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高中数学竞赛专题讲座之五:解析几何


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高中数学竞赛专题讲座之五: 《解析几何》各类竞赛试题选讲
一、选择题 1. (04 湖南)已知曲线 C : y = 值范围是(C) A. (? 2 ? 1, 2 ) B. ( ?2, 2 ? 1) C. [0, 2 ? 1) 2. (05 全国)方程 D. (0, 2 ? 1) ( )

? x 2 ? 2 x 与直线 l : x + y ? m = 0 有两个交点,则 m 的取

x2 y2 + = 1 表示的曲线是 sin 2 ? sin 3 cos 2 ? cos 3
B.焦点在 x 轴上的双曲线 D.焦点在 y 轴上的双曲线

A.焦点在 x 轴上的椭圆 C.焦点在 y 轴上的椭圆

3. (06 浙江)已知两点 A (1,2), B (3,1) 到直线 L 的距离分别是 2 , 5 ? 直线 L 共有( C )条. A.1 B.2 解: 由 AB =

2 ,则满足条件的

C.3

D.4

5 , 分别以 A,B 为圆心, 2 , 5 为半径作两个圆,则两圆外切,有三

条共切线。正确答案为 C. 4. (06 安徽)过原点 O 引抛物线 y = x 2 + ax + 4a 2 的切线,当 a 变化时,两个切点分别在抛物 线( A. y = )上
1 2 3 x , y = x2 2 2

B. y =

3 2 5 x , y = x2 2 2

C. y = x 2 , y = 3x 2

D. y = 3 x 2 , y = 5 x 2

5.若在抛物线 y = ax 2 ( a > 0) 的上方可作一个半径为 r 的圆与抛物线相切于原点 O ,且该 圆与抛物线没有别的公共点,则 r 的最大值是(A ) A.

1 2a

B.

1 a

C. a

D. 2a

6. (06 江苏)已知抛物线 y2=2px,o 是坐标原点,F 是焦点,P 是抛物线上的点,使得△POF 是直角三角形,则这样的点 P 共有(B) A.0 个 B.2 个 C.4 个 D.6 个
1

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7. (06 全国)如图 3,从双曲线
2 2 2

x2 y2 ? = 1(a > 0, b > 0) 的 a2 b2

左焦点 F 引圆 x + y = a 的切线,切点为 T.延长 FT 交双曲线右支于 P 点.若 M 为线段 FP 的中点,O 为坐 标原点,则 | MO | ? | MT | 与 b ? a 的大小关系为( A. | MO | ? | MT |> b ? a B. | MO | ? | MT |= b ? a C. | MO | ? | MT |< b ? a D.不确定 8. (05 四川)双曲线 )

x2 y2 ? = 1 的左焦点为 F1 ,顶点为 A1 , A2 , P 是该双曲线右支上任意 a 2 b2
( D.相离 )

一点,则分别以线段 PF1 , A1 A2 为直径的两圆一定 A.相交 B.内切 C.外切

解:设双曲线的另一个焦点为 F2 ,线段 PF1 的中点为 C ,在△ F1 F2 P 中, C 为 PF1 的 中 点 , O 为 F1 F2 的 中 点 ,从 而 OC =

1 1 | PF2 |= (| PF1 | ? | A1 A2 |) , 从 而以 线段 2 2

PF1 , A1 A2 为直径的两圆一定内切.
9.点 A 是直线 l : y = 3 x 上一点,且在第一象限,点 B 的坐标为(3,2) ,直线 AB 交 x 轴 正半轴于点 C ,那么三角形 AOC 面积的最小值是(A ) 10. (02 湖南)已知 A(-7,0) ,B(7,0) ,C(2,-12)三点,若椭圆的一个焦点为 C,且 过 A、B 两点,此椭圆的另一个焦点的轨迹为( ) (奥析 263) A.双曲线 B.椭圆 C.椭圆的一部分 D.双曲线的一部分 11. (03 全国)过抛物线 y 2 = 8( x + 2) 的焦点 F 作倾斜角为 60O 的直线。若此直线与抛物线 交于 A、B 两点, AB 的中垂线与轴交于点 P, 弦 则线段 PF 的长等于 ( A. ) (奥析 263)

16 3

B.

