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高中数学 必修二 立体几何教案 大全


《空间立体几何》
第一课时 学习目标: 1、了解空间几何体的结构特征 2、能熟练画出空间几何体的三视图、直观图 3、能利用三视图、直观图解决有关问题 学习重点: 空间几何体的三视图、直观图 考点衔接: 1、几何体的结构特征 2、几何体的三视图 3、几何体的斜二侧画法 学习过程: 1、知识链接: 几何体的结构特征、三视图、斜二侧画法 2、预习课本 p2——p20 学习内容

: 1、多面体的结构特征 (1)棱柱的上下底面 形. (2)棱锥的底面是任意多边形,侧面是有一个 (3)棱台可由 的平面截棱锥得 的三角形. ,侧棱都 且长度 ,上底面和下底面是 的多边

到,其上下底面的两个多边形相似. 2.旋转体的结构特征 (1)圆柱可以由矩形绕其 (2)圆锥可以由直角三角形绕其 旋转得到. 旋转得到.

(3)圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等腰梯形绕上下底中点的连线旋转得到,也 可由 的平面截圆锥得到. 旋转得到.

(4)球可以由半圆或圆绕其 3.空间几何体的三视图 空间几何体的三视图是用 与平面图形的形状和大小是 4.空间几何体的直观图 画空间几何体的直观图常用

得到,这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子 的,三视图包括 、 、 .

画法,基本步骤是:

(1)在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴,两轴相交于点O,画直观图时,把它们画成对应 的x′轴、y′轴,两轴相交于点O′,且使∠x′O′y′ 5.中心投影与平行投影 .

(1)平行投影的投影线

,而中心投影的投影线 投影下画出来的图

(2)从投影的角度看,三视图和用斜二测画法画出的直观图都是在 形. 拓展练习: 1、设有以下四个命题: ①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体; ②底面是矩形的平行六面体是长方体; ③直四棱柱是直平行六面体; ④棱台的相对侧棱延长后必交于一点. 其中真命题的序号是 .

2、下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图 相同的是 A.①② C.①④ B.①③ D.②④ ( )

3、 (2009·山东,4)一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

A. 2 π? 2 3 B. 4 π?C。3 2 4、一个平面四边形的斜二测画法的直观图

D. 2 π?

2 3 3

是一个边长为a的正方形,则原平面四边形的面积是多少?

5、 如图所示,直观图四边形 A′B′C′D′是一个底角为 45°, 腰和上底均为 1 的等腰梯形,那么原平面图形的面
A’

y’

B’

O’

C’

x’

(5) (6) 6、如图所示, △ABC 的直观图△A’B’C’,这里△A’B’ C’是边长为 a 的正三角形, 作出△ABC 的平面图 ,并求△ABC 的面积. 第二课时 一、教学目标 1.知识与技能 (1)通过实物操作,增强学生的直观感知。 (2)能根据几何结构特征对空间物体进行分类。 (3)会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征。 (4)会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。 2.过程与方法 (1)让学生通过直观感受空间物体,从实物中概括出柱、锥、台、球的几何结构特征。 (2)让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。 3.情感态度与价值观 (1)使学生感受空间几何体存在于现实生活周围,增强学生学习的积极性,同时提高学生 的观察能力。 (2)培养学生的空间想象能力和抽象括能力。 二、教学重点、难点 重点:让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。 难点:柱、锥、台、球的结构特征的概括。 三、教学用具 (1)学法:观察、思考、交流、讨论、概括。 (2)实物模型、投影仪 四、教学思路

(一)创设情景,揭示课题 1.教师提出问题:在我们生活周围中有不少有特色的建筑物,你能举出一些例子吗? 这些建筑的几何结构特征如何?引导学生回忆,举例和相互交流。教师对学生的活动及时 给予评价。 2.所举的建筑物基本上都是由这些几何体组合而成的,(展示具有柱、锥、台、球结 构特征的空间物体) ,你能通过观察。根据某种标准对这些空间物体进行分类吗?这是我们 所要学习的内容。 (二)、研探新知 1.引导学生观察物体、思考、交流、讨论,对物体进行分类,分辩棱柱、圆柱、棱 锥。 2.观察棱柱的几何物件以及投影出棱柱的图片,它们各自的特点是什么?它们的共 同特点是什么? 3.组织学生分组讨论,每小组选出一名同学发表本组讨论结果。在此基础上得出棱 柱的主要结构特征。(1)有两个面互相平行;(2)其余各面都是平行四边形;(3)每相 邻两上四边形的公共边互相平行。概括出棱柱的概念。 4.教师与学生结合图形共同得出棱柱相关概念以及棱柱的表示。 5.提出问题:各种这样的棱柱,主要有什么不同?可不可以根据不同对棱柱分类? 请列举身边具有已学过的几何结构特征的物体,并说出组成这些物体的几何结构特 征?它们由哪些基本几何体组成的? 6.以类似的方法,让学生思考、讨论、概括出棱锥、棱台的结构特征,并得出相关 的概念,分类以及表示。 7.让学生观察圆柱,并实物模型演示,如何得到圆柱,从而概括出圆标的概念以及 相关的概念及圆柱的表示。 8.引导学生以类似的方法思考圆锥、圆台、球的结构特征,以及相关概念和表示, 借助实物模型演示引导学生思考、讨论、概括。 9.教师指出圆柱和棱柱统称为柱体,棱台与圆台统称为台体,圆锥与棱锥统称为锥 体。 10.现实世界中,我们看到的物体大多由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物 体组合而成。请列举身边具有已学过的几何结构特征的物体,并说出组成这些物体的几何 结构特征?它们由哪些基本几何体组成的? (三)质疑答辩,排难解惑,发展思维,教师提出问题,让学生思考。 1.有两个面互相平行,其余后面都是平行四边形的几何体是不是棱柱(举反例说 明,如图) 2.棱柱的何两个平面都可以作为棱柱的底面吗?

3.课本 P8,习题 1.1 A 组第 1 题。 4.圆柱可以由矩形旋转得到,圆锥可以由直角三角形旋转得到,圆台可以由什么图 形旋转得到?如何旋转? 5.棱台与棱柱、棱锥有什么关系?圆台与圆柱、圆锥呢? 柱、锥、台、球的结构特征(二)

第二课时 2 教学要求: 通过实物模型,观察大量的空间图形,认识台体、球体及简单组合体的结构特 征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. 教学重点: 让学生感受大量空间实物及模型,概括出台体、球体的结构特征. 教学难点: 柱、锥、台、球的结构特征的概括. 教学过程: 一、复习准备: 1. 结合棱柱、棱锥、圆柱、圆锥的几何图形,说出:定义、分类、表示、 2. 结合棱柱、棱锥、圆柱、圆锥的几何图形,说出各几何体的一些几何性质? 二、讲授新课: 1. 教学棱台与圆台的结构特征: ① 讨论:用一个平行于底面的平面去截柱体和锥体,所得几何体有何特征? ② 定义:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的部分叫做棱台;用一 个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面和底面之间的部分叫做圆台. →列举生活中的实例 结合图形认识:上下底面、侧面、侧棱(母线)、顶点、高. 讨论:棱台的分类及表示? 圆台的表示?圆台可如何旋转而得? ③ 讨论:棱台、圆台分别具有一些什么几何性质? 棱台:两底面所在平面互相平行;两底面是对应边互相平行的相似多边形;侧面是梯 形;侧棱的延长线相交于一点. 圆台:两底面是两个半径不同的圆;轴截面是等腰梯形;任意两条母线的延长线交于一 点;母线长都相等. ④ 讨论:棱、圆与柱、锥、台的组合得到 6 个几何体. 棱台与棱柱、棱锥有什么关系?圆 台与圆柱、圆锥有什么关系? (以台体的上底面变化为线索) 2.教学球体的结构特征: ① 定义:以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体,叫球体. →列举生活中的实例 结合图形认识:球心、半径、直径. → 球的表示. ② 讨论:球有一些什么几何性质? ③ 讨论:球与圆柱、圆锥、圆台有何关系?(旋转体) 棱台与棱柱、棱锥有什么共性?(多面体) 3. 教学简单组合体的结构特征:

