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3-6正交试验设计的方差分析


§3-6正交试验设计的方差分析
一.方差分析的意义 前面我们介绍了正交设计方案及其结果的直 观分析, 该方法简单明了, 通俗易懂, 观分析 , 该方法简单明了 , 通俗易懂 , 计算工作 量少, 便于普及和推广 。 量少 , 便于普及和推广。 但直观分析方法不能把 实验中由于实验条件的改变而引起的数据波动同 实验误差引起的数据波动区分开来, 也就是说, 实验误差引起的数据波动区分开来 , 也就是说 , 不能区分因素各水平所对应的实验结果间的差异, 不能区分因素各水平所对应的实验结果间的差异 , 究竟是由于因素水平不同引起的, 究竟是由于因素水平不同引起的 , 还是由于实验 误差引起的。 误差引起的。

为了弥补直观分析方法的不足,可采用方差分析 方法对实验结果进行计算分析。所谓方差分析就是将 方法对实验结果进行计算分析。所谓方差分析就是将 因素水平(或交互作用) 因素水平(或交互作用)的变化引起的实验结果间的差 异与误差的波动所引起的实验结果间的差异区分开来 的一种数学方法。 方差分析的中心要点是:把实验数据总的波动分 方差分析的中心要点是:把实验数据总的波动分 解成两部分,一部分反映因素水平变化引起的波动, 另一部分反映实验误差引起的波动。即把数据总的偏 差平方和(S 分解为因素的偏差平方和(S 差平方和(S总)分解为因素的偏差平方和(SA、SB、SC ……)与误差的偏差平方和(S ……)与误差的偏差平方和(Se),并计算它们的平均偏 差平方和(也称均方和,或均方) 差平方和(也称均方和,或均方),然后进行检验,最 后得出方差分析表。

二.方差分析中的一些基本概念 1.偏差平方和 1.偏差平方和 方差分析的关键是对偏差平方和的分解,因此, 充分理解这一概念是至关重要的。 所谓偏差平方和是指一组数据中,各个数(y 所谓偏差平方和是指一组数据中,各个数(y1, y2, y3……yn)与它们的算术平均数y之差的平方和。用符号 与它们的算术平均数y S来表示。即:

1 1 y = ( y1 + y2 + ...... yn ) = ∑ yi n n i=1

S =
n

n



( y

i=1

i

? y)

2

为了计算方便,上式可简化为一种更常见的形式:
S = ∑ yi ? 2∑ yi y + ∑ y = ∑ yi 2 ? ny 2
2 2 i =1 n i =1 i =1 i =1 n n n n

若令:

G = ∑ yi
i =1

CT =

G2 n
n



S = ∑ yi 2 ? CT
i =1

偏差平方和(S)反映了该组数据的分散或集中程度。 偏差平方和(S)反映了该组数据的分散或集中程度。 显然,S越大,该组数据越分散;反之,S 显然,S越大,该组数据越分散;反之,S越小,说明该 组数据越集中。 2.平均偏差平方和与自由度 2.平均偏差平方和与自由度 为了合理地比较由不同个数所组成的两组数据的分散或 集中的程度,通常采用平均偏差平方和(简称均方和) 集中的程度,通常采用平均偏差平方和(简称均方和)平 均偏差平方和的计算方法是:将n个数(y 均偏差平方和的计算方法是:将n个数(y1, y2, y3, ……yn) n 的偏差平方和 S = (y ? y)2 除以平方项的个数减1, 除以平方项的个数减1