8 3

C.
2

16 3 3

D. 8 3

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二、填空题 1.若 a,b,c 成等差数列,则直线 ax+by+c = 0 被椭圆 程为 2. (04 湖南)设 P 是椭圆

x2 y 2 + = 1 截得线段的中点的轨迹方 2 8

x2 y2 + = 1 上异于长轴端点的任意一点, F1 、 F2 分别是其左、 16 9
2

右焦点, O 为中心,则 | PF1 | ? | PF2 | + | OP | = ___25________. 3. 湖南) (05 一张坐标纸对折一次后, A(0,4) 与点 B (8,0) 重叠, 点 若点 C (6,8) 与点 D ( m, n) 重叠,则 m + n = _______________; 解 : 可 解 得 对 称 轴 方 程 为 y = 2x ? 6 , 由

n+8 n?8 1 = (6 + m) ? 6, =? 得 2 m?6 2

m = 7.6, n = 7,2 ,所以 m + n = 14.8
4.在正△ ?ABC 中, D 、 E 分别是 AB 、 AC 的中点,则以 B 、 C 为焦点且过点 D 、 E 的 双曲线的离心率是

3 +1



5. (03 全国) F1、 2 是椭圆 设 F

x2 y2 + = 1 的两个焦点, 是椭圆上的一点, P 且|PF1|: 2|=2: |PF 9 4

. (奥析 264) 1.则三角形 PF1F2 的面积为 6. (04 全国)给定两点 M(-1,2) ,N(1,4) ,点 P 在 x 轴上移动. 当 ∠MPN 取最大时, . (奥析 265) 点 P 的坐标为 7. (03 山东)设曲线 2 x 2 + y 2 = 4 x + 6 上与原点距离最大和最小的点分别为 M、N,则 |MN|= .(奥析 266)

8. (04 全国)已知 M = {( x, y ) | x 2 + 2 y 2 = 3}, N = {( x, y ) | y = mx + b}. 若对于所有的

m ∈ R ,均有 M ∩ N ≠ φ ,则 b 的取值范围是

(奥析 267)

9. (00 全国)平面上的整点到直线 25x-15y+12=0 的距离中的最小值是 10.(99 全国)满足不等式(|x|-1)2+(|y|-1)2 <2 的整点的个数有 16

34 . 85
.

11. (00 河北)在圆 x2+y2-5x=0 内,过点 ( , ) 有三条弦的长度成等比数列. 则其公比的
3

5 3 2 2

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取值范围为

[

2 5 5 , ] 5 2

. 2 .

12.设 P 是抛物线 y2=2x 上的点,Q 是圆(x-5)2+y2=1 上的点,则|PQ|的最小值为

三、解答题 1.已知抛物线 y2=4ax(0<a<1)的焦点为 F,以 A(a+4,0)为圆心,|AF|为半径在 x 轴上方 作半圆交抛物线与不同的两点 M、N,设 P 为线段 MN 的中点. (1)求|MF|+|NF 的值.(2)是否存在这样的 a 的值,使||MF|、|PF|、|NF|成等差数列?如 存在,求出 a 的值;如不存在,说明理由。 答案(1)8; (2)不存在。 (利用定义法) 2 2 ,动点 M 在圆上,0 为原点,求 ∠OMA 的最大值。 (方法大全 2.圆 x +y =8,点 A(2,0) 1) 3.已知曲线 M : x 2 ? y 2 = m , x > 0 , m 为正常数.直线 l 与曲线 M 的实轴不垂直,且依 次交直线 y = x 、曲线 M 、直线 y = ? x 于 A 、 B 、 C 、 D 4 个点, O 为坐标原点. (1)若 | AB |=| BC |=| CD | ,求证: ?AOD 的面积为定值; (2)若 ?BOC 的面积等于 ?AOD 面积的 求证: | AB |=| BC |=| CD | . 解: (1)设直线 l : y = kx + b 代入

1 , 3
A

y B
O

B P

x 2 ? y 2 = m 得:
(1 ? k ) x ? 2bkx ? b ? m = 0 ,
2 2 2

C D

x
A Q C

? > 0 得: b 2 + m(1 ? k 2 ) > 0 ,
设 B( x1 , y1 ) , C ( x 2 , y 2 ) ,则有 x1 + x 2 =

? (b 2 + m ) 2bk , x1 x 2 = ,设 A( x3 , y 3 ) , 1? k 2 1? k 2

D( x4 , y 4 ) , 易得:x3 =
故 | x1 ? x 2 |=

b ?b 1 ,x 4 = , | AB |=| BC |=| CD | 得 | BC |= | AD | , 由 1? k 1+ k 3

2bk 2 4(b 2 + m) 1 2b 1 ) + = | | ,整理得: | x 3 ? x 4 | ,代入得 ( 3 3 1? k 2 1? k 2 1? k 2
4

