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浙江省温州市第二外国语学校2014-2015学年高二数学下学期知识竞赛试题 文


温州二外 2014 学年第二学期高二学科知识竞赛 数学 试题(文科)
(考试时间:120 分钟 参考公式: 柱体的体积公式 V ? Sh 的高 锥体的体积公式 V ? 1 Sh
3

满分:100 分) 其中 S 表示柱体的底面积,h 表示柱体

其中 S 表示锥体的底面积,h 表示锥体

的高 台体的体积公 式 V ? 1 h( S1 ? S1S 2 ? S 2 )
3

其中 S1,S2 分别表示台体的上,下底面积 其中 R 表示球的半径,h 表示台体的高 其中 R 表示 球的半径

球的表面积公式 S ? 4? R2 球的体积公式 V ? 4 ? R 3 3

选择题部分(共 32 分) 一、选择题(每题 3 分,每小题只有一个正确答案) 1.设集合 A ? {x | x ? 1 ? 0} , B ? {x | ?2 ? x ? 3} , 则集合 A ? B 等于 (A){x | ?1 ? x ? 3} ( )

( B){x | ?2 ? x ? ?1} (C){x | ?2 ? x ? ?1}( D){x |1 ? x ? 3} ( )

2. 下列函数中,其图象既是轴对称图形又在区间 (0, ??) 上单调递增的是 (A) y ? 3.

1 x
? ? ? ?

(B) y ? ? x ? 1
2

(C) y ? 2 )

x

(D) y ? lg | x ? 1|

下列函数中,图象的一部分如图所示的是( (A) y ? cos ? 2 x ?

??
? 6? ? 3?

(B) y ? sin ? 2 x ?

? ?

??
? 6?

(C) y ? cos ? 4 x ? 4.
?

??

(D) y ? sin ? x ?

? ?

??
? 6?
( ) 第 3 题图

设 x, y ? R 且x ? 2 y ? 4 ,则 lg x ? lg y 的最大值是 (A) ? lg 2 (B) lg 2 (C) 2 lg 2 (D)2

5.

已知 ?an ? 为等比数列,则“ a1 ? a2 ? a3 ”是“ ?an ? 为递减数列”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件





1

(C)充要条件

(D)既不充分也不必要条件

6.已知 a , b 是空间中两不同直线, ? , ? 是空间中两不同平面,下列命题中正确 的是( ▲ ) .. (A)若直线 a / / b , b ? ? ,则 a / /? (B)若平面 ? ? ? , a ? ? ,则 a / / ? (C)若平面 ? / / ? , a ? ? , b ? ? ,则 a / / b (D)若 a ? ? , b ? ? , a / / b ,则 ? / / ? 7. 设 F1 , F2 分别是双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点, P 是 C 的右支上的点,射 a 2 b2
1 | F1 F2 | ,则 C 的离心 3

O 作 PT 的平行线交 PF1 于点 M , 若 | MP |? 线 PT 平分 ?F 1PF 2 , 过原点
率为( ) (A)

3 2

(B)3

(C)

2

(D)

3

? 2 ? a, x ? 0 ? 8. 已知函数 f ( x) ? ? x ? 2 , 若对任意的 a ? (?3,??) , 关于 x 的方程 f ( x) ? kx 都 ? ? f ( x ? 1) ? 1, x ? 0
有 3 个不同的根,则 k 等于( ) A.1 B.2 C.3 D.4

非选择题部分(共 68 分)] 二、填空题(本大题共 7 小题,每题 4 分,共 28 分) 9.设数列{an }是公差为 d 的等差数列,a1+ a 3+ a 5=105,a 2+ a 4+ a 6 ? 99.则 d ? = . ;an

10. 已 知 f ( x) ? 2 s i n ? 2x ?

? ?

??

?? ? ? ,则 f ? ? = 3? ?3?

