圆心, F2 E ? F2 P , 故以 MN 为直径的圆与直线 PF2 相切于右焦点. ????13 分

【2012 年北京市西城区高三一模理】19.(本小题满分 14 分)

已知椭圆 C :

x2 y 2 5 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 ,定点 M (2, 0) ,椭圆短轴的端点 2 3 a b

是 B1 , B2 ,且 MB1 ? MB2 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设过点 M 且斜率不为 0 的直线交椭圆 C 于 A , B 两点.试问 x 轴上是否存在定点

P ,使 PM 平分 ?APB ?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明理由.
5 a 2 ? b2 b2 b 2 2 ?e ? ? 1? 2 , 得 【答案】 (Ⅰ)解:由 ? . 2 9 a a a 3
依题意△ MB1B2 是等腰直角三角形,从而 b ? 2 ,故 a ? 3 . ???2 分

???4 分

所以椭圆 C 的方程是

x2 y2 ? ? 1. 9 4

???5 分

(Ⅱ)解:设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,直线 AB 的方程为 x ? my ? 2 . 将直线 AB 的方程与椭圆 C 的方程联立, 消去 x 得 (4m ? 9) y ? 16my ? 20 ? 0 .
2 2

???7 分

- 52 -

?16m ?20 , y1 y2 ? . 2 4m ? 9 4m 2 ? 9 若 PF 平分 ?APB ,则直线 PA , PB 的倾斜角互补,
所以 y1 ? y2 ? 所以 k PA ? k PB ? 0 . 设 P(a,0) ,则有

???8 分

??9 分

y1 y2 ? ?0. x1 ? a x2 ? a

将 x1 ? my1 ? 2 , x2 ? my2 ? 2 代入上式, 整理得

2my1 y2 ? (2 ? a)( y1 ? y2 ) ?0, (my1 ? 2 ? a)(my2 ? 2 ? a)
?????12 分

所以 2my1 y2 ? (2 ? a)( y1 ? y2 ) ? 0 . 将 y1 ? y2 ?

?16m ?20 , y1 y2 ? 代入上式, 2 4m ? 9 4m 2 ? 9
????13 分

整理得 (?2a ? 9) ? m ? 0 . 由于上式对任意实数 m 都成立,所以 a ?

9 . 2
???14 分

综上,存在定点 P ( , 0) ,使 PM 平分 ?APB . 【2012 北京市海淀区一模理】(19)(本小题满分 13 分)

9 2

在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 G 的中心为坐标原点,左焦点为 F1 (?1, 0) , P 为椭 圆 G 的上顶点,且 ?PFO ? 45? . 1 (Ⅰ)求椭圆 G 的标准方程; (Ⅱ)已知直线 l1 : y ? kx ? m1 与椭圆 G 交于 A , B 两点,
O x C y

l1 A

l2 D

直线 l 2 : y ? kx ? m2 ( m1 ? m2 )与椭圆 G 交于 C , D 两 点,且 | AB |?| CD | ,如图所示. (ⅰ)证明: m1 ? m2 ? 0 ; (ⅱ)求四边形 ABCD 的面积 S 的最大值.

B

x2 y 2 【答案】 (Ⅰ)解:设椭圆 G 的标准方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) . a b
因为 F1 (?1, 0) , ?PFO ? 45? , 1 所以 b = c = 1.

- 53 -

所以 a 2 = b2 + c 2 = 2 .

???????????????2 分

所以 椭圆 G 的标准方程为

x2 ? y 2 ? 1. 2

???????????????3 分

(Ⅱ)设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , C ( x3 , y3 ) , D( x4 , y4 ) .

? y ? kx ? m1 , ? (ⅰ)证明:由 ? x 2 消去 y 得: (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4km1 x ? 2m12 ? 2 ? 0 . 2 ? ? y ? 1. ?2
2 则 ? ? 8(2k 2 ? m1 ? 1) ? 0 ,

4km1 ? ? x1 ? x2 ? ? 1 ? 2k 2 , ? ? 2 ? x x ? 2m1 ? 2 . ? 1 2 1 ? 2k 2 ?
所以 | AB |?

???????????????5 分

( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2

? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2
? 1 ? k 2 (? 4km1 2 2m 2 ? 2 ) ? 4? 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2k 2 ? m12 ? 1 1 ? 2k 2
.

? 2 2 1? k 2

同理 | CD |? 2 2 1 ? k 因为 | AB |?| CD | ,

2

2 2k 2 ? m2 ? 1

1 ? 2k 2

.

???????????????7 分

所以 2 2 1 ? k 因为 m1 ? m2 ,

2

2k 2 ? m12 ? 1 1 ? 2k 2

? 2 2 1? k 2

2 2k 2 ? m2 ? 1

1 ? 2k 2

.

所以 m1 ? m2 ? 0 .

???????????????9 分

(ⅱ)解:由题意得四边形 ABCD 是平行四边形,设两平行线 AB, CD 间的距离为 d ,

- 54 -

则 d=

m1 - m2 1+ k 2

.

因为 m1 ? m2 ? 0 , 所以 d =

2m1 1+ k 2

.

???????????????10 分

所以 S ?| AB | ?d ? 2 2 1 ? k 2

2k 2 ? m12 ? 1 2m1 ? 1 ? 2k 2 1? k2

2k 2 ? m12 ? 1 ? m12 (2k 2 ? m12 ? 1)m12 2 ?4 2 ?4 2 ?2 2. 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
(或 S ? 4 2
2

(2k 2 ? 1)m12 ? m14 m12 1 1 ? 4 2 ?( ? )2 ? ? 2 2 ) 2 2 2 (1 ? 2k ) 1 ? 2k 2 4
2

所以 当 2k ? 1 ? 2m1 时, 四边形 ABCD 的面积 S 取得最大值为 【2012 北京市房山区一模理】19.(本小题共 14 分)

2 2

.

已知椭圆 G 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,一个顶点为 A ? 0, ?1? ,离心率为 (I)求椭圆 G 的方程;

6 . 3

(II)设直线 y ? kx ? m 与椭圆相交于不同的两点 M , N .当 AM ? AN 时,求 m 的取 值范围. 【答案】解: (I)依题意可设椭圆方程为

x2 6 c ? y 2 ? 1 ,则离心率为 e ? ? 2 3 a a

c2 2 故 2 ? ,而 b 2 ? 1 ,解得 a 2 ? 3 , ????????4 分 3 a x2 ? y2 ? 1. 故所求椭圆的方程为 ????????5 分 3 y y y (II)设 P ? xP , P ?、M ? xM , M ?、N ? xN , N ? ,P 为弦 MN 的中点,
?y ? kx? m ? 2 2 2 由 ? x2 得 (3k ? 1) x ? 6mkx ? 3(m ? 1) ? 0 , 2 ? ? y ?1 ?3 ?直线与椭圆相交, 2 ?? ? ? 6mk ? ? 4 ? 3k 2 ? 1? ? 3 ? m 2 ? 1? ? 0 ? m 2 ? 3k 2 ? 1 ,①
xM ? xN 3mk m ,从而 yP ? kxP ? m ? 2 ?? 2 2 3k ? 1 3k ? 1 , (1)当 k ? 0 时 ? xP ?

