当前位置:首页 >> 数学 >>

高中数学必修5导学案


高一数学必修 5 导学案

§ 1.1.1
学习目标
1. 掌握正弦定理的内容; 2. 掌握正弦定理的证明方法; 3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题.

正弦定理

学习过程
一、课前准备 试验:固定 ? ABC 的边 CB 及 ? B,使边 AC 绕着顶点 C 转动. 思考: ?

C 的大小与它的对边 AB 的长度之间有怎样的数量关系?

显然,边 AB 的长度随着其对角 ? C 的大小的增大而 精确地表示出来?

.能否用一个等式把这种关系

二、新课导学 ※ 学习探究 探究 1:在初中,我们已学过如何解直角三角形,下面就首先来探讨直 角三角形中,角与边的等式关系. 如图,在 Rt ? ABC 中,设 BC=a, AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义, a b c 有 ? sin A , ? sin B ,又 sin C ? 1 ? , c c c a b c 从而在直角三角形 ABC 中, . ? ? sin A sin B sin C
( 探究 2:那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立? 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况: 当 ? ABC 是锐角三角形时,设边 AB 上的高是 CD,根据任意角三角函数的定义, a b 有 CD= a sin B ? b sin A ,则 , ? sin A sin B c b 同理可得 , ? sin C sin B a b c 从而 . ? ? sin A sin B sin C

高一数学必修 5 导学案

类似可推出,当 ? ABC 是钝角三角形时,以上关系式仍然成立.请你试试导.

新知:正弦定理 在一个三角形中,各边和它所对角的 a b c . ? ? sin A sin B sin C

的比相等,即

试试: (1)在 ?ABC 中,一定成立的等式是( ). a sin A ? b sin B a cos A ? b cos B A. B. C. a sin B ? b sin A D. a cos B ? b cos A (2)已知△ABC 中,a=4,b=8,∠A=30°,则∠B 等于 .

[理解定理] (1)正弦定理说明同一三角形中,边与其对角的正弦成正比,且比例系数为同一正数,即 存在正数 k 使 a ? k sin A , , c ? k sin C ; a b c c b a c (2) 等价于 , , . ? ? ? ? sin A sin B sin C sin C sin B sin A sin C (3)正弦定理的基本作用为: b sin A ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边,如 a ? ;b ? . sin B ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值, a 如 sin A ? sin B ; sin C ? . b (4)一般地,已知三角形的某些边和角,求其它的边和角的过程叫作解三角形.

※ 典型例题 例 1. 在 ?ABC 中,已知 A ? 45? , B ? 60? , a ? 42 cm,解三角形.

变式:在 ?ABC 中,已知 B ? 45? , C ? 60? , a ? 12 cm,解三角形.

例 2. 在 ?ABC中,c ? 6, A ? 45? , a ? 2, 求b和B, C .

变式:在 ?ABC中,b ? 3, B ? 60? , c ? 1, 求a 和A, C .

高一数学必修 5 导学案

三、总结提升 ※ 学习小结
a b c ? ? sin A sin B sin C 2. 正弦定理的证明方法:①三角函数的定义, 还有 ②等积法,③外接圆法,④向量法. 3.应用正弦定理解三角形: ①已知两角和一边; ②已知两边和其中一边的对角.
1. 正弦定理:

※ 知识拓展 a b c ? ? ? 2R ,其中 2R 为外接圆直径. sin A sin B sin C

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: cos A b 1. 在 ?ABC 中,若 ). ? ,则 ?ABC 是( cos B a A.等腰三角形 B.等腰三角形或直角三角形 C.直角三角形 D.等边三角形 2. 已知△ABC 中,A∶B∶C=1∶1∶4, 则 a∶b∶c 等于( ). A.1∶1∶4 B.1∶1∶2 C.1∶1∶ 3 3. 在△ABC 中,若 sin A ? sin B ,则 A 与 B 的大小关系为( ). A. A ? B B. A ? B C. A ≥ B D. A 、 B 的大小关系不能确定 4. 已知 ? ABC 中, sin A : sin B : sin C ? 1: 2 : 3 ,则 a : b : c = . 5. 已知 ? ABC 中, ? A ? 60? , a ? 3 ,则 a?b?c = . sin A ? sin B ? sin C

D.2∶2∶ 3

课后作业
1. 已知△ABC 中,AB=6,∠A=30°,∠B= 120? ,解此三角形.

2. 已知△ABC 中,sinA∶sinB∶sinC=k∶(k+1)∶2k (k≠0),求实数 k 的取值范围为.

高一数学必修 5 导学案

§ 1.1.2 余弦定理
学习目标
1. 掌握余弦定理的两种表示形式; 2. 证明余弦定理的向量方法; 3. 运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.

学习过程
一、课前准备 复习 1 :在一个三角形中,各 = . 和它所对角的 的 相等,即 =

复习 2:在△ABC 中,已知 c ? 10 ,A=45?,C=30?,解此三角形. 思考:已知两边及夹角,如何解此三角形呢?

二、新课导学 ※ 探究新知 问题:在 ?ABC 中, AB 、 BC 、 CA 的长分别为 c 、 a 、 b . ???? ∵ AC ? , ???? ???? ∴ AC ? AC ?
同理可得:
a 2 ? b2 ? c 2 ? 2 bc co s , A c 2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C .

C b A c a B

新知: 余弦定理: 三角形中任何一边的 夹角的 的积的两倍.

等于其他两边的

的和减去这两边与它们的

思考:这个式子中有几个量? 从方程的角度看已知其中三个量,可以求出第四个量,能否由三边求出一角? 从余弦定理,又可得到以下推论: b2 ? c 2 ? a 2 , , cos A ? 2bc . [理解定理] (1)若 C= 90? ,则 cos C ? ,这时 c 2 ? a 2 ? b2 由此可知余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例. (2)余弦定理及其推论的基本作用为: ①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边; ②已知三角形的三条边就可以求出其它角.

高一数学必修 5 导学案

试试: (1)△ABC 中, a ? 3 3 , c ? 2 , B ? 150? ,求 b .

(2)△ABC 中, a ? 2 , b ? 2 , c ? 3 ? 1 ,求 A .

※ 典型例题 例 1. 在△ABC 中,已知 a ? 3 , b ? 2 , B ? 45? ,求 A, C 和 c .

变式:在△ABC 中,若 AB= 5 ,AC=5,且 cosC=

9 ,则 BC=________. 10

例 2. 在△ABC 中,已知三边长 a ? 3 , b ? 4 , c ? 37 ,求三角形的最大内角.

变式:在 ? ABC 中,若 a 2 ? b2 ? c2 ? bc ,求角 A.

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 余弦定理是任何三角形中边角之间存在的共同规律,勾股定理是余弦定理的特例; 2. 余弦定理的应用范围: ① 已知三边,求三角; ② 已知两边及它们的夹角,求第三边. ※ 知识拓展 在△ABC 中, 若 a 2 ? b2 ? c 2 ,则角 C 是直角; 若 a 2 ? b2 ? c 2 ,则角 C 是钝角; 若 a 2 ? b2 ? c 2 ,则角 C 是锐角.

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 已知 a= 3 ,c=2,B=150°,则边 b 的长为( 34 22 A. B. 34 C. D. 22 2 2

).

高一数学必修 5 导学案

2. 已知三角形的三边长分别为 3、5、7,则最大角为( ). ? ? ? ? A. 60 B. 75 C. 120 D. 150 3. 已知锐角三角形的边长分别为 2、3、x,则 x 的取值范围是( A. 5 ? x ? 13 C. 2<x< 5 B. 13 <x<5

).

D. 5 <x<5 ??? ? ??? ? ???? ??? ? ???? ???? 4. 在△ABC 中,| AB |=3,| AC |=2, AB 与 AC 的夹角为 60°,则| AB - AC |=________. 5. 在△ABC 中,已知三边 a、b、c 满足 b2 ? a 2 ? c 2 ? ab ,则∠C 等于 .

课后作业
1. 在△ABC 中,已知 a=7,b=8,cosC=

13 ,求最大角的余弦值. 14

??? ? ??? ? 2. 在△ABC 中,AB=5,BC=7,AC=8,求 AB ? BC 的值.

§ 1.1 正弦定理和余弦定理(练习)
学习目标
1. 进一步熟悉正、余弦定理内容; 2. 掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时,有两解或一解或无解等情形.

学习过程
一、课前准备 复习 1:在解三角形时 已知三边求角,用 定理; 已知两边和夹角,求第三边,用 已知两角和一边,用 定理. 复习 2:在△ABC 中,已知 A=

定理;

? ,a=25 2 ,b=50 2 ,解此三角形. 6

二、新课导学 ※ 学习探究 探究:在△ABC 中,已知下列条件,解三角形. ? ① A= ,a=25,b=50 2 ; 6 ? 50 6 ② A= ,a= ,b=50 2 ; 6 3 ? ③ A= ,a=50,b=50 2 . 6

高一数学必修 5 导学案

思考:解的个数情况为何会发生变化? 新知:用如下图示分析解的情况(A 为锐角时).
已知边a,b和?A
C a A H a<CH=bsinA 无解 B a=CH=bsinA 仅有一个解 b a A b a B1 H a A B2 a?b H B C b C a

C b A

CH=bsinA<a<b 有两个解

仅有一个解

试试: 1. 用图示分析(A 为直角时)解的情况?

2.用图示分析(A 为钝角时)解的情况?

※ 典型例题 例 1. 在 ? ABC 中,已知 a ? 80 , b ? 100 , ?A ? 45? ,试判断此三角形的解的情况.

变式:在 ? ABC 中,若 a ? 1 , c ?

1 , ?C ? 40? ,则符合题意的 b 的值有_____个. 2

例 2. 在 ? ABC 中, A ? 60? , b ? 1 , c ? 2 ,求

a?b?c 的值. sin A ? sin B ? sin C

1 变式:在 ? ABC 中,若 a ? 55 , b ? 16 ,且 ab sin C ? 220 3 ,求角 C. 2

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 已知三角形两边及其夹角(用余弦定理解决); 2. 已知三角形三边问题(用余弦定理解决); 3. 已知三角形两角和一边问题(用正弦定理解决); 4. 已知三角形两边和其中一边的对角问题(既可用正弦定理,也可用余弦定理,可能有一 解、两解和无解三种情况). ※ 知识拓展 在 ? ABC 中,已知 a , b, A ,讨论三角形解的情况 :①当 A 为钝角或直角时,必须 a ? b 才 能有且只有一解;否则无解; ②当 A 为锐角时,

高一数学必修 5 导学案

如果 a ≥ b ,那么只有一解; 如果 a ? b ,那么可以分下面三种情况来讨论: (1)若 a ? b sin A ,则有两解; (2)若 a ? b sin A ,则只有一解; (3)若 a ? b sin A ,则无解.

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
1. 已知 a、 b 为△ABC 的边, A、 B 分别是 a、 b 的对角, 且 A.

sin A 2 a?b 则 的值= ( ? , b sin B 3

) .

1 2 4 5 B. C. D. 3 3 3 3 2. 已知在△ABC 中,sinA∶sinB∶sinC=3∶5∶7,那么这个三角形的最大角是( A.135° B.90° C.120° D.150° 3. 如果将直角三角形三边增加同样的长度,则新三角形形状为( ). A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.由增加长度决定 4. 在△ABC 中,sinA:sinB:sinC=4:5:6,则 cosB= . 5. 已知△ABC 中, b cos C ? c cos B ,试判断△ABC 的形状 .

).

课后作业
1. 在 ? ABC 中, a ? xcm , b ? 2cm , ?B ? 45? ,如果利用正弦定理解三角形有两解,求 x 的取值范围.

1 a 2 ? b2 ? c 2 2. 在 ? ABC 中,其三边分别为 a、b、c,且满足 ab sin C ? ,求角 C. 2 4

§ 1.2 应用举例—①测量距离
学习目标
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题

学习过程
一、课前准备 复习 1:在△ABC 中,∠C=60°,a+b= 2 3 ? 2 ,c=2 2 ,则∠A 为 .

高一数学必修 5 导学案

复习 2:在△ABC 中,sinA=

sin B ? sin C ,判断三角形的形状. cos B ? cos C

二、新课导学 ※ 典型例题 例 1. 如图,设 A、B 两点在河的两岸,要测量两点之间的距离,测量者在 A 的同侧,在所 在的河岸边选定一点 C,测出 AC 的距离是 55m, ? BAC= 51? , ? ACB= 75? . 求 A、B 两点 的距离(精确到 0.1m).
提问 1: ? ABC 中,根据已知的边和对应角,运用哪个定理比较适当? 提问 2:运用该定理解题还需要那些边和角呢?

分析:这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题 题目条件告诉了边 AB 的对角,AC 为已知边, 再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出 AC 的对角, 应用正弦定理算出 AB 边.

知 1:基线 在测量上,根据测量需要适当确定的

叫基线.

例 2. 如图,A、B 两点都在河的对岸(不可到达),设计一种测量 A、B 两 点间距离的方法. 分析: 这是例 1 的变式题, 研究的是两个 的点之间的距离测量问题. 首先需要构造三角形,所以需要确定 C、D 两点. 根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法,分别求出 AC 和 BC, 再利用余弦定理可以计算出 AB 的距离.

变式: 若在河岸选取相距 40 米的 C、 D 两点, 测得 ? BCA=60°, ? ACD=30°, ? CDB=45°, ? BDA =60°.

练:两灯塔 A、B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km,灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 30°, 灯塔 B 在观察站 C 南偏东 60°,则 A、B 之间的距离为多少?

高一数学必修 5 导学案

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 解斜三角形应用题的一般步骤: (1)分析:理解题意,分清已知与未知,画出示意图 (2)建模:根据已知条件与求解目标,把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中,建 立一个解斜三角形的数学模型; (3)求解:利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形,求得数学模型的解 (4)检验:检验上述所求的解是否符合实际意义,从而得出实际问题的解. 2.基线的选取: 测量过程中,要根据需要选取合适的基线长度,使测量具有较高的精确度.

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 水平地面上有一个球, 现用如下方法测量球的大小, 用锐角 45? 的等腰直角三角板的斜边 紧靠球面, P 为切点, 一条直角边 AC 紧靠地面, 并使三角板与地面垂直, 如果测得 PA=5cm, 则球的半径等于( ). A.5cm B. 5 2cm C. 5( 2 ? 1)cm
D.6cm P 2. 台风中心从 A 地以 每小时 20 千米的速度向东北方向 A C 移动,离台风中心 30 千米内的地区为危险区,城市 B 在 A 的正东 40 千米处,B 城市处于危险区内的时间为( ). A.0.5 小时 B.1 小时 C.1.5 小时 D.2 小时 2 3. 在 ?ABC 中,已知 (a ? b2 )sin( A ? B) ? (a2 ? b2 )sin( A ? B) , 则 ?ABC 的形状( ). A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 4.在 ?ABC 中,已知 a ? 4 , b ? 6 , C ? 120? ,则 sin A 的值是 . 5. 一船以每小时 15km 的速度向东航行,船在 A 处看到一个灯塔 B 在北偏东 60? ,行驶4h 后,船到达 C 处,看到这个灯塔在北偏东 15? ,这时船与灯塔的距离为 km.

课后作业
1. 隔河可以看到两个目标,但不能到达,在岸边选取相距 3 km 的 C、D 两点,并测得∠ ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°,A、B、C、D 在同一个平面, 求两目标 A、B 间的距离.

高一数学必修 5 导学案

2. 某船在海面 A 处测得灯塔 C 与 A 相距 10 3 海里,且在北偏东 30? 方向;测得灯塔 B 与 A 相距 15 6 海里,且在北偏西 75? 方向. 船由 A 向正北方向航行到 D 处,测得灯塔 B 在南偏 西 60? 方向. 这时灯塔 C 与 D 相距多少海里?

§ 1.2 应用举例—②测量高度
学习目标
1. 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量 的问题; 2. 测量中的有关名称.

学习过程
一、课前准备

cos A b 5 ? ? ,则 ? ABC 的形状是怎样? cos B a 3 复习 2: 在 ? ABC 中,a 、b、c 分别为 ? A、? B、? C 的对边, 若 a : b : c =1:1: 3 ,求 A:B:C
复习 1:在 ? ABC 中, 的值.

二、新课导学 ※ 学习探究 新知:坡度、仰角、俯角、方位角
方位角---从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角 ; 坡度---沿余坡向上的方向与水平方向的夹角; 仰角与俯角---视线与水平线的夹角当视线在水平线之上时, 称为仰角; 当视线在水平线之下 时,称为俯角. 探究:AB 是底部 B 不可到达的一个建筑物,A 为建筑物的最高点,设计一种测量建筑物高 度 AB 的方法. 分析:选择基线 HG,使 H、G、B 三点共线, 要求 AB,先求 AE 在 ?ACE 中,可测得角 在 ?ACD 中,可测得角 故可求得 AC

,关键求 AC ,线段 ,又有 ?

高一数学必修 5 导学案

※ 典型例题 例 1. 如图,在山顶铁塔上 B 处测得地面上一点 A 的俯角 ? =54 ?40 ? ,在 塔底 C 处测得 A 处的俯角 ? =50 ?1? . 已知铁塔 BC 部分的高为 27.3 m, 求
出山高 CD(精确到 1 m)

例 2. 如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到 A 处时测得公路南侧远处一山顶 D 在东偏南 15 ? 的方向上,行驶 5km 后到达 B 处,测得此山顶在东偏南 25 ? 的方向上,仰角 为 8 ? ,求此山的高度 CD. 问题 1: 欲求出 CD,思考在哪个三角形中研究比较适合呢? 问题 2: 在 ? BCD 中,已知 BD 或 BC 都可求出 CD,根据条件,易计 算出哪条边的长?

变式: 某人在山顶观察到地面上有相距 2500 米的 A、 B 两个目标, 测得目标 A 在南偏西 57°, 俯角是 60°,测得目标 B 在南偏东 78°,俯角是 45°,试求山高.