① 讨论:矿泉水塑料瓶由哪些几何体构成?灯管呢? ② 定义:由柱、锥、台、球等几何结构特征组合的几何体叫简单组合体. →列举生活中的实例 4. 练习:圆锥底面半径为1cm,高为 2 cm,其中有一个内接正方体,求这个内接正方体 的棱长. (补充平行线分线段成比例定理) 5. 小结:学习了柱、锥、台、球的定义、表示;性质;分类. 三、巩固练习: 1. 练习:书 P8 A 组 1~4 题. 2. 已知长方体的长、宽、高之比为 4∶3∶12,对角线长为 26cm, 则长、宽、高分别为多 少? 3. 棱台的上、下底面积分别是 25 和 81,高为 4,求截得这棱台的原棱锥的高 4. 若棱长均相等的三棱锥叫正四面体,求棱长为 a 的正四面体的高. 第三课时 一、教学目标 1、知识与技能 (1)通过对柱、锥、台体的研究,掌握柱、锥、台的表面积和体积的求法。 (2)能运用公式求解,柱体、锥体和台全的全积,并且熟悉台体与术体和锥体之间 的转换关系。 (3)培养学生空间想象能力和思维能力。 2、过程与方法 (1)让学生经历几何全的侧面展一过程,感知几何体的形状。 (2)让学生通对照比较,理顺柱体、锥体、台体三间的面积和体积的关系。 3、情感与价值 通过学习,使学生感受到几何体面积和体积的求解过程,对自己空间思维能力影 响。从而增强学习的积极性。 二、教学重点、难点 重点:柱体、锥体、台体的表面积和体积计算 难点:台体体积公式的推导 三、学法与教学用具 1、学法:学生通过阅读教材,自主学习、思考、交流、讨论和概括,通过剖析实物 几何体感受几何体的特征,从而更好地完成本节课的教学目标。 2、教学用具:实物几何体,投影仪 四、教学设想 1、创设情境 (1)教师提出问题:在过去的学习中,我们已经接触过一些几何体的面积和体积的 求法及公式,哪些几何体可以求出表面积和体积?引导学生回忆,互相交流,教师归类。 (2)教师设疑:几何体的表面积等于它的展开圈的面积,那么,柱体,锥体,台体 的侧面展开图是怎样的?你能否计算?引入本节内容。 2、探究新知 (1)利用多媒体设备向学生投放正棱柱、正三棱锥和正三棱台的侧面展开图

(2)组织学生分组讨论:这三个图形的表面由哪些平面图形构成?表面积如何求? (3)教师对学生讨论归纳的结果进行点评。 3、质疑答辩、排难解惑、发展思维 (1)教师引导学生探究圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图的结构,并归纳出其表面积的 计算公式:

S圆台表面积 ? ?(r'2 ?r 2 ? r' l ? rl )
r 为上底半径 r 为下底半径 l 为母线长 (2)组织学生思考圆台的表面积公式与圆柱及圆锥表面积公式之间的变化关系。
1

(3) 教师引导学生探究:如何把一个三棱柱分割成三个等体积 的棱锥?由此加深学生对等底、等高的锥体与柱体体积之间的关系 的了解。如图:

(4)教师指导学生思考,比较柱体、锥体,台体的体积公式之间存在的关系。

(s’,s 分别我上下底面面积,h 为台柱高) 4、例题分析讲解 (课本)例 1、 例 2、 例 3 5、巩固深化、反馈矫正 教师投影练习 1、已知圆锥的表面积为 a ㎡,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的底面 2 (答案: 3a? m ) 直径为 。 3? 2、棱台的两个底面面积分别是 245c ㎡和 80c㎡,截得这个棱台的棱锥的高为 3 35cm,求这个棱台的体积。 (答案:2325cm ) 6、课堂小结 本节课学习了柱体、锥体与台体的表面积和体积的结构和求解方法及公式。用联系 的关点看待三者之间的关系,更加方便于我们对空间几何体的了解和掌握。 7、评价设计 习题 1.3 A 组 1.3 球的体积和表面积 教学要求: 了解球的表面积和体积计算公式;能运用柱锥台球的表面积公式及体积公式进行

计算和解决有关实际问题. 教学重点: 运用公式解决问题. 教学难点: 运用公式解决问题. 教学过程: 一、复习准备: 1. 提问:柱、锥、台的体积计算公式?圆柱、圆锥的侧面积、表面积计算公式? 2. 两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的三段,求圆锥分成的三部分的侧面积 之比、三部分的体积之比. 二、讲授新课: 1. 教学球的表面积及体积计算公式: ① 讨论:大小变化的球,其体积、表面积与谁有关? ② 给出公式: V 球 = ? R3 ; S 球面 =4 ? R

4 3

2.

(R 为球的半径)

→讨论:公式的特点;球面是否可展开为一个平面图形? (证明的基本思想是:“分割→求体积和→求极限→求得结果”,以后的学习中再证明球 的公式) ③ 出示例:圆柱的底面直径与高都等于球的直径. 求球的体积与圆柱体积之比;证明球的 表面积等于圆柱的侧面积. 讨论:圆柱与球的位置关系?(相切) → 几何量之间的关系(设球半径 R,则?) → 师生共练 → 小结:公式的运用. → 变式:球的内切圆柱的体积 ④练习:一个气球的半径扩大 2 倍,那么它的表面积、体积分别扩大多少倍? 2. 体积公式的实际应用: 3 ① 出示例:一种空心钢球的质量是 142g,外径是 5.0cm,求它的内径. (钢密度 7.9g/cm ) 讨论:如何求空心钢球的体积? → 列式计算 → 小结:体积应用问题. ② 有一个倒圆锥形容器,它的轴截面是一个正三角形,在容器内放入一个半径为 R 的球, 并注入水,使水面与球正好相切,然后将球取出,求此时容器中水的深度. ③ 探究阿基米德的科学发现:图中所示的圆及其外切正方形绕图中由虚线表示的对称轴旋 转一周生成的几何体称为圆柱容球。在圆柱容球中,球的体积是圆柱体积的 积也是圆柱全面积的

2 ,球的表面 3

2 . 3

三、巩固练习: 1. 一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长为 6cm,求这个球的表面积和体积。 2. 如果球的体积是 V 球,它的外切圆柱的体积是 V 圆柱,外切等边圆锥的体积是 V 圆锥,求这 三个几何体体积之比. 3. 如图,求图中阴影部分绕 AB 旋转一周所形成的几何体的表面积和体积。 *4.一个正方体的内切球的体积为 V,求正方体的棱长。若球与正方体的各棱相切,则正 方体的棱长是多少? 5. 求正三棱柱的外接圆柱体体积与内切圆柱体积之比. 6. 已知球的一个截面的面积为 9π ,且此截面到球心的距离为 4, 求此球的表面积和体积.

一、教学目标: 1、知识与技能 (1)利用生活中的实物对平面进行描述; (2)掌握平面的表示法及水平放置的直观图; (3)掌握平面的基本性质及作用; (4)培养学生的空间想象能力。 2、过程与方法 (1)通过师生的共同讨论,使学生对平面有了感性认识; (2)让学生归纳整理本节所学知识。 3、情感与价值 使用学生认识到我们所处的世界是一个三维空间,进而增强了学习的兴趣。 二、教学重点、难点 重点:1、平面的概念及表示; 2、平面的基本性质,注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言。 难点:平面基本性质的掌握与运用。 三、学法与教学用具 1、学法:学生通过阅读教材,联系身边的实物思考、交流,师生共同讨论等,从而较好地 完成本节课的教学目标。 2、教学用具:投影仪、投影片、正(长)方形模型、三角板 四、教学思想 (一)实物引入、揭示课题 师:生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等等,都给我们以平面的印 象,你们能举出更多例子吗?引导学生观察、思考、举例和互相交流。与此同时,教师对 学生的活动给予评价。 师:那么,平面的含义是什么呢?这就是我们这节课所要学习的内容。 (二)研探新知 1、平面含义 师:以上实物都给我们以平面的印象,几何里所说的平面,就是从这样的一些物体中抽象 出来的,但是,几何里的平面是无限延展的。 2、平面的画法及表示 师:在平面几何中,怎样画直线?(一学生上黑板画) 之后教师加以肯定,解说、类比,将知识迁移,得出平面的画法:水平放置的平面通常画 0 成一个平行四边形,锐角画成 45 ,且横边画成邻边的 2 倍长(如图)

D α A B

C

平面通常用希腊字母α 、β 、γ 等表示,如平面α 、平面β 等,也可以用表示平面的平行 四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示,如平面 AC、平面 ABCD 等。 如果几个平面画在一起,当一个平面的一部分被另一个平面遮住时,应画成虚线或不画 (打 出投影片)

β

β

α

α

·B 课本 P41 图 2.1-4 说明 平面内有无数个点,平面可以看成点的集合。 点 A 在平面α 内,记作:A∈α 点 B 在平面α 外,记作:B ? α ·A

α

2.1-4 3、平面的基本性质 教师引导学生思考教材 P41 的思考题,让学生充分发表自己的见解。 师:把一把直尺边缘上的任意两点放在桌边,可以看到,直尺的整个边缘就落在了桌面 上,用事实引导学生归纳出以下公理 公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内 (教师引导学生阅读教材 P42 前几行相关内容,并加以解析) 符号表示为 A∈L A B∈L => L α α · ·B L A∈α B∈α 公理 1 作用:判断直线是否在平面内 师:生活中,我们看到三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪等等?? 引导学生归纳出公理 2 公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 A B α · C · 符号表示为:A、B、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α , · 使 A∈α 、B∈α 、C∈α 。 公理 2 作用:确定一个平面的依据。 教师用正(长)方形模型,让学生理解两个平面的交线的含义。 引导学生阅读 P42 的思考题,从而归纳出公理 3 公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直 线。 β 符号表示为:P∈α ∩β =>α ∩β =L,且 P∈L P α 公理 3 作用:判定两个平面是否相交的依据 · L 4、教材 P43 例 1 通过例子,让学生掌握图形中点、线、面的位置关系及符号的正确使用。 5、课堂练习:课本 P44 练习 1、2、3、4 6、课时小结:(师生互动,共同归纳)

(1)本节课我们学习了哪些知识内容?(2)三个公理的内容及作用是什么? 7、作业布置 (1)复习本节课内容; (2)预习:同一平面内的两条直线有几种位置关系?