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b2 =

9 b b m( k 2 ? 1) ,又 | OA |= 2 | | , | OD |= 2 | | , ∠AOD = 90° , 8 1? k 1+ k

∴ S ?AOD =

b2 9 = m 为定值. 2 |1? k | 8

(2) BC 中点为 P ,AD 中点为 Q 则 x p = 设

x + x4 x1 + x 2 bk bk x = = ,Q = 3 , 2 2 2 1? k 1? k 2

所以 x P = x Q , P 、 Q 重合,从而 | AP |=| DP | ,从而 | AB |=| CD | ,又 ?BOC 的面积 等于 ?AOD 面积的

1 1 ,所以 | BC |= | AD | ,从而 | AB |=| BC |=| CD | . 3 3 x2 ? y 2 = 1 2 ≤ x ≤ 2 5 , y ≥ 0 上的点 P1、P 2、…、 Pn .若 P A 、 1 4

4.已知点 A

(

5 ,0 和曲线

)

(

)

P2 A 、…、 Pn A 成等差数列且公差 d >0,(1). 试将 d 表示为 n 的函数关系式.(2). 若
?1 1 ? d ∈? , ? ,是否存在满足条件的 n(n ∈ N * ) .若存在,求出 n 可取的所有值,若不存在,说 ?5 5 ?
明理由. 解(1)∵d>0,故为递增数列∴ P A 最小, Pn A 最大. 1 由方程

x2 4 ? y 2 = 1 2 ≤ x ≤ 2 5 , y ≥ 0 知 A( 5 ,0) 是它的右焦点,L: x = 是它的右 4 5
5 ?2

(

)

准线, ∴ P A = 1

Pn A = 3


于是 3 = ( 5 ? 2) ? ( n ? 1) d

d=

5? 5 (n > 1) …………………………-5 分 n ?1
设 n ∈ (5 5 ? 4,26 ? 5 5 )

(2)∵ d ∈ ( , 又∵ n ∈ N
*

1 1 ) 5 5



1 5? 5 1 < < 5 n ?1 5

∴ n 取最大值 14, n 取最小值 8.∴ n 可取 8、9、10、11、12、 、13、14 这

七个值.- - - - - - - - -- - - - -9 分 5. (03 山东)椭圆 C: Ax 2 + By 2 = 1 与直线 l :x+2y=7 相交于 P、Q 两点,点 R 的坐标为
5

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(2,5).若 ?PQR 是等腰三角形, ∠PRQ = 90 O ,求 A、B 的值。 (奥析 265) 6. 04 全国)在平面直角坐标系 xoy 中,给定三点 A(0, ), B ( ?1, 0), C (1, 0) ,点 P 到直线 ( 全国) BC 的距离是该点到直线 AB,AC 距离的等比中项。 (Ⅰ)求点 P 的轨迹方程; (Ⅱ)若 直线 L 经过 ?ABC 的内心(设为 D) ,且与 P 点的轨迹恰好有 3 个公共点,求 L 的斜率 k 的取值范围。

4 3

4 4 ( x + 1), y = ? ( x ? 1), y = 0 。 P ( x, y ) 点 3 3 1 1 到 AB、AC、BC 的距离依次为 d1 = | 4 x ? 3 y + 4 |, d 2 = | 4 x + 3 y ? 4 |, d 3 =| y | 。依 5 5
解: (Ⅰ) 直线 AB、 AC、 的方程依次为 y = BC 设, d1d 2 = d 3 , 得 |16 x ? (3 y ? 4) |= 25 y ,
2 2 2 2

即 16 x 2 ? (3 y ? 4) 2 + 25 y 2 = 0, 或16 x 2 ? (3 y ? 4) 2 ? 25 y 2 = 0 , 化简得点 P 的轨迹方程为 圆 S: 2 x 2 + 2 y 2 + 3 y ? 2 = 0与双曲线T:8x2 ? 17 y 2 + 12 y ? 8 = 0 (Ⅱ)由前知,点 P 的轨迹包含两部分 圆 S: 2 x 2 + 2 y 2 + 3 y ? 2 = 0 ① ......5 分

与双曲线 T: 8x2 ? 17 y 2 + 12 y ? 8 = 0 ② 因为 B(-1,0)和 C(1,0)是适合题设条件的点,所以点 B 和点 C 在点 P 的轨迹上, 且点 P 的轨迹曲线 S 与 T 的公共点只有 B、C 两点.

