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山东省潍坊市四县一校2013届高三11月期中联考(数学文)


2012-2013 学年度第一学段模块监测

高三数学(文科)

2012.11

本试卷共 4 页,分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题目)两部分,共 150 分,考试 时间 120 分钟.

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

注意事项: 1.答第Ⅰ卷前,考

生务必将自己的姓名、准备考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2.每题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦 干净后,再改涂在其它答案标号. 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.设集合 A ? {m ? Z | ?3 ? m ? 2}, B ? {n ? N | ?1 ? n ? 3} ,则 A ? B ? A.{0,1} 【答案】A B.{-1,0,1} C.{0,1,2} D.{-1,0,1,2}

1} 【解析】因为 A ? {m ? Z | ?3 ? m ? 2} ? {?2, 1,0,1} , B ? {0,1, 2,3} ,所以 A ? B ? {0, , ?
选 A. 2.下列命题中的假命题是 A. ?x ? R,2
x ?1

?0

B. ?x ? R, lg x ? 1 D. ?x ? R, tan x ? 2

C. ?x ? R, x ? 0
2

【答案】C 【解析】 ?x ? R, x ? 0 ,所以 C 为假命题.
2

3.已知条件 p : x ? 1 ,条件 q : A.充分不必要条件 C.充要条件 【答案】B 【解析】由

1 ? 1 ,则 p 是 ?q 成立的 x
B.必要不充分条件 D.既非充分也非必要条件

1 ? 1 得, x ? 0 或 x ? 1 ,所以 ?q : 0 ? x ? 1 ,所以 p 是 ?q 成立的必要不充分 x

条件,选 B. 4.将函数 y ? sin 2 x 的图象向右平移 解析式为 A. y ? sin(2 x ?

? 个单位,再向上平移 1 个单位,所得函数图象对应的 4
2

?
4

) ?1

B. y ? 2 cos x

-1-

C. y ? 2 sin x
2

D. y ? ? cos 2 x

【答案】C 【 解 析 】 函 数

y ? s i2 xn 的 图 象 向 右 平 移

y ?s i n ?2 ( x ? 4

?

x)?

?
2

? 4

个 单 位 得 到

s? ? n ( x 2 i
2

,再向上平移 1 个单位,所得函数图象对应的解析
2

)

c o s 2

式为 y ? ? cos 2 x ? 1 ? ?(1 ? 2sin x) ? 1 ? 2sin x ,选 C.

5.已知 log 7 [log 3 (log 2 x)] ? 0 ,那么 x A.

?

1 2

等于

1 3

B.

3 6

C.

3 3

D.

2 4

【答案】D 【解析】由 log 7 [log 3 (log 2 x)] ? 0 ,得 log3 (log 2 x) ? 1 ,即 log2 x ? 3 ,解得 x ? 8 ,所以
? 1 2

x

?8

?

1 2

?

1 1 2 ? ? 4 ,选 D. 8 2 2

6.设等比数列 ?a n ? 中,前 n 项和为 S n ,已知 S3 ? 8,S6 ? 7 ,则 a7 ? a8 ? a9 ? A.

1 8

B. ?

1 8

C.

57 8

D.

55 8

【答案】A 【 解 析 】 因 为 a7 ? a8 ? a9 ? S9 ? S6 在 等 比 数 列 中 S3 , S6 ? S3 , S9 ? S6 也 成 等 比 , 即 ,

1 8,1, S9 ? S6 成等比,所以有 8( S9 ? S6 ) ? 1 ,即 S9 ? S6 ? 8 ,选 A.
7.设 a
1 ? 0.5 2 , b 1 ? 0.9 4 , c

? log5 0.3 ,则 a, b, c 的大小关系是
C. a ? b ? c D. b ? a ? c

A. a ? c ? b 【答案】D
1

B. c ? a ? b
1 1

g0 l . 【解析】 ? 0.52 ? 0.254 , b ? 0.9 4 , 所以根据幂函数的性质知 b ? a ? 0 , c ? o 3 5 0 而 a
所以 b ? a ? c ,选 D. 8.函数 y ?