; 若 f ( x) = 2 , 则 满 足 条 件 的 x 的 集 合

为 . 11.某空间几何体的三视图(单位:cm)如图 所示,则其体积是 的面积是 cm .
2

cm , 其侧视图

3

? x ≥1 , ? 12.设实数 x , y 满足 ? y ≥ x ? 1, 则动点 P ( x , y ) 所形成 ? ? x ? y ≤ 3,
区域的面积为 是 .
2



z ? x2 ? y2 的 取 值 范 围

13.已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? ? f ( x) ,当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? x2 , 则 f (2015) ? 14. 定 义 : 曲 线 C 上 的 点 到 点 P 的 距 离 的 最 小 值 称 为 曲 线 C 到 点 P 的 距 离 。 已 知 圆

C : x2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 6 ? 0 到点 P(a, a) 的距离为 2 ,则实数 a 的值为



15.设正 ?ABC 的面积为 2,边 AB, AC 的中点分别为 D, E , M 为 线段 DE 上的动点,则

???? ???? ? ??? ?2 MB ? MC ? BC 的最小值为_____________.
三、解答题:本大题共 4 小题,共 40 分.解答请写在答卷纸上,应 写出文字说明,证明过程或 演算步骤. 16. ( 本 小 题 满 分 8 分 ) 锐 角 ?ABC 的 内 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a , b, c , 已 知

C cos ? B ? A? ? 2 s2 i n 2
(Ⅰ)求 sin A sin B 的值;

.

(Ⅱ)若 a ? 3, b ? 2 ,求 ?ABC 的面积.

17.(本小题满分 10 分) 如图,正方形 ABCD 与等边三角形 ABE 所 在的平面互相垂直, M , N 分别是 DE, AB 的中点. (Ⅰ)证明: MN ∥平面 BCE ; (Ⅱ)求二面角 N ? AM ? E 的正切值.

3

18. (本小题满分 10 分)已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 2Sn ? 3 ? 3an ( n ? N * ) . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? (n ? 1) log
3

an ,记 Tn ?

1 1 1 ? ? ? ? ? ? ,求证: 2Tn ? 1. b 1 b2 bn

19. ( 12 分) 如 图所示, 抛物线 C : y 2 ? 2 px( p ? 0) 与直线 AB : y ? 相切于点 A . (I)求 p , b 满足的关系式,并用 p 表示点 A 的坐标;

1 x?b 2

(II)设 F 是抛物线的焦点,若以 F 为直角顶角的 RtV AFB 的面积 等于 25 ,求抛物线 C 的标准方程.

(第 19 题图)

温州二外 2014 学年第二学期高二学科知识竞赛
4

数学试题(文科)参考答案 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四 个选项中,只有一项符 合题目要求. 题号 答案 1 A 2 D 3 A 4 B 5 C 6 D 7 A 8 C

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 9. ?2;    41 ? 2n 10.0 11.4, ; { x | x ? k? ?

?
12

, k ? Z};

12 5

12. 1, 13.-1

? 1, 5 ?

14. ?2, 0, 2

15.

5 3 2

三、解答题:本大题共 4 小题,共 40 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (Ⅰ)由条件得 cos(B-A)=1-cosC=1+cos(B+A),所以 cosBcosA+sinBsinA =1+cosBcosA- sinBsinA,即 sinAsinB=

1 ; 2
,又 sin A sin B

(Ⅱ)?

sin A a 3 ? ? sin B b 2

?

3 3 1 ,解得: sin A ? , ,sin B ? 2 2 3

因为是锐角三角形,? cos A ?

1 6 , ,cos B ? 2 3 3 2? 3 6

sin C ? sin ? A ? B ? ? sin A cos B ? cos Asin B ?