1 ?ABC 的内心 D 也是适合题设条件的点,由 d1 = d 2 = d3 ,解得 D(0, ) ,且知它在圆 2
S 上.直线 L 经过 D,且与点 P 的轨迹有 3 个公共点,所以,L 的斜率存在,设 L 的方程 为 y = kx +

1 2



(i)当 k=0 时,L 与圆 S 相切,有唯一的公共点 D;此时,直线 y =

1 平行于 x 轴,表 2

明 L 与双曲线有不同于 D 的两个公共点, 所以 L 恰好与点 P 的轨迹有 3 个公共点。 ......10 分 (ii)当 k ≠ 0 时,L 与圆 S 有两个不同的交点。这时,L 与点 P 的轨迹恰有 3 个公共点 只能有两种情况: 情况 1: 直线 L 经过点 B 或点 C, 此时 L 的斜率 k = ±

1 , 直线 L 的方程为 x = ± (2 y ? 1) . 2

6

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代入方程②得 y (3 y ? 4) = 0 ,解得 E ( , )或F(- , ). 表明直线 BD 与曲线 T 有 2 个交点 B、E;直线 CD 与曲线 T 有 2 个交点 C、F。故当 k = ± 轨迹有 3 个公共点。 ......15 分

5 4 3 3

5 4 3 3

1 时,L 恰好与点 P 的 2

情况 2:直线 L 不经过点 B 和 C(即 k ≠ ±

1 ) ,因为 L 与 S 有两个不同的交点,所以 L 2

?8 x 2 ? 17 y 2 + 12 y ? 8 = 0 ? 与双曲线 T 有且只有一个公共点。即方程组 ? 有且只有一组实 1 y = kx + ? ? 2
数解,消去 y 并化简得 (8 ? 17 k ) x ? 5kx ?
2 2

25 = 0 该方程有唯一实数解的充要条件是 4

8 ? 17 k 2 = 0
2


2

或 ( ?5k ) + 4(8 ? 17 k )

25 =0 4



.解方程④得

k =±

2 34 2 ,解方程⑤得 k = ± . 17 2 1 2 34 2 ,± ,± }. 2 17 2

综合得直线 L 的斜率 k 的取值范围是有限集 {0, ±

7. (04 湖南)在周长为定值的 ?ABC 中,已知 | AB |= 6 ,且当顶点 C 位于定点 P 时,cos C 有最小值为

7 .(1)建立适当的坐标系,求顶点 C 的轨迹方程.(2)过点 A 作直线与(1)中的 25

曲线交于 M 、 N 两点,求 | BM | ? | BN | 的最小值的集合. 解:(1) 以 AB 所在直线为 x 轴,线段 AB 的中垂线为 y 轴建立直角坐标系,设 |CA|+|CB|=2a(a>3)为定值, 所以 C 点的轨迹是以 A、 为焦点的椭圆, B 所以焦距 2c=|AB|=6. 因为

cos C =

| CA | 2 + | CB | 2 ?6 2 (| CA | + | CB |) 2 ? 2 | CA || CB | ?36 2a 2 ? 18 = = ?1 2 | CA || CB | 2 | CA || CB | | CA || CB |

又 | CA | ? | CB |≤ (

2a 2 18 18 7 2 ) = a2 , 所以 cos C ≥ 1 ? 2 , 由题意得 1 ? 2 = , a = 25 . 2 25 a a

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此时, |PA|=|PB|, 点坐标为 P(0, P ±4).所以 C 点的轨迹方程为

x2 y2 + = 1 ( y ≠ 0) 25 16

(2)不妨设 A 点坐标为 A(-3,0),M(x1,y1),N(x2,y2).当直线 MN 的倾斜角不为 900 时,设 其方程为 y=k(x+3) 代入椭圆方程化简,得 (

1 k2 2 3 2 9k 2 + )x + k x + ( ? 1) = 0 25 16 8 16

显然有 △≥0, 所以 x1 + x 2 = ? 而由椭圆第二定义可得

150k 2 225k 2 ? 400 , x1 x 2 = 16 + 25k 2 16 + 25k 2

3 3 9 | BM | ? | BN |= (5 ? x1 )(5 ? x 2 ) = 25 ? 3( x1 + x 2 ) + x1 x 2 5 5 25 144 450k 81k ? 144 531k ? 144 531 531 = 25 + + = 25 + = 25 + ? 2 2 2 16 25 16 + 25k 16 + 25k 16 + 25k 2 k + 25
2 2 2

k2 ?