§2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 一、教学目标: 1、知识与技能 (1)了解空间中两条直线的位置关系; (2)理解异面直线的概念、画法,培养学生的空间想象能力; (3)理解并掌握公理 4; (4)理解并掌握等角定理; (5)异面直线所成角的定义、范围及应用。 2、过程与方法 (1)师生的共同讨论与讲授法相结合; (2)让学生在学习过程不断归纳整理所学知识。 3、情感与价值 让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性,提高学生的学习兴趣。 二、教学重点、难点 重点:1、异面直线的概念; 2、公理 4 及等角定理。 难点:异面直线所成角的计算。 三、学法与教学用具 1、学法:学生通过阅读教材、思考与教师交流、概括,从而较好地完成本节课的教学目 标。 2、教学用具:投影仪、投影片、长方体模型、三角板 四、教学思想 (一)创设情景、导入课题 1、通过身边诸多实物,引导学生思考、举例和相互交流得出异面直线的概念:不同在任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线。 2、师:那么,空间两条直线有多少种位置关系?(板书课题) (二)讲授新课 1、教师给出长方体模型,引导学生得出空间的两条直线有如下三种关系: 相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点; 共面直线 平行直线:同一平面内,没有公共点; 异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点。 教师再次强调异面直线不共面的特点,作图时通常用一个或两个平面衬托,如下图:

2、(1)师:在同一平面内,如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线互相平 行。在空间中,是否有类似的规律? 组织学生思考: 长方体 ABCD-A'B'C'D'中, BB'∥AA',DD'∥AA', BB'与 DD'平行吗? 生:平行 再联系其他相应实例归纳出公理 4 公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为:设 a、b、c 是三条直线 a∥b =>a∥c c∥b 强调:公理 4 实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。 公理 4 作用:判断空间两条直线平行的依据。 (2)例 2(投影片) 例 2 的讲解让学生掌握了公理 4 的运用 (3)教材 P47 探究 让学生在思考和交流中提升了对公理 4 的运用能力。 3、组织学生思考教材 P47 的思考题 (投影)

让学生观察、思考: ∠ADC 与 A'D'C'、∠ADC 与∠A'B'C'的两边分别对应平行,这两组角的大小关系如何? 0 生:∠ADC = A'D'C',∠ADC + ∠A'B'C' = 180 教师画出更具一般性的图形,师生共同归纳出如下定理 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。 教师强调:并非所有关于平面图形的结论都可以推广到空间中来。 4、以教师讲授为主,师生共同交流,导出异面直线所成的角的概念。 (1)师:如图,已知异面直线 a、b,经过空间中任一点 O 作直线 a'∥a、b'∥b,我们把 a'与 b'所成的锐角(或直角)叫异面直线 a 与 b 所成的角(夹角)。

(2)强调:

① a'与 b'所成的角的大小只由 a、b 的相互位置来确定,与 O 的选择无关,为了简便,点 O 一般取在两直线中的一条上; ? ② 两条异面直线所成的角θ ∈(0, ); 2 ③ 当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作 a⊥b; ④ 两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形; ⑤ 计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 (3)例 3(投影) 例 3 的给出让学生掌握了如何求异面直线所成的角,从而巩固了所学知识。 (三)课堂练习 教材 P49 练习 1、2 充分调动学生动手的积极性,教师适时给予肯定。 (四)课堂小结 在师生互动中让学生了解: (1)本节课学习了哪些知识内容? (2)计算异面直线所成的角应注意什么? (五)课后作业 1、判断题: (1)a∥b c⊥a => c⊥b ( ) (1)a⊥c b⊥c => a⊥b ( ) 2、填空题: 在正方体 ABCD-A'B'C'D'中,与 BD'成异面直线的有 ________ 条。

§2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、 平面与平面之间的位置关系 一、教学目标: 1、知识与技能 (1)了解空间中直线与平面的位置关系; (2)了解空间中平面与平面的位置关系; (3)培养学生的空间想象能力。 2、过程与方法 (1)学生通过观察与类比加深了对这些位置关系的理解、掌握; (2)让学生利用已有的知识与经验归纳整理本节所学知识。 二、教学重点、难点 重点:空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系。 难点:用图形表达直线与平面、平面与平面的位置关系。 三、学法与教学用具 1、学法:学生借助实物,通过观察、类比、思考等,较好地完成本节课的教学目标。 2、教学用具:投影仪、投影片、长方体模型 四、教学思想 (一)创设情景、导入课题

教师以生活中的实例以及课本 P49 的思考题为载体,提出了:空间中直线与平面有多少种 位置关系?(板书课题) (二)研探新知 1、引导学生观察、思考身边的实物,从而直观、准确地归纳出直线与平面有三种位置关 系: (1)直线在平面内 —— 有无数个公共点 (2)直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 (3)直线在平面平行 —— 没有公共点 指出:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用 a α 来表示

a α a∩α =A a∥α 例 4(投影) 师生共同完成例 4 例 4 的给出加深了学生对这几种位置关系的理解。 2、引导学生对生活实例以及对长方体模型的观察、思考,准确归纳出两个平面之间有两种 位置关系: (1)两个平面平行 —— 没有公共点 (2)两个平面相交 —— 有且只有一条公共直线 用类比的方法,学生很快地理解与掌握了新内容,这两种位置关系用图形表示为 α L

β α ∥β

α

β

α ∩β = L

教师指出:画两个相互平行的平面时,要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平 行。 教材 P51 探究 让学生独立思考,稍后教师作指导,加深学生对这两种位置关系的理解 教材 P51 练习 学生独立完成后教师检查、指导 (三)归纳整理、整体认识 教师引导学生归纳,整理本节课的知识脉络,提升他们掌握知识的层次。 (四)作业 1、让学生回去整理这三节课的内容,理清脉络。 2、教材 P52 习题 2.1 A 组第 5 题

《直线与方程》
第一课时

直线的倾斜角与斜率习题课
一、学习目标: 知识与技能:理解直线的倾斜角和斜率的概念.理解并掌握两条直线平行与垂直的条件, 能用直线的倾斜角与斜率的关系来判定两条直线平行与垂直。 过程与方法:通过两条直线的位置去研究它们的倾斜角与斜率的关系,实现用代数方法解 决几何问题 情感态度与价值观:(1) 通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭 示,培养学生观察、探索能力,运用数学语言表达能力,数学交流与评价能力.(2) 通过 斜率概念的建立和斜率公式的推导,帮助学生进一步理解数形结合思想,培养学生树立辩 证统一的观点,培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神. 二、学习重、难点 学习重点:两条直线平行和垂直的判定,要求学生能熟练掌握,并灵活运用. 学习难点: 直线的倾斜角、斜率的对应关系,求直线的倾斜角和斜率的范围 三、学法指导及要求: 1、认真研读教材 82---85 页,认真思考、独立规范作答,认真完成每一个问题,每一 道习题,不会的先绕过,做好记号.2、把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以 及解题方法规律,及时整理在解题本,多复习记忆.(尤其是正切的三角函数值,斜率的计 算公式必须牢记)3、A:自主学习;B:合作探究;C:能力提升 4、小班、重点班完成全部, 平行班至少完成 A.B 类题.平行班的 A 级学生完成 80%以上 B 完成 70%~80%C 力争完成 60%以上. 四、知识链接: 1.直线的倾斜角的范围: 2. 直线的斜率: 3. 过 P( x1 , y1 )和 Q( x2 , y2 )的直线的斜率公式: 当 x1 = x2 时,直线斜 率 4.k=0 时,直线 x 轴或与 x 轴 ;k>0 时,直线的倾斜角为 ,k 增大,直 线的倾斜角也 ;k<0 时,直线的倾斜角为 ,k 值增大,直线的倾斜角 也 。 5. l1∥l2 ? ,;l1⊥l2 ? 五、学习过程: 题型一:已知两点坐标求直线斜率 经过下列两点直线的斜率是否存在,若存在,求其斜率 (1) (1,1),(-1,-2) (2) (1,-1),(-2,4) (3) (-2,-3),(-2,3) 题型二:求直线的倾斜角 设直线 L 过坐标原点,它的倾斜角为 ? ,如果将 L 绕坐标远点按逆时针方向旋转 45 ? ,得到 直线 L1 那么 L1 的倾斜角为 ( ) ? ? 45? ? ?135 ? A. B. C. 135 ? ? ? D. 当? ? ?0, ?)时,为? ? 45?;当? ? ?

