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初高中数学衔接教材(共28页)


初高中数学衔接教材 目 录

引 入 乘法公式 第一讲 因式分解 1. 1 提取公因式 1. 2. 公式法(平方差,完全平方,立方和,立方差) 1. 3 分组分解法 1. 4 十字相乘法(重、难点) 1. 5 关于 x 的二次三项式 ax2+bx+c(a≠0)的因式分解. 第二讲 函数与方程 2.1 一元二次方程 2.1.1 根的判别式 2.1.2 根与系数的关系(韦达定理) 2.2 二次函数 2.2.1 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质 2.2.2 二次函数的三种表示方式 2.2.3 二次函数的简单应用 第三讲 三角形的“四心” 乘法公式
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式: (1)平方差公式 (a ? b)(a ? b) ? a2 ? b2 ; 2 2 2 (2)完全平方公式 (a ? b) ? a ? 2 a b? . b 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式: 2 3 (1)立方和公式 (a ? b) (a ? a b 2 b) ? 3 a? ; ? b 2 3 (2)立方差公式 (a ? b) (a ? a b 2 b) ? 3 a? ; ? b 2 2 2 2 (3)三数和平方公式 (a ? b ? c ? a ? b ? c 2 ( a b? b c ;a c ) ? ?) 3 3 2 3 (4)两数和立方公式 (a ? b) ? a ? 3 a b? 3 a2b ? ; b 3 3 2 2 3 (5)两数差立方公式 (a ? b) ? a ? 3 a b? 3 a b ?.b 对上面列出的五个公式,有兴趣的同学可以自己去证明. 例 1 计算: ( x ? 1)( x ?1)( x2 ? x ? 1)( x2 ? x ? 1) . 解法一:原式= ( x 2 ? 1) ?( x 2 ? 1) 2 ? x 2 ? ? ? = ( x2 ?1)( x4 ? x2 ? 1) = x 6 ? 1. 解法二:原式= ( x ? 1)( x2 ? x ? 1)( x ?1)( x2 ? x ? 1) = ( x3 ? 1)( x3 ?1) = x 6 ? 1. 例 2 已知 a ? b ? c ? 4 , ab ? bc ? ac ? 4 ,求 a 2 ? b2 ? c2 的值. 解: a2 ? b2 ? c2 ? (a ? b ? c)2 ? 2(ab ? bc ? ac) ? 8 . 习
1



1.填空:

1 2 1 2 1 1 a ? b ? ( b ? a) ( 9 4 2 3 2 (2) (4m ? ) ? 16m2 ? 4m ? (
(1) (3 ) (a ? 2b ? c) ? a ? 4b ? c ? ( 2.选择题:
2 2 2 2

) ;

); ).
( (D) )

1 mx ? k 是一个完全平方式,则 k 等于 2 1 2 1 2 2 (A) m (B) m (C) m 4 3 2 2 (2)不论 a , b 为何实数, a ? b ? 2a ? 4b ? 8 的值
(1)若 x ?
2

1 2 m 16


(A)总是正数 (C)可以是零

( (B)总是负数 (D)可以是正数也可以是负数

第一讲

因式分解

因式分解的主要方法有:十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法,另外还应了解求根法 及待定系数法. 1.十字相乘法 例1 分解因式: (1)x2-3x+2; (3) x2 ? (a ? b) xy ? aby 2 ; (2)x2+4x-12; (4) xy ? 1 ? x ? y .

解: (1)如图 1.1-1,将二次项 x2 分解成图中的两个 x 的积,再将常数项 2 分解成-1 与-2 的 乘积,而图中的对角线上的两个数乘积的和为-3x,就是 x2-3x+2 中的一次项,所以,有 x2-3x+2=(x-1)(x-2).
x x -1 -2 1 1 -1 -2 1 1 图 1.1-3 -2 6 x x -ay -by

图 1.1-1

图 1.1-2

图 1.1-4

说明:今后在分解与本例类似的二次三项式时,可以直接将图 1.1-1 中的两个 x 用 1 来表示(如 图 1.1-2 所示) . (2)由图 1.1-3,得 x2+4x-12=(x-2)(x+6). (3)由图 1.1-4,得

x2 ? (a ? b) xy ? aby 2 = ( x ? ay)( x ? by)
(4) xy ? 1 ? x ? y =xy+(x-y)-1 =(x-1) (y+1) (如图 1.1-5 所示) . 课堂练习
一、填空题: 1、把下列各式分解因式:

x y

-1 1

图 1.1-5

(1) x ? 5 x ? 6 ? __________________________________________________。
2 2 2

(2) x ? 5x ? 6 ? __________________________________________________。 (3) x ? 5x ? 6 ? __________________________________________________。
2

(4) x ? 5x ? 6 ? __________________________________________________。
2
2

(5) x 2 ? ?a ? 1?x ? a ? __________________________________________________。 (6) x ? 11x ? 18 ? __________________________________________________。 (7) 6 x ? 7 x ? 2 ? __________________________________________________。
2

(8) 4m ? 12m ? 9 ? __________________________________________________。
2

(9) 5 ? 7 x ? 6 x ? __________________________________________________。
2

(10) 12x 2 ? xy ? 6 y 2 ? __________________________________________________。

? ?x ? 3??x ? 3、若 x ? ax ? b ? ?x ? 2??x ? 4? 则 a ?
2、 x 2 ? 4 x ?
2
2 2

?

,b ? 二、选择题: (每小题四个答案中只有一个是正确的)
2 2



1、在多项式(1) x ? 7 x ? 6 (2) x ? 4 x ? 3 (3) x ? 6 x ? 8 (4) x ? 7 x ? 10 (5) x ? 15x ? 44 中,有相同因式的是( ) A、只有(1) (2) B、只有(3) (4) C、只有(3) (5) D、 (1)和(2)(3)和(4)(3)和(5) ; ;
2

2、分解因式 a ? 8ab ? 33b 得( ) A、 ?a ? 11??a ? 3? B、 ?a ? 11b??a ? 3b?
2 2

3、 ?a ? b? ? 8?a ? b? ? 20 分解因式得(
2

C、 ?a ? 11b??a ? 3b? )

D、 ?a ? 11b??a ? 3b?

A、 ?a ? b ? 10??a ? b ? 2? C、 ?a ? b ? 2??a ? b ? 10?
2

4、若多项式 x ? 3x ? a 可分解为 ?x ? 5??x ? b? ,则 a 、 b 的值是( A、 a ? 10 , b ? 2
2

D、 ?a ? b ? 4??a ? b ? 5?