144 16 144 + 531 的最小值,即考虑 1 ? 25 531 取最小值,显然. 只要考虑 16 16 k2 + k2 + 25 25 k2 ?
当 k=0 时, | BM | ? | BN | 取最小值 16. 当直线 MN 的倾斜角为 900 时,x1=x2=-3,得 | BM | ? | BN |= (

34 2 ) > 16 5



x2 y2 + = 1 ( y ≠ 0) ,故 k ≠ 0 ,这样的 M、N 不存在,即 | BM | ? | BN | 的最小 25 16
x2 a
2

值的集合为空集. 8. (04 四川)已知椭圆ε:
+ y2 b
2

= 1 (a>b>0) ,动圆 Γ : x 2 + y 2 = R 2 ,其中 b<R<a. 若

A 是椭圆ε上的点,B 是动圆 Γ 上的点,且使直线 AB 与椭圆ε和动圆 Γ 均相切,求 A、 B 两点的距离 AB 的最大值. 解:设 A (x1 , y1 ) 、B (x 2 , y 2 ) ,直线 AB 的方程为 y = kx + m 因为 A 既在椭圆 ε 上又在直

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? y1 = kx1 + m ? 线 AB 上,从而有 ? x1 2 y1 2 ? 2 + 2 =1 b ?a

(1) (2)

将(1)代入(2)得 a 2 k 2 + b 2 x 2 + 2kma 2 x + a 2 m 2 ? b 2 = 0 由于直线 AB 与椭圆 ε 相切,故 ? = 2kma 2

(

)

(

)

(

)

2

? 4a 2 m 2 ? b 2 a 2 k 2 + b 2 = 0

(

)(

)

从而可得 m 2 = b 2 + a 2 k 2 , x1 = ?

ka 2 m

(3)……………………5 分

同理,由 B 既在圆 Γ 上又在直线 AB 上, 可得 m 2 = R 2 1 + k 2 , x 2 由(3)(4)得 k 2 = 、
2 2

(

)

=?

k a2 ? R2 m

(

) (4)10 分
k a2 ? R2 m
2

R2 ?b2 a ?R
2 2

, x 2 ? x1 =

(

)
( )
2

所以 AB = ( x 2 ? x1 ) + ( y 2 ? y1 ) = 1 + k 2 ( x 2 ? x1 ) =
2

(

)

=

(a

2

? R2 R2 ? b2 a 2b 2 ab ? ? 2 2 = a 2 + b 2 ? R 2 ? 2 = (a ? b ) ? ? R ? ? ≤ (a ? b ) LLLLLLL15分 2 R? R R ?
2

)(

)

m2 k 2 a2 ? R2 ? R2 m2

=

(a

2

? R2 R2

)

2

?

R2 ? b2 a2 ? R2

即 AB ≤ a ? b ,当且仅当 R = ab 时取等号所以 A、B 两点的距离 AB 的最大值为
a ? b . ……………20 分.

9. (05 全国)过抛物线 y=x2 一点 A(1,1)作抛物线的切线交 x 轴于 D,交 y 轴于 B,C 在抛物 线上,E 在线段 AC 上,

AE BF = λ1 ,F 在线段 BC 上, = λ2 ,且 λ1+λ2=1,线段 CD EC FC

与 EF 交于 P,当 C 在抛物线上移动时,求 P 的轨迹方程。 10. (05 湖南)过点 P (3 + 2 2 ,4) 作一条直线和 x轴、y轴 分别相交于 M、N 两点,试求

OM + ON ? MN 的最大值。 (其中 O 为坐标原点)
解:过点 P (3 + 2 2 ,4) 作一圆与 x 轴、 y 轴分别相切于点 A、B,且使点 P (3 + 2 2 ,4) 在优弧 AB 上,则圆的方程为 ( x ? 3) 2 + ( y ? 3) 2 = 9 ,于是过点 P (3 + 2 2 ,4) 作圆的 切 线 和 x 轴 、 y 轴 分 别 相 交 于 M 1 , N 1 两 点 , 圆 为 Rt?OM 1 N 1 的 内 切 圆 , 故

