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浙江省湖州市2016-2017学年高一下学期期中考试数学试题 Word版含答案


2016 学年第二学期期中考试 高一数学试题卷
第Ⅰ卷(选择题 一、选择题:每小题 4 分,共 40 分.
1.在等差数列 {an } 中,若 a1 ? 6, a3 ? 2 ,则 a5 ? ( A.6 B.4 C.0 D.-2 ) )

共 40 分)

2.如图,已知向量 a, b, c ,那么下列结论正确的是(

? ??

A. a ? b ? c

? ?

?

B. a ? b ? ?c

? ?

?

C. a ? b ? ?c

? ?

?

D. b ? c ? a

? ?

?

3.用数学归纳法证明 1 ? ( )

1 1 1 ? ?? n ? n ( n ? N * , n ? 1 )时,第一步应验证不等式为 2 3 2 ?1
1 1 ? ?3 2 3 1 1 ? ?2 2 3

1 1 1 ? ? ?3 2 3 4 ? ? ? ? ? ? ? 4.已知平面向量 a 和 b 的夹角等于 , a ? 2 , b ? 1 ,则 a ? 2b ? ( 3 1? A. 1? B. 1? C.
A.2 B. 5 C.

1 ?2 2

1? D.


6

D. 7

0 5.在 ?ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c , 若 B ? 30 ,c ? 2 3 ,b ? 2 , 则C ?

( A.



? 3

B.

? 2? 或 3 3

C.

? 4

D.

? 5? 或 4 4


6.已知等比数列 {an } 中, a1 ? a2 ? a3 ? 40 , a4 ? a5 ? a6 ? 20 ,则前 9 项之和等于( A.50 B.70 C. 80 D.90

7.已知向量 a, b 满足 a ? 1 , b ?

? ?

?

?

? ? ? ? 2 ,且 a 在 b 方向上的投影与 b 在 a 方向上的投影相等,

则 a ? b 等于( A. 3

? ?

) B.3 C.

5

D.5 )

8.已知数列 {an } 满足 a1 ? a2 ? 1 , A.0 B.18 C. 96

an ? 2 an ?1 ? ? 1,则 a6 ? a5 的值为( an ?1 an
D.600

9.已知数列 {an } 是各项均不为 0 的正项数列, Sn 为前 n 项和,且满足 2 Sn ? an ? 1 ,

n ? N * ,若不等式 Sn ? ? 2an?1 ? 8(?1)n 对任意的 n ? N * 恒成立,求实数 ? 的最大值为
( ) B.-15 C.-9 D.-2

A.-21

10.在 ?ABC 中, AB ? AC ,点 M 在 BC 上, 4BM ? BC , N 是 AM 的中点,

???? ?


??? ?

???? ? ??? ? 1 sin ?BAM ? , AC ? 2 ,则 AM ? CN ? ( 3
A.1 B.2 C. 3 D.4

第Ⅱ卷(非选择题

共 110 分)

二、填空题(本大题共 7 小题,第 11-14 题每小题 6 分,第 15-17 题每小题 4 分,共 36 分) ? ? ? ? ? ? 11.已知向量 a ? (2,5) , b ? ( x, ?2) ,且 a ? b ,则 x ? _________, a ? b ?
12.在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c ,若 a ? 1, b ? 3, C ? 300 ,则



c ? ____________, ?ABC 的面积 S ?

. .

13.已知等差数列 {an } 中, a10 ? 13 , S9 ? 27 ,则公差 d ? ________, a100 ? 14.在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c ,若 tan A ? 则 tan C ? _________, c ? .

1 1 , tan B ? , b ? 2 , 2 3

15.已知向量 OA ? 3 , OB ? 1 , OA ? OB ? 0 ,点 C 在 ?AOB 内,且 ?AOC ? 60 ,
0

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

设 OC ? ?OA ? ?OB ( ? , ? ? R ) ,则

??? ?

??? ?

??? ?

? ? ?



16.已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn 满足 Sn ? 2an ?1 ,则

a1 ?18 ? a2 ?18 ?? a10 ?18 ?



17. O 是 ?ABC 所在平面上的一点,内角 A, B, C 所对的边分别是 3、4、5,且

??? ? ??? ? ??? ? ? ??? ? ??? ? 3OA ? 4OB ? 5OC ? 0 ,若点 P 在 ?ABC 的边上,则 OA ? OP 的取值范围为
三、解答题 (本大题共 5 小题,共 74 分) ? ?? ? 18. 已知向量 a, b, c 是同一平面内的三个向量,其中 a ? (1, ?1) .
(1)若 c ? 3 2 ,且 c // a ,求向量 c 的坐标; (2)若 b ? 1 ,且 a ? (a ? 2b) ,求 a 与 b 的夹角 ? . 19. 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,已知 c ? cos B ? (b ? 2a) cos C ? 0 . (1)求角 C 的大小; (2)若 c ? 2 , a ? b ? ab ,求 ?ABC 的面积.
2 20. 等比数列 {an } 的各项均为正数,且 2a1 ? 3a2 ? 1, a3 ? 9a2 a6 ,数列 {bn } 满足



?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? log3 an .
(1)求数列 {an } , {bn } 的通项公式; (2)求设 cn ? an ?

1 * (n? N ) ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Sn . bn

21. 在锐角 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c ,且

3c sin A ? a cos C ? b ? 2c ? 0 .
(1)求角 A 的大小; (2)求 cos B ? cos C 的范围. 22.已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 , an ?1 ?

1 2 an ? p . 4

(1)若数列 {an } 就常数列,求 p 的值; (2)当 p ? 1 时,求证: an ? an?1 ; (3)求最大的正数 p ,使得 an ? 2 对一切整数 n 恒成立,并证明你的结论.