B、 ?a ? b ? 5??a ? b ? 4? ) D、 a ? ?10 , b ? 2 )

5、若 x ? mx ? 10 ? ?x ? a??x ? b? 其中 a 、 b 为整数,则 m 的值为( A、 3 或 9 B、 ? 3 C、 ? 9 D、 ? 3 或 ? 9 三、把下列各式分解因式 1、 6?2 p ? q? ?11?q ? 2 p? ? 3
2
3

B、 a ? 10 , b ? ?2

C、 a ? ?10 , b ? ?2

2、 a ? 5a b ? 6ab
2

2

3、 2 y 2 ? 4 y ? 6

4、 b ? 2b ? 8
4 2

2.提取公因式法 分解因式: (1) a 2 ?b ? 5? ? a?5 ? b? (2) x3 ? 9 ? 3x2 ? 3x 解: (1) a 2 ?b ? 5? ? a?5 ? b? = a(b ? 5)(a ? 1) . 3 (2) x ? 9 ? 3x2 ? 3x = ( x3 ? 3x2 ) ? (3x ? 9) = x2 ( x ? 3) ? 3( x ? 3) = ( x ? 3)( x2 ? 3) . 或 3 2 x ? 9 ? 3x ? 3x = ( x3 ? 3x2 ? 3x ? 1) ? 8 = ( x ? 1)3 ? 8 = ( x ? 1)3 ? 23 = [( x ? 1) ? 2][( x ? 1)2 ? ( x ? 1) ? 2 ? 22 ] = ( x ? 3)( x2 ? 3) 课堂练习:
一、填空题: 1、多项式 6 x y ? 2 xy ? 4 xyz 中各项的公因式是_______________。
2 2

例2

2、 m?x ? y ? ? n? y ? x? ? ?x ? y ? ? __________________。
2 2 2

3、 m?x ? y? ? n? y ? x? ? ?x ? y? ? ____________________。

4、 m?x ? y ? z ? ? n? y ? z ? x? ? ?x ? y ? z ? ? _____________________。 5、 m?x ? y ? z ? ? x ? y ? z ? ?x ? y ? z ? ? ______________________。 6、 ? 13ab x ? 39a b x 分解因式得_____________________。
2 6 3 2 5

3

7.计算 99 ? 99 =
2

二、判断题: (正确的打上“√” ,错误的打上“×” )

1、 2a 2 b ? 4ab2 ? 2ab?a ? b? ?????????????????????? ( 2、 am ? bm ? m ? m?a ? b? ??????????????????????? ( 3、 ? 3x ? 6 x ?15x ? ?3x x ? 2 x ? 5 ????????????????? (
3 2 2

) ) ) )

4、 x ? x
n

n?1

?x

n?1

?x ?1? ????????????????????????
(2) ?3x ? 2 y? ? ?x ? y?
2

?

?



3:公式法
例3 分解因式: (1) ? a 4 ? 16
2

解:(1) ? a 4 ? 16 = 42 ? (a2 )2 ? (4 ? a2 )(4 ? a2 ) ? (4 ? a2 )(2 ? a)(2 ? a) (2) ?3x ? 2 y?2 ? ?x ? y?2 = (3x ? 2 y ? x ? y)(3x ? 2 y ? x ? y) ? (4 x ? y)(2 x ? 3 y) 课堂练习 2 2 2 2 3 3 一、 a ? 2ab ? b , a ? b , a ? b 的公因式是______________________________。
二、判断题: (正确的打上“√” ,错误的打上“×” )

4 2 ?2 ? ?2 ??2 ? 2 x ? 0.01 ? ? x ? ? ?0.1? ? ? x ? 0.1? ? x ? 0.1? ?????????? ( 9 ?3 ? ?3 ??3 ? 2 2 2 2 2、 9a ? 8b ? ?3a? ? ?4b? ? ?3a ? 4b??3a ? 4b? ????????????? ( 3、 25a 2 ?16b ? ?5a ? 4b??5a ? 4b? ??????????????????? ( 4、 ? x 2 ? y 2 ? ? x 2 ? y 2 ? ??x ? y ??x ? y ????????????????? (
1、 5、 a 2 ? ?b ? c? ? ?a ? b ? c??a ? b ? c? ?????????????????? ( 五、把下列各式分解
2

2

) ) ) ) )

?

?

1、 ? 9?m ? n? ? ?m ? n?
2

2

2、 3 x ?
2

3、 4 ? x 2 ? 4 x ? 2

?

?

1 3
2

2

4、 x ? 2 x ? 1
4

4.分组分解法 例4 (1) x 2 ? xy ? 3 y ? 3x (2) 2x2 ? xy ? y 2 ? 4x ? 5 y ? 6 . (2) 2x2 ? xy ? y 2 ? 4x ? 5 y ? 6 = 2x2 ? ( y ? 4) x ? y 2 ? 5 y ? 6 = 2x2 ? ( y ? 4) x ? ( y ? 2)( y ? 3) = (2 x ? y ? 2)( x ? y ? 3) . 或 2x2 ? xy ? y 2 ? 4x ? 5 y ? 6 = (2x2 ? xy ? y 2 ) ? (4x ? 5 y) ? 6 = (2 x ? y)( x ? y) ? (4 x ? 5 y) ? 6 = (2 x ? y ? 2)( x ? y ? 3) .

课堂练习:用分组分解法分解多项式(1) x 2 ? y 2 ? a 2 ? b2 ? 2ax ? 2by 2 2 (2) a ? 4ab ? 4b ? 6a ? 12b ? 9 5.关于 x 的二次三项式 ax2+bx+c(a≠0)的因式分解. 若关于 x 的方程 ax 2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的两个实数根是 x1 、 x2 ,则二次三项式 ax2 ? bx ? c(a ? 0) 就可分解 为 a( x ? x1 )( x ? x2 ) . 例5 把下列关于 x 的二次多项式分解因式: (1) x 2 ? 2 x ? 1; (2) x2 ? 4 xy ? 4 y 2 .

4

解: (1)令 x 2 ? 2 x ? 1=0,则解得 x1 ? ?1 ? 2 , x2 ? ?1? 2 , ∴x 2 ? 2 x ? 1= ? x ? (?1 ? 2) ? ? x ? (?1 ? 2) ? ? ?? ? = ( x ? 1 ? 2)( x ? 1 ? 2) . (2)令 x2 ? 4 xy ? 4 y 2 =0,则解得 x1 ? (?2 ? 2 2) y , x1 ? (?2 ? 2 2) y , ∴x2 ? 4 xy ? 4 y 2 = [ x ? 2(1 ? 2) y][ x ? 2(1 ? 2) y] . 练 习
多项式 2 x2 ? xy ?15 y 2 的一个因式为 (A) 2 x ? 5 y 2.分解因式: (1)x2+6x+8; (3)x2-2x-1; (B) x ? 3 y (C) x ? 3 y ( (D) x ? 5 y ) 1.选择题:

(2)8a3-b3; (4) 4( x ? y ? 1) ? y( y ? 2 x) .

习题 1.2
1.分解因式: (1) a ? 1 ;
3

(2) 4 x ? 13x ? 9 ;
4 2

(3) b ? c ? 2ab ? 2ac ? 2bc ;
2 2

(4) 3x ? 5xy ? 2 y ? x ? 9 y ? 4 .
2 2

2.在实数范围内因式分解: (1) x ? 5 x ? 3 ;
2

(2) x ? 2 2 x ? 3 ;
2

(3) 3x ? 4 xy ? y ;
2 2
2 2 2

(4) ( x ? 2x) ? 7( x ? 2x) ? 12 .
2 2 2

3. ?ABC 三边 a , b , c 满足 a ? b ? c ? ab ? bc ? ca ,试判定 ?ABC 的形状. 4.分解因式:x2+x-(a2-a).