? ,

x ? sin x 的图象大致是 3

-2-

【答案】C 【解析】函数 y ?

x ? sin x 为奇函数,图象关于原点对称,排除 B. 在同一坐标系下做出函数 3

x f ( x) ? , f ( x) ? ? sin x 的 图 象 3

,由图象可知函数

y?

x ? sin x 只有一个零点 0,所以选 C. 3
2

9. ?ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a, b, c, a sin A sin B ? b cos A ? 3a ,则 A. 2 【答案】B 【解析】根据正弦定理可知 a sin A sin B ? b cos2 A ? b sin 2 A ? b cos2 A ? b ,即 b ? 所以 B. 3 C. 2 2 D. 2 3

b ? a

3a ,

b ? 3 ,选 B. a
?log 2 x, x ? 0 ? ? ?
2

10.若函数 f ( x) ? ?log (? x), x ? 0 ,若 af (?a) ? 0 ,则实数 a 的取值范围是 1 A. ? 1,0)(0,1 ( ? ) C. ? 1,0)( , ?) ( ?1? 【答案】A 【解析】若 a ? 0 ,则由 af (?a) ? 0 得, a log 1 a ? 0 ,解得 0 ? a ? 1 ,若 a ? 0 ,则由
2

B. ? ?, 1 ? 1 ? ?) ( ? )( , D. ? ?, 1 ? 0,1 ( ? )( )

af (?a) ? 0 得, a log 2 (?a) ? 0 ,即 log2 (?a ) ? 0 解得 0 ? ?a ? 1 ,所以 ?1 ? a ? 0 ,综上

0 ? a ? 1或 ?1 ? a ? 0 ,选 A.

-3-

11.已知 x0 是 f ( x) ? ( ) x ? A. f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? 0 C. f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? 0 【答案】C

1 2

1 的一个零点, x1 ? (??, x0 ), x2 ? ( x0 ,0) ,则 x
B. f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? 0 D. f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? 0

【 解 析 】 在 同 一 坐 标 系 下 做 出 函 数 f ( x) ? ( ) x , f ( x) ? ?

1 2

1 的 图 象 , x

由图象可知当 x ? (??, x0 ) 时, ( ) ? ?
x

1 2

1 , x ? ( x0 , 0) x

1 ,所以当 x1 ? (??, x0 ), x2 ? ( x0 ,0) ,有 f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? 0 ,选 C. x 1 n 12.已知 {an } 中 an ? ( ) ,把数列 ?a n ? 的各项排列成如下的三角形状, 3
时, ( ) ? ?
x

1 2

记 A(m, n) 表示第 m 行的第 n 个数,则 A( ,12) = 10 A. ) (

1 3

93

B. ) (

1 3

92

C. ) (

1 3

94

D. ) (

1 3

112

【答案】A 【解析】前 9 行共有 1 ? 3 ? 5 ? ? ? 17 ?

(1 ? 17) ? 9 为数列中的第 10 ? 81 项,所以 A( ,12) 2

1 81 ? 12 ? 93 项,所以 a93 ? ( )93 ,选 A. 3

第Ⅱ卷
13.若角 ?、? 满足 ?

(非选择题

共 90 分)
.

二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分.

?
2

? ? ? ? ? ? ,则 ? ? ? 的取值范围是

-4-

【答案】 ? (

3? , 0) 2

?
【解析】 由 所以 ?

?
2

?? ? ? ??

知, 2

?

?

?? ??

, 2

?

?

? ? ??

? , ? ??, 且 所以 ?? ? ? ? ? ,
2

3? 3? 3? 3? 且 ,所以 ? ( 0) ?? ?? ? ? ? ? ? ? 0 ,即 ? , . ? ?? ?0 2 2 2 2
.

? x ? y ? 1 ? 0, ? x?2 y 14.若实数 x, y 满足 ? x ? y ? 0, ,则 z ? 3 的值域是 ? x ? 0, ?
【答案】 [1,9]

【解析】令 t ? x ? 2 y ,则 y ? ? 平移直线 y ? ?

1 t x ? ,做出可行域 2 2



1 x ,由图象知当直线经过 O 点是, t 最小,当经过点 D(0,1) 时, t 最大,所 2
x?2 y

以 0 ? t ? 2 ,所以 1 ? z ? 9 ,即 z ? 3

的值域是 [1,9] .
x

15.已知奇函数 f (x) 满足 f ( x ? 2) ? ? f ( x) ,且当 x ? (0,1) 时, f ( x) ? 2 ,则 f ( ) 的值 为 【答案】 ? 2 【 解 析 】 由 f ( x ? 2) ? ? f ( x) 得 f ( x ? 4) ? f ( x) , 所 以 f (x) 周 期 是 4 , 所 以
1 7 7 1 1 1 f ( ) ? f ( ? 4) ? f (? ) ? ? f ( ) ,又当 x ? (0,1) 时, f ( x) ? 2 x ,所以 f ( ) ? 2 2 ? 2 , 2 2 2 2 2

7 2

所以 f ( ) ? ? 2 .