????7 分

- 55 -

? k AP ?

yP ? 1 m ? 3k 2 ? 1 ?? ( m ? 0 不满足题目条件) xP 3mk

∵ AM ? AN ,? AP ? MN ,则

m ? 3k 2 ? 1 1 ? ? ? ,即 2m ? 3k 2 ? 1 , ② 3mk k 2 把②代入①得 m ? 2m ,解得 0 ? m ? 2 , 2m ? 1 1 1 由②得 k 2 ? ? 0 ,解得 m ? .故 ? m ? 2 3 2 2 (2)当 k ? 0 时 ∵直线 y ? m 是平行于 x 轴的一条直线, ∴ ?1 ? m ? 1 综上,求得 m 的取值范围是 ? 1 ? m ? 2 .

??????????9 分 ??????????10 分 ?????????11 分

??????????13 分 ??????????14 分

2012 北京市高三一模数学理分类汇编 7:圆锥曲线
【2012 年北京市西城区高三一模理】 某年级 120 名学生在一次百米 9. 测试中,成绩全部介于 13 秒 与 18 秒之间.将测试结果分成 5 组: [13 , ) , [14 , , 14 15)

[15 , ) , [16 , ) , [17 , ,得到如图所示的频率分 16 17 18]
布直方图.如果从左到右的 5 个小矩形的面积之比为

1: 3: 7 : 6 : 3 ,那么成绩在 [16,18] 的学生人数是_____.
【答案】 54 【解析】成绩在 [16,18] 的学生的人数比为 的人数为 120 ?

6?3 9 ,所以成绩在 [16,18] 的学生 ? 1 ? 3 ? 7 ? 6 ? 3 20

9 ? 54 。 20

【2012 北京市门头沟区一模理】11.某单位招聘员工,从 400 名报名者中选出 200 名参加笔 试,再按笔试成绩择优取 40 名参加面试,随机抽查了 20 名笔试者,统计他们的成绩如 下: 分数段 人数

[60, 65)
1

[65, 70)
3

[70, 75)
6

[75,80)
6 .

[80,85)
2

[85,90)
1

[90,95)
1

由此预测参加面试所画的分数线是 【答案】 80

【2012 北京市东城区一模理】 (11)在如图所示的茎叶图中,乙组数据的





- 56 -

0 7 9 5 4 5 5 1 8 4 4 6 4 7 m 9 3

中位数是



若从甲、乙两组数据中分别去掉一个最大数和一个最小数 后,两组数据的平均数中较大的一组是 组.

【答案】84


2 2 2

【2012 北京市石景山区一模理】13.如图,圆 O : x ? y ? ? 内的正弦曲线 y ? sin x 与 x 轴围成的区域记为 M (图中阴影部分),随机 往圆 O 内投一个点 A ,则点 A 落在区域 M 内的 概率是 【答案】 .

4

?3

【解析】阴影部分的面积为 2 域 M 内的概率是

?

?

0

sin xdx ? 2(? cos x) ? ? 4 ,圆的面积为 ? 3 ,所以点 A 落在区 0

4

?3



16.【2012 北京市石景山区一模理】 (本小题满分 13 分) 甲、乙两位同学进行篮球三分球投篮比赛,甲每次投中的概率为 为

1 ,乙每次投中的概率 3

1 ,每人分别进行三次投篮. 2
(Ⅰ)记甲投中的次数为ξ ,求ξ 的分布列及数学期望 Eξ ; (Ⅱ)求乙至多投中 2 次的概率; (Ⅲ)求乙恰好比甲多投进 2 次的概率.

【答案】解: (Ⅰ) ? 的可能取值为:0,1,2,3.

????1 分
2

8 4 ?2? 1 ? 1 ?? 2 ? P (? ? 0) ? C30 ? ? ? ; P (? ? 1) ? C3 ? ?? ? ? ; 27 9 ?3? ? 3 ?? 3 ?

3

2 1 ?1? ? 2? 3? 1 ? . P (? ? 2) ? C ? ? ? ? ? ; P(? ? 3) ? C3 ? ? ? 27 9 ? 3? ?3? ? 3?
2 3

2

3

? 的分布列如下表:

?
P

0

1

2

3

8 27

4 9
- 57 -

2 9

1 27

????4 分

E? ? 0 ?

8 4 2 1 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 1. 27 9 9 27
3 3 3

????5 分

7 ?1? (Ⅱ)乙至多投中 2 次的概率为 1 ? C ? ? ? . 8 ?2?

????8 分

(Ⅲ)设乙比甲多投中 2 次为事件 A,乙恰投中 2 次且甲恰投中 0 次为事件 B1, 乙恰投中 3 次且甲恰投中 1 次为事件 B2, 则 A ? B1 ? B2 , B1 , B2 为互斥事件. ????10 分

P( A) ? P( B1 ) ? P( B2 ) ? 8 ? 3 ? 4 ? 1 ? 1 . 27 8 9 8 6 所以乙恰好比甲多投中 2 次的概率为 1 . 6
【2012 北京市门头沟区一模理】17. (本小题满分 13 分)

????13 分

将编号为 1,2,3,4 的四个材质和大小都相同的球,随机放入编号为 1,2,3,4 的四 个盒子中,每个盒子放一个球, ? 表示球的编号与所放入盒子的编号正好相同的个数. (Ⅰ)求 1 号球恰好落入 1 号盒子的概率; (Ⅱ)求 ? 的分布列和数学期望 E? . 【答案】 (Ⅰ) 设事件 A 表示 “1 号球恰好落入 1 号盒子” ,
3 A3 1 P ( A) ? 4 ? A4 4

所以 1 号球恰好落入 1 号盒子的概率为

1 4
( Ⅱ )

????5 分

?

















0



1



2



4

??? ?6 分

P (? ? 0) ?

3? 3 3 ? 4 A4 8
2 C2 1 ? 4 A4 4

P(? ? 1) ?

4? 2 1 ? 4 A4 3
1 1 (每个 1 分)???????? ? 4 A4 24

P(? ? 2) ?
10 分

P (? ? 4) ?

- 58 -

所以 ? 的分布列为

?
P

0
3 8

1
1 3

2
1 4

4
1 24
????????