三、总结提升 ※ 学习小结 利用正弦定理和余弦定理来解题时,要学会审题及根据题意画方位图,要懂得从所给的 背景资料中进行加工、抽取主要因素,进行适当的简化. ※ 知识拓展
sin(? ? ? ) 在湖面上高 h 处,测得云之仰角为 ? ,湖中云之影的俯角为 ? ,则云高为 h? . sin(? ? ? )

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 在 ? ABC 中,下列关系中一定成立的是( ). A. a ? b sin A B. a ? b sin A C. a ? b sin A D. a ? b sin A 2. 在 ? ABC 中,AB=3,BC= 13 ,AC=4,则边 AC 上的高为( ). 3 3 2 3 3 A. B. C. D. 3 3 2 2 2 3. D、C、B 在地面同一直线上,DC=100 米,从 D、C 两地测得 A 的仰角分别为 30? 和 45? , 则 A 点离地面的高 AB 等于( )米. A.100 B. 50 3 C.50 ( 3 ? 1) D.50 ( 3 ? 1)

高一数学必修 5 导学案

4. 在地面上 C 点,测得一塔塔顶 A 和塔基 B 的仰角分别是 60? 和 30? ,已知塔基 B 高出地面 20m ,则塔身 AB 的高为_________ m . 5. 在 ? ABC 中, b ? 2 2 , a ? 2 ,且三角形有两解,则 A 的取值范围是 .

课后作业
1. 为测某塔 AB 的高度, 在一幢与塔 AB 相距 20m 的楼的楼顶处测得塔顶 A 的仰角为 30°, 测得塔基 B 的俯角为 45°,则塔 AB 的高度为多少 m?

2. 在平地上有 A、B 两点,A 在山的正东,B 在山的东南,且在 A 的南 25°西 300 米的地 方,在 A 侧山顶的仰角是 30°,求山高.

§ 1.2 应用举例—③测量角度
学习目标
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题.

学习过程
一、课前准备 复习 1:在 △ ABC 中,已知 c ? 2 , C ?

? 1 ,且 ab sin C ? 3 ,求 a,b . 3 2

复习 2:设 ?ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 A= 60? , c ? 3 ,求

a 的值. c

二、新课导学 ※ 典型例题 例 1. 如图,一艘海轮从 A 出发,沿北偏东 75 ? 的方向航行 67.5 n mile 后到达海岛 B,然后 从 B 出发,沿北偏东 32 ? 的方向航行 54.0 n mile 后达到海岛 C.如果下次航行直接从 A 出发 到达 C, 此船应该沿怎样的方向航行, 需要航行多少距离?(角度精确到 0.1 ? , 距离精确到 0.01n mile)

分析: 首先由三角形的内角和定理求出角 ? ABC, 然后用余弦定理算出 AC 边, 再根据正弦定理算出 AC 边和 AB 边的夹角 ? CAB.

高一数学必修 5 导学案

例 2. 某巡逻艇在 A 处发现北偏东 45 ? 相距 9 海里的 C 处有一艘走私船, 正沿南偏东 75 ? 的方向以 10 海里/小时的速度向我海岸行驶, 巡逻艇立 即以 14 海里/小时的速度沿着直线方向追去,问巡逻艇应该沿什么方 向去追?需要多少时间才追赶上该走私船?

※ 动手试试 练 1. 甲、乙两船同时从 B 点出发,甲船以每小时 10( 3 +1)km 的速度向正东航行,乙船以 每小时 20km 的速度沿南 60°东的方向航行,1 小时后甲、乙两船分别到达 A、C 两点,求 A、C 两点的距离,以及在 A 点观察 C 点的方向角.

练 2. 某渔轮在 A 处测得在北 45°的 C 处有一鱼群, 离渔轮 9 海里, 并发现鱼群正沿南 75° 东的方向以每小时 10 海里的速度游去, 渔轮立即以每小时 14 海里的速度沿着直线方向追捕, 问渔轮应沿什么方向,需几小时才能追上鱼群?

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 已知量与未知量全部集中在一个三角形中,依次利用正弦定理或余弦定理解之.; 2.已知量与未知量涉及两个或几个三角形,这时需要选择条件足够的三角形优先研究,再 逐步在其余的三角形中求出问题的解. ※ 知识拓展 已知 ? ABC 的三边长均为有理数,A= 3? ,B= 2? ,则 cos 5? 是有理数,还是无理数? 因为 C ? ? ? 5? ,由余弦定理知 a 2 ? b2 ? c 2 为有理数, cos C ? 2ab 所以 cos5? ? ? cos(? ? 5? ) ? ? cos C 为有理数.

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 从 A 处望 B 处的仰角为 ? ,从 B 处望 A 处的俯角为 ? ,则 ? , ? 的关系为( A. ? ? ? B. ? = ?
C. ? + ? = 90? D. ? + ? = 180 ?

).

2. 已知两线段 a ? 2 ,b ? 2 2 ,若以 a 、b 为边作三角形,则边 a 所对的角 A 的取值范围是 ( ). A. ( , ) 6 3

? ?

B. (0, ] 6

?

C. (0, ) 2

?

D. (0, ] 4

?

高一数学必修 5 导学案

3. 关于 x 的方程 sin A?x 2 ? 2sin B?x ? sin C ? 0 有相等实根,且 A、B、C 是 ? 的三个内角,则 三角形的三边 a、b、c 满足( ). A. b ? ac B. a ? bc C. c ? ab D. b 2 ? ac 4. △ABC 中,已知 a:b:c=( 3 +1) :( 3 -1): 10 ,则此三角形中最大角的度数为 5. 在三角形中,已知:A,a,b 给出下列说法: (1)若 A≥90°,且 a≤b,则此三角形不存在 (2)若 A≥90°,则此三角形最多有一解 (3)若 A<90°,且 a=bsinA,则此三角形为直角三角形,且 B=90° (4)当 A<90°,a<b 时三角形一定存在 (5)当 A<90°,且 bsinA<a<b 时,三角形有两解 其中正确说法的序号是 . .

课后作业
1. 我舰在敌岛 A 南偏西 50? 相距 12 海里的 B 处,发现敌舰正由岛沿北偏西 10? 的方向以 10 海里/小时的速度航行.问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用 2 小时追上敌舰?

§ 1.2 应用举例—④解三角形
学习目标
1. 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题; 2. 掌握三角形的面积公式的简单推导和应用; 3. 能证明三角形中的简单的恒等式.

学习过程
一、课前准备 复习 1:在 ? ABC 中 (1)若 a ? 1, b ? 3, B ? 120? ,则 A 等于 . (2)若 a ? 3 3 , b ? 2 , C ? 150? ,则 c ? _____. 复习 2: 在 ?ABC 中,a ? 3 3 ,b ? 2 ,C ? 150? ,则高 BD= ,三角形面积= .

二、新课导学 ※ 学习探究 探究:在 ? ABC 中,边 BC 上的高分别记为 h a ,那么它如何用已知边和角表示? h a =bsinC=csinB 1 根据以前学过的三角形面积公式 S= ah, 2 1 代入可以推导出下面的三角形面积公式,S= absinC, 2 或 S= ,同理 S= .

高一数学必修 5 导学案

新知:三角形的面积等于三角形的任意两边以及它们夹角的正弦之积的一半.

※ 典型例题 例 1. 在 ? ABC 中,根据下列条件,求三角形的面积 S(精确到 0.1cm 2 ): (1)已知 a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5 ? ; (2)已知 B=62.7 ? ,C=65.8 ? ,b=3.16cm; (3)已知三边的长分别为 a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm.

变式:在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过测量得到 这个三角形区域的三条边长分别为 68m,88m,127m,这个区域的面积是多少?(精确到 0.1cm 2 ) 例 2. 在 ? ABC 中,求证: a2 ? b2 sin 2 A ? sin 2 B (1) ? ; c2 sin 2 C (2) a 2 + b 2 + c 2 =2(bccosA+cacosB+abcosC). 小结:证明三角形中恒等式方法: 应用正弦定理或余弦定理,“边”化“角”或“角”化 “边”.

※ 动手试试 练 1. 在 ? ABC 中,已知 a ? 28cm , c ? 33cm , B ? 45? ,则 ? ABC 的面积是
练 2. 在 ? ABC 中,求证: c(a cos B ? b cos A) ? a2 ? b2 .



三、总结提升 ※ 学习小结 1. 三角形面积公式: 1 S= absinC= = . 2 2. 证明三角形中的简单的恒等式方法:应用正弦定理或余弦定理,“边”化“角”或“角” 化“边”. ※ 知识拓展 三角形面积 S ? p( p ? a)( p ? b)( p ? c) , 1 这里 p ? (a ? b ? c) ,这就是著名的海伦公式. 2

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 在 ?ABC 中, a ? 2, b ? 3, C ? 60? ,则 S?ABC ? (
A. 2 3 B.

).

3 2

C.

3

D.

3 2

高一数学必修 5 导学案

3 9 2. 三角形两边之差为 2,夹角的正弦值为 ,面积为 ,那么这个三角形的两边长分别是 2 5 ( ). A. 3 和 5 B. 4 和 6 C. 6 和 8 D. 5 和 7 3. 在 ?ABC 中,若 2 cos B ? sin A ? sin C ,则 ?ABC 一定是( )三角形. A. 等腰 B. 直角 C. 等边 D. 等腰直角 4. ?ABC 三边长分别为 3, 4, 6 ,它的较大锐角的平分线分三角形的面积比是 .
5. 已 知 三 角 形 的 三 边 的 长 分 别 为 a ? 54cm , b ? 61cm , c ? 71cm , 则 ? ABC 的 面 积 是 .

课后作业
1.已知在 ? ABC 中, ? B=30 ? ,b=6,c=6 3 ,求 a 及 ? ABC 的面积 S. 2. 在△ABC 中,若 sin A ? sin B ? sin C ? (cos A ? cos B) ,试判断△ABC 的形状.

§ 1.2 应用举例(练习)
学习目标
1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量的实际问题; 2.三角形的面积及有关恒等式.

学习过程
一、课前准备 复习 1:解三角形应用题的关键:将实际问题转化为解三角形问题来解决. 复习 2:基本解题思路是: ①分析此题属于哪种类型(距离、高度、角度); ②依题意画出示意图,把已知量和未知量标在图中; ③确定用哪个定理转化,哪个定理求解; ④进行作答,并注意近似计算的要求.

二、新课导学 ※ 典型例题 例 1. 某观测站 C 在目标 A 的南偏西 25? 方向, 从 A 出发有一条南偏东 35? 走向的公路, 在C 处测得与 C 相距 31 km 的公路上有一人正沿着此公路向 A 走去,走 20 km 到达 D,此时测得 CD 距离为 21 km ,求此人在 D 处距 A 还有多远?
2. 在某点 B 处测得建筑物 AE 的顶端 A 的仰角为 ? ,沿 BE 方向前进 30m,至点 C 处测得 顶端 A 的仰角为 2 ? ,再继续前进 10 3 m 至 D 点,测得顶端 A 的仰角为 4 ? ,求 ? 的大小 和建筑物 AE 的高.

高一数学必修 5 导学案

3. 如图,在四边形 ABCD 中,AC 平分∠DAB,∠ABC=60°,AC=7,AD=6,S△ADC= 求 AB 的长. A 1 2

15 3 , 2

D

A
600

D

B C ※ 动手试试 练 1. 为测某塔 AB 的高度, 在一幢与塔 AB 相距 20m 的楼的楼顶处测得塔顶 A 的仰角为 30°, 测得塔基 B 的俯角为 45°,则塔 AB 的高度为多少 m?

B

C

练 2. 两灯塔 A、B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km,灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 30°, 灯塔 B 在观察站 C 南偏东 60°,则 A、B 之间的距离为多少?

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 解三角形应用题的基本思路,方法; 2.应用举例中测量问题的强化. ※ 知识拓展 秦九韶“三斜求积”公式:
1 ? 2 2 ? c2 ? a 2 ? b2 ? ?c a ? ? S? ? 4? 2 ? ? ?
2

? ? ? ?

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 某人向正东方向走 x km 后,向右转 150 ? ,然后朝新方向走 3 km ,结果他离出发点恰好
3 km ,则 x 等于(

). )米.

A. 3 B. 2 3 C. 3 或 2 3 D.3 2.在 200 米的山上顶,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为 30? ,60? ,则塔高为( A.

200 400 200 3 400 3 B. C. D. 3 3 3 3 ? A ? 60 ? AC ? 16 3. 在 ? ABC 中, , ,面积为 220 3 ,那么 BC 的长度为( ). A. 25 B. 51 C. 49 3 D. 49 4. 从 200 米高的山顶 A 处测得地面上某两个景点 B、C 的俯角分别是 30?和 45?,且∠BAC =45?,则这两个景点 B、C 之间的距离 . 5. 一货轮航行到 M 处,测得灯塔 S 在货轮的北偏东 15°相距 20 里处,随后货轮按北偏西 30°的方向航行,半小时后,又测得灯塔在货轮的北偏东 45? ,则货轮的速度 .

高一数学必修 5 导学案

课后作业
1. 3.5 米长的棒斜靠在石堤旁, 棒的一端在离堤足 1.2 米地面上, 另一端在沿堤上 2.8 米的地 方,求堤对地面的倾斜角. 2. 已知 a,b,c 为△ABC 的三个内角 A,B,C 的对边,向量 m=( 3, ?1 ),n=(cosA, sinA). 若 m⊥n,且 acosB+bcosA=csinC,求角 B.

第一章 解三角形(复习)
学习目标
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题.

学习过程
一、课前准备 复习 1: 正弦定理和余弦定理 (1)用正弦定理: ①知两角及一边解三角形; ②知两边及其中一边所对的角解三角形(要讨论解的个数). (2)用余弦定理: ①知三边求三角; ②知道两边及这两边的夹角解三角形. 复习 2:应用举例 ① 距离问题,②高度问题,③ 角度问题,④计算问题. 练:有一长为 2 公里的斜坡,它的倾斜角为 30°,现要将倾斜角改为 45°,且高度不变. 则 斜坡长变为___ .

二、新课导学 ※ 典型例题
例 1. 在 ?ABC 中 tan( A ? B) ? 1 ,且最长边为 1, tan A ? tan B , tan B ? △ ABC 最短边的长. 例 2. 如图,当甲船位于 A 处时获悉,在其正东方向相距 20 海里的 B 处有一艘渔船遇险等 待营救.甲船立即前往救援,同时把消息告知在甲船的南偏西 30 ? ,相距 10 海里 C 处的乙 船,试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往 B 处救援(角度精确到 1 ? )? 北

1 ,求角 C 的大小及 2

A 10 ? C

20

B ?

高一数学必修 5 导学案

例 3. 在 ? ABC 中,设

tan A 2c ? b ? , 求 A 的值. tan B b

※ 动手试试 练 1. 如图,某海轮以 60 n mile/h 的速度航行,在 A 点测得海面上油井 P 在南偏东 60°, 向北航行 40 min 后到达 B 点, 测得油井 P 在南偏东 30°, 海轮改为北偏东 60°的航向再行 驶 80 min 到达 C 点,求 P、C 间的距离. C 北
B
60°

30°

A
60°

P

练 2. 在△ABC 中,b=10,A=30°,问 a 取何值时,此三角形有一个解?两个解?无解?

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 应用正、余弦定理解三角形; 2. 利用正、余弦定理解决实际问题(测量距离、高度、角度等); 3.在现实生活中灵活运用正、余弦定理解决问题. (边角转化). ※ 知识拓展 设在 ?ABC 中,已知三边 a , b , c ,那么用已知边表示外接圆半径 R 的公式是
R? abc p( p ? a)( p ? b)( p ? c)

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 已知△ABC 中,AB=6,∠A=30°,∠B= 120? ,则△ABC 的面积为( ). A.9 B.18 C.9 D.18 3 2 2 2 2.在△ABC 中,若 c ? a ? b ? ab ,则∠C=( ). A. 60° B. 90° C.150° D.120° 3. 在 ? ABC 中, a ? 80 , b ? 100 ,A=30°,则 B 的解的个数是( ). A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.不确定的 1 4. 在△ABC 中, a ? 3 2 , b ? 2 3 , cos C ? ,则 S△ABC ? _______ 3 5. 在 ? ABC 中,a 、 b、 c 分别为 ? A、? B、? C 的对边, 若 a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc sin A , 则 A=___ ____.

高一数学必修 5 导学案

课后作业
1. 已知 A 、 B 、 C 为 ?ABC 的三内角,且其对边分别为 a 、 b 、 c ,若 1 cos B cos C ? sin B sin C ? . 2 (1)求 A ; (2)若 a ? 2 3, b ? c ? 4 ,求 ?ABC 的面积. 2. 在△ ABC 中, a , b, c 分别为角 A、B、C 的对边, a2 ? c2 ? b2 ? 积为 6, (1)求角 A 的正弦值;

8bc , a =3, △ ABC 的面 5

(2)求边 b、c.

§2.1 数列的概念与简单表示法(1)
学习目标
1. 理解数列及其有关概念,了解数列和函数之间的关系; 2. 了解数列的通项公式,并会用通项公式写出数列的任意一项; 3. 对于比较简单的数列,会根据其前几项写出它的个通项公式.

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P28 ~ P30 ,找出疑惑之处) 复习 1:函数 ,当 x 依次取 1,2,3,?时,其函数值有什么特点? 复习 2:函数 y=7x+9,当 x 依次取 1,2,3,?时,其函数值有什么特点?

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务:数列的概念 ⒈ 数列的定义:

的一列数叫做数列.

⒉ 数列的项:数列中的 都叫做这个数列的项. 反思: ⑴ 如果组成两个数列的数相同而排列次序不同,那么它们是相同的数列? ⑵ 同一个数在数列中可以重复出现吗?

3. 数列的一般形式: a1 , a2 , a3 ,?, an ,? ,或简记为 ?an ? ,其中 a n 是数列的第 4. 数列的通项公式:如果数列 ?an ? 的第 n 项 示,那么 与 n 之间的关系可以用

项. 来表

就叫做这个数列的通项公式.

高一数学必修 5 导学案

反思: ⑴所有数列都能写出其通项公式? ⑵一个数列的通项公式是唯一? ⑶数列与函数有关系吗?如果有关,是什么关系? 5.数列的分类: 1)根据数列项数的多少分

数列和

数列; 数列, 数列, 数列和 数

2)根据数列中项的大小变化情况分为 列.

