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江苏省东海高级中学2017届高三上学期期中模拟考试数学试题(WORD版,可编辑,含答案)


江苏省东海高级中学 2017 届高三上学期期中模拟考试试题 数学试题(选修历史)
一、填空题 1 已知集合 A ? {2,3}, B ? {1, a}, 若A ? B ? {2}, 则A ? B ? 2.已知复数 z 满足 ? 3 ? 4i ? z ? 1(i 为虚数单位),则 z 的实部为 .

3.某中学共有学生 2800 人,其中高一年级 970 人,高二年级 930 人,高三年级 900 人.现采用分层 抽样的方法,抽取 280 人进行体育达标检测,则抽取高二年级学生人数为 4.函数 f ( x) ? lg(? x2 ? 2 x ? 3) 的定义域为 5.右图是一个算法流程图,则输出的 x 的值是 . . x←1,y←1 开始 .

6.同时抛掷两枚质地均匀的骰子(一种各面上分别标有 1,2, 3,4,5,6 个点的正方体玩具),观察向上的点数,则两个 点数之积不小于 10 的概率为 . .

y<50 Y x←2x+y

N 输出 x

7.底面边长为 2,高为 1 的正四棱锥的表面积为

8.在平面直角坐标系 xOy 中,以直线 y ? ?2 x 为渐近线,且 经过抛物线 y 2 ? 4 x 焦点的双曲线的方程是 9.在等式 . y←2x+y

结束

5 4 9 ? ? m中,x ? 0, y ? 0 若 x ? y 的最小值为 ,则 m 为 6 x y

10.已知圆 M: x2 + y 2 - 2ay = 0(a > 0) 截直线 x + y = 0 所得线段的长度是 2 2 ,则圆 M 与圆 N:
2 (x-1) + ( y - 1)2 = 1 的位置关系是

x2 ? y 2 ? 1( n ? 1 )的两焦点为 F1 ,F2 ,点 P 在双曲线上,且满足 PF1 ? PF2 ? 2 n ? 2 , 11. 曲线 n
则 ?PF 1F 2 的面积为 12.在等差数列 {an } 中,已知首项 a1 ? 0 ,公差 d ? 0 .若 a1 ? a2 ? 60 ,a2 ? a3 ? 100 ,则 5a1 ? a5 的 最大值为 .

13. 在平面内,定点 A,B,C,D 满足 DA = DB = DC , DA ? DB = DB ? DC = DC ? DA =-2,动 点 P,M 满足 AP =1, PM = MC ,则 BM 的最大值是 .

??? ?

??? ?

???? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ???? ??? ?

??? ?

? ???? ? ????

???? ?2

1

x ? m, ?| x |, 14. 已知函数 f ( x) ? ? 2 其中 m ? 0 ,若存在实数 b,使得关于 x 的方程 f(x)=b ? x ? 2mx ? 4m, x ? m,

有三个不同的根,则 m 的取值范围是_________. 二、解答题 15(本题满分 14 分) .在? ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c .已知 b cos C ? c cos B ? 2a cos A . (1)求角 A 的大小; (2)若 AB ? AC ?

??? ? ??? ?

3 ,求 ?ABC 的面积.

16. (本题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PD⊥底面 ABCD,AD⊥AB,CD∥AB, AB ? 2 AD ? 2 , CD ? 3 , 直线 PA 与底面 ABCD 所成角为 60°,点 M、N 分别是 PA,PB 的中点. (1)求证:MN∥平面 PCD; (2)求证:四边形 MNCD 是直角梯形; (3)求证: DN ? 平面 PCB.

P

M D A

N C

B

2

17. (本题满分 14 分) 如图,在 ?ABC ? 600 , ?C ? 90? , BC ? 40 米的直角三角形地块中划出一块矩形 CDEF 地块进行 绿化. (1)若要使矩形地块的面积不小于 300 3 平方米,求 CF 长的取值范围; (2)当矩形地块面积最大时,现欲修建一条道路 MN ,把矩形地块分成面积为 1:3 的两部分, 且点 M 在边 CF 上,点 N 在边 CD 上,求 MN 的最小值. A

E

D

B

F

C

(第 17 题图)

18. (本题满分 16 分)

x2 y 2 3 1 ? ? 1(a ? b ? 0) 过点 P(1, ) ,离心率 e= ,右顶点为 A,右焦点为 F. 2 2 a 2 b2 (1)求椭圆 E 的标准方程;
已知椭圆 E: (2)若经过 F 的直线 l (不与 x 轴重合)交椭圆 E 与 B,C 两点,延长 BA,CA,分别交右准线于 M, N 两点.求证:FN⊥FM.

y B F

N
A

O C

x

M

(第 18 题图)

3

19.(本小题满分 16 分) 已知数列 ?an ? 的首项 a1 ?