i=1

i

即除以(n-1),就得到平均偏差平方和。 即除以(n-1),就得到平均偏差平方和。

S 平均偏差平方和 = n?1

为什么不除以n而要除以(n-1)呢?这是因为n 为什么不除以n而要除以(n-1)呢?这是因为n个 数(y1, y2, y3, ……yn)之间并非彼此毫无关系,它们满 足的关系是: 1 n y = ∑ yi n i =1 即n个数之和的均值为一定值,因此,n个数中 只有(n-1)个可“自由”变动,所以,求平均偏差平 (n-1)个 方和时除以(n-1),数学上将这个(n-1)称为S的自由 (n-1),数学上将这个(n-1)称为S 度。 当实验所测得的n个数(y1, y2, y3, ……yn)数值较 当实验所测得的 (y 大时,为了简化计算,可将每一个原始数据y 大时,为了简化计算,可将每一个原始数据yi(i=1, 2, 3……n)都减去同一个常数C,这并不影响偏差平方 ……n)都减去同一个常数C 和的计算结果,但计算的工作量却简化了许多。

上述推论可通过以下简单换算予以证明。 若令X 若令Xi=yi-C (i=1, 2, ……n) 则

1n 1n X = ∑xi = ∑yi ?C n i=1 n i=1 X = y ?C

于是

S = ∑(xi ? x)2 = ∑[(yi ?C) ?(y ?C)]2 = ∑(yi ? y)2
i=1 i=1 i=1

n

n

n

3. F比与F分布表 (1) F比

F比是指因素水平的改变引起的平均偏差平方和与误 S因素 差的平均偏差平方和的比值。即: (2) F分布表及其查阅方法

F比 = S

f因素

误差

f 误差

为了判断F 值的大小所表明的物理意义( 为了判断F比值的大小所表明的物理意义(即F比值多大 时,可以认为实验结果的差异主要是由因素水平的 改变所引起的;其值多小时,可以认为实验结果的 差异主要是由实验误差所引起的) 差异主要是由实验误差所引起的),这就需要有一个 标准来衡量F 标准来衡量F比值,此标准就是根据统计数学原理编 制的F分布表,F分布表列出了各种自由度情况下F 制的F分布表,F分布表列出了各种自由度情况下F比 的临界值。

在F分布表上横行(n1:1, 2, 3…)代表F比中分子的自 分布表上横行(n 3…)代表F 由度;竖行(n 由度;竖行(n2:1, 2, 3…)代表F比中分母的自由度;表 3…)代表F 中的数值即各种自由度情况下F 中的数值即各种自由度情况下F比的临界值。 例如,某因素A的偏差平方和的自由度f =1,误差 例如,某因素A的偏差平方和的自由度fA=1,误差 (e)的偏差平方和的自由度fe=8,查得F0.1(1,8)=3.64,这 (e)的偏差平方和的自由度f =8,查得F (1,8)=3.64,这 里0.1是信度。 0.1是信度。 在判断时(如判断因素A 在判断时(如判断因素A的水平的改变对实验结果 是否有显著影响),信度a 是否有显著影响),信度a是指我们对做出的判断有多大 的把握,若a=5%,那就是指当F 的把握,若a=5%,那就是指当FA>F0.05(fA, fe )时,大概 有95%的把握判断因素A的水平改变对实验结果有显著 95%的把握判断因素A 影响。对于不同的信度a,有不同的F 影响。对于不同的信度a,有不同的F分布表,常用的 有a=1%, a=5%, a=10%等。根据自由度的大小,可 a=1%, a=5%, a=10%等。根据自由度的大小,可 在各种信度的F表上查得F 在各种信度的F表上查得F比的临界值,分别记作 F0.01(n1, n2 ), F0.05(n1, n2 ), F0. 10 (n1, n2 )等。

4.因素的显著性判断 4.因素的显著性判断 设因素A 设因素A的F比为FA: 当FA >F0. 01 (n1, n2 )时,说明该因素水平的改变 对实验结果有很显著的影响,记作**。 对实验结果有很显著的影响,记作**。 当FA >F0. 05 (n1, n2 )时,说明该因素水平的改变 对实验结果有显著的影响,记作* 对实验结果有显著的影响,记作*。 当FA >F0. 10 (n1, n2 )时,说明该因素水平的改变 对实验结果有一定的影响,记作O 对实验结果有一定的影响,记作O。