第二讲

函数与方程

2.1 一元二次方程
2.1.1 根的判别式
{情境设置:可先让学生通过具体实例探索二次方程的根的求法, 如求方程的根(1) x ? 2 x ? 3 ? 0 (2) x ? 2 x ? 1 ? 0 (3) x ? 2 x ? 3 ? 0 }
2 2 2

我们知道,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) ,用配方法可以将其变形为 2 b b ? 4ac ( x ? )2 ? . ① 2a 4a 2 因为 a≠0,所以,4a2>0.于是
5

(1)当 b2-4ac>0 时,方程①的右端是一个正数,因此,原方程有两个不相等的实数根

?b ? b2 ? 4ac ; 2a (2)当 b2-4ac=0 时,方程①的右端为零,因此,原方程有两个等的实数根 b x1=x2=- ; 2a b (3)当 b2-4ac<0 时,方程①的右端是一个负数,而方程①的左边 ( x ? ) 2 一定大于或等于零, 2a 因此,原方程没有实数根. 由此可知,一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况可以由 b2-4ac 来判定,我们把 b2-4ac 叫做一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式,通常用符号“Δ”来表示. 综上所述,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) ,有 (1) 当 Δ>0 时,方程有两个不相等的实数根
x1,2=

?b ? b2 ? 4ac ; 2a (2)当 Δ=0 时,方程有两个相等的实数根 b x1=x2=- ; 2a (3)当 Δ<0 时,方程没有实数根. 例 1 判定下列关于 x 的方程的根的情况 (其中 a 为常数) 如果方程有实数根, , 写出方程的实数根. 2 2 (1)x -3x+3=0; (2)x -ax-1=0; 2 (3) x -ax+(a-1)=0; (4)x2-2x+a=0. 解: (1)∵Δ=32-4× 3=-3<0,∴方程没有实数根. 1× (2)该方程的根的判别式 Δ=a2-4× (-1)=a2+4>0,所以方程一定有两个不等的实数根 1×
x1,2=

a ? a2 ? 4 a ? a2 ? 4 , x2 ? . x1 ? 2 2 (3)由于该方程的根的判别式为 Δ=a2-4× (a-1)=a2-4a+4=(a-2)2, 1× 所以, ①当 a=2 时,Δ=0,所以方程有两个相等的实数根 x1=x2=1; ②当 a≠2 时,Δ>0, 所以方程有两个不相等的实数根 x1=1,x2=a-1. (3)由于该方程的根的判别式为 Δ=22-4× a=4-4a=4(1-a), 1× 所以 ①当 Δ>0,即 4(1-a) >0,即 a<1 时,方程有两个不相等的实数根 x1 ? 1 ? 1 ? a , x2 ? 1 ? 1 ? a ; ②当 Δ=0,即 a=1 时,方程有两个相等的实数根 x1=x2=1; ③当 Δ<0,即 a>1 时,方程没有实数根. 说明:在第 3,4 小题中,方程的根的判别式的符号随着 a 的取值的变化而变化,于是,在解题过 程中,需要对 a 的取值情况进行讨论,这一方法叫做分类讨论.分类讨论这一思想方法是高中数学中一 个非常重要的方法,在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题.

2.1.2 根与系数的关系(韦达定理)
6

若一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根

x1 ?
则有

?b ? b2 ? 4ac ?b ? b2 ? 4ac , x2 ? , 2a 2a

?b ? b2 ? 4ac ?b ? b2 ? 4ac ?2b b ? ? ?? ; 2a 2a 2a a 2 2 2 2 ?b ? b ? 4ac ?b ? b ? 4ac b ? (b ? 4ac) 4ac c x1 x2 ? ? ? ? 2? . 2a 2a 4a 2 4a a 所以,一元二次方程的根与系数之间存在下列关系: b c 如果 ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别是 x1,x2,那么 x1+x2= ? ,x1· 2= .这一关系也被称为 x a a 韦达定理. 特别地,对于二次项系数为 1 的一元二次方程 x2+px+q=0,若 x1,x2 是其两根,由韦达定理可知 x1+x2=-p,x1·2=q, x 即 p=-(x1+x2),q=x1·2, x 2 所以,方程 x +px+q=0 可化为 x2-(x1+x2)x+x1·2=0,由于 x1,x2 是一元二次方程 x2+px+q=0 x 2 的两根,所以,x1,x2 也是一元二次方程 x -(x1+x2)x+x1·2=0.因此有 x 以两个数 x1,x2 为根的一元二次方程(二次项系数为 1)是 x2-(x1+x2)x+x1·2=0. x x1 ? x2 ?
例 2 已知方程 5 x ? kx ? 6 ? 0 的一个根是 2,求它的另一个根及 k 的值. 分析: 由于已知了方程的一个根, 可以直接将这一根代入, 求出 k 的值, 再由方程解出另一个根. 但 由于我们学习了韦达定理,又可以利用韦达定理来解题,即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系 数和常数项,于是可以利用两根之积求出方程的另一个根,再由两根之和求出 k 的值. 解法一:∵2 是方程的一个根, ∴5× 2+k× 2 2-6=0, ∴k=-7. 3 所以,方程就为 5x2-7x-6=0,解得 x1=2,x2=- . 5 3 所以,方程的另一个根为- ,k 的值为-7. 5 6 3 解法二:设方程的另一个根为 x1,则 2x1=- ,∴x1=- . 5 5 3 k 由 (- )+2=- ,得 k=-7. 5 5 3 所以,方程的另一个根为- ,k 的值为-7. 5 2 例3 已知关于 x 的方程 x +2(m-2)x+m2+4=0 有两个实数根, 并且这两个实数根的平方和比两 个根的积大 21,求 m 的值. 分析: 本题可以利用韦达定理,由实数根的平方和比两个根的积大 21 得到关于 m 的方程,从而解 得 m 的值.但在解题中需要特别注意的是,由于所给的方程有两个实数根,因此,其根的判别式应大于 零. 解:设 x1,x2 是方程的两根,由韦达定理,得 x1+x2=-2(m-2),x1·2=m2+4. x 2 2 ∵x1 +x2 -x1·2=21, x 2 ∴(x1+x2) -3 x1·2=21, x 2 即 [-2(m-2)] -3(m2+4)=21, 化简,得 m2-16m-17=0,
2