※ 典型例题 例 1 写出下面数列的一个通项公式,使它的前 4 项分别是下列各数: 1 1 1 ⑴ 1,- , ,- ; 2 4 3 ⑵ 1, 0, 1, 0.
变式:写出下面数列的一个通项公式,使它的前 4 项分别是下列各数: 1 4 9 16 ⑴ , , , ; 2 5 10 17 ⑵ 1, -1, 1, -1; 小结:要由数列的若干项写出数列的一个通项公式,只需观察分析数列中的项的构成规律, 将项表示为项数的函数关系. 7 an2 ? b 例 2 已知数列 2, ,2,?的通项公式为 an ? ,求这个数列的第四项和第五项. 4 cn

变式:已知数列 5 , 11 , 17 , 23 , 29 ,?,则 5 5 是它的第

项.

小结:已知数列的通项公式,只要将数列中的项代入通项公式,就可以求出项数和项.

※ 动手试试 练 1. 写出下面数列的一个通项公式,使它的前 4 项分别是下列各数: 1 1 1 ⑴ 1, , , ; 7 3 5 ⑵ 1, 2 , 3 ,2 .
练 2. 写出数列 {n2 ? n} 的第 20 项,第 n+1 项.

高一数学必修 5 导学案

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 对于比较简单的数列,会根据其前几项写出它的一个通项公式; 2. 会用通项公式写出数列的任意一项. ※ 知识拓展 数列可以看作是定义域为正整数集的特殊函数. 1 1 1 思考:设 f (n) =1+ + +?+ (n ? N * )那么 f (n ? 1) ? f (n) 等于( 2 3n ? 1 3 1 1 1 A. B. ? 3n ? 2 3n 3n ? 1 1 1 1 1 1 C. D. ? ? ? 3n ? 1 3n ? 2 3n 3n ? 1 3n ? 2



学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 下列说法正确的是( ). A. 数列中不能重复出现同一个数 B. 1,2,3,4 与 4,3,2,1 是同一数列 C. 1,1,1,1?不是数列 D. 两个数列的每一项相同,则数列相同 2. 下列四个数中,哪个是数列 {n(n ? 1)} 中的一项(
A. 380 B. 392 C. 321 3. 在横线上填上适当的数: 3,8,15, ,35,48. 4.数列 {(?1)
n ( n ?1) 2

).

D. 232

} 的第 4 项是 . 1 1 1 1 5. 写出数列 ? , ,? , 的一个通项公式 2 ?1 2 ? 2 2?3 2? 4

.

课后作业
1. 写出数列{ 2n }的前 5 项. 2. (1)写出数列

22 ? 1 32 ? 1 42 ? 1 52 ? 1 , , , 的一个通项公式为 2 3 4 5

.

(2)已知数列 3 , 7 , 11 , 15 , 19 ,? 那么 3 11 是这个数列的第

项.

高一数学必修 5 导学案

§2.1 数列的概念与简单表示法(2)
学习目标
1. 了解数列的递推公式,明确递推公式与通项公式的异同; 2. 会由递推公式写出数列的前几项,并掌握求简单数列的通项公式的方法.

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P31 ~ P34 ,找出疑惑之处) 复习 1:什么是数列?什么是数列的通项公式? 复习 2:数列如何分类?

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务:数列的表示方法
问题: 观察钢管堆放示意图,寻 系? 1. 通项公式法: 试试:上图中每层的钢管数 a n 与层数 n 之间关系的一个通项公式是 2. 图象法: 数列的图形是 侧,而点的个数取决于数列的 化而变化的趋势. ,因为横坐标为 数,所以这些点都在 y 轴的 .从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变 找每层的钢管数 a n 与层数 n 之间有何关

.

3. 递推公式法: 递推公式:如果已知数列 ?an ? 的第 1 项(或前几项),且任一项 a n 与它的前一项 an ?1 (或前 n 项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式. 试试:上图中相邻两层的钢管数 a n 与 an ?1 之间关系的一个递推公式是 4. 列表法: 试试:上图中每层的钢管数 a n 与层数 n 之间关系的用列表法如何表示? .

反思:所有数列都能有四种表示方法吗?

高一数学必修 5 导学案

※ 典型例题
a1 ? 1 ? ? 例 1 设数列 ?an ? 满足 ? 写出这个数列的前五项. 1 ?an ? 1 ? a (n ? 1). n ?1 ?

变式:已知 a1 ? 2 , an ?1 ? 2an ,写出前 5 项,并猜想通项公式 a n . 小结:由递推公式求数列的项,只要让 n 依次取不同的值代入递推公式就可求出数列的项. 例 2 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 0 , an ?1 ? an ? 2n , 那么 a2007 ? ( A. 2003×2004 C. 2007×2006 B. 2004×2005 D. 20042 ).

变式:已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 0 , an ?1 ? an ? 2n ,求 a n . 小结:由递推公式求数列的通项公式,适当的变形与化归及归纳猜想都是常用方法. ※ 动手试试 2 a 练 1. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , 且 an?1 ?an ? an ?an1 (n ? 2 ) , 求 a3 , a4 . a2 ? , ? ? 2a 1 n? ? 1 n? ? 0 3 练 2.(2005 年湖南)已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 0 ,
an ?1 ? an ? 3 3an ? 1

( n ? N * ),则 a20 ? ( C. 3 D.


3 2

.

A.0

B.- 3

练 3. 在数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , a17 ? 66 ,通项公式是项数 n 的一次函数. ⑴ 求数列 ?an ? 的通项公式; ⑵ 88 是否是数列 ?an ? 中的项.

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 数列的表示方法; 2. 数列的递推公式. ※ 知识拓展
n 刀最多能将比萨饼切成几块? 意大利一家比萨饼店的员工乔治喜欢将比萨饼切成形状各异的小块, 以便出售. 他发现一刀能将饼切成两块, 两刀最多能切成 4 块, 而三刀最多能切成 7 块 (如 图).请你帮他算算看,四刀最多能将饼切成多少块?n 刀呢? 解析:将比萨饼抽象成一个圆,每一刀的切痕看成圆的一条弦. 因为任意两 条弦最多只能有一个交点,所以第 n 刀最多与前 n-1 刀的切痕都各有一个不同的交点,因 此第 n 刀的切痕最多被前 n-1 刀分成 n 段,而每一段则将相应的一块饼分成两块. 也就是

高一数学必修 5 导学案

说 n 刀切下去最多能使饼增加 n 块. 记刀数为 1 时, 饼的块数最多为 a1 , ??, 刀数为 n 时, 饼的块数最多为 a n ,所以 a n = an ?1 ? n . 由此可求得 a n =1+ n( n ? 1) . 2

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 已知数列 an ?1 ? an ? 3 ? 0 ,则数列 ?an ? 是( ).
A. 递增数列 B. 递减数列 C. 摆动数列 D. 常数列 2. 数列 ?an ? 中, an ? ?2n2 ? 9n ? 3 ,则此数列最大项的值是( A. 3 B. 13 C. 13

).

1 D. 12 8 3. 数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , an ?1 ? an ? 2 (n≥1),则该数列的通项 an ? (
B. n(n ? 1) n(n ? 1) D. 2 1 4. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? , an ? (?1)n ?2an?1 (n≥2),则 a5 ? 3 1 1 5. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? , an ?1 ? 1 ? (n≥2), an 2 则 a6 ? . A. n(n ? 1) n(n ? 1) C. 2

).

.

1. 数列 ?an ? 中, a1 =0, an ?1 = a n +(2n-1) (n∈N),写出前五项,并归纳出通项公式.

课后作业

2. 数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , an ?1 ?

2an (n ? N ) ,写出前 5 项,并猜想通项公式 a n . an ? 2

高一数学必修 5 导学案

§2.2 等差数列(1)
学习目标
1. 理解等差数列的概念,了解公差的概念,明确一个数列是等差数列的限定条件,能根据 定义判断一个数列是等差数列; 2. 探索并掌握等差数列的通项公式; 3. 正确认识使用等差数列的各种表示法,能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、 项数、指定的项.

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P36 ~ P39 ,找出疑惑之处) 复习 1:什么是数列? 复习 2:数列有几种表示方法?分别是哪几种方法?

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一:等差数列的概念 问题 1:请同学们仔细观察,看看以下四个数列有什么共同特征? ① 0,5,10,15,20,25,? ② 48,53,58,63 ③ 18,15.5,13,10.5,8,5.5 ④ 10072,10144,10216,10288,10366
新知: 1.等差数列:一般地,如果一个数列从第 项起,每一项与它 一项的 常数,这个数列就叫做等差数列,这个常数就叫做等差数列的 表示. 2.等差中项:由三个数 a,A, b 组成的等差数列, 这时数 叫做数 和 的等差中项,用等式表示为 A= 探究任务二:等差数列的通项公式 问题 2:数列①、②、③、④的通项公式存在吗?如果存在,分别是什么? 若一等差数列 ?an ? 的首项是 a1 ,公差是 d,则据其定义可得:
a2 ? a1 ? a3 ? a2 ? a4 ? a3 ?

等于同一个 , 常用字母

,即: a2 ? a1 ? , 即: a3 ? a2 ? d ? a1 ? ,即: a4 ? a3 ? d ? a1 ?

?? 由此归纳等差数列的通项公式可得: an ? ∴已知一数列为等差数列,则只要知其首项 a1 和公差 d,便可求得其通项 a n .

高一数学必修 5 导学案

※ 典型例题 例 1 ⑴求等差数列 8,5,2?的第 20 项; ⑵ -401 是不是等差数列-5,-9,-13?的项?如果是,是第几项?
变式:(1)求等差数列 3,7,11,??的第 10 项. (2)100 是不是等差数列 2,9,16,??的项?如果是,是第几项?如果不是,说明理由.

小结: 要求出数列中的项, 关键是求出通项公式; 要想判断一数是否为某一数列的其中一项, 则关键是要看是否存在一正整数 n 值,使得 a n 等于这一数. 例 2 已知数列{ a n }的通项公式 an ? pn ? q ,其中 p 、 q 是常数,那么这个数列是否一定是 等差数列?若是,首项与公差分别是多少? 式:已知数列的通项公式为 an ? 6n ? 1 ,问这个数列是否一定是等差数列?若是,首项与公 差分别是什么? 小结:要判定 ?an ? 是不是等差数列,只要看 an ? an ?1 (n≥2)是不是一个与 n 无关的常数.

※ 动手试试 练 1. 等差数列 1,-3,-7,-11,?,求它的通项公式和第 20 项.
练 2.在等差数列 ?an ? 的首项是 a5 ? 10, a12 ? 31 , 求数列的首项与公差.

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 等差数列定义: an ? an?1 ? d (n≥2); 2. 等差数列通项公式: an ? a1 ? (n ? 1)d (n≥1). ※ 知识拓展 1. 等差数列通项公式为 an ? a1 ? (n ? 1)d 或 an ? am ? (n ? m)d . 分析等差数列的通项公式, 可 知其为一次函数,图象上表现为直线 y ? a1 ? ( x ? 1)d 上的一些间隔均匀的孤立点.
2. 若三个数成等差数列, 且已知和时, 可设这三个数为 a ? d , a, a ? d . 若四个数成等差数列, 可设这四个数为 a ? 3d , a ? d , a ? d , a ? 3d .

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 等差数列 1,-1,-3,?,-89 的项数是( ). A. 92 B. 47 C. 46 D. 45 2. 数列 ?an ? 的通项公式 an ? 2n ? 5 ,则此数列是( ).
A.公差为 2 的等差数列 B.公差为 5 的等差数列

高一数学必修 5 导学案

C.首项为 2 的等差数列 D.公差为 n 的等差数列 3. 等差数列的第 1 项是 7,第 7 项是-1,则它的第 5 项是( A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 4. 在△ABC 中,三个内角 A,B,C 成等差数列,则∠B= 5. 等差数列的相邻 4 项是 a+1,a+3,b,a+b,那么 a=

). . ,b=

.

1. 在等差数列 ?an ? 中, ⑴已知 a1 ? 2 ,d=3,n=10,求 a n ; ⑵已知 a1 ? 3 , an ? 21 ,d=2,求 n; ⑶已知 a1 ? 12 , a6 ? 27 ,求 d;

课后作业

1 ⑷已知 d=- , a7 ? 8 ,求 a1 . 3
2. 一个木制梯形架的上下底边分别为 33cm,75cm,把梯形的两腰各 6 等分,用平行木条连 接各分点,构成梯形架的各级,试计算梯形架中间各级的宽度.

§2.2 等差数列(2)
学习目标
1. 进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式; 2. 灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题.

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P39 ~ P40,找出疑惑之处) 复习 1:什么叫等差数列? 复习 2:等差数列的通项公式是什么?

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务:等差数列的性质 1. 在等差数列 ?an ? 中, d 为公差, am 与 a n 有何关系?
2. 在等差数列 ?an ? 中, d 为公差,若 m, n, p, q ? N ? 且 m ? n ? p ? q ,则 am , a n , ap , a q 有 何关系?

高一数学必修 5 导学案

※ 典型例题 例 1 在等差数列 ?an ? 中,已知 a5 ? 10 , a12 ? 31 ,求首项 a1 与公差 d .

变式:在等差数列 ?an ? 中, 若 a5 ? 6 , a8 ? 15 ,求公差 d 及 a14 .

小结:在等差数列 {an } 中,公差 d 可以由数列中任意两项 am 与 a n 通过公式 例 2 在等差数列 ?an ? 中, a2 ? a3 ? a10 ? a11 ? 36 ,求 a5 ? a8 和 a6 ? a7 .

am ? an ? d 求出. m?n

变式:在等差数列 ?an ? 中,已知 a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? 34 ,且 a2 ?a5 ? 52 ,求公差 d.

小结:在等差数列中,若 m+n=p+q,则 am ? an ? ap ? aq ,可以使得计算简化.

※ 动手试试 练 1. 在等差数列 ?an ? 中, a1 ? a4 ? a7 ? 39 , a2 ? a5 ? a8 ? 33 ,求 a3 ? a6 ? a9 的值.

练 2. 已知两个等差数列 5, 8, 11, ?和 3, 7, 11, ?都有 100 项, 问它们有多少个相同项?

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 在等差数列中,若 m+n=p+q,则 am ? an ? ap ? aq
注意: am ? an ? am ? n ,左右两边项数一定要相同才能用上述性质. a ? an 2. 在等差数列中,公差 d ? m . m?n

※ 知识拓展 判别一个数列是否等差数列的三种方法,即:
(1) an?1 ? an ? d ; (2) an ? pn ? q ( p ? 0) ; (3) Sn ? an2 ? bn .

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 一个等差数列中, a15 ? 33 , a25 ? 66 ,则 a35 ? (

). ).

A. 99 B. 49.5 C. 48 D. 49 2. 等差数列 ?an ? 中 a7 ? a9 ? 16 , a4 ? 1 ,则 a12 的值为( A . 15 B. 30 C. 31 D. 64

高一数学必修 5 导学案

3. 等差数列 ?an ? 中, a3 , a10 是方程 x2 ? 3x ? 5 ? 0 ,则 a5 ? a6 =( A. 3 B. 5 C. -3 D. -5 4. 等差数列 ?an ? 中, a2 ? ?5 , a6 ? 11 ,则公差 d= 5. 若 48,a,b,c,-12 是等差数列中连续五项,则 a= . ,b=

).

,c=

.

课后作业
1. 若 a1 ? a2 ? ? ? a5 ? 30 , a6 ? a7 ? ? ? a10 ? 80 , 求 a11 ? a12 ? ? ? a15 .

2. 成等差数列的三个数和为 9,三数的平方和为 35,求这三个数.

§2.3 等差数列的前 n 项和(1)
学习目标
1. 掌握等差数列前 n 项和公式及其获取思路; 2. 会用等差数列的前 n 项和公式解决一些简单的与前 n 项和有关的问题.

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P42 ~ P44,找出疑惑之处) 复习 1:什么是等差数列?等差数列的通项公式是什么? 复习 2:等差数列有哪些性质?

二、新课导学 ※ 学习探究 探究:等差数列的前 n 项和公式 问题: 1. 计算 1+2+?+100=? 2. 如何求 1+2+?+n=? 新知: 数列 {an } 的前 n 项的和: 一般地,称 为数列 {an } 的前 n 项的和,用 Sn 表示,即 Sn ?
反思: ① 如何求首项为 a1 ,第 n 项为 a n 的等差数列 {an } 的前 n 项的和? ② 如何求首项为 a1 ,公差为 d 的等差数列 {an } 的前 n 项的和? 试试:根据下列各题中的条件,求相应的等差数列 {an } 的前 n 项和 Sn . ⑴ a1 ? ?4,a8 ? ?18,n ? 8; ⑵ a1 ? 14.5,d ? 0.7,n ? 15 .

高一数学必修 5 导学案

小结:

n(a1 ? an ) ,必须具备三个条件: . 2 n(n ? 1)d 2. 用 Sn ? na1 ? ,必须已知三个条件: . 2 ※ 典型例题 例 1 2000 年 11 月 14 日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的统治》. 某市 据此提出了实施“校校通”工程的总目标:从 2001 年起用 10 年时间,在全市中小学建成不 同标准的校园网.据测算,2001 年该市用于“校校通”工程的经费为 500 万元. 为了保证工 程的顺利实施,计划每年投入的资金都比上一年增加 50 万元. 那么从 2001 年起的未来 10 年内,该市在“校校通”工程中的总投入是多少?
1. 用 Sn ?

小结:解实际问题的注意: ① 从问题中提取有用的信息,构建等差数列模型; ② 写这个等差数列的首项和公差,并根据首项和公差选择前 n 项和公式进行求解. 例 2 已知一个等差数列 {an } 前 10 项的和是 310, 前 20 项的和是 1220. 由这些条件能确定这 个等差数列的前 n 项和的公式吗? 变式:等差数列 {an } 中,已知 a10 ? 30 , a20 ? 50 , Sn ? 242 ,求 n. 小结:等差数列前 n 项和公式就是一个关于 an、a1、n或者a1、n、d 的方程,已知几个量,通 过解方程,得出其余的未知量.

※ 动手试试 练 1.一个凸多边形内角成等差数列,其中最小的内角为 120°,公差为 5°,那么这个多边 形的边数 n 为( ). A. 12 B. 16 C. 9 D. 16 或 9 三、总结提升 ※ 学习小结 1. 等差数列前 n 项和公式的两种形式; 2. 两个公式适用条件,并能灵活运用; 3. 等差数列中的“知三求二”问题,即:已知等差数列之 a1 , an , q, n, Sn 五个量中任意的三个,
列方程组可以求出其余的两个.