3 4

?3 ?,?) ? ? 135? ,为 ?4

变式:已知直线 L1 的倾斜角为 ? ,则 L1 关于 x 轴对称的直线 L1 的倾斜角 ? = 题型三:斜率与倾斜角关系 当斜率 k 的范围如下时,求倾斜角 ? 的变化范围:

(1)k ? ?1

(2)k ? 1

(3) ? 3 ? k ? 3

题型四:利用斜率判定三点共线 已知三点 A(a,2),B(5,1),C(-4,2a)在同一条直线上,求 a 的值。

题型五:平行于垂直的判定 已知 A(1,-1),B(2,2),C(3,0)三点,求点 D 的坐标,使直线 CD ? AB, 且 CB//AD. 题型六:综合应用 已知两点 A(-3,4),B(3,2),过点 P(2,-1)的直线 L 与线段 AB 有公共点,求直线 L 的斜率 k 的取值范围 变式:若三点 A(3,1),B(-2,k),C(8,1)能够成三角形,求实数 k 的取值范围。 六、达标训练: A1.下列命题正确的个数是 ( ) 1) 若 a 是直线 L 的倾斜角,则 0? ? a ? 180 ? 2)若 k 是直线的斜率,则 k ? R 3)任一直线都有倾斜角,但不一定有斜率 4)任一直线都有斜率,但不一定有倾斜角 A.1 B.2 C.3 D.4 A2.直线 L 过 ( a, b) , (b, a ) 两点,其中 a ? b, ab ? 0 则 A.L 与 x 轴垂直 B. L 与 y 轴垂直 ( ) D.L 的倾斜角为

C.L 过原点和一,三象限

135 ?
B3.已知点 A(1,1 ? 2 3), B(?1,1) ,直线 L 的倾斜角是直线 AB 的倾斜角的一半,则 L 的斜率 为 ( A.1 )

B.

3 3

C. 3

D.不存在 ( )

B4.直线 L 经过二、三、四象限,L 的倾斜角为 a,斜率为 k,则

B..k cos a ? 0 C.k sin a ? 0 12 A5.已知直线 L 的倾斜角为 a , cos a ? ,则此直线的斜率为 13
B6.若 A(1 ? a,?5), B(a,2a),C (0,?a) 三点共线,则 a=

A.k sin a ? 0

D.k cos a ? 0


C7.已知四边形 ABCD 的顶点为 A(m, n), B(6,1),C (3,3), D(2,5) ,求 m 和 n 的值,使四边形 ABCD 为直角梯形。

第二课时
(一) 例 1.一条直线经过点 P1(-2,3),斜率为 2,求这条直线的方程。 分析:应用点斜式方程 解:由直线的点斜式方程得 y-3=2(x+2),即 2x-y+7=0. 点评:寻找点斜式的条件,然后直接用 o 变式 1:在例 1 中,若将“斜率为 2”改为“倾斜角为 45 ”,求这条直线的方程; o 变式 2:在例 1 中,若将直线的倾斜角改为 90 ,这条直线的方程是什么? 例 2.已知直线 l 的斜率为 k,与 y 轴的交点是 P(0,b),求直线 l 的方程。 分析:同例 1,直接用 解:根据直线的点斜式方程,得直线 l 的方程为 y-b=k(x-0),即 y=kx+b 点评:介绍截距和斜截式方程的概念 由点斜式方程可知,若直线过点 B(0, b) 且斜率为 k ,则直线的方程为: y ? kx ? b 方程 y ? kx ? b 称为直线的斜截式方程.简称斜截式.其中 b 为直线在 y 轴上的截距. 变式:(1)斜率是 5,在 y 轴上的截距是 4 的直线方程。 解:由已知得 k =5, b= 4,代入斜截式方程 y= 5x + 4 例 1.一条直线经过点 P1(-2,3),斜率为 2,求这条直线的方程。 解:由直线的点斜式方程得 y-3=2(x+2),即 2x-y+7=0. o 变 1:在例 1 中,若将“斜率为 2”改为“倾斜角为 45 ”,求这条直线的方程; o 变 2:在例 1 中,若将直线的倾斜角改为 90 ,这条直线的方程是什么? 例 2.已知直线 l 的斜率为 k,与 y 轴的交点是 P(0,b),求直线 l 的方程。 变式:(1)斜率是 5,在 y 轴上的截距是 4 的直线方程。

(二) 例 1:求过 A(2,1), B(3, ?3) 两点的直线的两点式方程,并转化成点斜式. 分析:直接代入两点式方程 解:

y ? (?3) x ? 3 ? 1 ? (?3) 2 ? 3

点斜式(y-1)=-4(x-2) 练习:教材 P97 面 1 例 2:已知直线 l 与 x 轴的交点为 A(a,0),与 y 轴的交点为 B(0,b),其中 a≠0, b≠0 求 l 的方程 解析:说明(1)直线与 x 轴的交点(a,0)的横坐标 a 叫做直线在 x 轴的截距,此时直线 在 y 轴的截距是 b;

当直线 l 不经过原点时,其方程可以化为 其中

x y ? ? 1 ⑵, 方程⑵称为直线的截距式方程, a b

直线 l 与 x 轴交于点 ( a,0) ,与 y 轴交于点 (0, b) ,即 l 与 x 轴、 y 轴的截距分别为 a , b 点评:截距式适用于横、纵截距都存在且都不为 0 的直线 变式:1.求过点 P(2, 3),并且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程。 上题中改为求截距的绝对值相等的直线方程,结果如何? 例 3:已知三角形的三个顶点 A(-5,0),B(3,-3),C(0,2)求 BC 所在直线的方 程,以及该边上中线所在直线的方程。 解:将 B,C 两点代入两点式,得

y ? (?3) x ? 3 ? 2 ? (?3) 0 ? 3

整理,得:5x+3y-6=0,这就是直线 BC 的方程。

x1 ? x 2 ? ?x ? 2 ? 设 BC 的中点为 M(x,y),由中点坐标公式 ? ,得 ? y ? y1 ? y 2 ? 2 ?
3?0 ?3? 2 3 1 , ) ,即 M( ,? ) 2 2 2 2 y?0 x?5 中线 AM 所在的直线方程为: ,整理,得:x+13y+5=0 ? 1 3 ? ?0 ?5 2 2
M( 变式:求过点 P(2, 3),并且在 x 轴上的截距是在 y 轴上的截距 2 倍的直线的方程。 2.求经过点 P(-5,4),且在两坐标轴上的截距相等的直线方程. 3.已知直线 l 经过点 P(1,2),并且点 A(2,3)和点 B(4,-5)到直线 l 的距离相等,求 直线 l 的方程.

(三) 例 1.已知直线经过点 (6, 4) ,斜率为 ?

4 ,求直线的点斜式和一般式方程. 3

分析:直接用点斜式写出,然后化简。 解:所求的直线方程为: y+4=-

4 (x-6),化为一般式: 4x+3y-12=0。 3

点评:对刚学的知识进行检验。 变式: 求经过 A(3,-2)B(5,-4)的直线方程,化为一般式。 例 2、把直线 l 的一般式方程 x-2y+6=0 化成斜截式,求出直线 l 的斜率以及它 在 x 轴与 y 轴上的截距,并画出图形。 分析:对式子变形,考察对截距的理解。

解:将直线 l 的一般式方程化成斜截式: y=

1 x+3 2 1 ,它在 y 轴上的截距为 3。 2

因此,直线的斜率为 k=

在直线方程 x-2y+6=0 中,令 y=0,得 x=-6 过两点可以画一条直线,就是直线 l 的图形。 直线与 x 轴、y 轴的交点分别为 A(-6,0),B(0,3) 直线在 x 轴上的截距为-6。 点评:考察对截距的理解,对式子进行变形,然后描点连续。 变式:已知直线 l 经过点(-2,2)且与两坐标轴围成单位面积的三角形,求该直线 的方程。 例 1.已知直线经过点 (6, 4) ,斜率为 ?

4 ,求直线的点斜式和一般式方程. 3

分析:直接用点斜式写出,然后化简。 解 变式: 求经过 A(3,-2)B(5,-4)的直线方程,化为一般式。 例 2、把直线 l 的一般式方程 x-2y+6=0 化成斜截式,求出直线 l 的斜率以及它 在 x 轴与 y 轴上的截距,并画出图形。 分析:对式子变形,考察对截距的理解。 变式:已知直线 l 经过点(-2,2)且与两坐标轴围成单位面积的三角形,求该直线 的方程。 课后练习与提高 1.若直线 Ax ? By ? C ? 0 通过第二、三、四象限,则系数 A、B、C 满足条件( A (A)AB<0 C<0 (B)AC<0,BC>0 (C)C=0,AB<0 (D)A=0,BC<0 )

2. 直线 Ax+By+C=0 通过第一、二、三象限,则(C ) (A) A·B>0,A·C>0 (B) A·B>0,A·C<0 (C) A·B<0,A·C>0 (D) A·B<0,A·C<0 3. 设 A、B 是 x 轴上的两点,点 P 的横坐标为 2,且│PA│=│PB│,若直线 PA 的方程 为 x-y+1=0,则直线 PB 的方程是(C ) A.2y-x-4=0 B.2x-y-1=0 C.x+y-5=0 D.2x+y-7=0 4.若直线 l 在 x 轴上的截距-4 时,倾斜角的余弦值是-3/5, 4 y ? ? ( x ? 4) 则直线 l 的点斜式方程是___________ 3 直线 l 的斜截式方程是___________ 直线 l 的一般式方程是___________ 5.已知直线 l1:x-ay-1=0 和 l2:a2x+y+2=0,若 l1⊥l2,求 a 的值.

