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2014高考数学(人教A版)大一轮复习特训:第3章 三角函数、解三角形:第8讲 Word版含解析


第三章

第8讲

(时间:45 分钟 分值:100 分) 一、选择题 1. [2013· 常州模拟]在某次测量中,在 A 处测得同一平面方向的 B 点的仰角是 50° ,且到 A 的距离为 2,C 点的俯角为 70° ,且到 A 的距离为 3,则 B、C 间的距离为( A. C. 16 18 B. D. 17 19 )

/>答案:D 解析:因∠BAC=120° ,AB=2,AC=3. ∴BC2=AB2+AC2-2AB· ACcos∠BAC=4+9-2×2×3×cos120° =19. ∴BC= 19. 2. [2012· 陕西高考]在△ABC 中,角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c,若 a2+b2=2c2, 则 cosC 的最小值为( A. C. 3 2 1 2 ) B. 2 2

1 D. - 2

答案:C 解析:由余弦定理得 cosC= a2+b2-c2 = 2ab

2?a2+b2?-?a2+b2? a2+b2 2ab 1 1 = ≥ = ,当且仅当 a=b 时,cosC 取最小值,为 . 4ab 4ab 4ab 2 2 3. [2013· 郑州模拟]一船自西向东匀速航行,上午 10 时到达一座灯塔 P 的南偏西 75° 距塔 68 海里的 M 处,下午 2 时到达这座灯塔的东南方向的 N 处,则这只船的航行速度为( A. C. 17 6 海里/小时 2 17 2 海里/小时 2 B. 34 6海里/小时 D. 34 2海里/小时 )

答案:A 解析:如图所示,

PM MN 在△PMN 中, = , sin45° sin120° 68× 3 ∴MN= =34 6, 2 MN 17 ∴v= = 6(海里/小时). 4 2 4. [2012· 湖南高考]在△ABC 中,AB=2,AC=3, AB· =1,则 BC 等于 ( BC A. 3 B. D. 7 23

→ →

)

C. 2 2 答案:A 解析:由AB· =1, BC 2|BC|cos(π-B)=1, 1 cosB=- . → 2| BC|

→ →



由余弦定理 AC2=AB2+BC2-2AB· BCcosB,即 9=4+BC2-4BCcosB 1 5=BC2+4BC· ,BC2=3, → 2| BC| ∴BC= 3,故选 A. 5. [2013· 合肥质检]已知函数 f(x)的导函数的图象如图所示,若△ABC 为锐角三角形,则一 定成立的是( )

A. f(sinA)>f (cosB) B. f(sinA)<f(cosB) C. f(sinA)>f(sinB) D. f(cosA)<f(cosB) 答案:A 解析:由图象知 f(x)在(0,+∞)上是增函数. π ∵△ABC 为锐角三角形,∴A+B> . 2 π π π ∵A> -B,且 >A> -B>0. 2 2 2 π ∴sinA>sin( -B)=cosB>0. 2 ∴f(sinA)>f(cosB).

6. [2013· 陕西联考]如图所示,当甲船位于 A 处时获悉,在其正东方向相距 20 海里的 B 处 有一艘渔船遇险等待营救,甲船立即前往营救,同时把消息告知在甲船的南偏西 30° 相距 10 海里 C 处的乙船, 乙船立即朝北偏东 θ+30° 角的方向沿直线前往 B 处营救, sinθ 的值为( 则 )

A. C.

21 7 3 2

B. D.

2 2 5 7 14

答案:A

解析:连接 BC.在△ABC 中,AC=10,AB=20,∠BAC=120° ,由余弦定理,得 BC2= AC2+AB2-2AB· cos120° AC· =700, BC AB ∴BC=10 7,再由正弦定理,得 = , sin∠BAC sinθ ∴sinθ= 21 . 7