11 分 数学期望 E? ? 0 ? 13 分 【2012 北京市朝阳区一模理】16. (本小题满分 13 分) 某次有 1000 人参加的数学摸底考试,其成绩的频率分布直方图如图所示,规定 85 分及 其以上为优秀. (Ⅰ)下表是这次考试成绩的频数分布表,求正整数 a, b 的值; 区间 人数 [75,80) 50 [80, 85) a [85, 90) 350 [90, 95) 300 [95, 100] b

3 1 1 1 ? 1? ? 2 ? ? 4 ? ?1 8 3 4 24

???????

(II)现在要用分层抽样的方法从这 1000 人中抽取 40 人的成 绩进行分析,求其中成绩为优秀的学生人数; (Ⅲ)在(II)中抽取的 40 名学生中,要随机选取 2 名学生参加座谈会,记“其中成绩为 优秀的人数”为 X,求 X 的分布列与数学期望. 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01
O
频率 组距

75 80 85 90 95 100

分数

【答案】解: (Ⅰ)依题意, a ? 0.04 ? 5 ?1000 ? 200, b ? 0.02 ? 5 ?1000 ? 100 . ?????4 分 (Ⅱ)设其中成绩为优秀的学生人数为 x,则 即其中成绩为优秀的学生人数为 30 名. (Ⅲ)依题意,X 的取值为 0,1,2,

x 350 ? 300 ? 100 ,解得:x=30, ? 40 1000
?????7 分

P( X ? 0) ?

2 C10 C1 C1 C 2 29 3 5 , P ( X ? 1) ? 10 2 30 ? , P ( X ? 2) ? 30 ? , ? 2 2 C40 52 C40 13 C40 52

所以 X 的分布列为 X 0 1 2

- 59 -

29 52 3 5 29 3 3 EX ? 0 ? ? 1 ? ? 2 ? ? ,所以 X 的数学期望为 . 52 13 52 2 2
P

3 52

5 13

?????13 分

【2012 北京市东城区一模理】 (16) (本小题共 13 分) 某工厂生产甲、乙两种产品,甲产品的一等品率为 80% ,二等品率为 20% ;乙产品的 一等品率为 90% ,二等品率为 10% .生产 1 件甲产品,若是一等品,则获利 4 万元,若是二等 品,则亏损 1万元;生产 1 件乙产品,若是一等品,则获利 6 万元,若是二等品,则亏损 2 万 元.两种产品生产的质量相互独立. (Ⅰ)设生产 1件甲产品和 1 件乙产品可获得的总利润为 X (单位:万元) ,求 X 的分布列; (Ⅱ)求生产 4 件甲产品所获得的利润不少于 10 万元的概率. 【答案】解: (Ⅰ)由题设知, X 的可能取值为 10 , 5 , 2 , ?3 . ????2 分

P( X ? 10) ? 0.8 ? 0.9 ? 0.72 ,
P( X ? 2) ? 0.8 ? 0.1 ? 0.08 P( X ? ?3) ? 0.2 ? 0.1 ? 0.02 .
由此得 X 的分布列为:

P( X ? 5) ? 0.2 ? 0.9 ? 0.18 ,


????6 分

X
P

10 0.72

5 0.18

2

?3 0.02

0.08
????8 分

(Ⅱ)设生产的 4 件甲产品中一等品有 n 件,则二等品有 4 ? n 件. 由题设知 4n ? (4 ? n) ? 10 ,解得 n ?

14 , 5
????10 分

又 n ? N?且 n ? 4 ,得 n ? 3 ,或 n ? 4 .

512 ) 625 答:生产 4 件甲产品所获得的利润不少于 10 万元的概率为 0.8192 .
3 所求概率为 P ? C4 ? 0.83 ? 0.2 ? 0.84 ? 0.8192 .(或写成

????13 分

【2012 年北京市西城区高三一模理】16.(本小题满分 13 分) 乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行,比赛采用 7 局 4 胜制(即先胜 4 局者获胜, 比赛结束) ,假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同. (Ⅰ)求甲以 4 比 1 获胜的概率; (Ⅱ)求乙获胜且比赛局数多于 5 局的概率; (Ⅲ)求比赛局数的分布列.

- 60 -

【答案】 Ⅰ) 由已知, 乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是 ( 解: 甲、 1分 记“甲以 4 比 1 获胜”为事件 A ,

1 . ?????? 2

1 1 ? . 2 8 (Ⅱ)解:记“乙获胜且比赛局数多于 5 局”为事件 B . 1 1 1 5 因为,乙以 4 比 2 获胜的概率为 P ? C3 ( )3 ( )5?3 ? , 1 5 2 2 2 32
则 P( A) ? C3 ( )3 ( ) 4?3 4 分 乙以 4 比 3 获胜的概率为 P2 ? C3 ( )3 ( )6?3 6 分 所以 P( B) ? P ? P2 ? 1 分 (Ⅲ)解:设比赛的局数为 X ,则 X 的可能取值为 4,5, 6, 7 .

1 2

1 2

??????4 分

??????6

1 2

1 2

1 5 , ? 2 32

??????7

5 . 16

??????8

1 1 P( X ? 4) ? 2C4 ( ) 4 ? , 4 2 8


??????9

1 1 ? 1 P( X ? 5 ) 23C ( 3 ) (4 3) ? ? 4 2 2 2


1 , 4

??????10

1 1 ? 1 5 P( X ? 6 ) 23C ( 3 ) (5 ?2) ? , ? 5 2 2 2 16


??????11

1 1 ? 1 5 P( X ? 7 ) 23C ( 3 ) (6 ?3) ? . ? 6 2 2 2 16
分 比赛局数的分布列为:

??????12

X
P

4 1 8

5 1 4

6 5 16

7 5 16
??????13

分 【2012 北京市海淀区一模理】(17)(本小题满分 13 分) 某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间(单位:分钟) ,并将所得数据绘制成频 率分布直方图(如图) ,其中,上学所需时间的范围是 [0,100] ,样本数据分组为 [0, 20) ,

[20, 40) , [40, 60) , [60,80) , [80,100] .
(Ⅰ)求直方图中 x 的值; (Ⅱ) 如果上学所需时间不少于 1 小时的学生可申请在学
频率 /组距 0.025

- 61 -

x
0.0065 0.003

O

20

40

60

80

100

时间

校住宿,请估计学校 600 名新生中有多少名学生可以申请住宿; (Ⅲ) 从学校的新生中任选 4 名学生, 4 名学生中上学所需时间少于 20 分钟的人数记为 X , 这 求 X 的分布列和数学期望.(以直方图中新生上学所需时间少于 20 分钟的频率作为每名学生 上学所需时间少于 20 分钟的概率) 【答案】解: (Ⅰ)由直方图可得:

20 ? x ? 0.025 ? 20 ? 0.0065 ? 20 ? 0.003 ? 2 ? 20 ? 1 .
所以 x = 0.0125 . ???????????????2 分 (Ⅱ)新生上学所需时间不少于 1 小时的频率为: ???????????????4 分 0.003? 2 ? 20 ? 0.12 , 因为 600 ? 0.12 ? 72 , 所以 600 名新生中有 72 名学生可以申请住宿. ???????????????6 分 (Ⅲ) X 的可能取值为 0,1,2,3,4. ???????????????7 分 由直方图可知,每位学生上学所需时间少于 20 分钟的概率为
4
3

1 , 4

81 ? 3? P ( X ? 0) ? ? ? ? , 256 ?4?
2 2

27 ? 1 ?? 3 ? , P ( X ? 1) ? C ? ? ? ? ? 64 ? 4 ?? 4 ?
1 4 3

27 3 ?1? ?3? 3?1? ?3? , P ( X ? 3) ? C 4 ? ? ? ? ? , P( X ? 2) ? C2 ? ? ? ? ? 4 ? 4 ? ? 4 ? 128 ? 4 ? ? 4 ? 64

1 ?1? P ( X ? 4) ? ? ? ? . 256 ?4?
所以 X 的分布列为:

4

X P

0

1

2

3

4

81 256 EX ? 0 ?

27 64

27 128

3 64

1 256

???????????????12 分

81 27 27 3 1 1 ? 1? ? 2 ? ? 3? ? 4 ? ? 1 .(或 EX ? 4 ? ? 1 ) 256 64 128 64 256 4
???????????????13 分

所以 X 的数学期望为 1.

【2012 北京市房山区一模理】16.(本小题共 13 分) 今年雷锋日,某中学从高中三个年级选派 4 名教师和 20 名学生去当雷锋志愿者,学生的 名额分配如下: 高一年级 10 人 高二年级 6人 高三年级 4人

(I)若从 20 名学生中选出 3 人参加文明交通宣传,求他们中恰好有 1 人是高一年级学
- 62 -

生的概率; (II)若将 4 名教师安排到三个年级(假设每名教师加入各年级是等可能的,且各位教 师的选择是相互独立的) ,记安排到高一年级的教师人数为 X ,求随机变量 X 的分布列和数 学期望.

【答案】解: (I)设“他们中恰好有 1 人是高一年级学生”为事件 A ,则

P ? A? ?

1 2 C10C10 15 ? 3 38 C 20

答:若从选派的学生中任选 3 人进行文明交通宣传活动,他们中恰好有 1 人是高一年级学生 的概率为 分 (II)解法 1: ? 的所有取值为 0,1,2,3,4.由题意可知,每位教师选择高一年级的概率均 为

15 . 38

?????????4

1 .所以 3
16 ?1? ? 2? P?? ? 0 ? ? C ? ? ? ? ? ; 81 ?3? ? 3?
0 4 0 4

?????????6 分
1? 1 ? P ?? ? 1? ? C 4 ? ? ?3? 1

32 ?2? ; ? ? ? 81 ?3?
1

3

24 8 8 ?1? ? 2? 3? 1 ? ? 2 ? P?? ? 2 ? ? C ? ? ? ? ? ? ; P ?? ? 3? ? C 4 ? ? ? ? ? ; 81 27 81 ?3? ? 3? ?3? ? 3?
2 4

2

2

3

1 ?1? ? 2? P?? ? 4 ? ? C ? ? ? ? ? . 81 ?3? ? 3?
4 4

4

0

?????????11 分

随机变量 ? 的分布列为:

?
P

0

1

2

3

4

16 81

32 81

8 27

8 81

1 81
?????????12 分

所以 E? ? 0 ?

16 32 24 8 1 4 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? ????????13 分 81 81 81 81 81 3

解法 2:由题意可知,每位教师选择高一年级的概率均为

1 . ???????5 分 3 1 1 则随机变量 ? 服从参数为 4, 的二项分布,即 ? ~ B ( 4, ) .?????7 分 3 3
- 63 -

随机变量 ? 的分布列为:

?
P

0

1

2

3

4

16 81 1 4 所以 E? ? np ? 4 ? ? 3 3

32 81

8 27

8 81

1 81
???????13 分

2012 北京市高三一模数学理分类汇编 9: 程序框图、二项式定理、选考部分.

程序框图与二项式部分
【2012 北京市房山区一模理】5.执行如图所示的程序框图,则输出的 n 的值为

(A)5(B)6 (C)7 (D)8 【答案】C

【2012 北京市丰台区一模理】3. (

x 2 6 ? ) 的二项展开式中,常数项是 2 x
C.20 D.30

A.10

( ) B.15

【答案】C 【2012 北京市丰台区一模理】6.学校组织一年级 4 个班外出春游,每个班从指定的甲、乙、 丙、丁四个景区中任选一个游览,则恰有 2 个班选择了甲景区的选法共有 ( ) A. A4 ? 3 种
2 2

B. A4 ? A3 种
2 2

- 64 -

C. C4 ? 3 种
2 2

D. C4 ? A3 种
2 2

【答案】C 【2012 北京市丰台区一模理】13.执行如下图所示的程序框图,则输出的 i 值为



【答案】6 【2012 北京市房山区一模理】12.如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展 览馆,每天最多只安排一所学校,要求甲学校连续参观两天,其余学校均只参观一天,那么 不同的安排方法有 种. 【答案】120 【 2012 北 京 市 海 淀 区 一 模 理 】 5 ) 执 行 如 图 所 示 的 程 序 框 图 , 输 出 的 k 值 是 ( 开始 n=5,k=0 n 为偶数





n?

n 2

n ? 3n ? 1

k=k+1 n=1
是 否

输出 k 结束 (A)4 (B)5 (C)6
- 65 -

(D)7

【答案】B 【2012 北京市海淀区一模理】 (6)从甲、乙等 5 个人中选出 3 人排成一列,则甲不在排头的 排法种数是 (A)12 (B)24 (C)36 (D)48

【答案】D 【2012 年北京市西城区高三一模理】 执行如图所示的程序框图, 2. 若输入 x ? 2 , 则输出 y 的 值为( )

(A) 2 (B) 5 (C) 11 (D) 23

【答案】D 【解析】 输入 x ? 2 ,y ? 5 。2 ? 5 ? 3 ? 8 ,x ? 5, y ? 11 ,5 ? 11 ? 6 ? 8 ,x ? 11, y ? 23 ,

11 ? 23 ? 12 ? 8 ,满足条件,输出 y ? 23 ,选 D.
【2012 年北京市西城区高三一模理】10. ( x ? 2) 的展开式中, x 的系数是_____. (用数字
6

3

作答) 【答案】 ?160 【 解 析 】 二 项 式 展 开 式 Tk ?1 ? C6 x
k 6? k

(?2) k , 令 6 ? k ? 3 , 所 以 k ? 3 , 所 以

3 T4 ? C 6 x 3 (?2) 3 ? ?1 6 0 3 ,所以 x 3 的系数为 ? 160 。 x

【2012 北京市朝阳区一模理】5. 有 10 件不同的电子产品,其中有 2 件产品运行不稳定.技术 人员对它们进行一一测试, 直到 2 件不稳定的产品全部找出后测试结束,则恰好 3 次就结束测试的方法种数是( ) A. 16 【答案】C B. 24 C. 32 D. 48

【2012 北京市朝阳区一模理】11. 执行如图所示的程序框图,若输入 k 的值是 4 ,则输出 S 的 值是 .