4 y ? ? ( x ? 4) 3

6.直线 x ? m y ? 6 ? 0 与直线 (m ? 2) x ? 3m y ? 2m ? 0 没有公共点,求实数 m 的
2

值。

2m ? 6 ? ?3, m ? 2m ? 3
2

答案 ACC 4. 4x+3y+16=0 6.方法(1)解:由题意知

5 提示利用 A1A2+B1B2=0

? x ? m2 y ? 6 ? 0 即有(2m 2 -m 3 +3m)y=4m-12 ? ?(m ? 2) x ? 3my ? 2m ? 0 因为两直线没有交点,所以方程没有实根,所以2m 2 -m 3 +3m=0 ?m (2m-m 2 +3)=0 ? m=0或m=-1或m=3 当m=3时两直线重合,不合题意,所以m=0或m=-1
方法(2)由已知,题设中两直线平行,当

m ? 2 3m 2m m ? 2 3m m ? 0时, = 2 ? 由 = 2 得m ? 3或m ? ?1 1 m 6 1 m 3m 2m 由 2 ? 得m ? ?3所以m ? ?1 m 6
当 m=0 时两直线方程分别为 x+6=0,-2x=0,即 x=-6,x=0,两直线也没有公共点, 综合以上知,当 m=-1 或 m=0 时两直线没有公共点。

第三课时
教 学 过 程 与 内 容 师生活动

一、复习引入: 斜率存在时两直线的平行与垂直:

l1 // l 2 ? k 1 = k 2 且 b1 ? b2

l1 ∥ l 2 ?

A1 B1 C1 ? ? ? A2 B2C2 ? 0? A2 B2 C2

l1 ? l 2 ? k1 k 2 ? ?1 .
二、讲解新课: 1.点到直线距离公式:

l1 ? l 2 ? A1 A2 ? B1 B2 ? 0 .

点 P( x0 , y0 ) 到直线 l : Ax ? By ? C ? 0 的距离为: d ? (1)提出问题

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2

在平面直角坐标系中,如果已知某点 P 的坐标为 ( x0 , y0 ) ,直线 l 的方程是

l : Ax ? By ? C ? 0 ,怎样用点的坐标和直线的方程直接求点 P 到直线 l 的距离
呢? (2)解决方案 方案一:根据定义,点 P 到直线 l 的距离 d 是点 P 到直线 l 的垂线段的长. 设点 P 到直线 l 的垂线段为 PQ,垂足为 Q,由 PQ⊥ l 可知,直线 PQ 的斜率为

B (A≠0) ,根据点斜式写出直线 PQ 的方程,并由 l 与 PQ 的方程求出点 Q 的坐 A 标;由此根据两点距离公式求出|PQ|,得到点 P 到直线 l 的距离为 d
此方法虽思路自然,但运算较繁.下面我们探讨别一种方法 作直线 m 通过点 P ? x0 , y0 ? ,并且与直线 l 垂直,设垂足为 Q ? x1, y1 ? , 则直线 m 的方程: B ? x ? x0 ? ? A? y ? y0 ? ? 0 , 又 Q ? x1, y1 ? 在直线 m 上,则: B ? x1 ? x0 ? ? A? y1 ? y0 ? ? 0 , 又 Q ? x1, y1 ? 在直线 l 上,则 Ax1 ? By1 ? C ? 0 ,即 C ? ? Ax1 ? By1 所以 Ax0 ? By0 ? C ? Ax0 ? By0 ? ? ? Ax1 ? By1 ? 即 A? x0 ? x1 ? ? B ? y0 ? y1 ? ? Ax0 ? By0 ? C (2) (1)

?1? ? ? 2?
2

2

2 2 2 : ? A2 ? B2 ? ?? x1 ? x0 ? ? ? y1 ? y0 ? ? ? ? Ax0 ? By0 ? C ? ? ?
2 2

即: ? x1 ? x0 ? ? ? y1 ? y0 ?

? Ax0 ? By0 ? C ? ?

2

?A

2

? B2 ?

.
Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2
y R d P(x0,y0)

点 P( x0 , y0 ) 到直线 l : Ax ? By ? C ? 0 的距离为 d ? 方案二:设 A≠0,B≠0,这时 l 与 x 轴、 y 轴都相 交,过点 P 作 x 轴的平行线,交 l 于点 R( x1 , y0 ) ;

Q o S x l

教 学 过 程 与 内 容 作 y 轴的平行线,交 l 于点 S ( x0 , y2 ) , 由?

师生活动

? By0 ? C ? Ax0 ? C ? A1 x1 ? By0 ? C ? 0 , y2 ? 得 x1 ? . A B Ax0 ? By2 ? C ? 0 ?

所以,|PR|=| x0 ? x1 |= |PS|=| y0 ? y2 |= |RS|= PR ? PS
2 2

Ax0 ? By0 ? C A

Ax0 ? By0 ? C B
? A2 ? B 2 ×| Ax0 ? By0 ? C | AB

由三角形面积公式可知: d ·|RS|=|PR|·|PS| 所以 d ?

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2

,可证明,当 A=0 或 B=0 时,以上公式仍适用

2.两平行线间的距离公式 已知两条平行线直线 l1 和 l 2 的一般式方程为 l1 : Ax ? By ? C1 ? 0 ,

l 2 : Ax ? By ? C2 ? 0 ,则 l1 与 l 2 的距离为 d ?

C1 ? C 2 A2 ? B 2

证明:设 P0 ( x0 , y0 ) 是直线 Ax ? By ? C 2 ? 0 上任一点,则点 P0 到直线

Ax ? By ? C1 ? 0 的距离为 d ?
又 Ax0 ? By0 ? C2 ? 0

Ax0 ? By0 ? C1 A2 ? B 2
C1 ? C 2 A2 ? B 2

即 Ax0 ? By0 ? ?C2 ,∴d=

三、讲解范例: 例 1 求点 P0 (?1,2) 到下列直线的距离. (1) 2 x ? y ? 10 ? 0 ;(2) 3 x ? 2 解:(1)根据点到直线的距离公式得 d ?

2 ? (?1) ? 2 ? 10 2 2 ? 12
2 5 ? ( ?1) |? 3 3

?2 5

(2)因为直线 3 x ? 2 平行于 y 轴,所以 d ?|

评述:此例题(1)直接应用了点到直线的距离公式,要求学生熟练掌握; (2)体现了求点到直线距离的灵活性,并没局限于公式. 例 2 求两平行线 l1 : 2 x ? 3 y ? 8 ? 0 , l 2 : 2 x ? 3 y ? 10 ? 0 的距离. 解法一:在直线 l1 上取一点 P(4,0),因为 l1 ∥ l 2 , 所 以 点

P

到 l 2 的 距 离 等 于 l1 与 l 2 的 距 离 . 于 是

d?

2 13 13 13 2 2 ? 32 解法二: l1 ∥ l 2 又 C1 ? ?8, C2 ? ?10 . ? 8 ? (?10) 2 3 由两平行线间的距离公式得 d ? ? 13 2 2 ? 32 ? ?

2 ? 4 ? 3 ? 0 ? 10

2

教 学 过 程 与 内 容

师生活动

四、课堂练习: 1.求原点到下列直线的距离: (1)3 x +2 y -26=0;(2) x = y 解:(1) d ?

? 26 32 ? 2 2

? 2 13 .(2)∵原点在直线 y = x 上,∴d=0

2.求下列点到直线的距离: (1)A(-2,3) x +4 y +3=0;(2)B(1,0) 3 x + y - 3 =0; ,3 , (3)C(1,-2) ,4 x +3 y =0. 解:(1) d ? (3) d ?

3 ? (?2) ? 4 ? 3 ? 3 32 ? 4 2 4 ? 1 ? 3 ? (?2) 4 2 ? 32 ? 2 5

3? 3 9 ? ; (2) d ? ? 0; 5 ( 3) 2 ? 1

3.求下列两条平行线的距离: (1)2 x +3 y -8=0,2 x +3 y +18=0, (2)3 x +4 y =10,3 x +4 y =0. 解:(1)在直线 2 x +3 y -8=0 上取一点 P(4,0) ,则点 P 到直线 2 x + 3 y +18的距离就是两平行线的距离,∴d=

2 ? 4 ? 18 2 2 ? 32
=2

? 2 13

(2)在直线 3 x +4 y =0 上取一点 O(0,0) ,则点 O 到直线 3 x +4 y =10 的距离就是两平行线的距离,∴ d ?