※ 知识拓展 1. 若数列 {an } 的前 n 项的和 Sn ? An2 ? Bn (A ? 0 ,A、B 是与 n 无关的常数),则数列 {an }
是等差数列. 2. 已知数列 ?an ? , 是公差为 d 的等差数列, Sn 是其前 n 项和, 设 k ? N ? , Sk , S2k ? Sk , S3k ? S2k 也 成等差数列,公差为 k 2 ?d .

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
).

高一数学必修 5 导学案

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 在等差数列 {an } 中, S10 ? 120 ,那么 a1 ? a10 ? (

).

A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 2. 在 50 和 350 之间,所有末位数字是 1 的整数之和是( ). A.5880 B.5684 C.4877 D.4566 3. 已知等差数列的前 4 项和为 21,末 4 项和为 67,前 n 项和为 286,则项数 n 为( A. 24 B. 26 C. 27 D. 28 4. 在等差数列 {an } 中, a1 ? 2 , d ? ?1 ,则 S8 ? 5. 在等差数列 {an } 中, a1 ? 25 , a5 ? 33 ,则 S6 ? . .



课后作业
1. 数列{ a n }是等差数列,公差为 3, a n =11,前 n 和 Sn =14,求 n 和 a3 . 2. 在小于 100 的正整数中共有多少个数被 3 除余 2? 这些数的和是多少?

§2.3 等差数列的前 n 项和(2)
学习目标
1. 进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前 n 项和公式; 2. 了解等差数列的一些性质,并会用它们解决一些相关问题; 3. 会利用等差数列通项公式与前 n 项和的公式研究 Sn 的最大(小)值.

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P45 ~ P46,找出疑惑之处) 复习 1:等差数列{ a n }中, a 4 =-15, 公差 d=3,求 S 5 复习 2:等差数列{ a n }中,已知 a3 ? 1 , a5 ? 11 ,求 和 S8 .

二、新课导学 ※ 学习探究 问题:如果一个数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ? pn2 ? qn ? r ,其中 p、q、r 为常数,且 p ? 0 ,
那么这个数列一定是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是多少?

※ 典型例题
1 例 1 已知数列 {an } 的前 n 项为 Sn ? n2 ? n ,求这个数列的通项公式. 这个数列是等差数列 2 吗?如果是,它的首项与公差分别是什么?

高一数学必修 5 导学案

1 2 变式:已知数列 {an } 的前 n 项为 Sn ? n2 ? n ? 3 ,求这个数列的通项公式. 4 3

小结:数列通项 a n 和前 n 项和 Sn 关系为
? S1 (n ? 1) ,由此可由 Sn 求 a n . an = ? ? Sn ? Sn ?1 (n ? 2)

2 4 例 2 已知等差数列 5, 4 , 3 ,....的前 n 项和为 Sn ,求使得 Sn 最大的序号 n 的值. 7 7
变式:等差数列{ a n }中, a 4 =-15, 公差 d=3, 求数列{ a n }的前 n 项和 Sn 的最小值.

小结:等差数列前项和的最大(小)值的求法. (1) 利用 a n : 当 a n >0, d<0, 前n项和有最大值, 可由 a n ≥0, 且 an ?1 ≤0, 求得n的值; 当 a n <0, d>0,前n项和有最小值,可由 a n ≤0,且 an ?1 ≥0,求得n的值 d d (2)利用 Sn :由 Sn ? n2 ? (a1 ? )n ,利用二次函数配方法求得最大(小)值时n的值. 2 2 ※ 动手试试 练 1. 已知 Sn ? 3n2 ? 2n ,求数列的通项 a n .
王新敞
奎屯 新疆

练 2. 有两个等差数列 2,6,10,?,190 及 2,8,14,?200,由这两个等差数列的公共 项按从小到大的顺序组成一个新数列,求这个新数列的各项之和.

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 数列通项 a n 和前 n 项和 Sn 关系;
2. 等差数列前项和最大(小)值的两种求法.

※ 知识拓展 等差数列奇数项与偶数项的性质如下: 1°若项数为偶数 2n,则
S偶-S奇=nd ;
S奇 a = n (n ? 2) ; S偶 an ?1

2°若项数为奇数 2n+1,则 S奇-S偶=an ?1 ; S偶 ? nan?1 ; S奇=(n ? 1)an?1 ;
S偶 = n . S奇 n ? 1

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为(
).

高一数学必修 5 导学案

A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 下列数列是等差数列的是( ). 2 A. an ? n B. Sn ? 2n ? 1 C. Sn ? 2n2 ? 1 D. Sn ? 2n2 ? n ). ). . 2. 等差数列{ a n }中,已知 S15 ? 90 ,那么 a8 ? (

A. 3 B. 4 C. 6 D. 12 3. 等差数列{ a n }的前 m 项和为 30,前 2m 项和为 100,则它的前 3m 项和为( A. 70 B. 130 C. 140 D. 170 4. 在小于 100 的正整数中共有 个数被 7 除余 2,这些数的和为 1 5. 在等差数列中,公差 d= , S100 ? 145 , 2 则 a1 ? a3 ? a5 ? ... ? a99 ? .

课后作业
1. 在项数为 2n+1 的等差数列中,所有奇数项和为 165,所有偶数项和为 150,求 n 的值.

2. 等差数列{ a n }, a1 ? 0 , S9 ? S12 ,该数列前多少项的和最小?

§2.4 等比数列(1)
学习目标
1 理解等比数列的概念;探索并掌握等比数列的通项公式、性质; 2. 能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,提高数学建模能力; 3. 体会等比数列与指数函数的关系.

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P48 ~ P51,找出疑惑之处) 复习 1:等差数列的定义? 复习 2:等差数列的通项公式 an ? 等差数列的性质有: ,

二、新课导学 ※ 学习探究 观察:①1,2,4,8,16,? 1 1 1 1 ②1, , , , ,? 2 4 8 16 ③1,20, 20 2 , 203 , 20 4 ,? 思考以上四个数列有什么共同特征?

高一数学必修 5 导学案

新知: 1. 等比数列定义:一般地,如果一个数列从第 项起, 一项与它的 一项的 常数,那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的 ,通常用字母 a (q≠0),即: n = (q≠0) a n ?1 2. 等比数列的通项公式: a2 ? a1 a3 ? a2 q ? (a1q)q ? a1 ;
a4 ? a3q ? (a1q2 )q ? a1

等于 表示





? ?

∴ an ? an?1q ? a1 ?

等式成立的条件

3. 等比数列中任意两项 a n 与 am 的关系是:

※ 典型例题
4 1 ,公比是- ,求它的第 1 项; 9 3 (2)一个等比数列的第 2 项是 10,第 3 项是 20,求它的第 1 项与第 4 项.
例 1 (1) 一个等比数列的第 9 项是

小结:关于等比数列的问题首先应想到它的通项公式 an ? a1qn?1 . 例 2 已知数列{ a n }中,lg an ? 3n ? 5 ,试用定义证明数列{ a n }是等比数列.

小结:要证明一个数列是等比数列,只需证明对于任意正整数 n,

a n ?1 是一个不为 0 的常数 an

就行了. ※ 动手试试 练 1. 某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年剩留的这种物质是原来的 84%. 这 种物质的半衰期为多长(精确到 1 年)?

练 2. 一个各项均正的等比数列,其每一项都等于它后面的相邻两项之和,则公比 q ? ( A.
3 2

). B.
3 5 2

C.

5 ?1 2

D.

5 ?1 2

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 等比数列定义; 2. 等比数列的通项公式和任意两项 a n 与 am 的关系. ※ 知识拓展 在等比数列 {an } 中,

高一数学必修 5 导学案

⑴ 当 a1 ? 0 ,q >1 时,数列 {an } 是递增数列; ⑵ 当 a1 ? 0 , 0 ? q ? 1 ,数列 {an } 是递增数列; ⑶ 当 a1 ? 0 , 0 ? q ? 1 时,数列 {an } 是递减数列; ⑷ 当 a1 ? 0 ,q >1 时,数列 {an } 是递减数列; ⑸ 当 q ? 0 时,数列 {an } 是摆动数列; ⑹ 当 q ? 1 时,数列 {an } 是常数列.

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 在 ?an ? 为等比数列, a1 ? 12 , a2 ? 24 ,则 a3 ? (
A. 36 B. 48

).

C. 60 D. 72 2 9 1 2. 等比数列的首项为 ,末项为 ,公比为 ,这个数列的项数 n=( ). 3 8 3 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 已知数列 a,a(1-a), a(1 ? a) 2 ,?是等比数列,则实数 a 的取值范围是( A. a≠1 C. a≠0 B. a≠0 且 a≠1 D. a≠0 或 a≠1
2a1 ? a2 = 2a3 ? a4

).

4. 设 a1 , a 2 , a3 , a 4 成等比数列,公比为 2,则 5. 在等比数列 {an } 中, 2a4 ? a6 ? a5 ,则公比 q=

.

.

课后作业
在等比数列 {an } 中, ⑴ a4 ? 27 ,q=-3,求 a 7 ; ⑵ a2 ? 18 , a4 ? 8 ,求 a1 和 q; ⑶ a4 ? 4 , a7 ? 6 ,求 a9 ; ⑷ a5 ? a1 ? 15, a4 ? a2 ? 6 ,求 a3 .

§2.4 等比数列(2)
学习目标
1.灵活应用等比数列的定义及通项公式;深刻理解等比中项概念; 2. 熟悉等比数列的有关性质,并系统了解判断数列是否成等比数列的方法.

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P51 ~ P54,找出疑惑之处) 复习 1:等比数列的通项公式 an ? = 公比 q 满足的条件是 复习 2:等差数列有何性质?

.

高一数学必修 5 导学案

二、新课导学 ※ 学习探究
问题 1: 如果在 a 与 b 中间插入一个数 G, 使 a, G, b 成等比数列, 则

G b ? ? G2 ? ab ? G ? a G

新知 1:等比中项定义 如果在 a 与 b 中间插入一个数 G,使 a,G,b 成等比数列,那么称这个数 G 称为 a 与 b 的 等比中项. 即 G= (a,b 同号). 试试:数 4 和 6 的等比中项是 . 问题 2: 1.在等比数列{ a n }中, a52 ? a3 a7 是否成立呢?
2 2. an ? an?1an?1 (n ? 1) 是否成立?你据此能得到什么结论? 2 3. an ? an?k an? k (n ? k ? 0) 是否成立?你又能得到什么结论?

新知 2:等比数列的性质 在等比数列中,若 m+n=p+q,则 am an ? a p ak . 试试:在等比数列 ?an ? ,已知 a1 ? 5, a9 a10 ? 100 ,那么 a18 ? .

※ 典型例题 例 1 已知 {an }, {bn } 是项数相同的等比数列,仿照下表中的例子填写表格,从中你能得出什
么结论?证明你的结论.
an bn an ? bn

例 2 3 ? ( )n 3 ?5 ? 2 n ?1 4 ?10 ? ( )n ?1 3 是

自选 1

自选 2

{an ? bn } 是

否等比

变式:项数相同等比数列{ a n }与{ bn },数列{

an }也一定是等比数列吗?证明你的结论. bn

小结:两个等比数列的积和商仍然是等比数列. 例 2 在等比数列{ a n }中,已知 a4 ?a7 ? ?512 ,且 a3 ? a8 ? 124 ,公比为整数,求 a10 . 变式:在等比数列{ a n }中,已知 a7 ?a12 ? 5 ,则 a8 ?a9 ?a10 ?a11 ? .

※ 动手试试 练 1. 一个直角三角形三边成等比数列,则( A. 三边之比为 3:4:5 B. 三边之比为 1: 3 :3
5 ?1 2 5 ?1 D. 较大锐角的正弦为 2

).

C. 较小锐角的正弦为

高一数学必修 5 导学案

练 2. 在 7 和 56 之间插入 a 、 b ,使 7、 a 、 b 、56 成等比数列,若插入 c 、 d ,使 7、 c 、 d 、56 成等差数列,求 a + b + c + d 的值.

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 等比中项定义; 2. 等比数列的性质. ※ 知识拓展 公比为 q 的等比数列 {an } 具有如下基本性质:
1. 数列 {| an |} , {an 2 } , {can } (c ? 0) ,{anm } (m ? N * ) , {an k } 等,也为等比数列,公比分别为 a bn } , { n } 也等比. | q |, q2 , q, qm , q k . 若数列 {bn } 为等比数列,则 {an ? bn 2. 若 m ? N * ,则 an ? am ? qn?m . 当 m=1 时,便得到等比数列的通项公式. 3. 若 m ? n ? k ? l , m, n, k , l ? N * ,则 am ?an ? ak ?al . 4. 若 {an } 各项为正,c>0,则 {log c a} n 是一个以 logc a1 为首项, log c q 为公差的等差数列. 若
{bn } 是以 d 为公差的等差数列,则 {cbn } 是以 cb1 为首项, cd 为公比的等比数列. 当一个数列

既是等差数列又是等比数列时,这个数列是非零的常数列.

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 在 ?an ? 为等比数列中, an ? 0 , a2 a4 ? 2a3a5 ? a52 ? 16 ,那么 a3 ? a5 ? (

).

A. ±4 B. 4 C. 2 D. 8 2. 若-9,a1,a2,-1 四个实数成等差数列,-9,b1,b2,b3,-1 五个实数成等比数列, 则 b2(a2-a1)=( ). 9 A.8 B.-8 C.±8 D. 8 3. 若正数 a, b, c 依次成公比大于 1 的等比数列, 则当 x>1 时,log a x ,log b x ,log c x( ) A.依次成等差数列 B.各项的倒数依次成等差数列 C.依次成等比数列 D.各项的倒数依次成等比数列 4. 在两数 1,16 之间插入三个数,使它们成为等比数列,则中间数等于 5. 在各项都为正数的等比数列 ?an ? 中, a5 ?a6 ? 9 , 则 log3 a1 + log3 a 2 +?+ log3 a10 ? .

.

1. 在 ?an ? 为等比数列中, a1 ?a9 ? 64 , a3 ? a7 ? 20 ,求 a11 的值. 2. 已知等差数列 ?an ? 的公差 d≠0,且 a1 , a3 , a9 成等比数列,求
a1 ? a3 ? a9 . a2 ? a4 ? a10

课后作业

高一数学必修 5 导学案

§2.5 等比数列的前 n 项和(1)
学习目标
1. 掌握等比数列的前 n 项和公式; 2. 能用等比数列的前 n 项和公式解决实际问题.

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P55 ~ P56,找出疑惑之处) 复习 1:什么是数列前 n 项和?等差数列的数列前 n 项和公式是什么? 复习 2:已知等比数列中, a3 ? 3 , a6 ? 81 ,求 a9 , a10 .

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务: 等比数列的前 n 项和 故事:“国王对国际象棋的发明者的奖励”
新知:等比数列的前 n 项和公式 设等比数列 a1 , a2 , a3 ,?an ? 它的前 n 项和是 Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ? an ,公比为 q≠0, 公式的推导方法一: 2 n?2 n ?1 ? ?S ? a1 ? a1q ? a1q ? ?a1q ? a1q 则? n ? ?qSn ? ? (1 ? q)Sn ? 当 q ? 1 时, Sn ? 或 Sn ? 当 q=1 时, Sn ? 公式的推导方法二: 由等比数列的定义, 有
a a2 a3 ? ?? ? n ? q , a1 a2 an ?1

① ②

a2 ? a3 ? ? ? an S ? a1 ? n ?q, a1 ? a2 ? ? ? an ?1 Sn ? an



S n ? a1 ?q. S n ? an

∴ (1 ? q)Sn ? a1 ? an q (结论同上) 公式的推导方法三: Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ? an = a1 ? q(a1 ? a2 ? a3 ? ?an?1 ) = a1 ? qSn ?1 = a1 ? q(Sn ? an ) . ∴
( 1? q S ) n ? a1 ? an q (结论同上)

高一数学必修 5 导学案

试试:求等比数列

1 1 1 , , ,…的前 8 项的和. 2 4 8

※ 典型例题
例 1 已知 a1=27,a9=

1 ,q<0,求这个等比数列前 5 项的和. 243

变式: a1 ? 3 , a5 ? 48 . 求此等比数列的前 5 项和. 例 2 某商场今年销售计算机 5000 台,如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加 10%, 那么从今年起,大约几年可使总销售量达到 30000 台(结果保留到个位)?

※ 动手试试
3 9 练 1. 等比数列中, a3 ? , S3 ? ,求a1及q. 2 2
练 2. 一个球从 100m 高出处自由落下,每次着地后又弹回到原来高度的一半再落下,当它 第 10 次着地时,共经过的路程是多少?(精确到 1m)

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 等比数列的前 n 项和公式; 2. 等比数列的前 n 项和公式的推导方法; 3. “知三求二”问题,即:已知等比数列之 a1 , an , q, n, Sn 五个量中任意的三个,列方程组可
以求出其余的两个.

※ 知识拓展 1. 若 q ? ?1, m ? N * ,则 Sm , S2m ? Sm , S3m ? S2m , ??? 构成新的等比数列,公比为 qm .
a 2. 若三个数成等比数列,且已知积时,可设这三个数为 , a , aq . 若四个同符号的数成等比 q a a 数列,可设这四个数为 3 , , aq, aq 3 . q q

3. 证明等比数列的方法有: a (1)定义法: n ?1 ? q ;(2)中项法: an ?12 ? an ?an ? 2 . an
?S ? a1 4. 数列的前 n 项和构成一个新的数列,可用递推公式 ? 1 表示. ?Sn ? Sn ?1 ? an (n ? 1)

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 数列 1, a , a 2 , a 3 ,?, a n ?1 ,?的前 n 项和为( 1 ? an 1 ? a n ?1 A. B. 1? a 1? a

).

高一数学必修 5 导学案

1 ? an? 2 D. 以上都不对 1? a 2. 等比数列中,已知 a1 ? a2 ? 20 , a3 ? a4 ? 40 ,则 a5 ? a6 ? (
C.

).

A. 30 B. 60 C. 80 D. 160 3. 设 {an } 是由正数组成的等比数列,公比为 2 ,且 a1a2 a3 ??? a30 ? 230 ,那么 a3a6 a9 ??? a30 ? ( ). A. 210 B. 2 20 C. 1 D. 260 4. 等比数列的各项都是正数,若 a1 ? 81, a5 ? 16 ,则它的前 5 项和为 5. 等比数列的前 n 项和 Sn ? 3n ? a ,则 a= .

.