3 3an , an ?1 ? , n ? 1, 2,? . 5 2an ? 1

(1)求证:数列 ?

?1 ? ? 1? 为等比数列; ? an ?

(2) 记 Sn ?

1 1 1 ? ? ? ,若 Sn ? 100 ,求最大的正整数 n . a1 a2 an

(3)是否存在互不相等的正整数 m, s, n ,使 m, s, n 成等差数列且 am ?1, as ?1, an ?1 成等比数列, 如果存在,请给出证明;如果不存在,请说明理由.

20. (本题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? ax ?
3

3 2 x ? 1( x ? R) ,其中 a ? 0 . 2

(1)若 a ? 1 ,求曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程; (2)若对 ?x ? [ ?1, ] ,不等式 f ( x) ? a 2 恒成立,求 a 的取值范围.

1 2

4

江苏省东海高级中学 2017 届高三上学期期中模拟考试试题 数学试题(选修历史)答案
一、填空题: (1) ? 1,2,3? (8) x ?
2

(2)

3 (3)93 (4) (?1,3) 25

(5)59

(6)

5 6

(7) 4 2 (14) ?3,???

49 y2 ? 1 (9)30 (10)相交(11)1 (12)200 (13) 4 4

二、解答题: 15、(1)由正弦定理知: sin B cos C ? sin C cos B ? 2 sin A cos A ,即 sin(B ? C ) ? 2 sin A cos A 则 sin A ? 2 sin A cos A ,在三角形中, sin A ? 0,? cos A ? (2)若 AB ? AC ? 3 ,则 AB ? AC cos A ? 的面积 S ? 16、略 17、 (1)设 CF ? x ,则 BF ? 40 ? x . 因为 ?ABC ? 60 ,所以 EF ? 3(40 ? x) ,所以 SCDEF ? 3x(40 ? x) .
0

1 ? , 即A ? 2 3
则 ?ABC

1 AB ? AC ? 3 ,即 AB ? AC ? 2 3 2

1 3 AB ? AC sin A ? 2 2

由于矩形地块的面积不小于 300 3 ,所以有 3x(40 ? x) ? 300 3 , 解得 CF 长度的取值范围为 ?10,30? ; (2)由(1)可知 SCDEF ? 3x(40 ? x) ≤ 3(

x ? 40 ? x 2 , ) ? 400 3 ( x ? (0,40) ) 2

当 x ? 20 时取最大值.所以矩形地块的面积最大值为 400 3 . 由题意可知,当矩形的面积被分为两块的面积之比为 1:3 时, 则有 S CMN ?

1 S CDF = 100 3 . 2

设 CM ? m, CN ? n ,则有 mn ? 200 3 (0 ? m ? 20,0 ? n ? 20) , 所以 MN ?

m2 ? n 2 ? 2mn = 20 4 3 ,

当且仅当 m ? n ? 200 3 时取最小值.

5

9 ?1 ? a 2 ? 4b2 ? 1, 2 ? ? ?a ? 4, x2 y 2 ?c 1 18. (1)由题意得 ? ? , 解之得 ? 2 所以椭圆 E 的标准方程为 ? ?1. 4 3 ? b ? 3. ?a 2 ? ?a 2 ? b 2 ? c 2 , ? ?

(2)由(1)知,A(2,0) ,F(1,0) ,右准线方程为 x ? 4 .