7

解得 m=-1,或 m=17. 当 m=-1 时,方程为 x2+6x+5=0,Δ>0,满足题意; 当 m=17 时,方程为 x2+30x+293=0,Δ=302-4× 293<0,不合题意,舍去. 1× 综上,m=17. 说明: (1)在本题的解题过程中,也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的 m 的范围,然后再 由“两个实数根的平方和比两个根的积大 21”求出 m 的值,取满足条件的 m 的值即可. (1)在今后的解题过程中,如果仅仅由韦达定理解题时,还要考虑到根的判别式 Δ 是否大于或大 于零.因为,韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根. 例 4 已知两个数的和为 4,积为-12,求这两个数. 分析:我们可以设出这两个数分别为 x,y,利用二元方程求解出这两个数.也可以利用韦达定理转 化出一元二次方程来求解. 解法一:设这两个数分别是 x,y, 则 x+y=4, ① xy=-12. ② 由①,得 y=4-x, 代入②,得 x(4-x)=-12, 即 x2-4x-12=0, ∴x1=-2,x2=6. ? x2 ? 6, ? x ? ?2, ∴? 1 或? ? y2 ? ?2. ? y1 ? 6, 因此,这两个数是-2 和 6. 解法二:由韦达定理可知,这两个数是方程 x2-4x-12=0 的两个根. 解这个方程,得 x1=-2,x2=6. 所以,这两个数是-2 和 6. 说明:从上面的两种解法我们不难发现,解法二(直接利用韦达定理来解题)要比解法一简捷. 例 5 若 x1 和 x2 分别是一元二次方程 2x2+5x-3=0 的两根. (1)求| x1-x2|的值; 1 1 (2)求 2 ? 2 的值; x1 x2 3 3 (3)x1 +x2 . 解:∵x1 和 x2 分别是一元二次方程 2x2+5x-3=0 的两根, 5 3 ∴ x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? ? . 2 2 5 3 (1)∵| x1-x2|2=x12+ x22-2 x1x2=(x1+x2)2-4 x1x2= (? ) 2 ? 4 ? (? ) 2 2 25 49 = +6= , 4 4 7 ∴| x1-x2|= . 2 5 3 25 (? ) 2 ? 2 ? (? ) ?3 2 2 2 x ?x (x ? x ) ? 2x x 1 1 37 2 ? 4 (2) 2 ? 2 ? 1 2 22 ? 1 2 2 1 2 ? 2 . ? 3 2 9 x1 x2 x1 ? x2 ( x1 x2 ) 9 (? ) 2 4
8

(3)x13+x23=(x1+x2)( x12-x1x2+x22)=(x1+x2)[ ( x1+x2) 2-3x1x2] 5 5 3 215 =(- )× [(- )2-3× ? )]=- ( . 2 2 2 8 说明:一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量,今后我们经常会遇到求这一个量的问题, 为了解题简便,我们可以探讨出其一般规律: 设 x1 和 x2 分别是一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) ,则

?b ? b2 ? 4ac ?b ? b2 ? 4ac , x2 ? , x1 ? 2a 2a
?b ? b2 ? 4ac ?b ? b 2 ? 4ac 2 b 2 ? 4ac ∴| x1-x2|= ? ? 2a 2a 2a

b2 ? 4 a c ? . ? |a | a | | 于是有下面的结论: ?
? (其中 Δ=b2-4ac) . |a| 今后,在求一元二次方程的两根之差的绝对值时,可以直接利用上面的结论.
若 x1 和 x2 分别是一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) ,则| x1-x2|=
例 6 若关于 x 的一元二次方程 x2-x+a-4=0 的一根大于零、另一根小于零,求实数 a 的取值范围. 解:设 x1,x2 是方程的两根,则 x1x2=a-4<0, ① 且 Δ=(-1)2-4(a-4)>0. ②

由①得 由②得 练 习
1.选择题:

a<4, 17 a< 4 .∴a 的取值范围是 a<4.

(1)方程 x ? 2 3kx ? 3k ? 0 的根的情况是 ( ) (A)有一个实数根 (B)有两个不相等的实数根 (C)有两个相等的实数根 (D)没有实数根 ( 2 ) 若 关 于 x 的 方 程 mx2 + (2m + 1)x + m = 0 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 , 则 实 数 m 的 取 值 范 围 是 ( )
2 2

1 4 1 (C)m< ,且 m≠0 4
(A)m< 2.填空:

1 4 1 (D)m>- ,且 m≠0 4
(B)m>-

(1)若方程 x2-3x-1=0 的两根分别是 x1 和 x2,则 (2)方程 mx2+x-2m=0(m≠0)的根的情况是 (3)以-3 和 1 为根的一元二次方程是

1 1 ? = x1 x2

. . .

3.已知 a 2 ? 8a ? 16 ? | b ? 1|? 0 ,当 k 取何值时,方程 kx2+ax+b=0 有两个不相等的实数根? 4.已知方程 x2-3x-1=0 的两根为 x1 和 x2,求(x1-3)( x2-3)的值.

习题 2.1 A 组
1.选择题: (1)已知关于 x 的方程 x2+kx-2=0 的一个根是 1,则它的另一个根是( (A)-3 (B)3 (C)-2 (D)2
9



(2)下列四个说法: ①方程 x2+2x-7=0 的两根之和为-2,两根之积为-7; ②方程 x2-2x+7=0 的两根之和为-2,两根之积为 7; ③方程 3 x2-7=0 的两根之和为 0,两根之积为 ?

7 ; 3

④方程 3 x2+2x=0 的两根之和为-2,两根之积为 0. 其中正确说法的个数是 ( ) (A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个 (3)关于 x 的一元二次方程 ax2-5x+a2+a=0 的一个根是 0,则 a 的值是( ) (A)0 (B)1 (C)-1 (D)0,或-1 2.填空: (1)方程 kx2+4x-1=0 的两根之和为-2,则 k= . (2)方程 2x2-x-4=0 的两根为 α,β,则 α2+β2= . (3)已知关于 x 的方程 x2-ax-3a=0 的一个根是-2,则它的另一个根是 . (4)方程 2x2+2x-1=0 的两根为 x1 和 x2,则| x1-x2|= . 3.试判定当 m 取何值时,关于 x 的一元二次方程 m2x2-(2m+1) x+1=0 有两个不相等的实数根?有两个相等的实数 根?没有实数根? 4.求一个一元二次方程,使它的两根分别是方程 x2-7x-1=0 各根的相反数.

B
1.选择题: 若 关 于 x 的 方 程 x2 + (k2 - 1)


的 两 根 互 为 相 反 数 , 则 ( ) (D)0 . . k 的 值 为

x + k + 1 = 0

(A)1,或-1 (B)1 (C)-1 2.填空: (1)若 m,n 是方程 x2+2005x-1=0 的两个实数根,则 m2n+mn2-mn 的值等于 (2)如果 a,b 是方程 x2+x-1=0 的两个实数根,那么代数式 a3+a2b+ab2+b3 的值是 3.已知关于 x 的方程 x2-kx-2=0. (1)求证:方程有两个不相等的实数根; (2)设方程的两根为 x1 和 x2,如果 2(x1+x2)>x1x2,求实数 k 的取值范围. 4.一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为 x1 和 x2.求: (1)| x1-x2|和

x1 ? x2 ; 2

(2)x13+x23. 5.关于 x 的方程 x2+4x+m=0 的两根为 x1,x2 满足| x1-x2|=2,求实数 m 的值.