三.正交试验设计的方差分析 现以实验室制取H 现以实验室制取H2为例,来说明正交设计的方 差分析的基本方法。若该实验所考察的因素、水平 如表1和表2 如表1和表2所示。
表1. 因素水平
因素 水平 一 二 三 A wH2SO4 (%) 20 25 30 B mCuSO4·5H2O(g) 0.4 0.5 0.6 C mZn (g) 4 5 6

表2.实验方案及实验结果的直观分析 2.实验方案及实验结果的直观分析
列号 实验号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 A wH2SO4 (%) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 B mCuSO4·5H2O(g) 1 1 1 2 2 2 3 3 3 C mZn (g) 1 2 3 3 1 2 2 3 1 空白列 10min内H2的 产率 32.62 40.40 41.07 34.97 36.53 45.75 36.62 39.19 44.53

2 1 3 1 3 2 3 2 1

列号 实验号
K1 K2 K3 k1 k2 k3 R

A wH2SO4 (%) 104.21 116.12 131.35 34.78 38.70 43.78 9.05

B mCuSO4·5H2O(g) 114.09 117.25 120.34 38.03 39.08 40.11 2.08

C mZn (g) 122.77 115.23 113.68 40.92 38.41 37.89 3.03

空白列

10min内H2的 产率

119.9 117.56 114.22 39.96 39.18 38.07 1.89

最佳实验条 件是A3B3C1

上述正交试验设计所获得的数据,从直观分析的角度 来看,提供给我们如下有用的信息: 第一:从极差值的大小可以判断各个因素对实验指标 影响的主次关系,即: 主--------------------------------------------次 --------------------------------------------次 C[m C[mZn] B[m B[mCuSO4·5H2O] A[wH2SO4] A[w 但是,极差值仅仅反映了各因素影响实验指标的主次 关系,它不能告诉我们各个因素对实验指标影响的程 度。也就是说,它既不能指明这些因素中哪个是影响 实验指标的关键因素,也不能提供一个标准,用来考 察、判断各个因素的作用是否显著。

第二:就因素A而言(因素B 第二:就因素A而言(因素B、C也类同),其中k1、k2、 也类同),其中k k3值之间的差异是如何产生的?是由于A因素水平不 值之间的差异是如何产生的?是由于A 同引起的呢?还是由于实验误差所造成的呢?还是 两者综合作用的结果?从直观分析角度是无法说清 楚的。 正是由于直观分析存在着上述的缺点,所以需 要采用方差分析的方法来弥补上述的不足。 1.单因素实验的方差分析 1.单因素实验的方差分析 为了便于讨论,我们仍以实验室制取H2的因素 为了便于讨论,我们仍以实验室制取H 之一------A因素(硫酸的质量分数) 之一------A因素(硫酸的质量分数)为例,来说明单个 因素的实验数据的方差分析方法。

方差分析是把实验数据总的波动( 方差分析是把实验数据总的波动(即数据的总的偏差平方 和S总)分解成两部分:一部分反映因素水平变化引起的波动 (即因素的偏差平方和),对本例而言仅为S wH2SO4;另一部分 即因素的偏差平方和),对本例而言仅为S 反映实验误差引起的波动(即误差的偏差平方和S 反映实验误差引起的波动(即误差的偏差平方和Se)。即: (1) Se的计算
表3.实验结果分析 参与wH2SO4某一水平的实验编号 w A1(20%) 1 4 7 A2 (25%) 2 5 8 平均值y A3 (30%) 3 6 9 10minH2产率 A1(20%) 32.62 34.97 36.62 34.74 A2 (25%) 40.40 36.53 39.19 38.71 A3 (30%) 41.07 45.75 44.53 43.78