- 66 -

【答案】

3 4 1 1 1 1 1 的一个程序框 ? ? ? ? ... ? 2 4 6 8 100

【2012 北京市东城区一模理】 (4)右图给出的是计算

图,

其中判断框内应填入的条件是 (B) i ? 50 (C) i ? 25 (D) i ? 25

(A) i ? 50 【答案】B

【2012 北京市东城区一模理】 (5)某小区有排成一排的 7 个车位,现有 3 辆不同型号的车需 要停放,如果要求剩余的 4 个车位连在一起, 那么不同的停放方法的种数为 (A)16 【答案】C 【2012 北京市石景山区一模理】 执行右面的框图, 5. 若输入的 N 是 6 , 则输出 p 的值是 ( ) (B)18 (C)24 (D)32

- 67 -

A. 120 【答案】B

B. 720

C. 1440

D. 5040

【解析】第一次循环: k ? 1, p ? 1, k ? 2 ,第二次循环: k ? 2, p ? 2, k ? 3 ,第三次循环:

k ? 3, p ? 6, k ? 4 , 第 四 次 循 环 : k ? 4, p ? 24, k ? 5 , 第 五 次 循 环 : k ? 5, p ? 120, k ? 6 ,第六次循环: k ? 6, p ? 720, 此时条件不成立,输出 p ? 720 ,
选 B. 【2012 北京市石景山区一模理】6.若 ( x 2 ? ) n 展开式中的所有二项式系数和为 512,则该展 开式中的常数项为 ( A. ? 84 【答案】B 【 解 析 】 二 项 展 开 式 的 系 数 和 为 2 ? 512 , 所 以 n ? 9 , 二 项 展 开 式 为
n

1 x

) C. ? 36 D. 36

B. 84

Tk ?1 ? C9k ( x 2 ) 9?k (? x ?1 ) k ? C9k x18?2 k (?1) k x ? k ? C9k x18?3k (?1) k , 令 18 ? 3k ? 0 , 得
6 k ? 6 ,所以常数项为 T7 ? C9 (?1) 6 ? 84 ,选 B。

选考部分
【2012 北京市丰台区一模理】12.如图所示,Rt△ABC 内接于圆, ?ABC ? 60? ,PA 是 圆的切线, 为切点, 交 AC 于 E, A PB 交圆于 D。 PA =AE, 若 PD= 3, BD ? 3 3 , AP= 则 ,

- 68 -

AC=



【答案】 2 3 ,3 3

? 3 t, ?x ? 1? ? 2 【2012 北京市丰台区一模理】 在平面直角坐标系 xOy 中, 11. 直线 l 的参数方程是 ? ?y ? 1 t ? ? 2
(t 为参数) 。以 O 为极点,x 轴正方向为极轴的极坐标系中,圆 C 的极坐标方程是

? 2 ? 4 ? cos ? ? 3 ? 0. 则圆心到直线的距离是___
【答案】



1 2
)

【2012 北京市房山区一模理】3.如图, PA 是圆 O 的切线,切点为 A , PO 交圆 O 于 B, C 两 点, PA ? 3, PB ? 1 ,则 ?ABC =( (A) 70 (B) 60
?

?

(C) 45

? ?

(D) 30 【答案】B

【2012 北京市房山区一模理】4.在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 的直角坐标为 (1, ? 3) .若以 原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则点 P 的极坐标可以是 ( ) (A) (2, ? ) 3

?

(B) (2,

4? ) 3

(C) (1, ? ) 3

?

(D) (2, ?

4? ) 3

【答案】A 【2012 北京市海淀区一模理】 (13)如图,以 ?ABC 的边 AB 为直径的半圆交 AC 于点 D , 交 BC 于点 E , EF ^ AB 于点 F , AF = 3BF , BE = 2EC = 2 ,那么 ?CDE = ,

CD =

.

- 69 -

C D E

A

F

B

【答案】60°

3 13 13
3? ) 且平行于极轴的直线的极坐标 2

【2012 北京市海淀区一模理】 (3)在极坐标系中,过点 (2, 方程是 (A) ? sin ? = - 2 (C) ? sin ? = 2 (B) ? cos ? = - 2 (D) ? cos ? = 2

【答案】A 【2012 年北京市西城区高三一模理】 11. 如图, 为⊙ O 的直径, ? AC , BN 交 AC 弦 AC OB

B

C

M O N

A

于点 M .若 OC ? 3 , OM ? 1 ,则 MN ? _____. 【答案】 1 【2012 年北京市西城区高三一模理】 12. 在极坐标系中, 极点到直线 l : ? sin(? ? ) ? 距离是_____. 【答案】 2 【2012 北京市门头沟区一模理】5.极坐标 ? ? 2cos ? 和参数方程 ? 所表示的图形分别是 (A) 直线、圆 【答案】D 【 2012 北 京 市 门 头 沟 区 一 模 理 】 12 . 如 右 图 : 点 P 是 ? O 直 径 AB 延 长 线 上 一 点 , 2 . PC 是 ? O 的切线, C 是切点, AC ? 4 , BC ? 3 ,则 PC ? , 4 , 6
- 70 -

π 4

2的

? x ? 2 sin ? ( ? 为参数) ? y ? cos ?

(B) 直线、椭圆

(C) 圆、圆

(D) 圆、椭圆

C

P

B O

A

【答案】

60 7

【2012 北京市朝阳区一模理】12.在极坐标系中,曲线 ? ? 2 3 sin ? 和 ? cos ? ? 1 相交于点

A, B ,则线段 AB 的中点 E
【答案】 2

到极点的距离是

.

【2012 北京市东城区一模理】10) ( 在极坐标系中, ? ? 2 的圆心到直线 ? cos ? ? ? sin ? ? 2 圆 的距离为 【答案】 2 【2012 北京市东城区一模理】 (12)如图, AB 是⊙ O 的直径,直线 DE 切⊙ O 于点 D ,且 与 .