1 1 3 2? 3 3 2? 3 . S? ? ab sin C ? ? 3 ? 2 ? ? 2 2 6 2
17.(Ⅰ)设 CE 中点为 P,连接 MP,PB 易知 MP ? NB, MP ? NB

5

所以 MNBP 是平行四边形,? MN ? PB 由 A ? ?1,3? , B ? ??1,1, 2,3? 所以 MN ∥平面 BCE (Ⅱ)建立空间直接坐标系: AB 为 y 轴, AD 为 z 轴, 平面 ABE 内过 A 点且与 AB 垂直的线为 x 轴。 不 妨设 AB=2 则 A ? 0, 0, 0 ? , N ? 0,1, 0 ? , E ;

?

? 3 1 ? 3,1, 0 , D ? 0, 0, 2 ? , M ? ? 2 , 2 ,1? ? ? ?

?

设 n ? ? x, y, z ? 是平面 AMN 的法向量

?

? ? x, y, z ? ? ? 0,1, 0 ? ? 0 ? ???? ? ???? y?0 ? ? ? n ? AN ? 0 ? ? n ? AN ? ? ?? ?? 3 ? 3 1 ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ???? x? z ?0 ?n ? AM ?n ? AM ? 0 ?? x, y, z ? ? ? ? ? ? ? 2 , 2 ,1? ??0 ? 2 ? ? ? ? 取 n ? 2, 0, ? 3

?

?

设 AE 中点为 Q,AQ 中点为 R,易知 NR ? BQ , NR ? AE , NR ? 平面 AEM

? ? 3 3 ? ? 3 3 ? ??? , ? , 0 ? NR ?? ? ? 4 ? 4 ,? 4 ,0? ? 4 ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ??? ? n ? NR 1 ∵ cos n, NR ? ? ??? ? ? 7 n NR
∵ R? ∴正切值为 6 18. (本小题满分 15 分)解: (I)当 n ? 1 时, 2S1 ? 3 ? 2a1 ? 3 ? 3a1 ,得 a1 ? 3 当 n ? 2 时, 2Sn ? 3 ? 3an ?? ①

2Sn?1 ? 3 ? 3an?1 ?? ②
①-②,得: 2an ? 3an ? 3an?1 ,即 an ? 3an?1 ,

?{an } 为公比为 3,首项为 3 的等比数列,
. ? an ? 3 ? 3n?1 ? 3n ( n ? N * ) (II) bn ? (n ? 1) log
3

3n ? 2n(n ? 1) ,

?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) , bn 2n(n ? 1) 2 n n ? 1

6

?Tn ?
?
? Tn ?

1 1 1 ? ? ... ? b1 b2 bn
1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ? ? ? ? ... ? ? ) ? (1 ? ) 2 2 2 3 n n ?1 2 n ?1
1 ,即 2Tn ? 1 . 2

? y 2 ? 2 px ? 19. (本题满分 15 分)解: (I)联立方程组 ? 消元得: y 2 ? 4 py ? 4bp ? 0 ①?2 分 1 ?y ? x ?b ? 2

Q 相切

? V? 16 p2 ?16bp ? 0

得: b ? p ② ??4 分 解得 xA ? 2 p

将②代入①式得: y 2 ? 4 py ? 4 p2 ? 0

yA ? 2 p

? A(2 p, 2 p)
(II) Q F (

p , 0) 2

? k AF ?

2p p 2p ? 2

?

4 3

Q AF ? BF

? k BF ? ?

1 3 ?? k AF 4

3 p 3 3p ? 直线 BF 的方程为 y ? ? ( x ? ) ? ? x ? 4 2 4 8

3 3p p ? ? y ? ? x ? x ? ? ? ? ? ? 4 8 2 ?? 由? 3 p ? y ? 1 x? p ?y? ? ? ? 4 ? 2

即 B(?

p 3p , ) 2 4

p 5p ? | AF |? (2 p ? )2 ? 4 p 2 ? 2 2
? S?ABF ?
1 25 2 | AF || BF |? p ? 25 2 16

| BF |? (?

p p 2 9 2 5 ? ) ? p ? p 2 2 16 4

解得 p ? 4

? 抛物线 C 的标准方程为 y 2 ? 8x

7


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