C 组
1.选择题: (1)已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程 2x2-8x+7=0 的两根,则这个直角三角形的斜边长等于 ( ) (A) 3 (B)3 (C)6 (D)9 ( (D) )

(2)若 x1,x2 是方程 2x2-4x+1=0 的两个根,则 (A)6 (B)4

x1 x2 ? 的值为 x2 x1
3 2

(C)3

( 3 ) 如 果 关 于 x 的 方 程 x2 - 2(1 - m)x + m2 = 0 有 两 实 数 根 α , β , 则 α + β 的 取 值 范 围 为 ( ) (A)α+β≥

1 2

(B)α+β≤

1 2

(C)α+β≥1

(D)α+β≤1

( 4 ) 已 知 a , b , c 是 ΔABC 的 三 边 长 , 那 么 方 程 cx2 + (a + b)x + (
10

c =0 的根的情况是 4



(A)没有实数根 (B)有两个不相等的实数根 (C)有两个相等的实数根 (D)有两个异号实数根 2.填空: 若方程 x2-8x+m=0 的两根为 x1,x2,且 3x1+2x2=18,则 m= . 2 3. 已知 x1,x2 是关于 x 的一元二次方程 4kx -4kx+k+1=0 的两个实数根. (1)是否存在实数 k,使(2x1-x2)( x1-2 x2)=- (2)求使

3 成立?若存在,求出 k 的值;若不存在,说明理由; 2

x1 x2 ? -2 的值为整数的实数 k 的整数值; x2 x1 x (3)若 k=-2, ? ? 1 ,试求 ? 的值. x2
m2 ?0. 4.已知关于 x 的方程 x ? (m ? 2) x ? 4
2

(1)求证:无论 m 取什么实数时,这个方程总有两个相异实数根; (2)若这个方程的两个实数根 x1,x2 满足|x2|=|x1|+2,求 m 的值及相应的 x1,x2. 5.若关于 x 的方程 x2+x+a=0 的一个大于 1、零一根小于 1,求实数 a 的取值范围.

2.2

二次函数

2.2.1 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质
{情境设置:可先让学生通过具体实例探索二次函数的图象, 如作图(1) y ? x 2 (2) y ? ? x2 (3) y ? x2 ? 2x ? 3 教师可采用计算机绘图软件辅助教学}

函数 y=ax2 与 y=x2 的图象之间存在怎样的关系? 1 为了研究这一问题,我们可以先画出 y=2x2,y= x2,y=-2x2 的图象,通过这些函数图象与函数 2 2 2 2 y=x 的图象之间的关系,推导出函数 y=ax 与 y=x 的图象之间所存在的关系. 先画出函数 y=x2,y=2x2 的图象. 先列表: x … 0 1 2 3 … -3 -2 -1 2 x … 9 4 1 0 1 4 9 … 2 2x … 18 8 2 0 2 8 18 2 从表中不难看出, 要得到 2x 的值, 只要把相应 的 x2 的值扩大两倍就 y y=x2 可以了. y=2x2 2 再描点、连线,就分别得到了函数 y=x ,y= 2x2 的图象(如图 2-1 所示) ,从图 2-1 我们可以得到这两个函数图象之 间的关系:函数 y=2x2 的图象可以由函数 y=x2 的图象各点的纵坐标变为 原来的两倍得到. 1 同学们也可以用类似于上面的方法画出函 数 y= x2 ,y=-2x2 2 y 的图象,并研究这两个函数图象与函数 y=x2 的 图象之间的关系. y=2(x+1)2+1 通过上面的研究,我们可以得到以下结论: x O 二次函数 y=ax2(a≠0)的图象可以由 y=x2 的图象各点的纵坐标 y=2(x+1)2 2 图 2.2-1 2 变为原来的 a 倍得到.在二次函数 y=ax (a≠0) 中,二次项系数 a 决定 y=2x 了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口 的大小. 2 2 问题 2 函数 y=a(x+h) +k 与 y=ax 的图 象之间存在怎样的关 系? 同样地, 我们可以利用几个特殊的函数图象 之间的关系来研究它 问题 1
11 -1

O 图 2.2-2

x

们之间的关系.同学们可以作出函数 y=2(x+1)2+1 与 y=2x2 的图象(如图 2-2 所示) ,从函数的同学 我们不难发现,只要把函数 y=2x2 的图象向左平移一个单位,再向上平移一个单位,就可以得到函数 y =2(x+1)2+1 的图象.这两个函数图象之间具有“形状相同,位置不同”的特点. 类似地,还可以通过画函数 y=-3x2,y=-3(x-1)2+1 的图象,研究它们图象之间的相互关系. 通过上面的研究,我们可以得到以下结论: 二次函数 y=a(x+h)2+k(a≠0)中,a 决定了二次函数图象的开口大小及方向;h 决定了二次函数图 象的左右平移,而且“h 正左移,h 负右移”;k 决定了二次函数图象的上下平移,而且“k 正上移,k 负 下移”. 由上面的结论,我们可以得到研究二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的方法: b b b2 b2 由于 y=ax2+bx+c=a(x2+ x )+c=a(x2+ x + 2 )+c- a a 4a 4a 2 b b ? 4ac ? a( x ? ) 2 ? , 2a 4a 所以,y=ax2+bx+c(a≠0)的图象可以看作是将函数 y=ax2 的图象作左右平移、上下平移得到的,于 是,二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)具有下列性质: b b 4ac ? b2 , ) ,对称轴为直线 x=- ; (1)当 a>0 时,函数 y=ax2+bx+c 图象开口向上;顶点坐标为 (? 2a 2a 4a b b b 当 x< ? 时,y 随着 x 的增大而减小;当 x> ? 时,y 随着 x 的增大而增大;当 x= ? 时,函数取最小值 y= 2a 2a 2a 4ac ? b 2 . 4a b b 4ac ? b2 , ), (2) a<0 时, 当 函数 y=ax2+bx+c 图象开口向下; 顶点坐标为 (? 对称轴为直线 x=- ; 2a 2a 4a b b b 当 x< ? 时,y 随着 x 的增大而增大;当 x> ? 时,y 随着 x 的增大而减小;当 x= ? 时,函数取最大值 y= 2a 2a 2a 4ac ? b 2 . 4a
上述二次函数的性质可以分别通过图 2.2-3 和图 2.2-4 直观地表示出来.因此,在今后解决二次函数问题时, 可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题. y y A (?

b x=- 2a

b 4ac ? b2 , ) 2a 4a

O

x

O x=- 图 2.2-4

x

b 4ac ? b2 , ) A (? 2a 4a
图 2.2-3

b 2a
A(-1,4) y

例 1 求二次函数 y=-3x2-6x+1 图象的开口 坐标、最大值(或最小值) ,并指出当 x 取何值时,y (或减小)?并画出该函数的图象. 解:∵y=-3x2-6x+1=-3(x+1)2+4, ∴函数图象的开口向下; 对称轴是直线 x=-1; 顶点坐标为(-1,4);
12

方向、 对称轴、 顶点 随 x 的增大而增大

D(0,1)

C

O

B

x

x=-1 图 2.2-5

当 x=-1 时,函数 y 取最大值 y=4; 当 x<-1 时,y 随着 x 的增大而增大;当 x>-1 时,y 随着 x 的增大而减小; 采用描点法画图,选顶点 A(-1,4)),与 x 轴交于点 B (