7 2

-5-

16.已知函数 f (x) 的定义域[-1,5] ,部分对应值如表, f (x) 的导函数 y ? f ' ( x) 的图象如 图所示, x F(x) -1 1 0 2 2 1.5 4 2 5 1

下列关于函数 f (x) 的命题; ①函数 f (x) 的值域为[1,2] ; ②函数 f (x) 在[0,2]上是减函数 ③如果当 x ?[?1, t ] 时, f (x) 的最大值是 2,那么 t 的最大值为 4; ④当 1 ? a ? 2 时,函数 y ? f ( x) ? a 最多有 4 个零点. 其中正确命题的序号是 【答案】①②④ .

【解析】由导数图象可知,当 ? 1 ? x ? 0 或 2 ? x ? 4 时, f ' ( x) ? 0 ,函数单调递增,当

0 ? x ? 2 或 4 ? x ? 5 , f ' ( x) ? 0 ,函数单调递减,当 x ? 0 和 x ? 4 ,函数取得极大值
f (0) ? 2 , f (4) ? 2 ,当 x ? 2 时,函数取得极小值 f (2) ,,又 f (?1) ? f(5) ? ,所以函数 1
的最大值为 2,最小值为 1,值域为 [1, 2] ,①正确;②正确;因为在当 x ? 0 和 x ? 4 ,函数 取得极大值 f (0) ? 2 , f (4) ? 2 ,要使当 x ? [?1, t ] 函数 f (x) 的最大值是 4,当 2 ? t ? 5 , 所以 t 的最大值为 5,所以③不正确;由 f ( x) ? a 知,因为极小值 f (2) ? 1.5 ,极大值为

f (0) ? f (4)? 2,所以当 1 ? a ? 2 时, y ? f ( x) ? a 最多有 4 个零点,所以④正确,所以真
命题的序号为①②④. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17(本小题满分 12 分)

?ABC 中,内角 A、B、C 成等差数列,其对边 a,b,c 满足 2b2 ? 3ac ,求 A.

-6-

18.(本小题满分 12 分) 函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, | ? |? (Ⅰ)求 f (x) 的最小正周期及解析式; (Ⅱ)设 g ( x) ? f ( x) ? cos 2 x ,求函数 g (x) 在区间 [0, 19(本小题满分 12 分) 已知集合 M ? {x | x( x ? a ? 1) ? 0(a ? R)}, N ? {x | x ? 2 x ? 3 ? 0} ,若 M ? N ? N ,
2

?
2

) 的部分图象如图所示.

?
2

] 上的最小值.

求实数 a 的取值范围. 20.(本小题满分 12 分) 已知各项均为正数的数列 ?a n ? 前 n 项和为 S n ,首项为 a1 ,且 (Ⅰ)求数列 ?a n ? 的通项公式; (Ⅱ)若 an ? ( ) n ,设 cn ?
2 b

1 , an , S n 等差数列. 2

1 2

bn ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn . an

21(本小题满分 12 分) 某产品原来的成本为 1000 元/件,售价为 1200 元/件,年销售量为 1 万件,由于市场饱 .. 和,顾客要求提高,公司计划投入资金进行产品升级,据市场调查,若投入 x 万元,每件产 .. 品的成本将降低

3x 2 元,在售价不变的情况下,年销售量将减少 万件,按上述方式进行产品 4 x ..

升级和销售,扣除产品升级资金后的纯利润记为 f (x) (单位:万元)(纯利润=每件的利润 .. , ×年销售量-投入的成本) (Ⅰ)求 f (x) 的函数解析式; (Ⅱ)求 f (x) 的最大值,以及 f (x) 取得最大值时 x 的值. 22.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? (a ? 2) x ? ln x.
2

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f (x) 在点 1, f (1)) 处的切线方程; ( (Ⅱ)当 a ? 0 时,若 f (x) 在区间 [1, e] 上的最小值为-2,求 a 的取值范围;

-7-

(Ⅲ)若对任意 x1 , x2 ? (0,??), x1 ? x2 ,且 f ( x1 ) ? 2 x1 ? f ( x2 ) ? 2 x2 恒成立,求 a 的取值 范围. 注:以下为附加题,附加题满分为 5 分,附加题得分计入总分,但第Ⅱ卷总分不超过 90 分, 若第Ⅱ卷总分超过 90 分,只按 90 分计. 附加题:23.已证:在 ?ABC 中, a, b, c 分别是 ?A, ?B, ?C 的对边. 求证:

a b c . ? ? sin A sin B sin C

2012-2013 学年度第一学段模块监测

高三数学(文科)参考答案
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. ACBCD ADCBA CA 二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分. 13. ? (

2012.11

3? , 0) 2

14.[1,9]

15. ? 2

16.①②④

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 解:由 A、B、C 成等差数列可得 2B ? A ? C ,而 A ? B ? C ? ? , 故 3B ? ? ? B ?
2

?

