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离散型随机变量的方


离散型随机变量的方差

一、复习
1、离散型随机变量的均值的定义 一般地,若离散型随机变量X的概率分布为 X P x1 p1 x2 p2 … … xn pn

则称 E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn为X的均值或数学 期望,记为E(X)或μ. 其中pi≥0,i=1,2,…,n;p1+p2+…+pn=1 2、两个分布的数学期望 nM 若X~H(n,M,N) 则E(X)= N 若X~B(n,p) 则E(X)=np

练习: 1、已知随机变量 ? 的分布列为

?
P

0

1

2

3

4

5

0.1

0.2

0.3

0.2

0.1

0.1

2.3 求E( ? ) 2、抛掷一枚硬币,规定正面向上得1分,反面向
上得-1分,求得分X的数学期望。 0
3、随机抛掷一个骰子,求所得骰子点数X的数学 3.5 期望E(X)。 4、已知100件产品中有10件次品,求任取5件产 品中次品的数学期望。 0.5

5、射手用手枪进行射击,击中目标就停止, 否则继续射击,他射中目标的概率是0.7,若 枪内只有5颗子弹,求射击次数的期望。 (保留三个有效数字)

?
p

1
0.7

2

3

4

5
0.34

0.3× 0.32× 0.33× 0.7 0.7 0.7

E(?) =1.43

甲、乙两个工人生产同一产品,在相同的条件下,他 们生产100件产品所出的不合格品数分别用X1,X2表示, X1,X2的概率分布下: X1 pk 0 1 2 3 0.6 0.2 0.7 0.1 0.1 0.1

X2 pk

0 1 2 0.5 0.3 0.2

3 0

如何比较甲、乙两个工人的技术?

E(X1)=0×0.6+1×0.2+2×0.1+3×0.1=0.7
E(X2)=0×0.5+1×0.3+2×0.2+3×0=0.7

一组数据的方差的概念:设 在一组数据 x1 , x 2 ,…, x n 中, 各数据与它们的平均值 x 得差的
( x1 ? x ) 2 , ( x 2 ? x ) 2 ,…, 平方分别是
( xn ? x )
2

,那么
n

S2 ?

1 n

( x1 ? x ) 2 + ( x 2 ? x ) 2 [

+…+ ( x

? x )2

]

叫做这组数据的方差

二、离散型随机变量的方差与标准差 对于离散型随机变量X的概率分布如下表, X P x1 p1 x2 p2 … … xn pn

设μ=E(X),则(xi-μ)2描述了xi(i=1,2,...,n)相对于均 值μ的偏离程度,故 (x1-μ)2 p1+ (x2-μ)2 p2+...+ (xn-μ)2pn (其中pi≥0,i=1,2,…,n;p1+p2+…+pn=1) 称为离散型随机变量X的方差,记为V(X)或σ2 离散型随机变量X的标准差:σ=
V(X )

甲、乙两个工人生产同一产品,在相同的条件下,他 们生产100件产品所出的不合格品数分别用X1,X2表示, X1,X2的概率分布下: X1 pk 0 1 2 3 0.6 0.2 0.1 0.1

X2 pk

0 1 2 0.5 0.3 0.2

3 0

如何比较甲、乙两个工人的技术? V(X1)=0.6×(0-0.7)2+0.2×(1-0.7)2+0.1×(2-0.7)2 +0.1×(3-0.7)2=1.01 V(X2)=0.5×(0-0.7)2+0.3×(1-0.7)2+0.2×(2-0.7)2 +0×(3-0.7)2=0.61 乙的技术稳定性较好

例. X P

设随机变量X的分布列为 1
1 n

2
1 n

… …

n
1 n

求 V (X)
E(X)= V(X)=
n i ?1
n

n2 ? 1 1 n ?1 2 1 (k ? )? ? ? [( n ? 1)2 ? 4k ( n ? 1) ? 4k 2 ] ? 12 n k ?1 2 4n k ?1
n

1 n ?1 n (1+2+...+n)= 2

2 ? ? ( x i ? ? ) 2 pi ? ? ( x i pi ? 2 ?x i pi ? ? 2 pi ) ? ? x i pi ? ? V(X) 2 2 i ?1 i ?1

n

n



V(X)=

n( n ? 1)( 2n ? 1) 1 n ? 1 2 n2 ? 1 ?( ) ? 6 n 2 12

考察0-1分布
X P 0 1- p 1 p E(X)=0×(1-p)+1×p =p

方差V(X)=(0-p)2(1-p)+(1-p)2×p=p(1-p) 标准差σ= V ( X ) ?
p(1 ? p )

nM ( N ? M )( N ? n) 若X~H(n,M,N) 则V(X)= N 2 ( N ? 1)

若X~B(n,p)

则V(X)=np(1-p)

设事件 A 发生的概率为p,证明事件A 在一次试验中发生次数ξ的方差不超过 1/4
4.证明:因为ξ 所有可能取的值为 0,1 且 P(ξ =0)=1-p,P(ξ =1)=p, 所以,Eξ =0×(1-p)+1×p=p 则
2
王新敞
奎屯 新疆

D ξ = ( 0-p ) ×(1-p)+(1-p) ×p=p(1-p)
2

2

1 ? p ? (1 ? p) ? ?? ? ? 2 4 ? ?

练习

P70 1

2

P71 5

8


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