课后作业
1. 等比数列中,已知 a1 ? ?1, a4 ? 64, 求q及S4. 2. 在等比数列 ?an ? 中, a1 ? a6 ? 33, a2 ?a5 ? 32 ,求 S6 .

§2.5 等比数列的前 n 项和(2)
学习目标
1. 进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前 n 项和公式; 2. 会用公式解决有关等比数列的 Sn , an , a1 , n, q 中知道三个数求另外两个数的一些简单问题.

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P57 ~ P62,找出疑惑之处) 复习 1:等比数列的前 n 项和公式. 当 q ? 1 时, Sn ? = 当 q=1 时, Sn ? 复习 2:等比数列的通项公式. an ? =

.

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务:等比数列的前 n 项和与通项关系 问题:等比数列的前 n 项和 Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ?1 ? an , S n ?1 ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an?1 (n≥2), Sn ? Sn?1 ? ∴ , 当 n=1 时, S1 ? .
反思: 等比数列前 n 项和 Sn 与通项 a n 的关系是什么?

高一数学必修 5 导学案

※ 典型例题 例 1 数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? an ? 1 (a≠0,a≠1),试证明数列 {an } 是等比数列.

变式:已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ,且 Sn ?1 ? 4an ? 2 , a1 ? 1 ,设 bn ? an ?1 ? 2an ,求证:数 列 {bn } 是等比数列.

例 2 等比数列前 n 项,前 2n 项,前 3n 项的和分别是 Sn , S2 n , S3n ,求证: Sn , S2 n ? Sn ,
S3n ? S2n 也成等比.

变式:在等比数列中,已知 Sn ? 48, S2n ? 60 ,求 S3n .

※ 动手试试 练 1. 等比数列 {an } 中, S30 ? 13S10 , S10 ? S30 ? 140 ,求 S20 .
练 2. 求数列 1,1+2,1+2+22,1+2+22+23,?的前 n 项和 Sn.

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 等比数列的前 n 项和与通项关系; S2 n , S3 n , S2 n ? Sn , S3n ? S2n 2. 等比数列前 n 项, 前 2n 项, 前 3n 项的和分别是 Sn , 则数列 Sn ,
也成为等比数列.

※ 知识拓展 1. 等差数列中, Sm? n ? Sm ? Sn ? mnd ;
2. 等比数列中, Sm? n ? Sn ? qn Sm ? Sm ? qm Sn .

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 等比数列 {an } 中, S3 ? 3 , S6 ? 9 ,则 S9 ? ( ).
A. 21 B. 12 C. 18 D. 24 2. 在等比数列中, a1 ? 4 ,q=2,使 Sn ? 4000 的最小 n 值是( ).

A. 11 B. 10 C. 12 D. 9 3. 计算机是将信息转换成二进制数进行处理的,二进制即“逢二进一”.如(1101) 2 表示二进 制的数, 将它转换成十进制的形式是 1? 23 ? 1? 22 ? 0 ? 21 ? 1? 20 ? 13 ,那么将二进制数 (11111111) 2 转换成十进制的形式是( ). A. 29 ? 2 B. 28 ? 1 C. 28 ? 2 D. 27 ? 1 4. 在等比数列中,若 2S3 ? a3 ? 2S2 ? a4 ,则公比 q= 5. 在等比数列中, a1 ? 1 , an ? ?512 , Sn ? ?341 , 则 q= ,n= . .

高一数学必修 5 导学案

课后作业
1. 等比数列的前 n 项和 s n ? 2 ? 1 ,求通项 a n . 2. 设 a 为常数,求数列 a,2a2,3a3,?,nan,?的前 n 项和;
n

第二章 数列(复习)
学习目标 1. 系统掌握数列的有关概念和公式;
2. 了解数列的通项公式 a n 与前 n 项和公式 Sn 的关系; 3. 能通过前 n 项和公式 Sn 求出数列的通项公式 a n .

学习过程
一、课前准备 (复习教材 P28 ~P69,找出疑惑之处) (1)数列的概念,通项公式,数列的分类,从函数的观点看数列. (2)等差、等比数列的定义. (3)等差、等比数列的通项公式. (4)等差中项、等比中项. (5)等差、等比数列的前 n 项和公式及其推导方法.

二、新课导学 ※ 学习探究 1.数列是特殊的函数,有些题目可结合函数知识去解决,体现了函数思想、数形结合的思 想. 2.等差、等比数列中,a 1 、 a n 、n、d(q)、 Sn “知三求二”,体现了方程(组)的思想、整
体思想,有时用到换元法. 3. 求等比数列的前 n 项和时要考虑公比是否等于 1,公比是字母时要进行讨论,体现了分 类讨论的思想. 4.数列求和的基本方法有:公式法,倒序相加法,错位相减法,拆项法,裂项法,累加法, 等价转化等. 5. 数列求和主要: (1)逆序相加; (2)错位相消; (3)叠加、叠乘; (4)分组求和; 1 1 1 ? ? (5)裂项相消,如 . n(n ? 1) n n ? 1

※ 典型例题
例 1 在数列 ?an ? 中, a1 =1, n ≥2 时, a n 、 Sn 、 Sn - (1)求 a2 , a3 , a4 ; (2)求数列 ?an ? 的通项公式.

1 成等比数列. 2

高一数学必修 5 导学案

例 2 已知等差数列{an}的首项 a1=1,公差 d>0,且第二项,第五项,第十四项分别是等比 数列{bn}的第二项,第三项,第四项. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式; c c c c (2) 设数列{cn}对任意正整数 n, 均有 1 ? 2 ? 3 ? ?? ? n ? an ?1 , 求 c1+c2+c3+?+c2004 b1 b2 b3 bn 的值.

※ 动手试试 练 1. 等差数列 ?an ? 的首项为 a, 公差为 d ;等差数列 ?bn ? 的首项为 b , 公差为 e . 如果
cn ? an ? bn ( n ?1),且 c1 ? 4, c2 ? 8. 求数列 ?cn ? 的通项公式.

练 2. 如图,作边长为 a 的正三角形的内切圆,在这个圆内作内接正三角 形,然后,再作新三角形的内切圆.如此下去,求前 n 个内切圆的面积和.

练 3. 一个蜂巢里有 1 只蜜蜂,第 1 天,它飞出去回了 5 个伙伴; 第 2 天, 6 只蜜蜂飞出去, 各自找回了 5 个伙伴, ??, 如果这个找伙伴的过程继续下去, 第 6 天所有的蜜蜂都归巢后, 蜂巢中一共有( )只蜜蜂. A. 55986 B. 46656 C. 216 D. 36

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 数列的有关概念和公式; 2. 熟练掌握有关概念和公式并能灵活运用,培养解决实际问题的能力. ※ 知识拓展
数列前 n 项和重要公式: 12 ? 22 ? 32 ? ?n2 ?

n(n ? 1)(2n ? 1) 1 ; 13 ? 23 ? ?n3 ? [ n(n ? 1)]2 6 2

王新敞
奎屯

新疆

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 集合 M ? m m ? 2n ? 1, n ? N * , m ? 60 的元素个数是(

?

?

).

A. 59 B. 31 C. 30 D. 29 2. 若在 8 和 5832 之间插入五个数, 使其构成一个等比数列, 则此等比数列的第五项是 ( ) . A.648 B.832 C.1168 D.1944 3. 设数列 ?an ? 是单调递增的等差数列,前三项的和是 12, 前三项的积是 48,则它的首项 是( A. 1 ). B. 2 . C. 4 D. 8 2 4 4. 已知等差数列 5, 4 ,3 ,... 的前 n 项和为 Sn ,则使得 Sn 最大的序号 n 的值为 7 7 5. 在小于 100 的正整数中,被 5 除余 1 的数的个数有 个;这些数的和是

高一数学必修 5 导学案

课后作业
1. 观察下面的数阵, 容易看出, 第 n 行最右边的数是 n2 , 那么第 20 行最左边的数是几? 第 20 行所有数的和是多少? 2 6 1 3 7 4 8

5

9

§ 3.1 不等关系与不等式(1)
学习目标
1. 了解现实世界和日常生活中存在着的不等关系; 2. 会从实际问题中找出不等关系,并能列出不等式与不等式组.

学习过程
一、课前准备 复习 1:写出一个以前所学的不等关系_________ 复 习 2 : 用 不 等 式 表 示 , 某 地 规 定 本 地 最 低 生 活 保 障 金 x 不 低 于 400 元 ______________________

二、新课导学 ※ 学习探究 探究 1: 文字语言 数学符号 大于 小于 大于等于 小于等于

文字语言 至多 至少 不少于 不多于

数学符号

探究 2: 限速 40km/h 的路标, 指示司机在前方路段行驶时, 应使汽车的速度 v 不超过 40km/h, 写成不等式就是_______________ 某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量 p 应不少于 2.5%,蛋白质的含量 q 应不少 于 2.3%,写成不等式组就是_________________

※ 典型例题 例 1 设点 A 与平面 的距离为 d , B 为平面 ? 上的任意一点,则其中不等关系有 ______________ 例 2 某种杂志原以每本 2.5 元的价格销售, 可以售出 8 万本. 据市场调查, 若单价每提高 0.1 元,销售量就可能相应减少 2000 本. 若把提价后杂志的定价设为 x 元,怎样用不等式表示 销售的总收入仍不低于 20 万元呢? 例 3 某钢铁厂要把长度为 4000mm 的钢管截成 500mm 和 600mm 两种.按照生产的要求, 600mm 的数量不能超过 500mm 钢管的 3 倍.怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢?

高一数学必修 5 导学案

※ 动手试试 练 1. 用不等式表示下面的不等关系: (1)a 与 b 的和是非负数_________________ (2) 某公路立交桥对通过车辆的高度 h “限高 4m” _____________________ (3)如图(见课本 74 页),在一个面积为 350 的矩形地基上建造一个仓库, 四周是绿地,仓库的长 L 大于宽 W 的 4 倍

练 2. 有一个两位数大于 50 而小于 60,其个位数字比十位数大 2.试用不等式表示上述关 系,并求出这个两位数(用 a 和 b 分别表示这个两位数的十位数字和个位数字).

三、总结提升 ※ 学习小结 1.会用不等式(组)表示实际问题的不等关系; 2.会用不等式(组)研究含有不等关系的问题. ※ 知识拓展 “等量关系”和“不等量关系”是“数学王国”的两根最为重要的“支柱”,相比较其 它一些科学王国来说,“证明精神”可以说是“数学王国”的“血液和灵魂”.

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 下列不等式中不成立的是( ). A. ?1 ? 2 B. ?1 ? 2 C. ?1 ? ?1 D. 2. 用不等式表示,某厂最低月生活费 a 不低于 300 元 ( ). A. a ? 300 B. a ? 300 C. a ? 300 D. a ? 300 3. 已知 a ? b ? 0 , b ? 0 ,那么 a, b, ?a, ?b 的大小关系是( ). A. a ? b ? ? b ? ? a B. a ? ? b ? ? a ? b C. a ? ? b ? b ? ? a D. a ? b ? ? a ? ? b 4. 用不等式表示:a 与 b 的积是非正数___________ 5. 用不等式表示: 某学校规定学生离校时间 t 在 16 点到 18 点之间_______________________

课后作业
1. 某夏令营有 48 人,出发前要从 A、B 两种型号的帐篷中选择一种.A 型号的帐篷比 B 型 号的少 5 顶.若只选 A 型号的,每顶帐篷住 4 人,则帐篷不够;每顶帐篷住 5 人,则有一 顶帐篷没有住满.若只选 B 型号的,每顶帐篷住 3 人,则帐篷不够;每顶帐篷住 4 人,则 有帐篷多余.设 A 型号的帐篷有 x 顶,用不等式将题目中的不等关系表示出来.

高一数学必修 5 导学案

2. 某正版光碟,若售价 20 元/本,可以发行 10 张,售价每体高 2 元,发行量就减少 5000 张,如何定价可使销售总收入不低于 224 万元?

§ 3.1 不等关系与不等式(2)
学习目标
1. 掌握不等式的基本性质; 2. 会用不等式的性质证明简单的不等式; 3. 会将一些基本性质结合起来应用.

学习过程
一、课前准备 1.设点 A 与平面 ? 之间的距离为 d,B 为平面 ? 上任意一点,则点 A 与平面 ? 的距离小于 或等于 A、B 两点间的距离,请将上述不等关系写成不等式. 2.在初中,我们已经学习过不等式的一些基本性质. 请同学们回忆初中不等式的的基本性 质. (1) a ? b, b ? c ? a ___ c (2) a ? b ? a ? c ____ b ? c (3) a ? b, c ? 0 ? ac ____ bc (4) a ? b, c ? 0 ? ac ____ bc

二、新课导学 ※ 学习探究 问题 1:如何比较两个实数的大小.
问题 2:同学们能证明以上的不等式的基本性质吗?并利用以上基本性质,证明不等式的下 列性质: (1)a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d ; (2)a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd ;
(3)a ? b ? 0, n ? N , n ? 1 ? a n ? b n ; n a ? n b .

※ 典型例题 例 1 比较大小: (1) ( 3 ? 2)2

6?2 6;

(2) ( 3 ? 2)2 ( 6 ? 1)2 ; 1 1 (3) ; 5?2 6? 5 (4)当 a ? b ? 0 时, log 1 a _______ log 1 b .
2 2

变式:比较 (a ? 3)(a ? 5) 与 (a ? 2)(a ? 4) 的大小.

高一数学必修 5 导学案

例 2 已知 a ? b ? 0, c ? 0, 求证

c c ? . a b
a b ? . d c

变式: 已知 a ? b ? 0 , c ? d ? 0 ,求证:

a 例 3 已知 12 ? a ? 60,15 ? b ? 36, 求a ? b及 的取值范围. b 变式:已知 ?4 ? a ? b ? ?1, ?1 ? 4a ? b ? 5 ,求 9 a ? b 的取值范围.

※ 动手试试 练 1. 用不等号“>”或“<”填空: (1) a ? b, c ? d ? a ? c ____ b ? d ; (2) a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ____ bd ;
(3) a ? b ? 0 ? 3 a ____ 3 b ; 1 1 (4) a ? b ? 0 ? 2 ___ 2 . a b 练 2. 已知 x>0,求证 1 ? x ? 1 ?

x . 2

三、总结提升 ※ 学习小结 本节课学习了不等式的性质, 并用不等式的性质证明了一些简单的不等式, 还研究了如何比 较两个实数(代数式)的大小——作差法,其具体解题步骤可归纳为: 第一步:作差并化简,其目标应是 n 个因式之积或完全平方式或常数的形式; 第二步:判断差值与零的大小关系,必要时须进行讨论; 第三步:得出结论. ※ 知识拓展 “作差法”、“作商法”比较两个实数的大小 (1)作差法的一般步骤: 作差——变形——判号——定论 (2)作商法的一般步骤: 作商——变形——与 1 比较大小——定论

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 若 f ( x) ? 3x2 ? x ? 1 , g ( x) ? 2 x2 ? x ? 1 ,则 f ( x) 与 g ( x) 的大小关系为( A. f ( x ) ? g ( x ) B. f ( x) ? g ( x) C. f ( x ) ? g ( x ) D.随 x 值变化而变化
2. 已知 x ? a ? 0 ,则一定成立的不等式是( A. x 2 ? a 2 ? 0 B. x 2 ? ax ? a 2 C. x 2 ? ax ? 0 D. x 2 ? a 2 ? ax ? ?? ? ? 3. 已知 ? ? ? ? ? ? ,则 的范围是( 2 2 2 ).

).

).

高一数学必修 5 导学案

A. ( ?

?
2

,0)

B. [? ,0] 2

?

C. ( ?

?
2

,0]

D. [?

?
2

,0)

4. 如果 a ? b ,有下列不等式:① a 2 ? b2 ,②

1 1 ? ,③ 3a ? 3b ,④ lg a ? lg b ,其中成立的 a b
.

是 . 5. 设 a ? 0 , ?1 ? b ? 0 ,则 a, ab, ab2 三者的大小关系为

课后作业
1. 比较
5 1 1 2 ? ? 与 的大小. 12 5 3 7

2. 某市环保局为增加城市的绿地面积,提出两个投资方案:方案 A 为一次性投资 500 万元; 方案 B 为第一年投资 5 万元,以后每年都比前一年增加 10 万元.列出不等式表示“经 n 年 之后,方案 B 的投入不少于方案 A 的投入”.

§ 3.2 一元二次不等式及其解法(1)
学习目标
1. 正确理解一元二次不等式的概念,掌握一元二次不等式的解法; 2. 理解一元二次不等式、一元二次函数及一元二次方程的关系,能借助二次函数的图象及 一元二次方程解一元二次不等式.

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P76~ P78,找出疑惑之处) 复习 1:解下列不等式: 1 1 1 ① x ? ?1 ; ② ? x ? 1; ③ ? x ? 1 ? 0 . 2 2 2 复 习 2 : 写 出 一 个 以 前 所 学 的 一 元 二 次 不 等 式 _____________ , 一 元 二 次 函 数 ________________,一元二次方程___________________

二、新课导学 ※ 学习探究 探究一:某同学要上网,有两家公司可供选择,公司 A 每小时收费 1.5 元(不足 1 小时按 1 小时收费);公司 B 的收费原则为:在第 1 小时内(含恰好 1 小时,下同)收费 1.7 元,第 2 小时 内收费 1.6 元, 以后每小时减少 0.1 元(若一次上网时间超过 17 小时按 17 小时计算). 如何选 择?

归纳:这是一个关于 x 的一元二次不等式,最终归结为如何解一元二次不等式. 新 知 : 只 含 有 ____ 个 未 知 数 , 并 且 未 知 数 的 最 高 次 数 是 _______ 的 不 等 式 , 称 为 _______________.

高一数学必修 5 导学案

探究二:如何解一元二次不等式?能否与一元二次方程与其图象结合起来解决问题呢?
??0 ??0 ??0

二次函数 y ? ax2 ? bx ? c ( a ? 0 )的图象
一元二次方程

ax 2 ? bx ? c ? 0

? a ? 0 ?的根
ax 2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集 ax 2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集

归纳:解不等式时应先将二次项系数化为正,再根据图象写出其解集.