AB 延 长 线 交 于 点 C
E

, 若

CD ?

3



CB ? 1 , 则

D

A

O

B

C

?A D= E .
【答案】 60? 【2012 北京市石景山区一模理】圆 ?

? x ? 2 cos ? , 的圆心坐标是( ? y ? 2sin ? ? 2
C. (0, ?2)



A. (0, 2)

B. (2, 0)

D. (?2,0)

【答案】A 【解析】消去参数 ? ,得圆的方程为 x ? ( y ? 2) ? 4 ,所以圆心坐标为 (0,2) ,选 A.
2 2

【2012 北京市石景山区一模理】11.如图,已知圆中两条弦 AB 与 CD 相交于点 F , CE 与圆

- 71 -

相切交 AB 延长线上于点 E ,若 DF ? CF ? 2 2 , AF : FB : BE ? 4 : 2 :1 ,则线段 CE 的长为 【答案】 7 .

2012 北京市高三一模数学理分类汇编 10:复数,推理与证明
【2012 北京市海淀区一模理】 (9)复数

a + 2i 在复平面内所对应的点在虚轴上,那么实数 1- i

a=
【答案】 2

.

【2012 北京市房山区一模理】9. i 是虚数单位,则 【答案】

i ? __. 1? i

1 1 ? i 2 2
2 3

【2012 年北京市西城区高三一模理】8.已知集合 A ? {x | x ? a0 ? a1 ? 3 ? a2 ? 3 ? a3 ? 3 } , 其中 ak ?{0,1, 2} (k ? 0,1, 2,3) ,且 a3 ? 0 .则 A 中所有元素之和等于( (A) 3240 (B) 3120 (C) 2997 (D) 2889 【答案】D 【解析】本题可转化为二进制,集合中的二进制数为 a3 a 2 a1 a0 ,因为 a3 ? 0 ,所以最大的二 进制数为 1111,最小的二进制数 1000,对应的十进制数最大为 15,最小值为 8,则,8 到 15 之间的所有整数都有集合中的数,所以所有元素之和为 )

(8 ? 15) ? 8 ? 92 ,选 C. 2

【2012 北京市丰台区一模理】 定义在区间[a, 14. b]上的连结函数 y ? f ( x) , 如果 ?? ?[a, b] , 使得 f (b) ? f (a) ? f '(? )(b ? a) ,则称 ? 为区间[a,b]上的“中值点” 。下列函数:
3 ① f ( x) ? 3x ? 2; ② f ( x) ? x ? x ? 1; ③ f ( x) ? ln( x ? 1) ;④ f ( x) ? ( x ? ) 中,在区
2

1 2

间[0,1]上“中值点”多于一个函数序号为 序号)

。 (写出所有满足条件的函数的 ..

- 72 -

【答案】①④

ì 1, x ? Q, ? 【2012 北京市海淀区一模理】 (14)已知函数 f ( x) = ? í
(ⅰ) f ( f ( x)) = ;

? 0, x ? ?R Q, ? ?



(ⅱ)给出下列三个命题: ①函数 f ( x ) 是偶函数; ②存在 xi ? R (i ③存在 xi ? R(i

1, 2,3) , 使得以点 ( xi , f ( xi ))( i = 1, 2,3) 为顶点的三角形是等腰直角三角形; 1, 2,3, 4) ,使得以点 ( xi , f ( xi ))( i = 1, 2,3, 4) 为顶点的四边形为菱形.
.

其中,所有真命题的序号是 【答案】 1 ①③

【2012 北京市门头沟区一模理】9.复数 【答案】1

a?i 为纯虚数,则 a ? 1? i



【2012北京市东城区一模理】 若 a ,b?R ,i 是虚数单位, a ? (b ?2i 1 i ? , a ? b (1) 且 则 ) ? 的值为 (A) 1 【答案】D 【2012 北京市朝阳区一模理】1. 复数 A. ?4 ? 2i 【答案】A B. 4 ? 2i (B) 2 (C) 3 (D) 4

10i ? 1 ? 2i
C. 2 ? 4i D. 2 ? 4i

【2012 北京市石景山区一模理】2.在复平面内,复数 A.第一象限 【答案】D 【解析】 B. 第二象限

2?i 对应的点位于( 1? i



C.第三象限

D.第四象限

2 ? i (2 ? i)(1 ? i) 1 ? 3i 1 3 ? ? ? ? i ,所以对应点在第四象限,答案选 D. 1 ? i ( ? i) ? i) 1 (1 2 2 2

【2012 北京市石景山区一模理】14.集合

U ? ?( x, y ) | x ? R, y ? R?, M ? ?( x, y ) | x ? y ? a?, P ? ?( x, y) | y ? f ( x)?,
现给出下列函数:① y ? a ,② y = loga x ,③ y ? sin( x ? a) ,④ y ? cos ax ,
x

若 0 ? a ? 1 时,恒有 P ? CU M ? P, 则所有满足条件的函数 f (x) 的编号是



- 73 -

【答案】①②④ 【解析】由 P ? CU M ? P, 可知

M ? P ? ? ,画出相应的图象可知,①②④满足条件。

【2012 北京市朝阳区一模理】20. (本小题满分 13 分)

? , a (n ? N? ) , 满 足 a0 ? 0 , 已 知 各 项 均 为 非 负 整 数 的 数 列 A0 : a0 , a1 , n a1 ? ? ? an ? n .若存在最小的正整数 k ,使得 ak ? k (k ? 1) ,则可定义变换 T ,变换 T 将
数 列 A0 变 为 数 列 T ( A0 ) : a0 ? 1, a1 ? 1, ?, ak ?1 ? 1, 0 , ak ?1 , ? , an . 设 Ai ?1 ? T ( Ai ) ,

i ? 0,1, 2? .
(Ⅰ)若数列 A0 : 0,1,1,3, 0, 0 ,试写出数列 A5 ;若数列 A4 : 4, 0, 0, 0, 0 ,试写出数列 A 0 ; (Ⅱ)证明存在唯一的数列 A0 ,经过有限次 T 变换,可将数列 A0 变为数列 n, 0, 0,? , 0 ;

? ?? ? ?
n个

? (Ⅲ) 若数列 A0 , 经过有限次 T 变换, 可变为数列 n, 0, 0,? , 0 . Sm ?am ?am ?? ?an 设 1
? ?? ? ?
n个



m ? 1, 2,?, n ,求证 am ? Sm ? [
整数.