2 3 ?3 2 3 ?3 , 0) 和 C (? , 0) ,与 y 轴的交 3 3

点为 D(0,1),过这五点画出图象(如图 2-5 所示) . 说明:从这个例题可以看出,根据配方后得到的性质画函数的图象,可以直接选出关键点,减少了 选点的盲目性,使画图更简便、图象更精确. 函数 y=ax2+bx+c 图象作图要领: (1) 确定开口方向:由二次项系数 a 决定 b (2) 确定对称轴:对称轴方程为 x ? ? 2a (3) 确定图象与 x 轴的交点情况,①若△>0 则与 x 轴有两个交点,可由方程 x2+bx+c=0 求 出②①若△=0 则与 x 轴有一个交点,可由方程 x2+bx+c=0 求出③①若△<0 则与 x 轴有 无交点。 (4) 确定图象与 y 轴的交点情况,令 x=0 得出 y=c,所以交点坐标为(0,c) (5) 由以上各要素出草图。
练习:作出以下二次函数的草图 (1) y ? x 2 ? x ? 6 (2) y ? x2 ? 2x ? 1 (3) y ? ? x2 ? 1

例 2 某种产品的成本是 120 元/件,试销阶段每件产品的售价 x(元)与产品的日销售量 y(件)之 间关系如下表所示: 130 150 165 x /元 70 50 35 y/件 若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数,那么,要使每天所获得最大的利润,每件产品的销售价应定 为多少元?此时每天的销售利润是多少? 分析:由于每天的利润=日销售量 y× (销售价 x-120),日销售量 y 又是销售价 x 的一次函数,所以, 欲求每天所获得的利润最大值,首先需要求出每天的利润与销售价 x 之间的函数关系,然后,再由它们 之间的函数关系求出每天利润的最大值. 解:由于 y 是 x 的一次函数,于是,设 y=kx+(B) 将 x=130,y=70;x=150,y=50 代入方程,有 ?70 ? 130k ? b, ? ?50 ? 150k ? b, 解得 k=-1,b=200. ∴ y=-x+200. 设每天的利润为 z(元) ,则 z=(-x+200)(x-120)=-x2+320x-24000 =-(x-160)2+1600, ∴当 x=160 时,z 取最大值 1600. 答:当售价为 160 元/件时,每天的利润最大,为 1600 元.
例 3 把二次函数 y=x2+bx+c 的图像向上平移 2 个单位,再向左平移 4 个单位,得到函数 y=x2 的图像,求 b,c 的值. b2 b 解法一: y= x2 + bx+c= (x+ )2 ? c ? ,把它的图像向上平 移 2 个单位,再向左平 移 4 个单位,得 到 4 2 b b2 y ? ( x ? ? 4) 2 ? c ? ? 2 的图像,也就是函数 y=x2 的图像,所以, 2 4
13

? b ?? 2 ?4 ?0 , ? 解得 b=-8,c=14. ? 2 ?c ? b ?2 ?0 , ? 4 ? 解法二:把二次函数 y=x2+bx+c 的图像向上平移 2 个单位,再向左平移 4 个单位,得到函数 y=x2 的图像,等价 于把二次函数 y=x2 的图像向下平移 2 个单位,再向右平移 4 个单位,得到函数 y=x2+bx+c 的图像. 由于把二次函数 y=x2 的图像向下平移 2 个单位,再向右平移 4 个单位,得到函数 y=(x-4)2+2 的图像,即为 y 2 =x -8x+14 的图像,∴函数 y=x2-8x+14 与函数 y=x2+bx+c 表示同一个函数,∴b=-8,c=14. 说明:本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律来解决问题,所以,同学们要牢固掌握二次函数图像的 变换规律. 这两种解法反映了两种不同的思维方法:解法一,是直接利用条件进行正向的思维来解决的,其运算量相对较大; 而解法二,则是利用逆向思维,将原来的问题等价转化成与之等价的问题来解,具有计算量小的优点.今后,我们在 解题时,可以根据题目的具体情况,选择恰当的方法来解决问题. 例 4 已知函数 y=x2,-2≤x≤a,其中 a≥-2,求该函数的最大值与最小值,并求出函数取最大值和最小值时所对 应的自变量 x 的值. 分析:本例中函数自变量的范围是一个变化的范围,需要对 a 的取值进行讨论. 解: (1)当 a=-2 时,函数 y=x2 的图象仅仅对应着一个点(-2,4),所以,函数的最大值和最小值都是 4,此时 x=-2; (2)当-2<a<0 时,由图 2.2-6①可知,当 x=-2 时,函数取最大值 y=4;当 x=a 时,函数取最小值 y=a2; (3)当 0≤a<2 时,由图 2.2-6②可知,当 x=-2 时,函数取最大值 y=4;当 x=0 时,函数取最小值 y=0; (4)当 a≥2 时,由图 2.2-6③可知,当 x=a 时,函数取最大值 y=a2;当 x=0 时,函数取最小值 y=0.
y 4 4 y y
2

a

4

a
-2 a

2

a2
x -2 O ② a 2 x -2 O ③ a x

O ①

图 2.2-6

说明:在本例中,利用了分类讨论的方法,对 a 的所有可能情形进行讨论.此外,本例中所研究的 二次函数的自变量的取值不是取任意的实数,而是取部分实数来研究,在解决这一类问题时,通常需要 借助于函数图象来直观地解决问题. 练 习
1.选择题: (1)下列函数图象中,顶点不在坐标轴上的是 ( ) (A)y=2x2 (B)y=2x2-4x+2 (C)y=2x2-1 (D)y=2x2-4x (2)函数 y=2(x-1)2+2 是将函数 y=2x2 ( ) (A)向左平移 1 个单位、再向上平移 2 个单位得到的 (B)向右平移 2 个单位、再向上平移 1 个单位得到的 (C)向下平移 2 个单位、再向右平移 1 个单位得到的 (D)向上平移 2 个单位、再向右平移 1 个单位得到的 2.填空题 (1)二次函数 y=2x2-mx+n 图象的顶点坐标为(1,-2),则 m= ,n= . 2 (2)已知二次函数 y=x +(m-2)x-2m,当 m= 时,函数图象的顶点在 y 轴上;当 m= 时,函数图象 的顶点在 x 轴上;当 m= 时,函数图象经过原点. (3)函数 y=-3(x+2)2 +5 的图象的开口向 ,对称轴为 ,顶点坐标为 ;当 x= 时,函数取最 值 y= ;当 x 时,y 随着 x 的增大而减小. 3.求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大(小)值及 y 随 x 的变化情况,并画出其图象.
14

(1)y=x2-2x-3; (2)y=1+6 x-x2. 4.已知函数 y=-x2-2x+3,当自变量 x 在下列取值范围内时,分别求函数的最大值或最小值,并求当函数取最 大(小)值时所对应的自变量 x 的值: (1)x≤-2; (2)x≤2; (3)-2≤x≤1; (4)0≤x≤3.