3

且C ?

2? ? A .………………3 分 3
2

而由 2b ? 3ac 与正弦定理可得 2 sin B ? 3 sin A sin C …………5 分

? 2 ? sin 2
所以可得

?
3

? 3 sin(

2? ? A) sin A 3

2?

3 2? 2? ? 3(sin cos A ? cos sin A) sin A ? 3 cos A sin A ? sin 2 A ? 1 ? 4 3 3

3 1 ? cos 2 A ? 1 sin 2 A ? ? 1 ? sin(2 A ? ) ? ,………………9 分 2 2 6 2
由0 ? A?

2? ? ? 7? , ? ? ? 2A ? ? 3 6 6 6

-8-

故 2A ?

?
6

?

?
6

或 2A ?

?
6

?
T 2

5? ? ? ,于是可得到 A ? 或 A ? . ………………12 分 6 2 6
2? ? ? ? ? ,所以 T ? ? .? ? 2 . ………………3 分 3 6 2

18.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由图可得 A ? 1 ? , 当x?

?
6

时, f ( x) ? 1 ,可得 sin(2 ?

?

?| ? |?

?
2

,?? ?

?

6

? ?) ? 1,

.? f ( x) ? sin(2 x ? ) .………………6 分 6 6

?

(Ⅱ) g ( x) ? f ( x) ? cos 2 x ? sin(2 x ?

?

6

) ? cos 2 x ? sin 2 x cos

?
6

? cos 2 x sin

?
6

? cos 2 x

?

3 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin(2 x ? ) . ……………………9 分 2 2 6

?0 ? x ?
当 2x ?

?
2

,? ?

?
6

? 2x ?

?
6

?

?
6

??

?
6

5? . 6
1 . ……………………12 分 2

,即 x ? 0 时, g (x) 有最小值为 ?

19.(本小题满分 12 分) 解:由已知得 N ? ?x | ?1 ? x ? 3?, ………………2 分

?M ? N ? N,

?M ? N .

………………3 分

又 M ? ?x | x( x ? a ? 1) ? 0(a ? R)? ①当 a ? 1? 0 即 a ? ?1 时,集合 M ? ?x | a ? 1 ? x ? 0?. 要使 M ? N 成立,只需 ?1 ? a ? 1 ? 0 ,解得 ? 2 ? a ? ?1 ………………6 分 ②当 a ? 1 ? 0 即 a ? ?1 时, M ? ? ,显然有 M ? N ,所以 a ? ?1 符合……9 分 ③当 a ? 1 ? 0 即 a ? ?1 时,集合 M ? ?x | 0 ? x ? a ? 1?. 要使 M ? N 成立,只需 0 ? a ? 1 ? 3 ,解得 ? 1 ? a ? 2 综上所述,所以 a 的取值范围是[-2,2].…………13 分 20.(本小题满分 12 分) 解(1)由题意知 2an ? S n ? 当 n ? 1 时, 2a1 ? a1 ? ……………………12 分

1 2 1 1 当 n ? 2 时, S n ? 2an ? , S n?1 ? 2an?1 ? 2 2
两式相减得 an ? S n ? S n?1 ? 2an ? 2an?1 ………………3 分

1 , an ? 0 2 1 ? a1 ? 2

………………1 分

-9-

整理得:

an ?2 an ?1

……………………4 分

∴数列 ?a n ? 是以

1 为首项,2 为公比的等比数列. 2 1 an ? a1 ? 2n?1 ? ? 2n?1 ? 2n?2 ……………………5 分 2
2 ? bn

(2) an ? 2

? 22n?4

∴ bn ? 4 ? 2n ,……………………6 分

Cn ?

bn 4 ? 2n 16 ? 8n ? n?2 ? an 2 2n

8 0 ?8 24 ? 8n 16 ? 8n ① ? 2 ? 3 ? ? n?1 ? 2 2 2 2 2n 1 8 0 24 ? 8n 16 ? 8n Tn ? 2 ? 3 ? ? ? ? n?1 ② 2 2 2 2n 2 1 1 1 1 16 ? 8n ①-②得 Tn ? 4 ? 8( 2 ? 3 ? ? ? n ) ? ………………9 分 2 2 2 2 2n?1 1 1 ( ? n?1 ) 1 2 16 ? 8n 2 ? 4 ? 8? 2 ? n ?1 1 2 1? 2 1 16 ? 8n ? 4 ? ( ? n ?1 ) ? n?1 41 2 2 4n ? n .………………………………………………………11 分 2 8n ? Tn ? n . …………………………………………………………………12 分 2 Tn ?
21.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)依题意, 产品升级后,每件的成本为 1000 ? 年销售量为 1?