Sm S S ]( m ? 1) ,其中 [ m ] 表示不超过 m 的最大 m ?1 m ?1 m ?1
A ; 2 : 2,1, 2, 0, 0, 0 ; A3 : 3, 0, 2, 0, 0, 0 ;

,0 1 ,: 1 【答案】 (Ⅰ) A0 : 0,1,1,3, 0, 0 , A10 解: 若 则 3 A4 : 4,1, 0, 0, 0, 0 ; A5 : 5, 0, 0, 0, 0, 0 .
若 A4 : 4, 0, 0, 0, 0 , 则

A3 : 3,1,0,0,0 ;

A2 : 2, 0, 2, 0, 0 ;

A1 :1,1, 2, 0, 0 ;
???4 分

A0 : 0,0,1,3,0 .

(Ⅱ)先证存在性,若数列 A0 : a0 , a1 ,?, an 满足 ak ? 0 及 ai ? 0(0 ? i ? k ? 1) ,则定义变换

T ?1 ,变换 T ?1 将数列 A0 变为数列 T ?1 ( A 0 ) : a0 ? 1, a1 ? 1,?, ak ?1 ? 1, k , ak ?1 ,?, an .
易知 T 和 T 是互逆变换. 对于数列 n, 0, 0,?, 0 连续实施变换 T (一直不能再作 T 变换为止)得
T T T n, 0, 0,?, 0 ??? n ? 1,1, 0,?, 0 ??? n ? 2, 0, 2, 0,?, 0 ??? n ? 3,1, 2,0,?,0 T T ??? ? ??? a0 , a1 ,?, an ,
?1 ?1 ?1 ?1 ?1

?1

???5 分
?1 ?1

则必有 a0 ? 0 (若 a0 ? 0 ,则还可作变换 T ) .反过来对 a0 , a1 ,? , an 作有限次变换 T ,即 可还原为数列 n, 0, 0,?, 0 ,因此存在数列 A0 满足条件.

?1

- 74 -

下用数学归纳法证唯一性:当 n ? 1, 2 是显然的,假设唯一性对 n ? 1 成立,考虑 n 的情形. 假设存在两个数列 a0 , a1 ,? , an 及 b0 , b1 ,? , bn 均可经过有限次 T 变换,变为 n, 0,? , 0 ,这 里 a0 ? b0 ? 0 , a1 ? a2 ? ? ? an ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? n 若 0 ? an ? n ,则由变换 T 的定义,不能变为 n,0,?,0 ;
T 若 an ? n ,则 a1 ? a2 ? ? ? an ? 0 ,经过一次 T 变换,有 0, 0,?, 0, n ?? 1,1,?,1,0 ?

由于 n ? 3 ,可知 1,1,?,1,0 (至少 3 个 1)不可能变为 n, 0,?, 0 .
T ? 所以 an ? 0 ,同理 bn ? 0 令 a0 , a1 ,? , an ?? 1, a1 , a2 ,?, an ? ? ? T ? ? b0 , b1 ,? , bn ?? 1, b1?, b2 ,?, bn ? ,



? ? ? ? ? ? ? ? 则 an ? bn ? 0 ,所以 a1 ? a2 ? ? ? an ?1 ? n ? 1 , b1 ? b2 ? ? ? bn ?1 ? n ? 1.

? ? ? 因为 0, a1 ,?, an ?1 ???? n-1, 0,?, 0 ,
有限次T 有限次T ? 0, b1?,?, bn ?1 ???? n-1, 0,?, 0 , ?

故由归纳假设,有 ai? ? bi? , i ? 1, 2,?, n ? 1 . 再由 T 与 T 互逆,有
T ? a0 , a1 ,?, an ?? 1, a1 ,? , an ?1 , 0 ? ? ,
T ? b0 , b1 ,? , bn ?? 1, b1?,?, bn?1 ,0 ? ,

?1

所以 ai ? bi , i ? 1, 2,?, n ,从而唯一性得证.

???9 分

(Ⅲ)显然 ai ? i (i ? 1, 2,?, n) ,这是由于若对某个 i0 , ai0 ? i0 ,则由变换的定义可知, ai0 通过变换,不能变为 0 .由变换 T 的定义可知数列 A0 每经过一次变换, S k 的值或者不变, 或 者 减 少 k , 由 于 数 列 A0 经 有 限 次 变 换 T , 变 为 数 列 n, 0, , 0 , 有 Sm ? 0 , ? 时

m ? 1, 2,?, n ,
所以 Sm ? mtm (tm 为整数 ) ,于是 Sm ? am ? Sm ?1 ? am ? (m ? 1)tm ?1 , 0 ? am ? m , 所以 am 为 S m 除以 m ? 1 后所得的余数,即 am ? Sm ? [

Sm ](m ? 1) .???13 分 m ?1

- 75 -

【2012 年北京市西城区高三一模理】20.(本小题满分 13 分) 对于数列 An : a1 , a2 ,?, an (ai ? N, i ? 1, 2, ?, n) ,定义“ T 变换” T 将数列 An 变换成 : 数列 Bn : b1 , b2 , ?, bn ,其中 bi ? | ai ? ai ?1 | (i ? 1, 2,?, n ? 1) ,且 bn ? | an ? a1 | ,这种“ T 变换”记作 Bn ? T ( An ) .继续对数列 Bn 进行“ T 变换” ,得到数列 Cn ,?,依此类推,当 得到的数列各项均为 0 时变换结束. (Ⅰ)试问 A3 : 4, 2,8 和 A4 :1, 4, 2,9 经过不断的“ T 变换”能否结束?若能,请依次写 出经过“ T 变换”得到的各数列;若不能,说明理由; (Ⅱ)求 A3 : a1 , a2 , a3 经过有限次“ T 变换”后能够结束的充要条件; (Ⅲ)证明: A4 : a1 , a2 , a3 , a4 一定能经过有限次“ T 变换”后结束. 【答案】 (Ⅰ)解:数列 A3 : 4, 2,8 不能结束,各数列依次为 2, 6, 4 ; 4, 2, 2 ; 2, 0, 2 ; 2, 2, 0 ;

0, 2, 2 ; 2, 0, 2 ;?.从而以下重复出现,不会出现所有项均为 0 的情形.
分 数列 A4 :1, 4, 2,9 能结束,各数列依次为 3, 2, 7,8 ; 1,5,1,5 ; 4, 4, 4, 4 ; 0, 0, 0, 0 . ??????3 分 (Ⅱ)解: A3 经过有限次“ T 变换”后能够结束的充要条件是 a1 ? a2 ? a3 .??????4 分 若 a1 ? a2 ? a3 ,则经过一次“ T 变换”就得到数列 0, 0, 0 ,从而结束. ?????5 分 当数列 A3 经过有限次“ T 变换”后能够结束时,先证命题“若数列 T ( A3 ) 为常数列, 则 A3 为常数列” . 当 a1 ? a2 ? a3 时,数列 T ( A3 ) : a1 ? a2 , a2 ? a3 , a1 ? a3 . 由数列 T ( A3 ) 为常数列得 a1 ? a2 ? a2 ? a3 ? a1 ? a3 , 解得 a1 ? a2 ? a3 , 从而数列 A3 也 为常数列.
- 76 -