若以S 表示A 若以S1表示A1水平下实验误差所引起的波动,其值应 +(34.97+(36.62为:S =(32.62为:S1=(32.62-34.74)2+(34.97-34.74)2+(36.62-34.74)2 =8.0870。同理可以求出A =8.0870。同理可以求出A2 、A3水平下实验误差所引 起的波动,其值分别为S =7.8389, 起的波动,其值分别为S2=7.8389,S3=11.7875 则,A 则,A因素的各个水平下总的偏差平方和应为: Se= S1+ S2+ S3=8.0870+7.8389+11.7875=27.71 (2) S总的计算 总的偏差平方和S 是指全部实验数据中,每个数据(y 总的偏差平方和S总是指全部实验数据中,每个数据(yi) 与总平均值(y 与总平均值(y总)之差的平方和,即:

S总 = ∑ ( yi ? y总 ) 2
i =1

n

由表3知: y总=1/9(32.62+34.97+36.62+40.40+…+44.53)=39.08 则:S总=(32.62-39.08)2+(34.97-39.08)2+…+(44.5339.08)2=151.08 S总反映了实验数据总的波动情况,如果硫酸质量分 数水平的改变对实验指标不发生影响,而且实验中 也没有误差产生的话,那么全部实验数据理应都一 样,即S总应等于零,但情况并非如此。

(3) S wH2SO4 (SA)的计算 对于因素A来讲,当它取一水平时,3次实验( 对于因素A来讲,当它取一水平时,3次实验(即1、4、7实验)结 实验) 果的均值(y)应为: 果的均值(y)应为: y1=1/3(y1+y4+y7)=1/3(32.62+34.93+36.62)=34.74 y1代表了3次一水平实验对H2产率的影响。同理: 代表了3次一水平实验对H y2=1/3(y2+y5+y8)=38.71 y3=1/3(y3+y6+y9)=43.78 y2、y3分别代表了3次二水平和三水平实验对H2产率的影响。因 分别代表了3次二水平和三水平实验对H 此,因素水平变化所引起的波动,即因素A的偏差平方和S 此,因素水平变化所引起的波动,即因素A的偏差平方和SA应为: SA=∑(y1-y总)2= (34.74-39.08)2+(38.71-39.08)2+(43.78-39.08)2 ∑(y (34.74+(38.71+(43.78=123.37 上述计算结果我们可以通过S总=SA+ Se式来检验SA和 Se 上述计算结果我们可以通过S 式来检验S 计算正确与否。

(4)自由度和平均偏差平方和的计算 (4)自由度和平均偏差平方和的计算 为了消除个数不同对实验指标所产生的影响, 应采用平均偏差平方和,其计算公式为: 因素A的平均偏差平方和=S 因素A的平均偏差平方和=SA/fA 误差的平均偏差平方和=S 误差的平均偏差平方和=Se/fe 式中S 式中SA、Se分别代表因素A和误差的偏差平方和 分别代表因素A =A因素的水平数- ,它代表S fA=A因素的水平数-1,它代表SA的自由度 fe=f总-fA,它代表Se的自由度 ,它代表S f总=总的实验次数-1,它代表S总的自由度 总的实验次数- ,它代表S 在本例中f =9-1=8, =3-1=2, =8在本例中f总=9-1=8,fA=3-1=2, fe=8-2=6

(5) F值的计算及因素显著性的检验 F值的计算及因素显著性的检验 因素水平的变化引起的平均偏差平方和与误差 的平均偏差平方和的比值称为F 的平均偏差平方和的比值称为F值,即:

S因素

F =S

f因素 f误差

误差

用F值的大小来判断因素水平对实验指标的影响。 显然,只有当比值大于1时,才能表明因素水平的 改变对实验指标的影响,即超过了实验误差所产生 的影响。

为了判断因素对实验结果形象的显著性的大小, 须将计算得到的F值与从F 须将计算得到的F值与从F分布表上查到的相应临界 值进行比较。当F 值进行比较。当F值大于临界值时,表明该因素对实 验结果影响显著。 就本例而言:F 就本例而言:FA=(123.37/2)/(27.71/6)=13.36 查F检验的临界值表可知: F0.10(2, 6)=3.46, F0.05(2, 6)=5.14, F0.01(2, 6)=10.9 6)=3.46, 6)=5.14, 由于F 由于FA> F0.10(2, 6),所以我们可以认为,有99%以上 6),所以我们可以认为,有99%以上 的把握判断因素A 的把握判断因素A的水平改变对实验结果有极为显 著的影响,以“**”标记。由此可得出如下结论: 著的影响,以“**”标记。由此可得出如下结论: 对10minH2产率的影响是由硫酸浓度的差异所引起的。