二、填空题 7. [2013· 南通学情调研]“温馨花园”为了美化小区, 给居民提供更好的生活环境, 在小区内如图的一块三角形 空地上种植草皮(单位:m),已知这种草皮的价格是 120 元/m2,则购买这种草皮需要______元. 答案:27000 1 解析:三角形空地的面积 S= ×12 3×25×sin120° =225,故共需 225×120=27000 元. 2 8. [2013· 温州模拟]如图, 在日本地震灾区的搜救现场, 一 搜救狗从 A 处沿正北方向行进 x m 到达 B 处发现一个生命迹 然后向右转 105° ,行进 10 m 到达 C 处发现另一生命迹象,这 它向右转 135° 后继续前行回到出发点,那么 x=________. 10 6 答案: 3 条 象, 时

解析:由题知,∠CBA=75° ,∠BCA=45° , ∴∠BAC=180° -75° -45° =60° . ∴ x 10 10 6 = .∴x= . sin45° sin60° 3

9. [2012· 潍坊质检]已知 A 船在灯塔 C 北偏东 80° 处,且 A 船到灯塔 C 的距离为 2 km,B 船在灯塔 C 北偏西 40° A、 两船间的距离为 3 km, B 船到灯塔 C 的距离为________km. 处, B 则 答案: 6-1 解析:如图,由题意可得,∠ACB=120° ,AC=2,AB=3.设 BC=x,则由余弦定理可得:AB2=BC2+AC2-2BC· ACcos120° ,即 32=x2+22-2×2xcos120° ,整理得 x2+2x=5,解得 x= 6-1. 三、解答题 10. [2013· 浙江台州]某校运动会开幕式上举行升旗仪式,旗杆正好处在坡度 15° 的看台的 某一列的正前方,从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 60° 30° 和 ,第一 排和最后一排的距离为 10 6米(如图所示),旗杆底部与第一排在一个水平面上.若国歌长度 约为 50 秒,升旗手应以多大的速度匀速升旗?

解:在△BCD 中,∠BDC=45° ,∠CBD=30° .CD=10 6, CDsin45° 由正弦定理,得 BC= =20 3; sin30° 在 Rt△ABC 中,AB=BCsin60° =20 3× AB 30 所以升旗速度 v= = =0.6(米/秒). t 50 11. [2013· 大连模拟]如图所示,海中小岛 A 周围 38 海里内有暗礁, 向正南航行,在 B 处测得小岛 A 在船的南偏东 30° 方向,航行 30 海里 后,在 C 处测得小岛 A 在船的南偏东 45° 方向,如果此船不改变航向, 续向南航行,有无触礁的危险? 解:在△ABC 中,BC=30,∠B=30° ,∠ACB=180° -45° =135° , 以∠A=15° . 所 继 船 3 =30(米). 2

由正弦定理,得 即

BC AC = , sinA sinB

30 AC = , sin15° sin30°

30sin30° 所以 AC= =15( 6+ 2). sin15° 所以 A 到 BC 的距离为 AC· sin45° =15( 6+ 2)× 2 2

=15( 3+1)≈15×(1.732+1) =40.98(海里). 这个距离大于 38 海里,所以继续向南航行无触礁的危险.

12. [2013· 河北名校联考]已知岛 A 南偏西 38° 方向,距岛 A 3 海 里的 B 处有一艘缉私艇.岛 A 处的一艘走私船正以 10 海里/小时的 速度向岛北偏西 22° 方向行驶,问缉私艇朝何方向以多大速度行驶, 恰好用 0.5 小时能截住该走私船? 5 3 3 3 (参考数据:sin38° = ,sin22° = ) 14 14 解:如图,设缉私艇在 C 处截住走私船,D 为岛 A 正南方向上 一点,缉私艇的速度为每小时 x 海里,则 BC=0.5x,AC=5, 依题意,∠BAC=180° -38° -22° =120° , 由余弦定理可得 BC2=AB2+AC2-2AB· ACcos120° , 所以 BC2=49,BC=0.5x=7,解得 x=14. 3 5× 2 5 3 AC· sin∠BAC 又由正弦定理得 sin∠ABC= = = , BC 7 14 所以∠ABC=38° , 又∠BAD=38° ,所以 BC∥AD, 故缉私艇以每小时 14 海里的速度向正北方向行驶,恰好用 0.5 小时截住该走私船.


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