※ 典型例题 例 1 求不等式 ? x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 的解集.
变式:求下列不等式的解集. (1) x2 ? 2 x ? 3 ? 0 ; (2) ? x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 . 例 2 求不等式 4 x 2 ? 4 x ? 1 ? 0 的解集. 小结:解一元二次不等式的步骤:(1)将原不等式化为一般式.(2)判断 ? 的符号.(3)求 方程的根.(4)根据图象写解集.

※ 动手试试 练 1. 求不等式 4 x 2 ? 4 x ? 15 的解集.
练 2. 求不等式 13 ? 4 x 2 ? 0 的解集.

三、总结提升 ※ 学习小结 解一元二次不等式的步骤:(1)将原不等式化为一般式( a ? 0 ).(2)判断 ? 的符号.(3) 求方程的根.(4)根据图象写解集. ※ 知识拓展
?a ? 0 (1) ax 2 ? bx ? c ? 0 对一切 x ? R 都成立的条件为 ? ?? ? 0 ?a ? 0 (2) ax 2 ? bx ? c ? 0 对一切 x ? R 都成立的条件为 ? ?? ? 0

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
).

高一数学必修 5 导学案

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 已知方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 的两根为 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 ,若 a ? 0 ,则不等式 ax 2 ? bx ? c ? 0 的
解为( A.R ). B. x1 ? x ? x2 D.无解
2

C. x ? x1 或 x ? x2

2. 关于 x 的不等式 x ? x ? c ? 0 的解集是全体实数的条件是( 1 1 1 1 A. c ? B. c ? C. c ? D. c ? 4 4 4 4 3. 在下列不等式中,解集是 ? 的是( ). 2 2 2 x ? 3 x ? 2 ? 0 x ? 4 x ? 4 ? 0 A. B. 2 2 C. 4 ? 4 x ? x ? 0 D. ?2 ? 3x ? 2 x ? 0 2 4. 不等式 x ? 3x ? 0 的解集是 . 5. y ? ?2x2 ? 12x ? 18 的定义域为 .

).

课后作业
1.求下列不等式的解集 (1) x 2 ? 3x ? 10 ? 0 ; (2) x2 ? 4 x ? 5 ? 0 .

2. 若关于 x 的一元二次方程 x2 ? (m ? 1) x ? m ? 0 有两个不相等的实数根,求 m 的取值范围.

3.2 一元二次不等式及其解法(2)
学习目标
1. 巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系; 2. 进一步熟练解一元二次不等式的解法.

学习过程
一、课前准备 复习 1:一元二次不等式的解法步骤是 1.____________________ 3.____________________ 4._______________ 2.________________

复习 2: 解不等式. (1) 3x 2 ? 7 x ? 10 ; (2) ?2 x 2 ? x ? 5 ? 0 .

二、新课导学 ※ 典型例题 例 1 某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离 s m 和汽车的速度 x km/h 有如下的关系: 1 1 2 s? x? x . 20 180 在一次交通事故中,测得这种车的刹车距离大于 39.5m,那么这辆汽车刹车前的速度是多 少?(精确到 0.01km/h)

高一数学必修 5 导学案

例 2 一个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线,这条流水线生产的摩托车数量 x (辆)与创造的价值 y(元)之间有如下的关系: y ? ?2x2 ? 220x 若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收 6000 元以上,那么它在一个星期内大约 应该生产多少辆摩托车?
x ? (0, 240). 例 3 产品的总成本 ( y 万元) 与产量 x 之间的函数关系式是 y ? 3000 ? 20 x ? 0.1x2 ,

若每台产品的售价为 25 万元,求生产者不亏本时的最低产量.

※ 动手试试 练 1. 在一次体育课上,某同学以初速度 v0 ? 12m / s 竖直上抛一排球,该排球能够在抛出
点 2 m 以上的位置最多停留多长时间?(注:若不计空气阻力,则竖直上抛的物体距离抛出 1 点的高度 h 与时间 x 满足关系 h ? v0t ? gt 2 ,其中 g ? 9.8m / s 2 ) 2 练 2.某文具店购进一批新型台灯,若按每盏台灯 15 元的价格销售,每天能卖出 30 盏;若 售价每提高 1 元,日销售量将减少 2 盏. 为了使这批台灯每天获得 400 元以上的销售收入, 应怎样制定这批台灯的销售价格?

三、总结提升 ※ 学习小结 进一步熟练掌握一元二次不等式的解法、 一元二次不等式与一元二次方程以及一元二次 函数的关系. ※ 知识拓展 (1)连结三个“二次”的纽带是:坐标思想:函数值 y 是否大于零等价于为 P ( x, y ) 是否在
x 轴的上方. (2)三个“二次”关系的实质是数形结合思想: ax 2 ? bx ? c ? 0 的解 ? y ? ax 2 ? bx ? c 图象 上的点 ( x, 0) ;
ax 2 ? bx ? c ? 0 的解 ? y ? ax2 ? bx ? c 图象上的点 ( x, y ) 在 x 轴的上方的 x 的取值范围.

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
1. 函数 y ?
1
2

x ? x ? 12 A. ? x | x ? ?4 或 x ? 3}
C. ? x | x ? ?4 或 x ? 3}

的定义域是(

).

B. {x | ?4 ? x ? 3} D. {x | ?4 ? x ? 3}

1 2 1 2 2. 不等式 ( )2 x ?3 x ?9 ? ( ) x ?3 x ?17 的解集是( 3 3 A.[2,4] B. (??, 2] ? [4, ??) C.R D. (??, ?2] ? [4, ??)

).

3. 集合 A= ?x | x2 ? 5x ? 4 ? 0} ,B= {x | x2 ? 5x ? 6 ? 0} ,则 A ? B =(

).

高一数学必修 5 导学案

A. {x |1 ? x ? 2 或 3 ? x ? 4} B. {x |1 ? x ? 2 且 3 ? x ? 4} C.{1,2,3,4} D. {x | ?4 ? x ? ?1 或 2 ? x ? 3} 4. 不等式 ( x ? 5)( x ? 2) ? 0 的解集为

.

5. 已知两个圆的半径分别为 1 和 5 ,圆心距满足 d 2 ? 10d ? 24 ? 0 ,则两圆的位置关系 为 .

课后作业
1. 求下列不等式的解集: (1) ? x 2 ? 3x ? 10 ? 0 ; (2) x(9 ? x) ? 0 .

2. 据气象部门预报, 在距离某码头 O 南偏东 45 ? 方向 600km 处的热带风暴中心 A 在以 20km/h 的速度向正北方向移动,距风暴中心 450km 以内的地区都将受影响. 从现在起多长时间后, 该码头将受到热带风暴影响,影响时间为多长?

§ 3.2 一元二次不等式及其解法(3)
学习目标
1. 掌握一元二次不等式的解法; 2. 能借助二次函数的图象及一元二次方程解决相应的不等式问题.

学习过程
一、课前准备 复习 1:实数比较大小的方法_____________ 复习 2:不等式 ax 2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 的解集.

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务:含参数的一元二次不等式的解法 问题:解关于 x 的不等式: x2 ? (2m ? 1) x ? m2 ? m ? 0
分析:在上述不等式中含有参数,因此需要先判断参数对的解的影响. 先将不等式化为方程 x2 ? (2m ? 1) x ? m2 ? m ? 0 此方程是否有解,若有,分别为__________,其大小关系为________________ 试试:能否根据图象写出其解集为_____________

※ 典型例题
1 例 1 设关于 x 的不等式 ax 2 ? bx ? 1 ? 0 的解集为 {x | ?1 ? x ? } ,求 a ?b . 3

高一数学必修 5 导学案

小结:二次不等式给出解集,既可以确定对应的二次函数图象开口方向(即 a 的符号),又 可以确定对应的二次方程的两个根, 由此可根据根与系数关系建立系数字母关系式, 或通过 代入法求解不等式. 1 1 变式:已知二次不等式 ax 2 ? bx ? c ? 0 的解集为 {x | x ? 或 x ? } ,求关于 x 的不等式 3 2 cx 2 ? bx ? a ? 0 的解集. 例 2 A ? {x | x2 ? 4x ? 3 ? 0} , B ? {x | x2 ? 2x ? a ? 8 ? 0} ,且 A ? B ,求 a 的取值范围. 小结: (1)解一元二次不等式含有字母系数时,要讨论根的大小从而确定解集. (2)集合间的关系可以借助数轴来分析,从而确定端点处值的大小关系. 例 3 若关于 m 的不等式 mx2 ? (2m ? 1) x ? m ? 1 ? 0 的解集为空集,求 m 的取值范围. 变式 1:解集为非空. 变式 2:解集为一切实数. 小结: m 的不同实数取值对不等式的次数有影响,当不等式为一元二次不等式时, m 的取 值还会影响二次函数图象的开口方向,以及和 x 轴的位置关系. 因此求解中,必须对实数 m 的取值分类讨论.

※ 动手试试 练 1. 设 x 2 ? 2 x ? a ? 8 ? 0 对于一切 x ? (1,3) 都成立,求 a 的范围.
练 2. 若方程 x 2 ? 2 x ? a ? 8 ? 0 有两个实根 x1 , x2 ,且 x1 ? 3 , x2 ? 1 ,求 a 的范围.

三、总结提升 ※ 学习小结 对含有字母系数的一元二次不等式, 在求解过程中应对字母的取值范围进行讨论, 其讨 论的原则性一般分为四类: ※ 按二次项系数是否为零进行分类; ※ 若二次项系数不为零,再按其符号分类; ※ 按判别式 ? 的符号分类; ※ 按两根的大小分类. ※ 知识拓展 解高次不等式时,用根轴法:就是先把不等式化为一端为零,再对另一端分解因式,并 求出它的零点,把这些零点标在数轴上,再用一条光滑的曲线,从 x 轴的右端上方起,依次 穿过这些零点,则大于零的不等式的解对应着曲线在 x 轴上方的实数 x 的取值集合;小于零 的不等式的解对应着曲线在 x 轴下方的实数 x 的取值集合.

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为(
).

高一数学必修 5 导学案

A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 若方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 ( a ? 0 )的两根为 2,3,那么 ax 2 ? bx ? c ? 0 的解集为( A. {x | x ? 3 或 x ? ?2} B. {x | x ? 2 或 x ? ?3} C. {x | ?2 ? x ? 3} D. {x | ?3 ? x ? 2} 1 1 2. 不等式 ax 2 ? bx ? 2 ? 0 的解集是 {x | ? ? x ? } ,则 a ? b 等于( ). 2 3 A. ? 14 B.14 C. ? 10 D.10 2 3. 关于 x 的不等式 x ? (a ? 1) x ? 1 ? 0 的解集为 ? ,则实数 a 的取值范围是( ). 3 3 A. (? ,1] B. ( ?1,1) C. ( ?1,1] D. (? ,1) 5 5 4. 不等式 x 2 ? 5 x ? 24 的解集是 . 1 5. 若不等式 ax 2 ? bx ? 2 ? 0 的解集为 {x | ?1 ? x ? ? } ,则 a , b 的值分别是 4

).

.

课后作业
1. m 是什么实数时,关于 x 的一元二次方程 mx2 ? (1 ? m) x ? m ? 0 没有实数根. 2. 解关于 x 的不等式 x2 ? (2 ? a) x ? 2a ? 0 (a∈R).

§ 3.3.1 二元一次不等式(组)与 平面区域(1)
学习目标
1.了解二元一次不等式的几何意义和什么是边界,会用二元一次不等式组表示平面区域; 2.经历从实际情境中抽象出二元一次不等式组的过程,提高数学建模的能力.

学习过程
一、课前准备 复 习 1 : 一 元 二 次 不 等 式 的 定 义 _______________ 二 元 一 次 不 等 式 定 义 ________________________二元一次不等式组的定义_____________________ 复习 2:解下列不等式:
?3x 2 ? x ? 2 ? 0 ? (1) ?2 x ? 1 ? 0 ; (2) ? 2 . ? ?4 x ? 15 x ? 9 ? 0 二、新课导学 ※ 学习探究
?x ? 3 ? 0 探究 1:一元一次不等式(组)的解集可以表示为数轴上的区间,例如, ? 的解集 ?x ? 4 ? 0



. 那么,在直角坐标系内,二元一次不等式(组)的解集表示什么图形呢?

高一数学必修 5 导学案

探究 2: 你能研究: 二元一次不等式 x ? y ? 6 的解集所表示的图形吗? (怎样分析和定边界?) 从特殊到一般: 先研究具体的二元一次不等式 x ? y ? 6 的解集所表示的图形. 如图:在平面直角坐标系内,x-y=6 表示一条直线. 平面内所有的点被直线分成三类: 第一类:在直线 x-y=6 上的点; 第二类:在直线 x-y=6 左上方的区域内的点; 第三类:在直线 x-y=6 右下方的区域内的点. 设点 P( x, y1 ) 是直线 x-y=6 上的点,选取点 A( x, y2 ) ,使它的坐标满足不等式 x ? y ? 6 , 请同学们完成以下的表格, 横坐标 x 点 P 的纵 坐标 y1 点 A 的纵 坐标 y2 并思考: 当点 A 与点 P 有相同的横坐标时,它们的纵坐标有什么关系?_______________ 根据此说说,直线 x-y=6 左上方的坐标与不等式 x ? y ? 6 有什么关系?______________ 直线 x-y=6 右下方点的坐标呢? 在平面直角坐标系中,以二元一次不等式 x ? y ? 6 的解为坐标的点都在直线 x-y=6 的 _____;反过来,直线 x-y=6 左上方的点的坐标都满足不等式 x ? y ? 6 . 因此,在平面直角坐标系中,不等式 x ? y ? 6 表示直线 x-y=6 左上 方的平面区域;如图: -3 -2 -1 0 1 2 3

类似的:二元一次不等式 x-y>6 表示直线 x-y=6 右下方的区域;如图: 直线叫做这两个区域的边界

结论: 1. 二元一次不等式 Ax ? By ? c ? 0 在平面直角坐标系中表示直线 Ax ? By ? c ? 0 某一侧所有 点组成的平面区域.(虚线表示区域不包括边界直线) 2. 不等式中仅 ? 或 ? 不包括 ;但含“ ? ”“ ? ”包括 ; 同侧同号,异侧异号.

※ 典型例题 例 1 画出不等式 x ? 4 y ? 4 表示的平面区域.
分析:先画 ___________(用 线表示),再取 _______判断区域,即可画出.

归纳:画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界,特殊点定域”的方法.特殊地, 当 C ? 0 时,常把原点作为此特殊点. 变式:画出不等式 ? x ? 2 y ? 4 ? 0 表示的平面区域.

高一数学必修 5 导学案

? y ? ?3x ? 12 例 2 用平面区域表示不等式组 ? 的解集 ?x ? 2 y

归纳: 不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集, 因而是各个不等式 所表示的平面区域的公共部分. 变式 1:画出不等式 ( x ? 2 y ? 1)( x ? y ? 4) ? 0 表示的平面区域. 变式 2:由直线 x ? y ? 2 ? 0 , x ? 2 y ? 1 ? 0 和 2 x ? y ? 1 ? 0 围成的三角形区域(包括边界) 用不等式可表示为 .

※ 动手试试 练 1. 不等式 x ? 2 y ? 6 ? 0 表示的区域在直线 x ? 2 y ? 6 ? 0 的
?x ? 3y ? 6 ? 0 练 2. 画出不等式组 ? 表示的平面区域. ?x ? y ? 2 ? 0

__

三、总结提升 ※ 学习小结 由 于 对 在 直 线 A x ? B y? C?0 同 一 侧 的 所 有 点 ( x, y ) , 把 它 的 坐 标 ( x, y ) 代 入 A x? B y ? C ,所得到实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一特殊点 ( x0 , y0 ) , 从 Ax0 ? By0 ? C 的正负即可判断 Ax ? By ? C ? 0 表示直线哪一侧的平面区域.(特殊地,当 C
≠0 时,常把原点作为此特殊点) ※ 知识拓展 含绝对值不等式表示的平面区域的作法: (1)去绝对值符号,从而把含绝对值的不等式转化为普通的二元一次不等式. (2)一般采用分象限讨论去绝对值符号. (3)采用对称性可避免绝对值的讨论. (4) 在方程 f ( x?y ) ? 0 或不等式 f ( x?y ) ? 0 中, 若将 x?y 换成 (? x)?(? y ) , 方程或不等式不变, 则这个方程或不等式所表示的图形就关于 y ( x) 轴对称.

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 不等式 x ? 2 y ? 6 ? 0 表示的区域在直线 x ? 2 y ? 6 ? 0 的(
A.右上方 B.右下方 C.左上方 D.左下方 2. 不等式 3x ? 2 y ? 6 ? 0 表示的区域是( ).

).

?x ? 3y ? 6 ? 0 3.不等式组 ? 表示的平面区域是( ?x ? y ? 2 ? 0

).

高一数学必修 5 导学案

4. 已知点 (?3, ?1) 和 (4, ?6) 在直线 ?3x ? 2 y ? a ? 0 的两侧,则 的取值范围是
?x ? 1 5. 画出 ? 表示的平面区域为: ?y ?1

.

课后作业
?x ? 3 ? 1. 用平面区域表示不等式组 ?2 y ? x 的解集. ?3x ? 2 y ? 6 ? ?x ? y ? 6 ? 0 ? 2. 求不等式组 ? x ? y ? 0 表示平面区域的面积. ?x ? 3 ?

§ 3.3.1 二元一次不等式(组)与 平面区域(2)
学习目标
1. 巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域; 2.能根据实际问题中的已知条件,找出约束条件.

学习过程
一、课前准备 复习 1:画出不等式 2 x +y-6<0 表示的平面区域.
? 2 x ? 3 y ? 12 ? 复习 2:画出不等式组 ? 2 x ? 3 y ? ?6 所示平面区域. ?x ? 0 ?

二、新课导学 ※ 典型例题 例 1 要将两种大小不同的钢板截成 A、B、C 三种规格,每张钢板可同时截得三种规格的小 钢板的块数如下表所示: 规格类型 A 规格 B 规格 C 规格 钢板类型 第一种钢板 2 1 1
第二种钢板 1 2 3 今需要三种规格的成品分别为 12 块、15 块、27 块,用数学关系式和图形表示上述要求.

高一数学必修 5 导学案

例 2 一个化肥厂生产甲乙两种混合肥料,生产 1 车皮甲肥料的主要原料是磷酸盐 4t,硝酸 盐 18t;生产 1 车皮乙种肥料的主要原料是磷酸盐 1t,硝酸盐 15t. 现库存磷酸盐 10t,硝酸 盐 66t,在此基础上生产这两种混合肥料. 列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的 平面区域.