??????2

其它情形同理,得证. 在数列 A3 经过有限次“ T 变换”后结束时,得到数列 0, 0, 0 (常数列),由以上命题,它 变换之前的数列也为常数列,可知数列 A3 也为常数列. 8分 所以,数列 A3 经过有限次“ T 变换”后能够结束的充要条件是 a1 ? a2 ? a3 . (Ⅲ)证明:先证明引理: “数列 T ( An ) 的最大项一定不大于数列 An 的最大项,其中 n ? 3 ” . 证明:记数列 An 中最大项为 max( An ) ,则 0 ? ai ? max( An ) . 令 Bn ? T ( An ) , bi ? a p ? aq ,其中 a p ? aq . 因为 aq ? 0 , 所以 bi ? a p ? max( An ) , ??????9 ??????

故 max( Bn ) ? max( An ) ,证毕. 分 现将数列 A4 分为两类.

第一类是没有为 0 的项,或者为 0 的项与最大项不相邻(规定首项与末项相邻) ,此时 由引理可知, max( B4 ) ? max( A4 ) ? 1 . 第二类是含有为 0 的项,且与最大项相邻,此时 max( B4 ) ? max( A4 ) . 下面证明第二类数列 A4 经过有限次“ T 变换” ,一定可以得到第一类数列. 不妨令数列 A4 的第一项为 0 ,第二项 a 最大( a ? 0 ). (其它情形同理) ① 当数列 A4 中只有一项为 0 时,

, ? |, 若 A4 : 0, a, b, c ( a ? b, a ? c, bc ? 0 ), T (A 4): a a b,| b c? c 则

,此数列各项均不为

0
或含有 0 项但与最大项不相邻,为第一类数列; 若

A4 : 0, a, a, b (a ? b, b ? 0)





T(

4

A) ?

:a

, ; a

0

b,

T (T ( A4 )) : a, a ? b,| a ? 2b |, a ? b
此数列各项均不为 0 或含有 0 项但与最大项不相邻,为第一类数列;

- 77 -

b ?b 若 A4 : 0, a, b, a ( a ? b, b ? 0 ),则 T (A 4): a, a ? ,a b ,
一 类数列;

,此数列各项均不为 0 ,为第

若 A4 : 0, a, a, a ,则 T ( A4 ): a,0,0, a ; T (T ( A4 )) : a, 0, a, 0 ; T (T (T ( A4 ))) : a, a, a, a , 此数列各项均不为 0 ,为第一类数列. ② 当数列 A4 中有两项为 0 时,若 A4 : 0, a, 0, b ( a ? b ? 0 ),则 T (A4): a, a, b, b ,此数 列 各项均不为 0 ,为第一类数列; 若 A4 : 0, a, b, 0 ( a ? b ? 0 ),则 T ( A) : a, a ? b, b,0 , T (T ( A)) : b,| a ? 2b |, b, a ,此数 列 各项均不为 0 或含有 0 项但与最大项不相邻,为第一类数列. ③ 当数列 A4 中有三项为 0 时,只能是 A4 : 0, a, 0, 0 ,则 T ( A) : a, a, 0, 0 ,

T (T ( A)) : 0, a,0, a , T (T (T ( A))) : a, a, a, a ,此数列各项均不为 0 ,为第一类数列.
总之,第二类数列 A4 至多经过 3 次“ T 变换” ,就会得到第一类数列,即至多连续经历 ,数列的最大项又开始减少. 3 次“ T 变换” 又因为各数列的最大项是非负整数, 故经过有限次“ T 变换”后,数列的最大项一定会为 0 ,此时数列的各项均为 0 ,从而 结束. ?????13 分

- 78 -


相关文章:
2012北京市高三一模理科数学分类汇编10套
2012 北京市高三一模数学理分类汇编 1:集合、简易逻辑与函数【2012 北京市丰台区一模理】1.已知集合 A ? {x | x ? 1}, B ? {a} ,若 A ? B ? ? ...
2012北京市高三一模理科数学分类汇编10套
2012北京市高三一模理科数学分类汇编10套 隐藏>> 2012 北京市高三一模数学理分类汇编 1:集合、简易逻辑与函数【2012 北京市丰台区一模理】1.已知集合 A ? {x ...
2012北京市高三一模理科数学分类汇编(全部)
(D) 2 π 4 7 2 ,求 sin 2α 的值; 10 2012 北京市高三一模数学理分类汇编 4:数列【2012 北京市丰台区一模理10.已知等比数列 {an } 的首项为 1...
2012北京市高三一模理科数学分类汇编10:复数,推理与证明
2012北京市高三一模理科数学分类汇编10:复数,推理与证明2012北京市高三一模理科数学分类汇编10:复数,推理与证明隐藏>> 12999 数学网 www.12999.com 2012 北京市高三...
2012北京市高三一模理科数学分类汇编2:导数
2012 北京市高三一模数学理分类汇编 2:导数. 【2012 北京市海淀区一模理】 (12)设某商品的需求函数为 Q = 100 - 5P ,其中 Q, P 分别表 示需求量和价格...
2012北京市高三一模理科数学分类汇编2:导数 2
2012北京市高三一模理科数学分类汇编2:导数 2_数学_高中教育_教育专区。今日...北京市2012届高三各区二... 9页 1下载券 2012山东省各地高三一模... 10页...
2012北京市高三一模数学理分类汇编
2012 北京市高三一模数学理分类汇编 1:集合、简易逻辑与函数【2012 北京市丰台区...Card ( X ? B ) 的值最小,2,4,8 一定属于集合 X ;1,6,10, 16 ...
2012北京市高三一模理科数学分类汇编4:数列
2012北京市高三一模理科数学分类汇编4:数列 学生用,无答案学生用,无答案隐藏>> 4:数列 1. 已知等比数列 {an } 的首项为 1, 4a 1 , 2a2 , a3 ,若 成...
2012北京市高三一模理科数学分类汇编4:数列
2012 北京市高三一模数学理分类汇编 4:数列【2012 北京市丰台区一模理10.已知等比数列 {an } 的首项为 1,若 4a 1 , 2a2 , a3 ,成等差数 列,则数列 ...
更多相关标签:
高三数学理科一模卷 | 2016北京市海淀区一模 | 2014北京市中考一模 | 2016北京市朝阳区一模 | 北京市初三英语一模 | 2016北京市西城区一模 | 2016北京市东城区一模 | 北京市法律法规汇编 |