2.2.2 二次函数的三种表示方式
通过上一小节的学习,我们知道,二次函数可以表示成以下两种形式: 1.一般式:y=ax2+bx+c(a≠0); 2.顶点式:y=a(x+h)2+k (a≠0),其中顶点坐标是(-h,k). 除了上述两种表示方法外,它还可以用另一种形式来表示.为了研究另一种表示方式,我们先来研 究二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与 x 轴交点个数. 当抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴相交时,其函数值为零,于是有 ax2+bx+c=0. ①

并且方程①的解就是抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴交点的横坐标(纵坐标为零) ,于是,不难发 现,抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴交点个数与方程①的解的个数有关,而方程①的解的个数又与方 程①的根的判别式 Δ=b2-4ac 有关,由此可知,抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴交点个数与根的判别 式 Δ=b2-4ac 存在下列关系: (1)当 Δ>0 时,抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴有两个交点;反过来,若抛物线 y=ax2+bx+ c(a≠0)与 x 轴有两个交点,则 Δ>0 也成立. (2)当 Δ=0 时,抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴有一个交点(抛物线的顶点) ;反过来,若抛物 线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴有一个交点,则 Δ=0 也成立. (3) Δ<0 时, 当 抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴没有交点; 反过来, 若抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0) 与 x 轴没有交点,则 Δ<0 也成立. 于是,若抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴有两个交点 A(x1,0),B(x2,0),则 x1,x2 是方程 ax2+bx +c=0 的两根,所以 b c x1+x2= ? ,x1x2= , a a b c 即 =-(x1+x2), =x1x2. a a b c 所以,y=ax2+bx+c=a( x 2 ? x ? ) a a 2 = a[x -(x1+x2)x+x1x2] =a(x-x1) (x-x2). 由上面的推导过程可以得到下面结论: 若抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴交于 A(x1,0),B(x2,0)两点,则其函数关系式可以表示为 y= a(x-x1) (x-x2) (a≠0). 这样,也就得到了表示二次函数的第三种方法: 3.交点式:y=a(x-x1) (x-x2) (a≠0),其中 x1,x2 是二次函数图象与 x 轴交点的横坐标. 今后,在求二次函数的表达式时,我们可以根据题目所提供的条件,选用一般式、顶点式、交点式
15

这三种表达形式中的某一形式来解题.
例 1 已知某二次函数的最大值为 2,图像的顶点在直线 y=x+1 上,并且图象经过点(3,-1) ,求二次函数的 解析式. 分析:在解本例时,要充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置,从而可以将二次函数设成顶点式, 再由函数图象过定点来求解出系数 a. 解:∵二次函数的最大值为 2,而最大值一定是其顶点的纵坐标, ∴顶点的纵坐标为 2. 又顶点在直线 y=x+1 上, 所以,2=x+1,∴x=1. ∴顶点坐标是(1,2) . 设该二次函数的解析式为 y ? a( x ? 2)2 ? 1(a ? 0) , ∵二次函数的图像经过点(3,-1) , 2 ∴ ?1 ? a(3 ? 2) ? 1 ,解得 a=-2. ∴二次函数的解析式为 y ? ?2( x ? 2)2 ? 1 ,即 y=-2x2+8x-7. 说明:在解题时,由最大值确定出顶点的纵坐标,再利用顶点的位置求出顶点坐标,然后设出二次函数的顶点式, 最终解决了问题.因此,在解题时,要充分挖掘题目所给的条件,并巧妙地利用条件简捷地解决问题. 例 2 已知二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),且顶点到 x 轴的距离等于 2,求此二次函数的表达式. 分析一:由于题目所给的条件中,二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与 x 轴的交点坐标,于 是可以将函数的表达式设成交点式. 解法一:∵二次函数的图象过点(-3,0),(1,0), ∴可设二次函数为 y=a(x+3) (x-1) (a≠0), 展开,得 y=ax2+2ax-3a,

?12a 2 ? 4a 2 ? ?4a , 顶点的纵坐标为 4a
由于二次函数图象的顶点到 x 轴的距离 2, ∴|-4a|=2,即 a= ?

1 . 2 1 2 3 1 3 x ? x ? ,或 y=- x 2 ? x ? . 2 2 2 2

所以,二次函数的表达式为 y=

分析二:由于二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),所以,对称轴为直线 x=-1,又由顶点到 x 轴的距离为 2, 可知顶点的纵坐标为 2,或-2,于是,又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解,然后再利用图象过点(-3,0), 或(1,0),就可以求得函数的表达式. 解法二:∵二次函数的图象过点(-3,0),(1,0), ∴对称轴为直线 x=-1. 又顶点到 x 轴的距离为 2, ∴顶点的纵坐标为 2,或-2. 于是可设二次函数为 y=a(x+1)2+2,或 y=a(x+1)2-2, 由于函数图象过点(1,0), ∴0=a(1+1)2+2,或 0=a(1+1)2-2. ∴a=-

1 1 ,或 a= . 2 2

1 1 (x+1)2+2,或 y= (x+1)2-2. 2 2 说明:上述两种解法分别从与 x 轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度,利用交点式和顶点式 来解题,在今后的解题过程中,要善于利用条件,选择恰当的方法来解决问题. 例 3 已知二次函数的图象过点(-1,-22),(0,-8),(2,8),求此二次函数的表达式. 解:设该二次函数为 y=ax2+bx+c(a≠0). 由函数图象过点(-1,-22),(0,-8),(2,8),可得
所以,所求的二次函数为 y=-

16

??22 ? a ? b ? c, ? ??8 ? c, ?8 ? 4a ? 2b ? c, ?

解得 a=-2,b=12,c=-8. 所以,所求的二次函数为 y=-2x2+12x-8. 通过上面的几道例题,同学们能否归纳出:在什么情况下,分别利用函数的一般式、顶点式、交点 式来求二次函数的表达式? 练 习
1.选择题: (1)函数 y=-x2+x-1 图象与 x 轴的交点个数是 ( ) (A)0 个 (B)1 个 (C)2 个 (D)无法确定 1 (2)函数 y=- (x+1)2+2 的顶点坐标是 ( ) 2 (A)(1,2) (B)(1,-2) (C)(-1,2) (D)(-1,-2) 2.填空: ( 1 ) 已 知 二 次 函 数 的 图 象 经 过 与 x 轴 交 于 点 ( - 1 , 0) 和 (2 , 0) , 则 该 二 次 函 数 的 解 析 式 可 设 为 y = a (a≠0) . (2)二次函数 y=-x2+2 3x+1 的函数图象与 x 轴两交点之间的距离为 . 3.根据下列条件,求二次函数的解析式. (1)图象经过点(1,-2),(0,-3),(-1,-6); (2)当 x=3 时,函数有最小值 5,且经过点(1,11); (3)函数图象与 x 轴交于两点(1- 2,0)和(1+ 2,0),并与 y 轴交于(0,-2).

2.2.3 二次函数的简单应用
一、函数图象的平移变换与对称变换 1.平移变换 问题 1 在把二次函数的图象进行平移时,有什么特点?依据这一特点,可以怎样来研究二次函数的图象平移? 我们不难发现:在对二次函数的图象进行平移时,具有这样的特点——只改变函数图象的位置、不改变其形状, 因此,在研究二次函数的图象平移问题时,只需利用二次函数图象的顶点式研究其顶点的位置即可. 例 1 求把二次函数 y=x2-4x+3 的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析式: (1)向右平移 2 个单位,向下平移 1 个单位; (2)向上平移 3 个单位,向左平移 2 个单位.