※ 动手试试
?( x ? y ? 5) ( x ? y ) ? 0 练 1. 不等式组 ? 所表示的平面区域是什么图形? ?0 ? x ? 3

练 2. 某人准备投资 1 200 万兴办一所完全中学,对教育市场进行调查后,他得到了下面的 数据表格(以班级为单位): 学段 初中 高中 班级学 生人数 45 40 配备教 师数 2 3 硬件建 设(万元) 26/班 54/班 教师年 薪(万元) 2/人 2/人

分别用数学关系式和图形表示上述限制条件.

三、总结提升 ※ 学习小结 根据实际问题的条件列出约束不等式组与目标函数 . 反复的读题,读懂已知条件和问 题,边读边摘要,读懂之后可以列出一个表格表达题意. 然后根据题中的已知条件,找出约 束条件和目标函数,完成实际问题向数学模型的转化. ※ 知识拓展 求不等式的整数解即求区域内的整点是教学中的难点, 它为线性规划中求最优整数解作 铺垫. 常有两种处理方法,一种是通过打出网络求整点;另一种是先确定区域内点的横坐标 的范围,确定 x 的所有整数值,再代回原不等式组,得出 y 的一元一次不等式组,再确定 y 的所有整数值,即先固定 x ,再用 x 制约 y .

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 不在 3x ? 2 y ? 6 表示的平面区域内的点是( ).
A.(0,0) B.(1,1) C.(0,2) D.(2,0) ?x ? y ? 5 ? 0 2. 不等式组 ? 表示的平面区域是一个( ?0 ? x ? 3

).

A.三角形 B.直角梯形 C.梯形 D.矩形 ?y ? x ? 3. 不等式组 ? x ? y ? 1 表示的区域为D,点 P 1 (0, ?2) ,点 P 2 (0,0) ,则( ?y ? 3 ?

).

A.P B.P C.P D.P 1 ? D, P 2 ?D 1 ? D, P 2 ?D 1 ? D, P 2 ?D 1 ? D, P 2 ?D 4. 由直线 x ? y ? 2 ? 0, x ? 2 y ? 1 ? 0 和 2 x ? y ? 1 ? 0 的平围成的三角形区域 (不包括边界) 用

高一数学必修 5 导学案

不等式可表示为 . ?4 x ? 3 y ? 8 ? 0 ? 5. 不等式组 ? x ? 0 表示的平面区域内的整点坐标是 ?y ? 0 ?

.

课后作业
1. 一个小型家具厂计划生产两种类型的桌子 A 和 B. 每类桌子都要经过打磨、 着色、 上漆三 道工序.桌子 A 需要 10min 打磨,6min 着色,6min 上漆;桌子 B 需要 5min 打磨,12min 着 色,9min 上漆.如果一个工人每天打磨和上漆分别至多工作 450min,着色每天至多 480min, 请你列出满足生产条件的数学关系式,并在直角坐标系中画出相应的平面区域. 2. 某服装制造商现有 10m2 的棉布料,10 m2 的羊毛料,6 m2 的丝绸料. 做一条裤子需要棉 布料 1 m2, 2 m2 的羊毛料,1 m2 的丝绸料,一条裙子需要棉布料 1 m2, 1m2 的羊毛料,1 m2 的丝绸料.一条裤子的纯收益是 20 元, 一条裙子的纯收益是 40 元. 为了使收益达到最大, 需要同时生产这两种服装, 请你列出生产这两种服装件数所需要满足的关系式, 并画出图形.

§ 3.3.2 简单的线性规划问题(1)
学习目标
④ 巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域; ⑤ 能根据实际问题中的已知条件,找出约束条件.

学习过程
一、课前准备 阅读课本P87至P88的探究 找出目标函数,线性目标函数,线性规划,可行解,可行域的定义.

二、新课导学 ※ 学习探究 在生活、生产中,经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排的等问题,如: 某工厂有 A、B 两种配件生产甲、乙两种产品,每生产一件甲产品使用 4 个 A 配件耗时 1h, 每生产一件乙产品使用 4 个 B 配件耗时 2h, 该厂每天最多可从配件厂获得 16 个 A 配件 和 12 个 B 配件,按每天 8h 计算,该厂所有可能的日生产安排是什么? (1)用不等式组表示问题中的限制条件: 设甲、乙两种产品分别生产 x 、 y 件,由已知条件可得
二元一次不等式组: (2)画出不等式组所表示的平面区域:

注意:在平面区域内的必须是整数点. (3)提出新问题: 进一步,若生产一件甲产品获利 2 万元,生产一件乙产品获利 3 万元,采用哪种生产安排利 润最大?

高一数学必修 5 导学案

(4)尝试解答: (5)获得结果: 新知:线性规划的有关概念: ①线性约束条件:在上述问题中,不等式组是一组变量 x、y 的约束条件,这组约束条件都 是关于 x、y 的一次不等式,故又称线性约束条件. ②线性目标函数: 关于 x、y 的一次式 z=2x+y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x、y 的解析式,叫 线性目标函数. ③线性规划问题: 一般地, 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题, 统称为线性规划 问题. ④可行解、可行域和最优解: 满足线性约束条件的解 ( x, y ) 叫可行解. 由所有可行解组成的集合叫做可行域. 使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解.

※ 典型例题 例 1 在探究中若生产一件甲产品获利 3 万元,生产一件乙产品获利 2 万元,问如何安排生 产才能获得最大利润?

※ 动手试试
?y ? x ? 练 1. 求 z ? 2 x ? y 的最大值,其中 x 、 y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ? y ? ?1 ?

三、总结提升 ※ 学习小结 用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤: (1)寻找线性约束条件,线性目标函数; (2)由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域; (3)在可行域内求目标函数的最优解 ※ 知识拓展 寻找整点最优解的方法: 1. 平移找解法:先打网格,描整点,平移直线,最先经过或最后经过的整点便是最优整点 解,这种方法应用于充分利用非整点最优解的信息,结合精确的作图才行,当可行域是有限 区域且整点个数又较少时,可逐个将整点坐标代入目标函数求值,经比较求最优解. 2. 调整优值法:先求非整点最优解及最优值,再借助不定方程的知识调整最优值,最后筛 先出整点最优解. 3. 由于作图有误差,有时仅由图形不一定就能准确而迅速地找到最优解,此时可将数个可 能解逐一检验即可见分晓.

学习评价

高一数学必修 5 导学案

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 目标函数 z ? 3x ? 2 y ,将其看成直线方程时, z 的意义是(
A.该直线的横截距 B.该直线的纵截距 C.该直线的纵截距的一半的相反数 D.该直线的纵截距的两倍的相反数 ?x ? y ? 5 ? 0 ? 2. 已知 x 、 y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 ,则 ?x ? 3 ?
z ? 2 x ? 4 y 的最小值为(

).

).

A. 6 B. ? 6 C.10 D. ? 10 3. 在如图所示的可行域内,目标函数 z ? x ? ay 取得最小值的最优解有无数个,则 a 的一个 可能值是( ). C(4,2)

y

A(1,1) O

B(5,1)

x

A. ? 3 B.3 C. ? 1 D.1 4. 有 5 辆 6 吨汽车和 4 辆 5 吨汽车,要运送最多的货物,完成这项运输任务的线性目标函 数为 . 5. 已 知 点 ( 3 , 1 ) 和 ( ? 4 , 6 ) 在 直 线 3x ? 2 y ? a ? 0 的 两 侧 , 则 a 的 取 值 范 围 是 .

课后作业
1. 在 ?ABC 中,A(3, ? 1),B( ? 1,1),C(1,3),写出 ?ABC 区域所表示的二元一 次不等式组.
?5 x ? 3 y ? 15 ? 2. 求 z ? 3x ? 5 y 的最大值和最小值,其中 x 、 y 满足约束条件 ? y ? x ? 1 . ?x ? 5y ? 3 ?

§ 3.3.2 简单的线性规划问题(2)

高一数学必修 5 导学案

学习目标
1. 从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并加以解决; 2. 体会线性规划的基本思想,借助几何直观解决一些简单的线性规划问题.

学习过程
一、课前准备
? x ? 4 y ? ?3 ? 复习 1: 已知变量 x, y 满足约束条件 ?3 x ? 5 y ? 25 , 设 z ? 2x ?y , 取点 (3, 2) 可求得 z ? 8 , ?x ? 1 ?

取点(5,2)可求得 zmax ? 12 ,取点(1,1)可求得 zmin ? 3 取点(0,0)可求得 z ? 0 ,取点(3,2)叫做_________ 点(0,0)叫做_____________,点(5,2)和点(1,1)__________________ 复习 2:阅读课本P88 至P91

二、新课导学 ※ 学习探究 线性规划在实际中的应用: 线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用,一是在人力、物力、资金等资源一 定的条件下,如何使用它们来完成最多的任务;二是给定一项任务,如何合理安排和规划, 能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务. 下面我们就来看看线性规划在实际中的一些应用: ※ 典型例题 例 1 营养学家指出,成人良好的日常饮食应该至少提供 0.075kg 的 碳水化合物, 0.06kg 的蛋白质, 0.06kg 的脂肪, 1kg 食物 A 含有 0.105kg 碳水化合物,0.07kg 蛋白质,0.14kg 脂肪,花费 28 元;而 1kg 食物 B 含有 0.105kg 碳水化合物, 0.14kg 蛋白质, 0.07kg 脂肪, 花费 21 元. 为 了满足营养专家指出的日常饮食要求,同时使花费最低,需要同时食 用食物 A 和食物 B 多少 kg?
例 2 要将两种大小不同的钢板截成 A、B、C 三种规格,每张钢板可同时截得三种规格的 小钢板的块数如下表所示: 规格类型 A 规格 钢板类型 第一种钢板 第二种钢板 2 1 1 2 1 3 B 规格 C 规格

今需要三种规格的成品分别为 12 块、15 块、27 块,各截这两种钢板多少张可得所需 A、B、 C、三种规格成品,且使所用钢板张数最少? 变式:第一种钢板为 1 m2 ,第二种为 2 m2 ,各截这两种钢板多少张,可得所需三种规格的

高一数学必修 5 导学案

成品且所用钢板面积最小? 例 3 一个化肥厂生产甲乙两种混合肥料,生产 1 车皮甲肥料的主要原料是磷酸盐 4t,硝酸 盐 18t;生产 1 车皮乙种肥料的主要原料是磷酸盐 1t,硝酸盐 15t. 现库存磷酸盐 10t,硝酸 盐 66t,在此基础上生产这两种混合肥料. 若生 1 车皮甲种肥料能产生的利润为 10000 元; 生产 1 车皮乙种肥料,产生的利润为 5000 元. 那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮, 能够产生最大的利润?

※ 动手试试 练 1. 某厂拟生产甲、乙两种适销产品,每件销售收入分别为 3000 元、2000 元. 甲、乙产品 都需要在 A、B 两种设备上加工,在每台 A、B 设备上加工 1 件甲设备所需工时分别为 1h、 2h,加工 1 件乙和设备所需工时分别为 2h、1h,A、B 两种设备每月有效使用台时数分别为 400h 和 500h. 如何安排生产可使收入最大?
练 2. 某家电生产企业根据市场调查分析,决定调整产品生产方案,准备每周(按 40 个工时 计算)生产空调器、彩电、冰箱共 120 台,且冰箱至少生 20 台.已知生产这些家电产品每台 所需工时和每台产值如下表: 家电名称 工 时 产值/千元 空调器 1 2 彩电 1 3 冰箱 1 4

4 3 2 问每周应生产空调器、彩电、冰箱共多少台,才能使产值最高?最高产值是多少?(以千元 为单位)

三、总结提升 ※ 学习小结 简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解, 无论此类题目是以 什么实际问题提出,其求解的格式与步骤是不变的: (1)寻找线性约束条件,线性目标函数; (2)由二元一次不等式表示平面区域做出可行域; (3)在可行域内求目标函数的最优解. ※ 知识拓展 含绝对值不等式所表示的平面区域的作法: (1)去绝对值,转化为不等式组; (2)采用分零点讨论或分象限讨论去绝对值; (3)利用对称性可避免讨论.

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 完成一项装修工程,请木工需付工资每人 50 元,请瓦工需付工资每人 40 元,现有工人 工资预算 2000 元,设木工 x 人,瓦工 y 人,请工人的约束条件是( ).

高一数学必修 5 导学案

A. 50 x ? 40 y ? 2000 C. 50 x ? 40 y ? 2000

B. 50 x ? 40 y ? 2000 D. 40 x ? 50 y ? 2000

?0 ? x ? 4 ?0 ? y ? 3 ? 2. 已知 x, y 满足约束条件 ? ,则 z ? 2 x ? 5 y 的最大值为( ?x ? 2 y ? 8 ? ? x ? 0, y ? 0

).

C.17 D.16 2 x ? 3 y ? 24 ? ? 2 x ? y ? 12 ? 3. 变量 x, y 满足约束条件 ? 则使得 z ? 3x ? 2 y 的值的最小的 ( x, y ) 是( ? 2 x ? 9 y ? 36 ? ? x ? 0, y ? 0

A.19

B. 18

).

A.(4,5) B.(3,6) C.(9,2)D.(6,4) ?x ? 2 y ? 4 ? 0 ? 4. (2007 陕西) 已知实数 x, y 满足约束条件 ?2 x ? y ? 2 ? 0 则目标函数 z ? x ? 2 y 的最大值为 ?3x ? y ? 3 ? 0 ? ______________
?x ? y ? 3 ? 0 ? 5. (2007 湖 北 ) 设 变 量 x, y 满 足 约 束 条 件 ? x ? y ? 0 则 目 标 函 数 2x ? y 的 最 小 值 为 ? ?2 ? x ? 3 ?

______________

课后作业
电视台应某企业之约播放两套连续剧.其中,连续剧甲每次播放时间为 80min,其中广告 时间为 1min,收视观众为 60 万;连续剧乙每次播放时间为 40min,其中广告时间为 1min, 收视观众为 20 万.已知此企业与电视台达成协议,要求电视台每周至少播放 6min 广告,而 电视台每周只能为该企业提供不多于 320min 的节目时间.如果你是电视台的制片人, 电视台 每周播映两套连续剧各多少次,才能获得最高的收视率?

§ 3.3.2 简单的线性规划问题(3)
学习目标
※ 从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并加以解决; ※ 体会线性规划的基本思想,借助几何直观解决一些简单的线性规划问题.

学习过程
一、课前准备

a 复习 1:已知 12 ? a ? 60,15 ? b ? 36, 求a ? b及 的取值范围 b

复习 2:已知 ?4 ? a ? b ? ?1, ?1 ? 4a ? b ? 5 ,求 9 a ? b 的取值范围.

高一数学必修 5 导学案

二、新课导学 ※ 学习探究 课本第 91 页的“阅读与思考”——错在哪里?
?1 ? x ? y ? 3 若实数 x , y 满足 ? ,求 4 x +2 y 的取值范围. ??1 ? x ? y ? 1

错解:由①、②同向相加可求得: 0 ? 2 x ? 4 即 0 ? 4x ? 8 ③ ?1 ? y ? x ? 1 由②得 将上式与①同向相加得 0 ? 2 y ? 4 ③十④得 0 ? 4 x ? 2 y ? 12



以上解法正确吗?为什么? 上述解法中, 确定的 0≤4 x ≤8 及 0≤2 y ≤4 是对的, 但用 x 的最大(小)值及 y 的最大(小) 值来确定 4 x 十 2 y 的最大(小)值却是不合理的. x 取得最大(小)值时,y 并不能同时取得 最大(小)值.由于忽略了 x 和 y 的相互制约关系,故这种解法不正确. 此例有没有更好的解法?怎样求解?

※ 典型例题
?1 ? x ? y ? 3 例 1 若实数 x , y 满足 ? ,求 4 x +2 y 的取值范围. ??1 ? x ? y ? 1

变式:设 f ( x) ? ax2 ? bx 且 ?1 ? f (?1) ? 2 , 2 ? f (1) ? 4 ,求 f ( ?2) 的取值范围

※ 动手试试
练 1. 设 z ? 2 x ? y ,式中变量 x 、 y 满足
? x ? 4 y ? ?3 ? ?3 x ? 5 y ? 25 ,求 z 的最大值与最小值. ?x ? 1 ?

?x ? y ? 2 ? 练2. 求 z ? x ? y 的最大值、最小值,使 x 、 y 满足条件 ? x ? 0 . ?y ? 0 ?

三、总结提升 ※ 学习小结 1.线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得. 2.线性目标函数的最大值、最小值也可能在可行域的边界上取得,即满足条件的最优解有 无数多个. ※ 知识拓展 求解线性规划规划问题的基本程序:作可行域,画平行线,解方程组,求最值. 1 C A 1 C 目标函数的一般形式为 z ? Ax ? By ? C ,变形为 y ? ? x ? z ? ,所以 z ? 可以 B B B B B

高一数学必修 5 导学案

看作直线 y ? ?

A 1 C x ? z ? 在 y 轴上的截距. B B B 1 C 1 C 当 B ? 0 时, z ? 最大, z 取得最大值, z ? 最小, z 取得最小值; B B B B 1 C 1 C 当 B ? 0 时, z ? 最大, z 取得最小值, z ? 最小, z 取得最大值. B B B B

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 若 x ? 0 , y ? 0 且 x ? y ? 1 ,则 z ? x ? y 的最大值为(

).

A. ? 1 B.1 C.2 D. ? 2 2. 在 ?ABC 中,三顶点分别为 A(2,4),B( ? 1,2),C(1,0),点 P( x, y ) 在 ?ABC 内部及其边界上运动,则的取值范围为( ). A.[1,3] B.[ ? 1,3] C.[ ? 3,1] D.[ ? 3, ? 1] ?x ? y ? 5 ? 0 ? 3. (2007 北京 ) 若不等式组 ? y ? a 表示的平面区域是一个三角形,则的取值范围是 ?0 ? x ? 2 ? ( ). A. a ? 5 C. 5 ? a ? 7 B. a ? 7 D. a ? 5 或 a ? 7 .

?x ? 0 ? 4. (2004 全国)设 x 、 y 满足约束条件 ? x ? y ,则 z ? 3x ? 2 y 的最大值是 ?2 x ? y ? 1 ? ?2 ? x ? 4 ? 5.(2004 上海) 设 x 、 y 满足约束条件 ? y ? 3 ,则 k ? 3x ? 2 y 的最大值是 ?x ? y ? 8 ?

