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2013数学竞赛题含答案


2013 年全国高中数学联合竞赛一试试题
一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分 1.设集合 A={2,0,1,3},集合 B= {x | ? x ? A , 2 ? x 2 ? A} .则集合 B 中所有元素的和为 ___________ 2.在平面直角坐标系 xOy 中,点 A、B 在抛物线 y 2 ? 4 x 上,满足 OA ? OB ? ?

4 ,F 是抛物线的焦点.则

S ?OFA ? S ?OFB =___________
3.在△ABC 中,已知 sin A ? 10 sin B sin C , cos A ? 10 cos B cos C ,则 tan A 的值为____________ 4.已知正三棱锥 P—ABC 底面边长为 1,高为 2 ,则其内切球半径为___________ 5.设 a , b 为实数,函数 f ( x) ? ax ? b 满足:对任意 x ?[0,1],有 | f ( x) |? 1 .则 ab 的最大值为 ___________ 6.从 1,2,…,20 中任取 5 个不同的数,其中至少有两个是相邻数的概率为___________ 7.若实数 x y ,满足 x ? 4 y ? 2 x ? y ,则 x 的取值范围是___________ 8.已知数列 {an } 共有 9 项,其中 a1 ? a9 ? 1,且对每个 i ? {1,2,…,8},均有 样的数列的个数为__________ 二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 9. (本题满分 16 分)给定正数数列 {xn } 满足 S n ? 2S n?1 , n =2,3,…,这里 S n ? x1 ? … ? xn .证明:存
n 在常数 C ? 0 ,使得 xn ? C ? 2 , n =1,2,…

ai ?1 1 ? {2,1,? } ,则这 ai 2

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) , A1 、 A2 分别 a2 b2 为椭圆的左、右焦点, F1 、 F2 分别为椭圆的左、右焦点,P 为椭圆上不同于 A1 和 A2 的任意一点.若平面
10. (本题满分 20 分)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆的方程为 中两个点 Q、R 满足 QA1 ? PA1 , QA2 ? PA2 , RF1 ? PF1 , RF2 ? PF2 ,试确定线段 QR 的长度与 b 的大 小关系,并给出证明.

11.(本题满分 20 分)设函数 f ( x) ? ax2 ? b ,求所有的正实数对 ( a, b) ,使得对任意实数 x , y ,有

f ( xy) ? f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) .

2013 年全国高中数学联合竞赛加试试题
一、(本题满分 40 分)如图,AB 是圆ω 的一条弦,P 为弧 AB 内一点,E、F 为线段 AB 上两点,满足

AE=EF=FB.连接 PE、PF 并延长,与圆ω 分别相交于点 C、D.求证:EF·CD=AC·BD.
(解题时请将图画在答卷纸上)

P

A E

F

B

D C

二、(本题满分 40 分)给定正整数 u , v .数列 {an } 定义如下: a1 ? u ? v ,对整数 m ? 1 ,

?a 2 m ? a m ? u ? ?a 2 m ?1 ? a m ? v
记 S m ? a1 ? a2 ? … ? am (m ? 1,2, …).证明:数列 {S n } 中有无穷多项是完全平方数.

三、(本题满分 50 分)一次考试共有 m 道试题, n 个学生参加,其中 m , n ? 2 为给定的整数.每道题的 得分规则是:若该题恰有 x 个学生没有答对,则每个答对该题的学生得 x 分,未答对的学生得零分.每个 学生的总分为其 m 道题的得分总和.将所有学生总分从高到低排列为 p1 ? p2 ? … ? pn ,求 p1 ? pn 的最大 可能值.

四、(本题满分 50 分)设 n , k 为大于 1 的整数, n ? 2 k .证明:存在 2 k 个不被 n 整除的整数,若将它 们任意分成两组,则总有若干个数的和被 n 整除.


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