10 32 ? 4 2

4.已知点 A( a ,6)到直线 3 x -4 y =2 的距离 d 取下列各值,求 a 的值: (1)d=4, (2)d>4 解:(1) d ? (2) d ?

3a ? 4 ? 6 ? 2 3 2 ? (?4) 2 3a ? 4 ? 6 ? 2 3 2 ? (?4) 2

=4,解得 a =2 或 a =

46 3 46 3

>4,解得 a <2 或 a >

五、小结 :点到直线距离公式的推导过程,点到直线的距离公式,能把求两平 行线的距离转化为点到直线的距离公式 六、课后作业: P 练习 B 1,2,3. 96 反 馈 练 习 教 学 后 记

例:平面上的整点到直线 y ? 解d ?

5 4 34 x ? 的距离中的最小值是 。 3 5 85

| 25 x ? 15 y ? 12 | , 25 x ? 15 y ? 5k 5 34

?d ?

| 5k ? 12 | 34 ? k ? ?2, x ? y ? ?1时dmin ? 85 5 34

《圆与方程》
第一课时
教学目标: 1.认识圆的标 准方程并掌握推导圆的方程的思想方法 2.掌握圆的标准方程,并能根据方程写出圆心的坐标和圆的半径 3.能根据所给条件,通过求半径和圆心的方法求圆的标准方程 教学重点: 圆的标准方程及其运用 教学难点: 圆的标准方程的推导和运用 教学过程: 1.问题情境 (1)情境:河北赵州桥是世界上历史最悠久的石拱桥,其圆拱所在的曲线是圆, 我们能否表示出该圆弧所在圆的方程呢? (2)问题:○在表示方程以前我们应该先考察有没有坐标系?如果没有坐标系, 1 我们 应该怎样建立坐标系?如何找到表示方程的等式? ○回忆初中有关圆的定 2 义,怎样用方程将圆表示出来? y 2.圆的标准方程 (1)一般地,设点 P( x, y) 是以 C (a, b) 为圆心, r 为半 径 的圆上的任意一点,则 | CP |? r ,由两点间距离公式, 得到: ( x ? a ) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 即 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 (1); 反过来,若点 Q 的坐标 ( x0 , y0 ) 是方程(1)的解, 则 ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 ? r 2 ,即 ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 ? r , 这说明点 Q( x0 , y0 ) 到点 C ( a, b) 的距离为 r 即点 Q 在以 C (a, b) 为圆心,r 为半径的 圆上; 方程 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 (r ? 0) 叫做以 ( a, b) 为圆心, r 为半径的圆的标准方程; (2)当圆心在原点 (0, 0) 时,圆的方程则为 x2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) ; (3) 特 别 地 , 圆 心 在 原 点 且 半 径 为 1 的 圆 通 常 称 为 单 位 圆 ; 其 方 程 为 x2 ? y 2 ? 1. 3.例题讲解 例 1.分别说出下列圆方程所表示圆的圆心与半径: (1) ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 7 ; (3) x2 ? ( y ? 1)2 ? 3 ; (2) ( x ? 5)2 ? ( y ? 4)2 ? 18 ; (4) x2 ? y 2 ? 144 ;
C(a,b) O x P(x,y)

(5) ( x ? 4)2 ? y 2 ? 4 . 教师指出:已知圆的标准方程,要能够 熟练地求出它的圆心和半径. 例 2.根据下列条件,求出符合条件的圆的标准方程. (1)圆心为 A(2, ?3) ,半径长为 5 .

(2)圆心是 C (2,3) ,且经过原点. (3)已知两点 P(4,9) , Q(6,3) ,以线段 PQ 为直径. (4)圆心在 y ? ? x 上且过 两点 ? 2,0? , ? 0, ?4? . (5) 以点 A(1, 2) 为圆心,并且和 x 轴相切的. (6)圆心在直线 2 x ? y ? 0 上,且与直线 x ? y ? 1 ? 0 切于点 ? 2, ?1? . (7)圆心在直线 5x ? 3 y ? 8 ? 0 上,且与两坐标轴都相切. 略 解 : (1) ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 25 ; (2) ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 13 ; (3) ( x ? 5)2 ? ( y ? 6)2 ? 10 ;(4) ( x ? 3)2 ? ( y ? 3)2 ? 10 ;(5) ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 ; (6) ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 2 ;
2 2

(7) ? x ? 4 ? ? ? y ? 4 ? ? 16 或 ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 1 .
2 2 2 2

注:(1)圆的标准方程有 a, b, r 三个参数,因此求圆的方程需要三个独立的条 件;(2)解题时注意圆的性质的应用,如垂径定理,过切点的半径垂直切线等 等. 例 3.判断点 M (5, ?7) , N (? 5, ?1) 是否在例 2(1)的圆上. 解:把点 M (5, ?7) 代入方程得:(5 ? 2)2 ? (?7 ? 3)2 ? 32 ? 42 ? 25 ,即点 M (5, ?7) 的 坐标适合方程,∴点 M (5, ?7) 是这个圆上的点; 把点 N (? 5, ?1) 的坐标代入方程得: (? 5 ? 2)2 ? (?1 ? 3)2 ? 13 ? 4 5 ? 25 ,即点

N (? 5, ?1) 坐标不适合圆的方程,∴点 N 不在这个圆上;
问:点 N 在圆内还是圆外呢?(圆内) 结论:点与圆的位置关系: 点与圆心的距离为 d ,半径为 r ,则 点在圆上 ? d ? r ? ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? r 2
2 2

点在圆内 ? d ? r ? ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? r 2 ,
2 2

点在圆外 ? d ? r ? ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? r 2 . 例 4.已知隧道的截面是半径为 4 m 的圆的半圆,车辆只能在道路中心线的一侧 行驶,车辆宽度为 3m ,高为 3.5m 的货车能不能驶入这个隧道?
2 2

解:以某一截面半圆的圆心为原点,半圆的直径 AB 所在的直线为 x 轴,建立直 y 角坐标系,如图所示,那么半圆的方程为: x2 ? y 2 ? 16( y ? 0) 将 x ? 3 代入得 y ? 16 ? 32 ? 7 ? 9 ? 3 ? 3.5 即离中心线 3m 处,隧道的高度低于货车的高度 因此,该货车不能驶入这个隧道; 思考:是否有其他方法? 析:货车截面对角线与半径比较. 思考:假设货车的最大的宽度 为 am ,那么货车要驶入高隧道,限高为多少? 略解:将 x ? a 代入得 y ? 16 ? a2 即限高为 16 ? a2 m
A O 2.7 B x 4

教学目标: 1.掌握圆的一般方程并由圆的一般方程化成圆的标准方程 2.能分析题目的条 件选择圆的一般方程或标准方程解题 3.解题过程中 能分析和运用圆的几何性质 教学重点: 圆的一般方程的认识和圆的两种方程的选 择使用 教学难点: 圆的一般方程的认识过程 和判断二元二次方程是否为圆 方程 教学过程: 1.问题情境 (1)情境:方程 ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 表示怎样的图形? (2)问题:方程 ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 是几元几次方程?二元二次方程一定表示圆 吗? (3)观察方程 ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 整理后的形式 x2 ? y2 ? 2x ? 4 y ? 1 ? 0 ,得到是 关于 x, y 的二元二次方程,且 x2 , y2 项的系数相等不为零,不含有 xy 项;反过 来,像这样的二元二次方程 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 一定表示圆吗? 2.圆的一般方程 D E 1 将方 程 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 配方,得 ( x ? )2 ? ( y ? )2 ? ( D 2 ? E 2 ? 4 F ) 与圆的 2 2 4 标准方程进行比较得到: D E D2 ? E 2 ? 4F 2 2 (1)当 D ? E ? 4F ? 0 时,方程表示以 (? , ? ) 为圆心, 为半径 2 2 2 的圆; D E (2)当 D2 ? E 2 ? 4F ? 0 时,方程表示一个点 (? , ? ) ; 2 2 (3)当 D2 ? E 2 ? 4F ? 0 时,方程无实数 解,即方程不表示任何图形; 方程 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0(D2 ? E 2 ? 4F ? 0) 叫做圆的一般方程. 3.圆的一般方程的特点 当二元二次方程 Ax2 ? Bxy ? Cy 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 具有条件: (1) x 2 和 y 2 的系数相同,不等于零,即 A ? C ? 0 ; (2)没有 xy 项,即 B ? 0 ; (3) D2 ? E 2 ? 4 AF ? 0 . 它才表示圆.条件(3)通过将方程同除以 A 或 C 配方不难得出. 4.例题讲解 例 1.求过三点 O(0,0), M1 (1,1), M 2 (4, 2) 的圆的方程; 分析:由于 O(0,0), M1 (1,1), M 2 (4, 2) 不在同一条直线上,因此经过 O, M1 , M 2 三点 有唯一的圆. 解:法一:设圆的方程为 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 , ∵ O, M1 , M 2 三点都在圆上,

M M ∴ O, ? F1 ,? 02 三点坐标都满足所设方程, ?O(0,0), M1 (1,1), M 2 (4, 2) 代入所设方程, 把 ?D ? 8 ? ? 得: ? D ? E ? F ? 2 ? 0 解之得: ? E ? 6 ? 4 D ? 2 E ? F ? 20 2 ?F 所以,所求圆的方程为?x0 ? y 2 ? 8x ??6 y ? 0 . ?0 ?