OM 1 + ON 1 ? M 1 N 1 = 6
若过点 P 的直线 MN 不和圆相切,则作圆的平行于 MN 的切线和 x 轴、 y 轴分别相交
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于 M 0 , N 0 两点, OM 0 + ON 0 ? M 0 N 0 = 6 。 则 由折线 M 0 MNN 0 的长大于 M 0 N 0 的长 及切线长定理,得 OM + ON ? MN = (OM 0 ? MM 0 ) + (ON 0 ? NN 0 ) ? MN

= (OM 0 + ON 0 ? M 0 N 0 ) + [ M 0 N 0 ? ( M 0 M + MN + NN 0 )] ≤ OM 0 + ON 0 ? M 0 N 0 = 6
所以, OM + ON ? MN 的最大值为 6。 11. (05 江苏)设椭圆的方程为

x2 y2 + = 1 (a > b > 0) , 线段 PQ 是过左焦点 F 且不 a2 b2
y
R

与 x 轴垂直的焦点弦. 若在左准线上存在点 R , 使

?PQR 为正三角形, 求椭圆的离心率 e 的取值范
围, 并用 e 表示直线 PQ 的斜率. 解: 如图, 设线段 PQ 的中点为 M .过点

Q'
M‘ F P’ P M

Q

O

x

P 、 M 、Q 分别作准线的垂线, 垂足分别为 P ' 、 M '、Q' , 则

| MM ' |=

1 1 | PF | | QF | | PQ | (| PP ' | + | QQ ' |) = ( + )= . …………… 6 分 2 2 e e 2e

假设存在点 R , | RM |= 则

3 | PQ | 3 | PQ | ,且 | MM ' | < | RM | ,即 < | PQ | , 2 2e 2

所以, e >

3 .……… 12 分. 3 1 | MM ' | | PQ | 2 1 = ? = ,故 cot ∠RMM ' = . | RM | 2e 3 | PQ | 3e 3e 2 ? 1

于是, ∠RMM ' = cos

若 | PF | < | QF | (如图),则

k PQ = tan ∠QFx = tan ∠FMM ' = cot ∠RMM ' =

1 3e 2 ? 1

.

… 18 分

10

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当 e>

3 时, 过点 F 作斜率为 3

1 3e 2 ? 1

的焦点弦 PQ , 它的中垂线交左准线于

R , 由上述运算知, | RM |=

3 | PQ | . 故 ?PQR 为正三角形. 2

………… 21 分

若 | PF | > | QF | ,则由对称性得 k PQ = ?

1 3e 2 ? 1



……………… 24 分

x2 y2 又 e < 1 , 所以,椭圆 2 + 2 = 1 ( a > b > 0) 的离心率 e 的取值范围是 a b e∈( 3 1 ,1) , 直线 PQ 的斜率为 ± . 3 3e 2 ? 1

12. (05 四川) 正方形 ABCD 的两顶点 A, B 在抛物线 y = x 2 上,C , D 两点在直线 y = x ? 4 上,求正方形的边长 d 。
2 解:设 A, B 两点坐标分别为 A(t1 , t12 ) 、 B (t 2 , t 2 ) ,显然 t1 ≠ t 2 ∵ AB ∥ DC ,

∴1 =

2 t 2 ? t12 ,即 t1 + t 2 = 1 t 2 ? t1

一方面,
2 d 2 =| AB | 2 = (t1 ? t 2 ) 2 + (t12 ? t 2 ) 2 = (t1 ? t 2 ) 2 [1 + (t1 + t 2 ) 2 ] = 2[(t1 + t 2 ) 2 ? 4t1t 2 ]

1 2 ∴ t1 t 2 = ( 2 ? d ) 8 2d 2 = (t1t 2 ? 4) 2
4

① 。 另 一 方 面 , d =| AD |=

| t1 ? t12 ? 4 | 2

=

| t1t 2 ? 4 | 2

,∴


2

将①代入②,得 d ? 68d + 900 = 0 ,即 ( d 2 ? 18)( d 2 ? 50) = 0 。故 d = 3 2 或

d =5 2
13. (06 浙江)在 x 轴同侧的两个圆:动圆 C1 和圆 4a 2 x 2 + 4a 2 y 2 ? 4abx ? 2ay + b 2 = 0 外 切( a, b ∈ N , a ≠ 0 ) ,且动圆 C1 与 x 轴相切,求(1)动圆 C1 的圆心轨迹方程 L;(2)
11