2016 学年第二学期其中考试高一数学试题卷试卷答案 一、选择题
1-5:DBDAB 6-10:BACDA 11、12:

二、填空题
11. 5,

58

12. 1 ,

3 4

13. 2 , 193 17. [?5,10]

14. -1 , 2 5

15.

1 3

16. 961

三、解答题
18.解: (1)设 c ? ( x, y) ,由 c =3 2 ,且 c / / a 可得 ?

?

?

?

?

? y?x?0 2 2 ? x ? y ? 18

所以 ?

? x ? ?3 ? x ? 3 或? ? y ? 3 ? y ? ?3

故 c ? (?3,3) ,或 c ? (3, ?3) (2)因为 b =1 ,且 a ? a ? 2b ,所以 a ? a ? 2b =0 即 a ? 2a ? b ? 0 ,所以 2 ? 2a ? b ? 0 , a ? b=1

?

?

?

?

?

?

?

?

? ?

?

?

?

?2

? ?

? ?

? ?

? ? ? a ?b 2 故 cos ? ? ? ? ? ,? ? 4 2 a?b
19.(1)∵ c ? cos B ? ?b ? 2a ? cos C ? 0 , c cos B ? b cos C ? 2a cos C ? 0 ,

a ? 2a cos C ? 0 ,
∴ cos C ?

1 ? , C= 2 3
2 2 2

(2)∵ c ? 2 ,所以 c ? a ? b ? 2ab cos C ,

4 ? ? a ? b ? ? 2ab ? ab ? ? a ? b ? ? 3ab
2 2

∴ ab ? 4 , S ? 20.解:

1 ab sin C ? 3 2 1 3

(1)因为等比数列 {an } 中 a3 ? 9a2 a6 ,故 a32 ? 9a42 , an ? 0 ,故 q =
2

又因为 2a1 +3a2 ? 1 ,所以 a1 =

1 ?1? , an = ? ? 3 ?3?

n

bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? log 3 an ? ?1 ? 2 ? ? ? n ? ?
(2)因为数列 cn ? an +

n ? n ? 1? 2

?1? 1 ,令数列 ?an ? 前 n 项和 Tn ,数列 ? ? 的前 n 项和为 Qn bn ? bn ?

n 1? 1 ? ?1 ? ? 3 ? 3 ? 1 ? 1n ? 则 Tn = = ?1 ? ? 1 2? 3 ? 1? 3

1 2 1 ? ?1 = ? 2? ? ? bn n ? n+1? ? n n ?1 ?
1 1 ? 1 ? ? 1 1 1 ? Qn =2 ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ?1 ? ? n n ?1 ? ? 2 2 3 ? n ?1 ?
n n 1? 1 ? ? 1 ? 3 2 1?1? Sn = ?1 ? ? ? 2 ?1 ? ? ? ? ??? ? 2 ? 3 ? ? n ?1 ? 2 n ?1 2 ? 3 ?

21.解: (1)因为 3 csin A ? a cos C ? b ? 2c ? 0 , 所以 3sin C sin A ? sin A cos C ? sin B ? 2sin C ? 0 因为 sin B=sin ? A ? C ? ? sin A cos C ? cos Asin C , 所以 3sin C sin A ? cos Asin C ? 2sin C ? 0

sin C ? 0 ,所以 3sin A ? cos A ? 2

sin( A ?

?
6

) ? 1 ,因为 ?ABC 是锐角三角形,所以, A ?

?
6

?

?
2

,A?

?
3

(2) 因为 A ?

?
3

, 所以 B ? C ?

2? ?? ? 2? ? ? ,cos B ? cos C ? cos ? ? C ? ? cos C = sin ? C ? ? 3 6? ? 3 ? ?

因为 ?ABC 是锐角三角形,所以

?
6

?C ?

?
2



? 3 ? cos B ? cos C 的范围 ? ? 2 ,1? ? ? ?

22.解:

1 1 3 3 a1 ? p = +p ? 1 ,p ? ; 显然, 当 p ? 时, 有 an =1 4 4 4 4 1 2 3 (2)由条件得 a2 ? a1 ? a1 ? p ? a1 =p ? ? 0 得 a2 ? a1 , 4 4 1 1 2 2 又因为 an ? 2 ? an ?1 ? p, an ?1 ? an ? p , 4 4
(1) 若数列 {an } 是常数列, 则 a2 ? 两式相减得

an ? 2 ? an ?1 ?

1 1 1 1 an ?12 ? an 2 ? ? an ?12 ? an 2 ? ? ? an ?1 ? an ?? an ?1 ? an ? 4 4 4 4

显然有 an ? 0 ,所以 an?2 ? an?1 与 an?1 ? an 同号,而 a2 ? a1 ? 0 ,所以 an?1 ? an ? 0 ; 从而有 an ? an?1 . (3)因为 ak ?1 ? ak ?

1 2 1 2 ak ? ak ? p ? ? ak ? 2 ? ? p ? 1 ? p ? 1, 4 4

所以 an ? a1 ? ? a2 ? a1 ? ??? an ? an?1 ? ? 1 ? ? n ?1?? p ?1? , 这说明, 当 p ? 1 时,an 越来越大, 不满足 an ? 2 , 所以要使得 an ? 2 对一切整数 n 恒成立, 只可能 p ? 1 ,下面证明当 p ? 1 时, an ? 2 恒成立;用数学归纳法证明: 当 n ? 1 时, a1 ? 1 显然成立; 假设当 n ? k 时成立,即 ak ? 2 ,则当 n ? k ? 1 时, ak ?1 ?

1 2 1 ak ? 1 ? ? 22 ? 1 ? 2 成立, 4 4

由上可知对一切正整数 n 恒成立,因此,正数 p 的最大值是 1


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