法二:也可以求 OM1 和 OM 2 中垂线的交点即为圆心,圆心到 O 的距离就是半径 也可以求的圆的方程: x2 ? y 2 ? 8x ? 6 y ? 0 . 法三: 也可以设圆的标准方程:( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 将点的坐标代入后解方程组 也可以解得 ( x ? 4)2 ? ( y ? 3)2 ? 25 . 例 2.若方程 x2 ? y2 ? 2mx ? ? 2m ? 2? y ? 2m2 ? 0 表示一个圆,且该圆的圆心位于 第一象限,求实数 m 的取值范围. 解:将圆方程配方得, ? x ? m ? ? ? y ? ? m ? 1? ? ? 1 ? 2m , ? ? 1 1 ? 2m ? 0 ,? m ? . 则 2 ?m ? 0 又圆心 ? m,1 ? m? 在第一象限,? ? ? 0 ? m ? 1, 1? m ? 0 ? 1 综上: 0 ? m ? . 2 例 3.圆 C 过点 A?1,2? , B ?3,4? ,且在 x 轴上截得的弦长为 6 ,求圆 C 的方程.
2 2

解:设所求圆为 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,令 y ? 0 得, x 2 ? Dx ? F ? 0 , 则 x1 ? x2 ? ?D, x1x2 ? F ,由 x2 ? x1 ?

? x1 ? x2 ?

2

? 4 x1 x2 ? 6 得, D2 ? 4F ? 36 ,

将点 A?1,2? , B ?3,4? 代入 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 , 得 D ? 2E ? F ? ?5,3D ? 4E ? F ? ?25 ,解方程组得,
D ? 12, E ? ?22, F ? 27 或 D ? ?8, E ? ?2, F ? 7 ,

则所求圆为 x2 ? y 2 ? 12x ? 22 y ? 27 ? 0 或所求圆为 x2 ? y 2 ? 8x ? 2 y ? 7 ? 0 . 思考:是否有其他方法? 例 4.求圆心在直线 l : x ? y ? 0 上,且过两圆 C1 : x2 ? y 2 ? 2x ? 10 y ? 24 ? 0 和

C2 : x2 ?
y 2 ? 2 x ? 2 y ? 8 ? 0 交点的圆 的方程.
略 解 : 联 立 两 圆 方 程 解 得 交 点 为 ? ?4 , 0 ? , 0? , , 从 而 可 求 圆 方 程 2 ?

? x ? 3?

2

? ? y ? 3? ? 10 .
2

思考:类似直线系,能否用圆系方程来解? 5.课堂小结 (1)圆的一般方程 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 及其条件 D2 ? E 2 ? 4F ? 0 (2)方程思想求圆的一般方程

第二课时
直线与圆的位置关系 第一课时 直线与圆的位置关系(1 课时) 教学要求:理解和掌握直线与圆的位置关系,利用直线与圆的位置关系解决一些实际问 题。 教学重点:直线与圆的位置关系 教学难点:直线与圆的位置关系的几何判定.

教学过程: 一、复习准备: 1. 在初中我们知道直线现圆有三种位置关系:(1)相交,有一两个公共点;(2)相切, 只有一个公共点;(3)相离,没有公共点。 2. 在初中我们知道怎样判断直线与圆的位置关系?现在如何用直线和圆的方程判断它们之 间的位置关系? 二、讲授新课: 设直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ,圆 C : ? x ? a ? ? ? y ? b? ? r 2 圆心到直线的距离 d ?
2 2

Aa ? Bb ? C

A2 ? B2 1. 利用直线与圆的位置直观特征导出几何判定:比较圆心到直线的距离 d 与圆的半径 r ① d ? r ? 直线与圆相交 ② d ? r ? 直线与圆相切 ③ d ? r ? 直线与圆相离 2.看直线与圆组成的方程组有无实数解: 有解,直线与圆有公共点.有一组则相切: 有两组,则相交:b 无解,则相离 3.例题讲解:
例1 直线 y ? x 与圆 x2 ? ? y ? 1? ? r 2 相切,求 r 的值
2

例2 如图 1,已知直线 l : 3x ? y ? 6 ? 0 和圆心为 C 的圆 x2 ? y 2 ? 2 y ? 4 ? 0 .判断直 线 l 与圆的位置关系;如果相交,求出他们交点的坐标. 例3 如图 2,已知直线 l 过点 M ?5,5? 且和圆 C : x 2 ? y 2 ? 25 相交,截得弦长为 4 5 , 求 l 的方程 练习.已知超直线 l : 3x ? y ? 2 3 ? 0 ,圆 C : x2 ? y 2 ? 4 求直线 l 被圆 C 截得的弦长 4.小结: 判断直线与圆的位置关系有两种方法 (1) 判断直线与圆的方程组是否有解 a 有解,直线与圆有公共点.有一组则相切;有两组,则相交 b 无解,则直线与圆相离 (2) 圆心到直线的距离与半径的关系: d ? 如果 d ? r 直线与圆相交; 如果 d ? r 直线与圆相切; 如果 d ? r 直线与圆相离. 三、巩固练习: 1.圆 x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 上到直线 l : x ? y ? 1 ? 0 的距离为 2 的点的坐标 2.求圆心在直线 2 x ? y ? 3 上,且与两坐标轴相切的圆的方程. 3.若直线 4 x ? 3 y ? ? a ? 0 与圆 x 2 ? y 2 ? 100 (1)相交(2)相切(3)相离分别求实数 a 的取值范 围 四.作业:p140 4 题 第二课时 圆与圆的位置关系 教学要求:能根据给定圆的方程,判断圆与圆的位置关系; 教学重点:能根据给定圆的方程,判断圆与圆的位置关系 教学难点:用坐标法判断两圆的位置关系 教学过程: 一、复习准备 1. 两圆的位置关系有哪几种? 2. 设圆两圆的圆心距设为 d. 当 d ? R ? r 时,两圆 当 d ? R ? r 时,两圆
C2 A O

Aa ? Bb ? C A2 ? B2

B C1 图 1

当 | R ? r |? d ? R ? r 时,两圆 当 d ?| R ? r | 时,两圆 当 d ? R ? r | 时,两圆 3.如何根据圆的方程,判断它们之间的位置关系?(探讨) 二、讲授新课: 1.两圆的位置关系利用半径与圆心距之间的关系来判断 例1. 已知圆 C1 : x2 ? y 2 ? 2x ? 8 y ? 8 ? 0 ,圆 C2 : x2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 2 ? 0 ,试判断圆 C1 与 圆 C2 的关系? (配方→圆心与半径→探究圆心距与两半径的关系) 2. 两圆的位置关系利用圆的方程来判断 方法:通常是通过解方程或不等式和方法加以解决 例 2 圆 C1 的 方 程 是 : x2 ? y 2 ? 2mx ? 4 y ? m2 ? 5 ? 0 圆 C2 的 方 程 是 :

x2 ? y 2 ? 2x ? 2my ? m2 ? 3 ? 0 , m 为何值时,两圆(1)相切.(2)相交(3)相离(4)内含 思路:联立方程组→讨论方程的解的情况 (消元法、判别式法) →交点个数→位置关系) 2 2 2 2 练习:已知两圆 x ? y ? 6 x ? 0 与 x ? y ? 4 y ? m ,问 m 取何值时,两圆相切。 3.小结:判断两圆的位置关系的方法: (1)由两圆的方程组成的方程组有几组实数解确定. (2)依据连心线的长与两半径长的和 r1 ? r2 或两半径的差的绝对值的大小关系. 三、巩固练习: 2 2 2 2 1.求经过点 M(2,-2),且与圆 x ? y ? 6x ? 0 与 x ? y ? 4 交点有圆的方程
2.已知圆 C 与圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 0 相外切,并且与直线 x ? 3 y ? 0 相切于点 Q(3,- 3) ,求圆 C 的方程.
2 2 x ? 3? ? y2 ? 4 3. 求两圆 x ? y ? 1 和 ? 的外公切线方程

2

4. 求过两圆 C1 : x2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? 0 和圆 C2 : x ? y2 ? 2 y ? 4 ? 0 的交点,且圆心在直线 l : 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 上的圆的方程.
2