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若直线 4( 7 ? 1) abx ? 4ay + b 2 + a 2 ? 6958a = 0 与曲线 L 有且仅有一个公共点,求

a, b 之值.
解:1) 4a 2 x 2 + 4a 2 y 2 ? 4abx ? 2ay + b 2 = 0 可得 ( x ? ( 由

b 2 1 1 ) + ( y ? )2 = ( )2 , 2a 4a 4a

由 a, b ∈ N,以及两圆在 x 轴同侧,可知动圆圆心在 x 轴上方,设动圆圆心坐标为 ( x, y ) ,

则 有

(x ?

b 2 1 1 ) + ( y ? )2 = y + , 整 理 得 到 动 圆 圆 心 轨 迹 方 程 2a 4a 4a
b2 4a (x ≠ b ) .………(5 分) 2a

y = ax 2 ? bx +

另解: 由已知可得,动圆圆心的轨迹是以 (

b 1 1 , ) 为焦点, y = ? 为准线,且顶点 2a 4 a 4a b b 1 在 ( ,0 ) 点 ( 不 包 含 该 点 ) 的 抛 物 线 , 得 轨 迹 方 程 ( x ? ) 2 = y , 即 2a 2a a b2 b y = ax ? bx + (x ≠ ) 5 分 4a 2a
2

(2)联立方程组

y = ax 2 ? bx +
2 2

b2 b (x ≠ ) 4a 2a



和 4( 7 ? 1) abx ? 4ay + b + a ? 6958a = 0 消去 y 得



4a 2 x 2 ? 4 7 abx ? (a 2 ? 6958a ) = 0 ,
2 2

由 ? = 16 × 7 a 2 b 2 + 16a 2 ( a 2 ? 6958a ) = 0, 整理得 7b + a = 6958a 从③可知 7 a 2 ? 7 a 。 故令 a = 7a1 , 代入③可得 b 2 + 7 a1 = 6958a1 ? 7 b 2 ? 7 b . 再令 b = 7b1 ,
2

③.

代入上式得

7b1 + a1 = 994a1 …(10 分)
2 2

同理可得, 7 a1 ,7 b1 。可令 a = 49n, b = 49m, 代入③可得

7 m 2 + n 2 = 142n



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对④进行配方, 得

(n ? 71) 2 + 7 m 2 = 712 , 对此式进行奇偶分析, 可知 m, n 均为偶数,

2 2 2 所以 7 m = 71 ? ( n ? 71) 为 8 的倍数,所以

4 m 。令 m = 4r ,则 112r 2 ≤ 712

? r 2 ≤ 45 。
所以

r = 0,1, 3, 5, 2,4,6
2 2

…………………………………(15 分)

仅当 r = 0,4 时, 71 ? 112r 为完全平方数。于是解得

a = 6958, b = 0(不合,舍去)
14. (06 江苏)椭圆

a = 6272 b = 784

a = 686 。 …………………(20 分) b = 784

x2 y 2 + = 1 的右焦点为 F,P1,P2,…,P24 为 24 个依逆时针顺序排列在 9 4 椭圆上的点,其中 P1 是椭圆的右顶点,并且∠P1FP2=∠P2FP3=∠P3FP4=…=∠P24FP1.若 这 24 个点到右准线的距离的倒数和为 S,求 S2 的值. 180
解:椭圆中, a = 3 , b = 2 ,故 c =

5 .所以 F

(

5, 0 , e =

)

5 . 3 a2 ?c . c

设 FP 与 x 轴正向的夹角为 ?i ,d i 为点 Pi 到右准线的距离. d i ( e cos ?i + 1) = 则 i



1 c = 2 ( e cos ?i + 1) . di b

同理

1 d i +12
所以

=

c c e cos ?i +12 + 1) = 2 ( ? cos ?i + 1) . 2 ( b b

1 1 2c 5 + = 2 = . d i d i +12 b 2

从而

∑d
i =1

24

1
i

= 6 5 ,于是 S 2 = 180 .

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