分析:由于平移变换只改变函数图象的位置而不改变其形状(即不改变二次项系数) ,所以只改变二 次函数图象的顶点位置(即只改变一次项和常数项) ,所以,首先将二次函数的解析式变形为顶点式, 然后,再依据平移变换后的二次函数图象的顶点位置求出平移后函数图像所对应的解析式. 解:二次函数 y=2x2-4x-3 的解析式可变为 y=2(x-1)2-1, 其顶点坐标为(1,-1). (1)把函数 y=2(x-1)2-1 的图象向右平移 2 个单位,向下平移 1 个单位后,其函数图象的顶点坐 标是(3,-2),所以,平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为 y=2(x-3)2-2. (2)把函数 y=2(x-1)2-1 的图象向上平移 3 个单位,向左平移 2 个单位后,其函数图象的顶点坐 标是(-1, 2),所以,平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为 y=2(x+1)2+2.
2.对称变换 问题 2 在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时, 有什么特点?依据这一特点, 可以怎样来 研究二次函数的图象平移? 我们不难发现:在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时,具有这样的特点——只改变函数
17

图象的位置或开口方向、不改变其形状,因此,在研究二次函数图象的对称变换问题时,关键是要抓住二次函数的顶 点位置和开口方向来解决问题. 例 2 求把二次函数 y=2x2-4x+1 的图象关于下列直线对称后所得到图象对应的函数解析式: (1)直线 x=-1; y (2)直线 y=1. x=-1

解: (1)如图 2.2-7,把二次函 象关于直线 x=-1 作对称变换后,只 不改变其形状. 由于 y=2x2 -4x+1=2(x-1)2 - -4x+1 图象的顶点为 A(1,-1), 所以, O x 顶点为 A1(-3,1),所以,二次函数 y A(1,-1) A1(-3,-1) 于直线 x=-1 对称后所得到图象的函 3)2-1,即 y=2x2+12x+17. 图 2.2-7 (2)如图 2.2-8,把二次函数 y y 于直线 x=-1 作对称变换后,只改变图象的顶 B(1,3) 改变其形状. 由于 y=2x2-4x+1=2(x-1)2-1,可知,函 y=1 的顶点为 A(1,-1),所以,对称后所得到图象的 向下,所以,二次函数 y=2x2-4x+1 的图象关 O x 得到图象的函数解析式为 y=-2(x-1)2+3,即
A(1,-1)

数 y=2x2-4x+1 的图 改变图象的顶点位置, 1,可知,函数 y=2x2 对称后所得到图象的 =2x2-4x+1 的图象关 数解析式为 y=2(x+

=2x2-4x+1 的图象关 点位置和开口方向,不 数 y=2x2-4x+1 图象 顶点为 B(1,3),且开口 于直线 y=1 对称后所 y=-2x2+4x+1.




位,向下平移 3 个单位,所 )

1.选择题: 图 2.2-8 (1)把函数 y=-(x-1)2+4 的图象向左平移 2 个单 得图象对应的解析式为 (A)y= (x+1)2+1 (B)y=-(x+1)2+1 (C)y=-(x-3)2+4 (D)y=-(x-3)2+1



第三讲

三角形的“四心”

三角形是最重要的基本平面图形,很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题.

图 3.2-1

图 3.2-2

如图 3.2-1 ,在三角形△ABC 中,有三条边 AB, BC , CA ,三
A, B, C ,在三角形中,角平分线、中线、高(如图 3.2-2)是三

个 顶 点 角形中的

三种重要线段. 三角形的三条中线相交于一点,这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部,恰好是 每条中线的三等分点. 例 1 求证三角形的三条中线交于一点,且被该交点分成的两段长度之比为 2:1. 已知 D、E、F 分别为△ABC 三边 BC、CA、AB 的中点, 图 3.2-3 求证 AD、BE、CF 交于一点,且都被该点分成 2:1. 证明 连结 DE,设 AD、BE 交于点 G,
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Q D、E 分别为 BC、AE 的中点,则 DE//AB,且 DE =
\ VGDE ∽ VGAB ,且相似比为 1:2,

1 AB , 2

\ AG = 2GD, BG = 2GE .
图 3.2-4

设 AD、CF 交于点 G ' ,同理可得, AG ' = 2G ' D, CG ' = 2G ' F. 则 G 与 G ' 重合, \ AD、BE、CF 交于一点,且都被该点分成 2 :1 .

三角形的三条角平分线相交于一点,是三角形的 心在三角形的内部, 它到三角形的三边的距离相等. (如 例 2 已 知 V ABC 的 三 边 长 分 别 为
BC = a, AC = b, AB = c ,I 为 V ABC 的内心,且 I 在
B 、C 、 A 上的射影分别为 D、E、F ,求证: AE = AF = C A B

内心. 三角形的内 图 3.2-5)
V ABC





b+ c- a . 2

证明 点,

作 V ABC 的内切圆, D、E、F 分别为内切 则
Q AE , AF 为 圆 的从同一点作的 两条切线,

圆在三边上的切
\ AE = AF ,

同理,BD=BF,CD=CE.
\ b + c - a = AF + BF + AE + CE - BD - CD = AF + AE = 2 AF = 2 AE

图 3.2-6

b+ c- a . 2 例 3 若三角形的内心与重心为同一点,求证:这个三角形为正三角形. 已知 O 为三角形 ABC 的重心和内心. 求证 三角形 ABC 为等边三角形. 证明 如图,连 AO 并延长交 BC 于 D. Q O 为三角形的内心,故 AD 平分 ?BAC , AB BD \ = (角平分线性质定理) AC DC Q O 为三角形的重心,D 为 BC 的中点,即 AB \ = 1 ,即 AB = AC . AC 图 3.2-7 同理可得,AB=BC. \ V ABC 为等边三角形.

即 AE = AF =

BD=DC.

三角形的三条高所在直线相交于一点, 该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内 部,直角三角形的垂心为他的直角顶点,钝角三角形的垂心在三角形的外部.(如图 3.2-8)

19

图 3.2-8

例4 已知 求证 证明

求证:三角形的三条高交于一点.
V ABC 中, AD ^ BC于D, BE ^ AC于E, 与 BE 交于 H 点. AD C H^ A B . 以 CH 为直径作圆,

Q AD ^ BC, BE ^ AC, \ ? HDC

? HEC

90o ,

\ D、E 在以 CH 为直径的圆上, \ ? FCB DEH . 同 理 , E 、 D 在 以 AB 为 直 径 的 圆 上 , 可 得 \ ? BCH BAD ,

? BED
图 3.2-9

BAD .

又 V ABD 与 VCBF 有公共角 ? B , \ ? CFB

? ADB

90 ,即 CH ^ AB .
o

过不共线的三点 A、B、C 有且只有一个圆,该圆是三角形 ABC 的外接圆,圆心 O 为三角形的外心. 三角形的外心到三个顶点的距离相等,是各边的垂直平分线的交点.

练习 1 1.求证:若三角形的垂心和重心重合,求证:该三角形为正三角形. 2.(1) 若三角形 ABC 的面积为 S, 且三边长分别为 a、b、c , 则三角形的内切圆的半径是___________; (2)若直角三角形的三边长分别为 a、b、c (其中 c 为斜边长) ,则三角形的内切圆的半径是___________. 并请说明理由.

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