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高二上月考题(解几立几)


高二上月考试题(解几立几)
一、选择题(共 50 分,共 10 个小题,每个小题 5 分) 1.设 ? , ? 是两个不同的平面, l 是一条直线,以下命题正确的是 ( C ) A.若 l ? ? , ? ? ? ,则 l ? ? B.若 l / /? , ? / / ? ,则 l ? ? C.若 l ? ? , ? / / ? ,则 l ? ? D.若 l / /? , ? ? ? ,则 l ? ? 2. 若直线 l 1 : ax + (1 ? a ) y ? 3 ? 0 与直线 l ( D ) A. ? 3 B. ?
2

: (a ? 1) x ? (2a ? 3) y ? 2 ? 0

互相垂 直,则 a 的值为

3 D. 1 或 ? 3 2 3.设抛物线的顶点在原点,准线方程为 x ? ?2 ,则抛物 线的方程是(
C. 0 或 ? A. y ? ?8x
2

1 2

B ) D. y ? 4 x
2

B. y ? 8 x
2

C. y ? ?4 x
2

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0 ? 2 9 4.设双曲线 a 的渐近线方程为 3x ? 2 y ? 0 ,则 a 的值为(
A.4 B.3 C .2 D.1

C



5.抛物线 y ? 4x 2 上的一点 M 到焦点的距离为 1,则点 M 的纵坐标为( B ) A.

17 16

B.

15 16

C.

7 8

D.0

6.已知三棱锥 S ? ABC 的各顶点都在一个半径为 r 的球面上, 球心 O 在 AB 上,SO ? 底面 ABC , AC ? A. π B. 2 π

2r ,则球的体积与三棱锥体积之比是( D )
C. 3π D. 4 π

【分析】 :如图, ? AB ? 2r, ?ACB ? 90 , BC ? 2r,

1 1 1 1 ?V三棱锥 ? ? SO ? S ?ABC ? ? r ? ? 2r ? 2r ? r 3 , 3 3 2 3 4 3 4 3 1 3 V球 ? ? r ,?V球 : V三棱锥 ? ? r : r ? 4? . 3 3 3
7.一个棱锥的三视图如图,则该棱锥的全面积(单位:c m )为( A (A)48+12 2 (C)36+12 2 (B)48+24 2 (D)36+24 2
2



8.给定下列四个命题: ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行 ,那么这两 个平面相互平行; ②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; ③垂直于同一直线的两条直线相互平行; ④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中,为真命题 的是( D ) A.①和② B.②和③ C..③和④
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D.②和④

解析:①错, ②正确, ③错, ④正确.故选 D 9.在圆 x ? y ? 2x ? 6 y ? 0 内,过点 E(0,1)的最长弦和最短弦分别是 AC 和 BD,则四边形 ABCD 的 面积为( B )
2 2

A. 5 2

B. 10 2

C. 15 2

D. 20 2

10.已知点 A(3,2) ,F 为抛物线 y 2 ? 2 x 的焦点,点 P 在抛物线上移动,当 PA ? PF 取得最小 值时, 点 P 的坐标是( (A) (0,0) ; B ) (B) (2,2) ;

(C) (-2,-2)

(D) (2,0)

二、填空题(共 25 分,共 5 个小题,每个小题 5 分)

x2 y2 ? 2 ? 1( a ? 0, b ? 0) 2 b 11.已知点 (2, 3) 在双曲线 C:a 上, C 的焦距为 4, 则它的离心率为 【答案】2



2 12.在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点 F1 , F2 在 x 轴上,离心率为 2 .过点 F1 的直 线 l 交 C 于 A,B 两点,且 ?ABF2 的周长为 16,那么 C 的方程为_________.

x2 y 2 ? ?1 【答案】 16 8 x 2 y2 ? =1上一点P到双曲线右焦点的距离是4,那么点 13. 双 曲 线 64 36 P 到左准线的距离
是 .

56 【答案】 5 【解析】 a ? 8, b ? 6,c ? 10 ,点 P 显然在双曲线右支上,点 P 到左焦点的距离为 14 ,所以 14 c 5 56 ? ? ?d ? d a 4 5
M 是侧棱 14.如图,已知正三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 的各条棱长都相等,

CC1 的中点,则异面直线 AB1和BM 所成的角的大小是
答: 90 。 15.以下四个关于圆锥曲线的命题中:
0



①设 A、B 为两个定点,k 为正常数, | PA | ? | PB |? k ,则动点 P 的轨迹为椭圆;

x2 y 2 x2 ? ? 1 与椭圆 ? y 2 ? 1 有相同的焦点; 25 9 35 2 ③方程 2 x ? 5x ? 2 ? 0 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率; 5 25 x2 y 2 ? ?1. ④和定点 A(5,0) 及定直线 l : x ? 的距离之比为 的点的轨迹方程为 4 4 16 9
②双曲线 其中真命题的序号为 _________. 答:②③

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三、解答题(共 75 分) 16.(本小题满分 13 分)已知圆 C1 : x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0 与直线 l : x ? 2 y ? 4 ? 0 相交于 A,B 两点. (1)求弦 AB 的长; (2) 若圆 C2 经过 E (1, ?3), F (0, 4) , 且圆 C2 与圆 C1 的公共弦平行于直线 2 x ? y ? 1 ? 0 , 求圆 C2 的方程. 16.解: (1)圆心到直线 l 的距离 d ?