2.多因素实验的方法分析 2.多因素实验的方法分析 和单因素实验的情况一样,多因素实验方差分 析的目的仍然是将实验误差所引起的结果与实验条 件的改变(即各因素水平的改变) 件的改变(即各因素水平的改变)所引起的结果区分 开来,以便能抓住问题的实质,此外,多因素实验 的方差分析还要将影响实验结果的主要因素和次要 因素区分开来,以便集中力量研究主要因素。 我们仍以实验室制取H 我们仍以实验室制取H2为例,来阐明多因素单指标 实验方差分析的基本步骤。

(1)因素的偏差平方和的计算 (1)因素的偏差平方和的计算

SA = ∑ ( yi ? y总 )2
i =1

3

自由度f=3-1=2,为了简化计算,上式可写为
S A = ∑ yi 2 ? CT
i =1 n

其中CT=G2/n

G = ∑ yi
i =1

n



SA =

K12 + K 22 + K32 3
9 i =1

?

G2 9

G = ∑ yi

将数据带入上式
G = ∑ yi = (32.62 + 40.40 + K + 44.53) = 351.68
i =1 9

CT=G2/9=(351.68)2/9=13742.09

SA=(104.212+116.122+131.352)/3-(13742.09)/9=123.37 )/3同理,可以计算出因素B和因素C的偏差平方和SB、 SC(其自由度fB=fC=3-1=2),SB=6.51,SC=15.77, SA、SB、SC反映了因素A、B、C的3个水平所引起 的实验结果的差异。

(2)误差的偏差平方和的计算 (2)误差的偏差平方和的计算 对于误差的偏差平方和(S 对于误差的偏差平方和(Se),可用正交表中未安 排因素的空白列的偏差平方和来计算。因为空白列 未安排因素,它们的偏差平方和中不包括因素水平 的变化所引起的实验结果的误差,仅仅反映了实验 误差的大小。 本例中:S 本例中:Se= SD=(K12+K22+K32)/3-CT=5.43 )/3=(9-1)误差的自由度:f 误差的自由度:fe=f总-fA-fB-fC=(9-1)-2-2-2=2 应当指出,当正交表中空白列不是一列时,可将空 白列的S 白列的S值相加作为误差的估计值。

(3)因素的显著性检验 (3)因素的显著性检验 分别计算出因素A 分别计算出因素A、B、C的F值:

FA = Se

SA

fA fe

FB = Se

SB

fB fe

FC = Se

SC

fC fe

查F分布表可知:F0.10(2, 2)=9.00 ,F0.05(2, 2)=19.0 F0.01(2, 2)=99.0 由于F0.05(2, 2)<FA< F0.01(2, 2) ,FB< F0.10(2, 2) FC< F0.10(2, 2)由此可见,显著性分别为:

硫酸的质量分数 硫酸铜晶体加入量和锌加入量

*(显著) 显著) (不显著) 不显著)

本例通过方差分析表明:硫酸质量分数的改变对H 本例通过方差分析表明:硫酸质量分数的改变对H2 产率有显著影响,依据K 产率有显著影响,依据K值可知,选取硫酸的质量 分数的三个水平,即30%为最好;硫酸铜的加入量 分数的三个水平,即30%为最好;硫酸铜的加入量 对H2产率无显著影响,在最佳实验条件中,取三水 平为好;锌的加入量对H 平为好;锌的加入量对H2产率无显著影响,同样, 在最佳实验条件中取一水平为好。


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