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3.1.2用二分法求方程的近似解1


3.1.2 用二分法求方程的近似解

知识回顾
1. 对于函数y=f(x),我们把使函数f(x)=0 的实数x叫做函数y=f(x)的零点. 2. 方程 f(x)=0有实根 ?函数y=f(x)的图象与x轴有交点.

?函数y=f(x)有零点.

3. 零点存在定理: 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图

象是连续 不断的一条曲线,并且有 f(a)· f(b)<0,那么函 数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈ (a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0 的根.

问题提出 由零点存在定理,函数 f(x)=lnx+2x-6 在区间(2,3)内有零点,那么如何找出 这个零点?





思考1:有16枚金币,其中有15个金币质量 相等,另有一个小球稍重,用天平称几次 就可以找出这个稍重的金币?

模拟实验

16枚金币中有 一枚略轻,是假 币

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哦,找到 了啊!

通过这个小实验,你能想到什么 样的方法缩小零点所在的范围呢?

对比探究
在16枚金币中有一枚 较轻 将金币等分成两份,金 币在其中一份 函数在区间(a,b)有 零点. 将区间等分成两个,零 点在其中一个 计算中间函数值判断哪个 区间端点函数值异号 零点在端点函数值异号的 区间

天平称重判断哪一份 较轻
金币在较轻一份

将范围缩小到8枚金币

将区间长度缩小到

a ? b 2

运用总结 思考2:怎样计算函数 f(x)=lnx+2x-6 在区间(2, 3)内精确到0.01的零点近似值?
区间(a,b) 中点值m f(m)的近 似值 |a-b|的值

(2,3) (2.5,3) (2.5,2.75) (2.5,2.625) (2.5,2.562 5) (2.531 25,2.562 5) (2.531 25,2.546 875) (2.531 25,2.539 062 5)

2.5 2.75 2.625 2.562 5 2.531 25 2.546 875 2.539 062 5 2.535 156 25

-0.084 0.512 0.215 0.066 -0.009 0.029 0.01 0.001

1 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.03125 0.015625 0.007813

二 分 法

对于在区间[a,b]上连续不断且 f(a)·f(b)<0的函数y=f(x),通过不断

地把函数f(x)的零点所在的区间一分为
二,使区间的两个端点逐步逼近零点,

进而得到零点近似值的方法叫做二分法.

用二分法求函数零点近似值的步骤
1.确定区间[a,b],使 f ( a) f ( b )<0,给定精 确度ε; 2.求区间(a,b)的中点 c ; 3.计算 f ( c) ,

(1)若f(c)=0 ,则 c 就是函数的零点; (2)若f (a) f (c)<0 ,则零点x0∈(a,c),并令b=c ;
(3)若f (c) f (b)<0 ,则零点x0∈(c,b),并令a=c ; 4.判断是否达到精 确度ε:即若|a-b|<ε,则得 到零点的近似值a(或b),否则重复2~4.

用二分法求方程 2 x ? 3x ? 7 的近 似解(精确到0.1).
例1

求方程 log 3 x ? x ? 3 的实根个数及 其大致所在区间.
例2

课堂练习

P91 练习

第1,2题 第1题

P92 习题3.1A组

课后作业

P92习题3.1A组: 第3,4,5题


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