1 4 5 5 ,所以 | AB |? 2 1 ? ? . 5 5 5

(2)设圆 C2 的方程为 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 , 则公共弦所在的直线方程为: ( D ? 2) x ? ( E ? 2) y ? F ? 0 , 所以

D?2 E?4 ? 即 D ? 2E ? 6 . 2 1

?1 ? 9 ? D ? 3E ? F ? 0, ? D ? 6, ? ? ? ? E ? 0, 又因为圆 C2 经过 E (1, ?3), F (0, 4) ,所以 ? 16 ? 4 E ? F ? 0, ? ? F ? ?16. D ? 2 E ? 6, ? ?
所以圆 C2 的方程为 x2 ? y 2 ? 6x ?16 ? 0 . 17.(本小题满分 13 分)已知椭圆的顶点与双曲线 椭圆的焦点在 x 轴上,求椭圆的方程.

13 y 2 x2 ? ? 1 的焦点重合,它们的离心率之和为 ,若 5 4 12

x2 y 2 y 2 x2 ? ? 1 ? ? 1 的焦距为 2 c1 ,离 ,其离心率为 ,焦距为 2 ,双曲线 e c a 2 b2 4 12 c c 3 13 3 2 心率为 e1 ,则有 c1 ① ? 4 ? 1 2 ? 1, 6 c1 =4∴ e1 ? 1 ? 2 ∴ e ? ? 2 ? ,即 ? a 5 2 5 5 2 a 2 ? b2? c 2 ③ 又 b ? c1 =4 ② 由①、 ②、③可得 a ? 25
解:设所求椭圆方程为

x2 y 2 ? ?1 ∴ 所求椭圆方程为 25 16
18.(本小题满 分 13 分)如图,已知点 P 在正方体 ABCD ? A?B?C ?D? 的对角线 BD? 上, ?PDA ? 60? . (Ⅰ)求 DP 与 CC ? 所成角的大小; (Ⅱ)求 DP 与平面 AA?D ?D 所成角的大小. z 18.解析:如图,以 D 为原点, DA 为单位长建立空间直角坐标系 D ? xyz . 则 DA ? (1 , 0, 0) , CC? ? (0, 01) , .连结 BD , B ?D ? . 在平面 BB ?D ?D 中,延长 DP 交 B ?D ? 于 H .

D? A?
D A

H P

C?

B?
C B y

DA ?? 60 , 设 DH ? (m,m, 1)(m ? 0) ,由已知 ? DH,
x
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, DH ? 由 DA DH ? DA DH cos ? DA
可得 2m ? 2m2 ?1 .解得 m ?

2 , 2

2 2 ?0 ? ? 0 ? 1? 1 ? 2 2 ? 2 2 ? ?? 2 , , 1 CC ? 所以 DH ? ? . (Ⅰ)因为 cos ? DH, , ? ? 2 2 ? 2 1? 2 ? ?
所以 ? DH, CC? ?? 45 .即 DP 与 CC ? 所成的角为 45 . (Ⅱ)平面 AA?D ?D 的一个法向量是 DC ? (0, 1, 0) .

2 2 ?0? ? 1 ? 1? 0 1 2 2 DC ?? ? , 所以 ? DH, 因为 cos ? DH, DC ?? 60 . 2 1? 2
可得 DP 与平面 AA?D ?D 所成的角为 30 . 19.(本小题满分 12 分)已知直线 l : kx ? y ? 1 ? 2k ? 0(k ? R ) (1)证明:直线 l 过定点; (2)若直线 l 交 x 轴负半轴于 A ,交 y 轴正半轴于 B , ?ABC 的面积为 S ,求 S 的最小值并求此时直线

l 的方程。

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(II) 以 D 为原点,DA, DC, DD1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴, 建立空间直角坐标系, 不妨设 DA ? 1 , 则 D(0,0,0), A(1,0,0), B(1,1,0), C1 (0, 2, 2), A 1 (1,0, 2).

? DA1 ? (1,0,2), DB ? (1,1,0).
设 n ? ( x, y, z) 为平面 A 1BD 的一个法向量, 由 n ? DA 1 , n ? DB 得 ?

?x ? 2 y ? 0 ,取 z ? 1 ,则 n ? (?2, ?2,1) . ? x? y ?0

设 m ? ( x1 , y1 , z1 ) 为平面 C1BD 的一个法向量,由 m ? DC , m ? DB 得 ?

?2 y1 ? 2 z1 ? 0 , ? x1 ? y1 ? 0

取 z1 ? 1,则 m ? (1, ?1,1) . cos ? m, n ??

m?n m n

?

?3 3 ?? . 3 9? 3

由于该二面 角 A1 ? BD ? C1 为锐角,所以所求的二面角 A1 ? BD ? C1 的余弦值为

3 . 3

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21. (本小题满分 12 分) 已知椭圆的一个顶点为 A (0, -1) , 焦点在 x 轴上.若右焦点到直线 x ? y ? 2 2 ? 0 的距离为 3. (1) 求椭圆的方程; (2) 设椭圆与直线 y ? kx ? m (k ? 0) 相交于不同的两点 M、N.当 AM ? AN 时,求 m 的取值范围.

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