3x 3x 元,利润为 200 ? 元 4 4

………………2 分,

2 万件 ………………………………………………………………3 分 x 3x 2 纯利润为 f ( x) ? (200 ? )(1 ? ) ? x ………………………………………………5 分, 4 x 400 x ? 198 .5 ? ? (万元) …………………………………………………………7 分 x 4
(Ⅱ) f ( x) ? 198 .5 ?

400 x 400 x ? ? 198 .5 ? 2 ? ? x 4 x 4

……………………9 分,

=178.5 …………………………………………10 分,

- 10 -

等号当且仅当

此时 x ? 40 (万元)…………………………………………12 分. 即 f (x) 的最大值是 178.5 万元,以及 f (x) 取得最大值时 x 的值 40 万元. 22.(本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? x 2 ? 3x ? ln x, f ( x) ? 2 x ? 3 ? 因为 f ' (1) ? 0, f (1) ? ?2 . 所以切线方程是 y ? ?2. …………………………4 分

400 x ? x 4

………………………………11 分,

1 .………………2 分 x

(Ⅱ)函数 f ( x) ? 2ax ? (a ? 2) x ? ln x 的定义域是 0, ?) ………………5 分 ( ? . 当 a ? 0 时, f ' ( x) ? 2ax ? (a ? 2) ?

1 2ax2 ? (a ? 2) x ? 1 ? ( x ? 0) x x

令 f ' ( x) ? 0 ,即 f ' ( x) ? 所以 x ? 当0 ?

2ax2 ? (a ? 2) x ? 1 (2 x ? 1)( ax ? 1) ? ? 0, x x
……………………7 分

1 1 或x? . 2 a

1 ? 1 ,即 a ? 1 时, f (x) 在[1,e]上单调递增, a

所以 f (x) 在[1,e]上的最小值是 f (1) ? ?2 ; 当1 ? 当

1 1 ? e 时, f (x) 在[1,e]上的最小值是 f ( ) ? f (1) ? ?2 ,不合题意; a a

1 ? e 时, f (x) 在(1,e)上单调递减, a

所以 f (x) 在[1,e]上的最小值是 f (e) ? f (1) ? ?2 ,不合题意………………9 分 (Ⅲ)设 g ( x) ? f ( x) ? 2 x ,则 g ( x) ? ax ? ax ? ln x ,
2

只要 g (x) 在 0, ?) ( ? 上单调递增即可.…………………………10 分 而 g ' ( x) ? 2ax ? a ?

1 2ax2 ? ax ? 1 ? x x

当 a ? 0 时, g ' ( x) ?

1 ? 0 ,此时 g (x) 在 0, ?) ( ? 上单调递增;……………………11 分 x
2

当 a ? 0 时,只需 g ' ( x) ? 0 在 0, ?) ( ? 上恒成立,因为 x ? (0,??) ,只要 2ax ? ax ? 1 ? 0 , 则需要 a ? 0 ,………………………………12 分

- 11 -

对于函数 y ? 2ax ? ax ? 1 ,过定点(0,1) ,对称轴 x ?
2

即0 ? a ?8. 综上 0 ? a ? 8 . ………………………………………………14 分 23.(本小题满分 5 分,但Ⅱ卷总分不超过 90 分) 证法一:如图,在 ?ABC 中,过点 B 作 BD ? AC ,垂足为 D ? BD ? BD , ? AB sin A ? BC sin C ,…………………………2 分 即 c ? sin A ? a ? sin C ? 同理可证

1 ? 0 ,只需 ? ? a 2 ? 8a ? 0 , 4

a c , ………………4 分 ? sin A sin C

a b , ? sin A sin B a b c . ……………………5 分 ? ? ? sin A sin B sin C
证法二: 如图,在 ?ABC 中,过点 B 作 BD ? AC ,垂足为 D

sin ?ABC ? sin[180 ? ? ( A ? C )]

? sin(A ? C ) ? sin A cosC ? cos A sin C …………………………2 分

BD CD AD BD ? ? ? AB BC AB BC AB sin A ? AC AC sin A ? ? AB ? BC BC ?

b sin A , ………………………………4 分 a a sin B ? b sin A , a b a c 同理可证 , ? ? ? sin A sin B sin A sin C a b c . ……………………5 分 ? ? ? sin A sin B sin C ?

- 12 -


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