四、作业:P141 练习题;p144

9题

第三课时 直线与圆的方程的应用 教学要求:利用直线与圆的位置关系解决一些实际问题 教学重点:直线的知识以及圆的知识 教学难点:用坐标法解决平面几何. 教学过程: 一、复习准备: (1) 直线方程有几种形式? 分别为什么? (2)圆的方程有几种形式?分别是哪些? (3)求圆的方程时,什么条件下,用标准方程?什么条件下用一般方程? (4)直线与圆的方程在生产.生活实践中有广泛的应用.想想身边有哪些 呢? 二、讲授新课: 出示例 1.图 1 所示是某圆拱形桥.这个圆拱跨度 AB ? 20m ,拱高 OP ? 4m ,建造时每间隔 4m 需要用一根支柱支撑,求支柱 A2 B2 的高度(精确 0.01m) 出示例 2.已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直,求证圆心到一边距离等于这条边所对 这条边长的一半.(提示建立平面直角坐标系) 小结:用坐标法解题的步骤: 1 建立平面直角坐标系,将平南几何问题转化为代数问题; 2 利用公式对点的坐标及对应方程进行运算,解决代数问题:

3 根据我们计算的结果,作出相应的几何判断. .三、巩固练习: 1.赵州桥的跨度是 37.4m.圆拱高约为 7.2m.求这座圆拱桥的拱圆的方程 2.用坐标法证明:三角形的三条高线交于一点 3.求出以曲线 x2 ? y 2 ? 25 与 y ? x2 ? 13 的交点为顶点的多边形的面积. 4.机械加工后的产品是否合格,要经过测量检验某车间的质量检测员利用三个同样的量球以 及两块不同的长方体形状的块规检测一个圆弧形零件的半径.已知量球的直径为 2 厘米,并 测出三个不同高度和三个相应的水平距离,求圆弧零件的半径. .四、作业: P144 练习 4 题; 第四课时 直线、圆的方程练习课 教学要求: 教学重点: 教学难点:. 教学过程: 一、复习准备: (1)直线方程有几种形式? 分别为什么? (2) 圆的方程有几种形式?分别是哪些? (3)如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系? (4)如何根据圆的方程,判断它们之间的位置关系? 二、讲授新课 1 推导标准方程 例 1.推导以点 A(a,b)为圆心,r 为半径的圆的方程 练习:一个圆经过点 A(5,0)与 B(-2,1)圆心在直线 x ? 3 y ? 10 ? 0 上,求此圆的方程

? ? ? 例2. 求圆 ? 上的点到 x ? y ? 2 ? 0 的最远、最近的距离 2.轨迹问题 充分利用几何图形的性质,熟练掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式。 2 2 例 3.求过点 A(4,0)作直线 l 交圆 O : x ? y ? 4 于 B,C 两点,求线段 BC 的中点 P 的轨迹方程
x?2 ? y ?3 ? 4
2 2

练习 由圆外一点引圆的割线交圆于 A,B 两点,求弦 AB 的中点的轨迹. 3.弦问题 主要是求弦心距 (圆心到直线的距离) ,弦长,圆心角等问题。一般是构成直角三角形来计 算 例 4.直线 l 经过点 ? 5,5? ,且和圆 x 2 ? y 2 ? 25 相交,截得的弦长为 4 5 ,求 l 的方程。 4.对称问题 圆关于点对称,圆关于圆对称 例 5.求圆 ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 4 关于点 ? 2, 2 ? 对称的圆的方程
2 2

练习求圆 关于直线 l : x ? 2 y ? 2 ? 0 对称的圆的方程 三、巩固练习 2 2 1. 从圆外一点 P(1,1)向圆 x +y =1 引割线,交该圆于 A,B 两点,求弦 AB 的中点的轨迹方程 2. 等腰三角形的顶点是 A(4.2)底边一个端点是 B(3,5)求另一个端点的轨迹是什么? 3. 已知圆 C 的圆心坐标是(是坐标原点,求圆 C 的方程. 4.已知 圆的半径为 10 ,圆心在直 线 y ? 2 x 上,圆被直线 x ? y ? 0 截得的 弦长为

? x ? 1?

2

? ? y ? 1? ? 4
2

1 ,3),且圆 C 与直线 x+2y-3=0 相交于 P,Q 两点,又 OP┴OQ,O 2

4 2 ,求圆的方程

第三课时
空间直角坐标系 第一课时 空间直角坐标系 教学要求: 使学生能通过用类比的数学思想方法得出空间直角坐标系的定义、建立方法、 以及空间的点的坐标确定方法。 教学重点:在空间直角坐标系中,确定点的坐标 教学难点:通过建立适当的直角坐标系,确定空间点的坐标 教学过程: 一.复习准备: 1.提问:平面直角坐标系的建立方法,点的坐标的确定过程、表示方法? 2.讨论:一个点在平面怎么表示?在空间呢? 二、讲授新课: 1.空间直角坐标系: 如图, OBCD ? D, A, B,C , 是单位正方体.以 A 为原点,分别 以 OD,O A, ,OB 的方向为正方向,建立三条数轴 x轴.y轴.z轴 。这时建立了一个空间直角坐标系 Oxyz. 1)叫做坐标原点 2)x 轴,y 轴,z 轴叫做坐标轴. 3)过每两个坐标轴的平面叫做坐标 面。 2. 右手表示法: 令右手大拇指、食指和中指相互垂直时,可能形成的位置。大拇指指向 为 x 轴正方向,食指指向为 y 轴正向,中指指向则为 z 轴正向,这样也可以决定三轴间的相 位置。3.有序实数组 1).间一点 M 的坐标可以用有序实数组 ( x, y , z ) 来表示,有序实数组 ( x, y , z ) 叫做点 M 在此 空间直角坐标系中的坐标,记作 M ( x, y, z )(x 叫做点 M 的横坐标,y 叫做点 M 的纵坐标,z 叫做点 M 的竖坐标 思考:原点 O 的坐标是什么? 讨论:空间直角坐标系内点的坐标的确定过程。 3).例题 1:在长方体 OBCD ? D, A, B,C , 中, OA ? 3, oC ? 4, OD, ? 2. 写出 D, , C , A, , B, 四 点坐标.(建立空间坐标系 ?写出原点坐标 ? 各点坐标) 讨论:若以 C 点为原点,以射线 BC、CD、CC1 方向分别为 ox、oy、oz 轴的正半轴,建立空 间直角坐标系,那么,各顶点的坐标又是怎样的呢?(得出结论:不同的坐标系的建立方 法,所得的同一点的坐标也不同。) 4.练习:V-ABCD 为正四棱锥,O 为底面中心,若 AB=2,VO=3,试建立空间直角坐标系,并 确定各顶点的坐标。 三、巩固练习: 1.练习:P148 1, 2 2. 已知 M (2, -3, 4),画出它在空间的位置。 3.思考题:建立适当的直角坐标系,确定棱长为 3 的正四面体各顶点的坐标。 四.小结: 1.空间直角坐标系内点的坐标的确定过程. 2.有序实数组; 五.作业 1.课本 P148 3 第二课时 空间两点的距离公式 教学要求:使学生掌握空间两点的距离公式由来,及应用。 教学重点:空间两点的距离公式的推导。 教学难点:空间两点的距离公式的熟练应用。 教学过程: 一、复习准备:



1. 提问:平面两点的距离公式? 2. 建立空间直角坐标系时,为方便求点的坐标通常怎样选择坐标轴和坐标原点? 二、讲授新课: 1. 空间两点的距离公式 (1)已知两点 M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2),求此两点间的距离 d。 如图 7-5 所示,Δ M1PQ 和 Δ MQM2 都是直角三角形,根据勾股定理,

d ? M 1 M 2 ? ( M 1Q ) 2 ? (QM 2 ) 2 和 ( M1Q) 2 ? ( M1 P ) 2 ? ( PQ) 2

把 ( M1Q) 2 代入d , 得 d ? ( M 1 P ) 2 ? ( PQ ) 2 ? (QM 2 ) 2 。

又因 M1 P ? y2 ? y1 , PQ ? x2 ? x1 , QM2 ? z2 ? z1 ,
从而得两点的距离公式:

d ? ( x 2 ? x 1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2 ? ( z 2 ? z 1 ) 2 。
思考:1)点 M(x,y,z)于坐标原点 O(0,0,0)的距离? 2) M1,M2 两点之间的距离等于 0 ? M1=M2,两点重合,也即 x1=x2,y1=y2,z1=z2。 讨论:如果 OP 是定长 r,那么 x2 ? y 2 ? z 2 ? r 2 表示什么图形? (2)例题 1:求点 P1(1, 0, -1)与 P2(4, 3, -1)之间的距离。 练习:求点 A(0,0,0)到B(5,2, ?2) 之间的距离 (3)思考:1.在 z 轴上求与两点 A(-4, 1, 7)和 B(3, 5, -2)等距离的点。 2. 试在 xoy 平面上求一点,使它到 A(1,-1,5)、B(3,4,4)和 C(4,6,1)各点的距 离相等。 三.巩固练习: 1. P 练习 1 ? 3 150 2.已知三角形的顶点为 A(1,2,3),B(7,10,3)和 C(-1,3,1)。试证明 A 角为钝 角。 2. 在 z 轴上,求与 A(-4,1,7)和 B(3,5,-2)两点等距离的点。 四.小结 1. 空间两点的距离公式的推导。 2. 公式的应用 五.作业 1.课本 p150 练习 第 4 题


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