.

课后作业
1. 画出 ( x ? 2 y ? 1)( x ? y ? 3) ? 0 表示的平面区域. 2. 甲、乙两个粮库要向 A、B 两镇运送大米,已知甲库可调出 100t 大米,乙库可调出 80t 大米,A 镇需 70t 大米,B 镇需 110t 大米.两库到两镇的路程和运费如下表: 路程/km 甲库 A镇 B镇 20 乙库 15
t ?1 ?km?1 ) 运费/(元 ?

甲库 12

乙库 12

25 20 10 8 2. 这两个粮库各运往 A、B 两镇多少 t 大米,才能使总运费最省?此时总运费是多少? 3. 最不合理的调运方案是什么?它使国家造成的损失是多少?

§ 3.4 基本不等式

ab ?

a?b 2

(1)

高一数学必修 5 导学案

学习目标
学会推导并掌握基本不等式, 理解这个基本不等式的几何意义, 并掌握定理中的不等号 “≥”取等号的条件是:当且仅当这两个数相等;

学习过程
一、课前准备 看书本 97、98 页填空 复习 1:重要不等式:对于任意实数 a , b ,有 a2 ? b2 ____ 2ab ,当且仅当________时,等号 成立. 复习 2:基本不等式:设 a, b ? (0, ??) ,则 号.

a?b _____ ab ,当且仅当____时,不等式取等 2

二、新课导学 ※ 学习探究
探究 1:基本不等式 ab ?

a?b 的几何背景: 2 如图是在北京召开的第 24 界国际数学家大会的会标, 会标是根据中国 古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去象一个风车,代表 中国人民热情好客. 你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗?

将图中的“风车”抽象成如图,

在正方形 ABCD 中有 4 个全等的直角三角形. 设直角三角形的两条直角边长为 a,b 那 么正方形的边长为____________.这样,4 个直角三角形的面积的和是___________,正方形 的面积为_________.由于 4 个直角三角形的面积______正方形的面积, 我们就得到了一个不 2 2 等式: a ? b ? 2ab . 当直角三角形变为等腰直角三角形,即 a=b 时,正方形 EFGH 缩为一个点,这时有 _______________ 结论:一般的,如果 a, b ? R ,我们有 a 2 ? b2 ? 2ab 当且仅当 a ? b 时,等号成立. 探究 2:你能给出它的证明吗?

特别的,如果 a ? 0 , b ? 0 ,我们用 a 、 b 分别代替 a 、 b ,可得 a ? b ? 2 ab , a?b 通常我们把上式写作: ab ? (a>0,b>0) 2

高一数学必修 5 导学案

问:由不等式的性质证明基本不等 ab ? 用分析法证明: a?b 证明:要证 ? ab 2 a?b? 只要证 要证(2),只要证 a ? b ? ____ ? 0

a?b ? 2

(1) (2) (3)

要证(3),只 要证 (_____ ? _____)2 ? 0 (4) 显然,(4)是成立的. 当且仅当 a=b 时,(4)中的等号成立. a?b 3)理解基本不等式 ab ? 的几何意义 2 探究:课本第 98 页的“探究” 在右图中,AB 是圆的直径,点 C 是 AB 上的一点,AC=a,BC=b. 过点 C 作垂直于 AB a?b 的弦 DE,连接 AD、BD. 你能利用这个图形得出基本不等式 ab ? 的几何解释吗? 2

结论:基本不等式 ab ?

a?b 几何意义是“半径不小于半弦” 2

评述: a?b 1.如果把 看作是正数 a 、 b 的等差中项, ab 看作是正数 a 、 b 的等比中项,那么该定 2 理可以叙述为:两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.

a?b 为 a 、 b 的算术平均数,称 ab 为 a 、 b 的几何平均数.本节定理还 2 可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
2.在数学中,我们称

※ 典型例题 例 1 (1)用篱笆围成一个面积为 100m 2 的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,所 用篱笆最短. 最短的篱笆是多少? (2)段长为 36 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时, 菜园的面积最大,最大面积是多少? ※ 动手试试
练 1. x ? 0 时,当 x 取什么值时, x ?

1 的值最小?最小值是多少? x

2. 已知直角三角形的面积等于 50,两条直角边各为多少时,两条直角边的各最小,最小值 是多少?

高一数学必修 5 导学案

三、总结提升 ※ 学习小结 在利用基本不等式求函数的最值时,应具备三个条件:一正二定三取等号. ※ 知识拓展 两个正数 x, y
1 1.如果和 x ? y 为定值 S 时,则当 x ? y 时,积 xy 有最大值 S 2 . 4 2. 如果积 xy 为定值 P 时,则当 x ? y 时,和 x ? y 有最小值 2 P .

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 81 1. 已知 x ? 0,若 x+ 的值最小,则 x 为( ). x A. 81 B. 9 C. 3 D.16 2. 若 0 ? a ? 1 , 0 ? b ? 1 且 a ? b ,则 a ? b 、 2 ab 、 2 ab 、 a 2 ? b2 中最大的一个是( ). 2 2 A. a ? b B. 2 ab C. 2 ab D. a ? b a b a ? b ? 2 3 ? 3 3. 若实数 a,b,满足 ,则 的最小值是( ). A.18 B.6 C. 2 3 D. 3 2 81 2 4. 已知 x≠0,当 x=_____时,x + 2 的值最小,最小值是________. x 5. 做一个体积为 32 m3 ,高为 2 m 的长方体纸盒,底面的长为_______,宽为________时, 用纸最少.

课后作业
1. (1)把 36 写成两个正数的积,当这两个正数取什么值时,它们的和最小? (2)把 18 写成两个正数的和,当这两个正数取什么值时,它们的积最大? 2. 一段长为 30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长 18 m ,问这个矩形的长、宽各 为多少时,菜园的面积最大?最大面积是多少?

§ 3.4 基本不等式

ab ?

a?b 2

(2)

高一数学必修 5 导学案

学习目标
通过例题的研究,进一步掌握基本不等式 ab ? 大、最小值.

a?b ,并会用此定理求某些函数的最 2

学习过程
一、课前准备

24 ? 6m ? 24 . m 9 复习 2:若 x ? 0 ,求 f ( x) ? 4 x ? 的最小值 x
复习 1:已知 m ? 0 ,求证:

二、新课导学 ※ 学习探究
9 探究 1:若 x ? 0 ,求 f ( x) ? 4 x ? 的最大值. x 9 探究 2:求 f ( x) ? 4 x ? (x>5)的最小值. x ?5

※ 典型例题 例 1 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其容积为 4800m3,深为 3m,如果池底每 1m2 的造价为 150 元,池壁每 1m2 的造价为 120 元,问怎样设计水池能使总造价最低,最低总造 价是多少元?

评述:此题既是不等式性质在实际中的应用,应注意数学语言的应用即函数解析式的建立, 又是不等式性质在求最值中的应用,应注意不等式性质的适用条件. 归纳:用均值不等式解决此类问题时,应按如下步骤进行: (1)先理解题意,设变量,设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数; (2)建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题; (3)在定义域内,求出函数的最大值或最小值; (4)正确写出答案. 例 2 已知 x ? 0, y ? 0 ,满足 x ? 2 y ? 1 ,求
1 1 ? 的最小值. x y

总结:注意“1”妙用.

※ 动手试试 练 1. 已知 a,b,c,d 都是正数,求证: (ab ? cd )(ac ? bd ) ? 4abcd .

高一数学必修 5 导学案

练 2. 若 x ? 0 , y ? 0 ,且

2 8 ? ? 1 ,求 xy 的最小值. x y

三、总结提升 ※ 学习小结 规律技巧总结:利用基本不等式求最值时,各项必须为正数,若为负数,则添负号变正. ※知识拓展 1. 基本不等式的变形: (a ? b)2 a?b 2 a 2 ? b2 a 2 ? b2 a?b 2 ;( ; ab ___ ; ab ___( ) ; a2 ? b2 _____ ) ____ 2 2 2 2 2 (a ? b)2 ____ 4ab a ? a2 ? ?an n 2. 一般地,对于 n 个正数 a1 , a2 ,?, an (n ? 2) ,都有, 1 ? a1 ?a2 ? ??an (当且仅 n 当 a1 ? a2 ? ? ? an 时取等号)
3. a2 ? b2 ? c2 ? ab ? ac ? bc(a, b, c ? R) 当且仅当 a ? b ? c 时取等号)

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 在下列不等式的证明过程中,正确的是( ).
A.若 a, b ? R ,则
a b a b ? ?2 ? ?2 b a b a
2 2 ? ?2 x ? ? ? 2 2 x x

B.若 a, b ? R ? ,则 lg a ? lg b ? 2 lg a? lg b C.若 x ? R ? ,则 x ?

3? x ? 2 D.若 x ? R ? ,则 3x ? 3? x ? 2 3x ? 5 1 2. 已知 x ? ,则函数 y ? 4x ? 2 ? 的最大值是( 4 4x ? 5 1 A.2 B.3 C .1 D. 2 1 1 ? 3. 若 x, y ? R ,且 x ? y ? 1 ,则 ? 的取值范围是( x y (2, ?? ) [2, ?? ) A. B. C. (4, ??) D. [4, ??) 1 4 4. 若 x, y ? R? ,则 ( x ? y )?( ? ) 的最小值为 . x y 1 5. 已知 x ? 3 ,则 f ( x) ? x ? 的最小值为 . x?3

).

).

课后作业
1. 已知矩形的周长为 36,矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱,矩形长、宽各为多少时,

高一数学必修 5 导学案

旋转形成的圆柱的侧面积最大?

2. 某单位建造一间背面靠墙的小房,地面面积为 12 m 2 ,房屋正面每平方米的造价为 1200 元,房屋侧面每平方米的造价为 800 元,屋顶的造价为 5800 元. 如果墙高为 3 m ,且不计 房屋背面和地面的费用,问怎样设计房屋能使总造价最低?最低总造价是多少?

第三章 不等式(复习)
学习目标
1.会用不等式(组)表示不等关系; 2.熟悉不等式的性质,能应用不等式的性质求解“范围问题”,会用作差法比较大小; 3.会解一元二次不等式,熟悉一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的关系; 4.会作二元一次不等式(组)表示的平面区域,会解简单的线性规划问题; 5.明确均值不等式及其成立条件,会灵活应用均值不等式证明或求解最值.

学习过程
一、课前准备

复习 1:

二、新课导学 ※ 典型例题 例 1 咖啡馆配制两种饮料,甲种饮料用奶粉、咖啡、糖,分别为 9g、4g、3g;乙种饮料用 奶粉、 咖啡、 糖, 分别为 4g、 5g、 5g.已知买天使用原料为奶粉 3600g, 咖啡 2000g, 糖 3000g. 写出配制两种饮料杯数说所满足的所有不等关系的不等式.
例 2 比较大小. (1) ( 3 ? 2)2 ______ 6 ? 2 6 ; (2) ( 3 ? 2)2 ______( 6 ? 1)2 ; 1 1 (3) ; 5?2 6? 5 (4)当 a ? b ? 0 时, log 1 a _______ log 1 b
2 2

(5) (a ? 3)(a ? 5) ______(a ? 2)(a ? 4) (6) ( x 2 ? 1)2
x4 ? x2 ? 1

例 3 利用不等式的性质求取值范围: (1)如果 30 ? x ? 42 , 16 ? y ? 24 ,则

高一数学必修 5 导学案

x ? y 的取值范围是

x ? 2 y 的取值范围是

, , ,

xy 的取值范围是
x 的取值范围是 y

(2)已知函数 f ( x) ? ax2 ? c ,满足 ?4 ? f (1) ? ?1 , ?1 ? f (2) ? 5 ,那么 f (3) 的取值范围 是 .

例 4 已知关于 x 的方程(k-1)x2+(k+1)x+k+1=0 有两个相异实根,求实数 k 的取值范围.

?x ? 2 y ? 2 ? 例 5 已知 x、y 满足不等式 ? 2 x ? y ? 1 ,求 z ? 3x ? y 的最小值. ? x ? 0, y ? 0 ?

例 6 若 x ? 0 , y ? 0 ,且

2 8 ? ? 1 ,求 xy 的范围. x y

※ 动手试试 练 1. 已知 ?1 ? a ? b ? 5 , ?1 ? a ? b ? 3 ,求 3a ? 2b 的取值范围.

练 2. 某轮船在航行使用的燃料费用和轮船的航行速度的立方成正比,经测试,当船速为 10 公里/小时,燃料费用是每小时 20 元,其余费用(不论速度如何)都是每小时 320 元,试问 该船以每小时多少公里的速度航行时,航行每公里耗去的总费用最少,大约是多少?

三、总结提升 ※ 学习小结 1.用不等式表示不等关系; 2.比较大小; 3.利用不等式的性质求取值范围和证明不等式; 4.会解一元二次不等式; 5.会画二元一次方程(组)与平面区域求线性目标函数在线性约束条件下的最优解; 6.利用基本不等式求最大(小)值. ※知识拓展 设一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 对应的二次函数为 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) b 1.方程 f ( x) ? 0 在区间 (??, k ) 内有两个不等的实根 ? ? ? 0, ? ? k 且 f (k ) ? 0 ; 2a b 2.方程 f ( x) ? 0 在区间 (k , ??) 内有两个不等的实根 ? ? ? 0, ? ? k 且 f (k ) ? 0 ; 2a 3. 方程 f ( x) ? 0 有一根大于 k ,另一根 k ? f (k ) ? 0 ;

高一数学必修 5 导学案

4.方程 f ( x) ? 0 在区间 (k1 , k2 ) 内有且只有一根(不包括重根) ? f (k1 )?f (k2 ) ? 0 ( k1 , k2 为 常数); 5.方程 f ( x) ? 0 在区间 (k1 , k2 ) 内有两不等实根 ? b ? ? ? 0, k1 ? ? k2 且 f (k1 ) ? 0, f (k 2 ) ? 0 ; 2a 6.方程 f ( x) ? 0 在区间 (k1 , k2 ) 外有两不等实根

? f (k1 ) ? 0, f (k 2 ) ? 0

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 设 a ? b ? 0 ,下列不等式一定成立的是( ). 2 2 2 2 a ? ab ? b b ? ab ? a A. B. C. a 2 ? b 2 ? ab D. ab ? b 2 ? a 2 2. a, b ? R ,且 ,则 2a ? 4b 的取小值是(
A.4 B.2 C.16 D.8 3. 二次不等式的解集是全体实数的条件是( ). ?a ? 0 ?a ? 0 ?a ? 0 ?a ? 0 A. ? B. ? C. ? D. ? ?? ? 0 ?? ? 0 ?? ? 0 ?? ? 0
?4 x ? 3 y ? 8 ? 0 ? 4. 不等式组 ? x ? 0 表示的平面区域内的整点坐标是 ?y ? 0 ? ?x ? 4 y ? 3 ? 0 y ? 5. 变量 x, y 满足条件 ?3x ? 5 y ? 25 ? 0 ,设 z ? ,则 z 的最小值为 x ?x ? 1 ?

).

.

.

课后作业
1. 解不等式组: ?4 x 2 ? 27 x ? 18 ? 0 ? (1) ? 2 ? ?x ? 4x ? 4 ? 0
?3x 2 ? x ? 2 ? 0 ? (2) ? 2 ? ?4 x ? 15 x ? 9 ? 0

2. 某运输公司有 7 辆可载 6t 的 A 型卡车与 4 辆可载 10t 的 B 型卡车,有 9 名驾驶员,建筑 某段高速公路中,此公司承包了每天至少搬运 360t 沥青的任务,已知每辆卡车每天往返的 次数为 A 型车 8 次,B 型车 6 次,每辆卡车每天往返的成本费为 A 型车 160 元,B 型车 252 元,每天派出 A 型车和 B 型车各多少辆,公司所花的成本费最低?


相关文章:
高中数学必修五全部学案
高中数学必修五全部学案_数学_高中教育_教育专区。【高二数学学案】 §1.1 正弦...高中数学必修3导学案 53页 免费 高中数学必修5教案整理 15页 免费 新课标高中...
高中数学必修五全套学案
高中数学必修1导学案 104页 免费 高中数学必修五全部学案 54页 7下载券高​中​数​学​必​修​五​全​套​学​案 ...
高中数学必修5导学案
高中数学必修5导学案_数学_高中教育_教育专区。必修五 第一章 【基础练习】 §5-1 正 余弦定理 1、在△ABC 中,a=7,c=5,则 sinA:sinC 的值是( 【基础...
高中数学 数列全套导学案 新人教A版必修5
高中数学 数列全套导学案 新人教A版必修5_高二数学_数学_高中教育_教育专区。高中数学必修5 第二章 数列全套学案 柳树中学高一数学学案 数列的概念与简单表示法(1...
高中数学必修5学生培训辅导学案集
高中数学必修5学生培训辅导学案集_高三数学_数学_高中教育_教育专区。本文为北京巨人教育为高一或高二学生课外辅导提供的学习资料北京巨人教育设计的学生培训辅导资料 ...
广东省中山市东升高中数学必修5导学案word版
广东省中山市东升高中数学必修5导学案word版_高一数学_数学_高中教育_教育专区。广东省中山市东升高中数学必修5导学案word版中山市东升高中 高二数学◆必修 5◆导学...
新课标高中数学必修5第一章解三角形导学案WORD版
新课标高中数学必修5第一章解三角形导学案WORD版_数学_高中教育_教育专区。根据东升中学校对修改过,对个别错题进行修改§ 1.1.1 正弦定理课型:新授课 编写人:...
高中数学必修5导学案
(2)余弦定理及其推论的基本作用为: ①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边; ②已知三角形的三条边就可以求出其它角. 高一数学必修 5 导学案 ...
高中数学必修5导学案
高中数学必修5导学案_数学_高中教育_教育专区。张家口东方中学导学案 高一数学必修五 编号;15 组编:裴会强 审核:数学组 使用时间:2016/4/13 班级 姓名 § 3.1...
更多相关标签:
必修5数学导学案 | 高中数学必修4导学案 | 高中数学必修5知识点 | 高一数学必修5视频 | 高中数学必修5视频 | 高一数学必修四视频 | 高中数学必修2导学案 | 高中数学必修一导学案 |