3 3 当直线 l 与 x 轴垂直时,l 方程为 x =1 ,可得 B,C 两点坐标分别为 (1, ),(1, ? ) . 2 2
所以直线 BA 方程为
y?0 x?2 = ,当 x =4 时,得 y = ? 3 ,即 M (4, ? 3) ; 3 ? 0 1? 2 2

直线 CA 方程为

y?0 x?2 = ,当 x =4 时,得 y =3 ,即 N (4,3) . 3 1 ? 2 ? ?0 2

???? ? ??? ? 因此 FM ? (3, ?3), FN ? (3,3), ???? ? ??? ? FM ? FN ? 3 ? 3+( ? 3) ? 3=0 ,即 FN⊥FM.
当直线 l 与 x 轴不垂直时,设其方程为 y ? k ( x ? 1) (k ? 0) .

? x2 y2 ? 1, ? ? 4k 2 ? 6 k 2 +1 由题意得 ? 4 解之得 x = ,代入直线 l 方程得 3 4k 2 +3 ? y ? k ( x ? 1), ?
B( 4k 2 ? 6 k 2 ? 1 6k k 2 ? 1 ? 3k 4k 2 ? 6 k 2 ? 1 ?6k k 2 ? 1 ? 3k , ), C ( , ). 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3

直线 BA 方程为

y?0 6k k ? 1 ? 3k ?0 4k 2 ? 3
2

=

x?2 4k ? 6 k 2 ? 1 ?2 4k 2 ? 3
2



当 x=4 时,得 M (4,

6k k 2 +1 ? 3k 3 k 2 +1 ? 2k 2 ? 3

) ,所以 FM ? (3,

6k k 2 ? 1 ? 3k 3 k 2 ? 1 ? 2k 2 ? 3

).

同理可求得 FN ? (3,

6k k 2 ? 1 ? 3k 3 k 2 ? 1 ? 2k 2 ? 3 ?

). 6k k 2 ? 1 ? 3k

? FM ? FN ? 9 ?

6k k 2 ? 1 ? 3k

3 k 2 ? 1 ? 2k 2 ? 3 3 k 2 ? 1 ? 2k 2 ? 3

?9?

36k 4 ? 27k 2 36k 2 (k 2 ? 1) ? 9k 2 ? 9 ? ?0, ? 4k 4 ? 3k 2 9(k 2 ? 1) ? (2k 2 ? 3) 2

所以 FN⊥FM.

6

综上,对于任意与 x 轴不重合的直线 l,都有 FN⊥FM.

19、 (1)∵

1 2 1 1 1 1 1 1 ,∴ ? ? ?1 ? ? ,且∵ ? 1 ? 0 ,∴ ? 1 ? 0( n ? N* ) ,∴数列 an ?1 3 3an a1 an an ?1 3an 3

?1 ? ? ? 1? 为等比数列. ? an ?
(2)由(1)可求得

1 2 1 1 1 ? 1 ? ? ( )n ?1 ,∴ ? 2 ? ( ) n ? 1 . an 3 3 an 3

1 1 ? n ?1 1 1 1 1 1 1 3 3 ? n ?1? 1 , Sn ? ? ? ? ? ? n ? 2( ? 2 ? ? ? n ) ? n ? 2 ? 1 a1 a2 an 3 3 3 3n 1? 3 1 若 Sn ? 100 ,则 n ? 1 ? n ? 100 ,∴ nmax ? 99 . 3
(3)假设存在,则 m ? n ? 2s,(am ?1) ? (an ?1) ? (as ?1)2 ,

3n 3n 3m 3s ? 1) ? ( m ? 1) ? ( s ? 1) 2 .化简得: 3m ? 3n ? 2 ? 3s , ∵ an ? n ,∴ ( n 3 ?2 3 ?2 3 ?2 3 ?2
∵ 3m ? 3n ? 2 ? 3m?n ? 2 ? 3s ,当且仅当 m ? n 时等号成立. 又 m, n, s 互不相等,∴不存在.

20.解: (1)由

,所以

又 切线方程为:

,所以

所以切线方程为

(2)



因为

,所以





递增,在

递减

要使对

,不等式

恒成立,即

1.当

时,即

时,



递增,在

递减

7

所以

2.当

时,即

时,



递增,在

递减,在

递增

①当 ②当 即 时



所以



都成立

综合 1,2 得:

8

AS

9

10

11

12

13

14

1? q ? 2

15

16

17

18

ABE

ACE

19

20


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