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2013徐汇区中考二模数学试卷


2013 徐汇区二模数学试卷
一、填空题(每小题 3 分,满分 33 分) 1.生物学家发现一种病毒的直径约为 0.000043 米,用科学记数法表示为________米. 2.写出满足方程 x+2y=9 的一对整数值________. 3.如图,△ABC 中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为 D、E,AD、CE 交于点 H,请 你添加一个适当的条件:________

,使△AEH≌△CEB.

4.函数 y=

x-3 中,自变量 x 的取值范围是________. x-4

5.矩形一个角的平分线分矩形一边为 1 cm 和 3 cm 两部分,则这个矩形的面积为 ________ cm . 6.已知一次函数 y=kx+2,请你补充一个条件:________,使 y 随 x 的增大而减小. 7.如图,在⊙O 中,AB、AC 为互相垂直且相等的两条弦,OD⊥AB,OE⊥AC,垂足 分别为 D、E.若 AC=2 cm,则⊙O 的半径为________ cm.
2

8.已知抛物线 y=ax +x+c 与 x 轴交点的横坐标为-1,则 a+c=________.
2

9.五个正整数从小到大排列,若这组数据的中位数是 4,惟一众数是 5,则这五个正整 数的和为________. 10.如图,某同学用一个有 60°角的直角三角板估测学校旗杆 AB 的高度.他将 60° 角的直角边水平放在 1.5 米高的支架 CD 上,三角板的斜边与旗杆的顶点在同一直线上,他 又量得 D、B 的距离为 5 米,则旗杆 AB 的高度约为________米(精确到 1 米, 3 取 1.73) .

11.张大伯从报社以每份 0.4 元的价格购进了 a 份报纸,以每份 0.5 元的价格售出了 b 份报纸,剩余的以每份 0.2 元的价格退回报社,则张大伯卖报收入________元. 二、单项选择题(将正确答案的代号填在题后括号内,每小题 3 分,满分 27 分)

12.下列计算正确的是( ) . A. x +x =2x
2 3 5

B. x

2

? x 3=x 6
3 3

C. (-x3 ) 2=-x 6

D. x ? x =x
6

13.将一长方形纸片按下图的方式折叠,BC、BD 为折痕,则∠CBD 的度数为( ) . A.60° B.75° C.90° D.95°

14.某服装原价为 200 元,连续两次涨价 a%后,售价为 242 元,则 a 的值为( ) . A.5 B.10 C.15 D.20 15.若|a-3|-3+a=0,则 a 的取值范围是( ) . A.a≤3 B.a<3 C.a≥3 D.a>3 16.如图,用 8 块相同的长方形地砖拼成一个矩形,则每个长方形地砖的面积是( ) .

A.200 cm

2

B.300 cm

2

C.600 cm

2

D.2400 cm

2

17.从哈尔滨开往 A 市的特快列车,途中要停靠两个站点.如果任意两站间的票价都 不同,那么有( )种不同的票价. A.4 B.6 C.10 D.12 18.如图,在等边△ABC 中,P 为 BC 上一点,D 为 AC 上一点,且∠APD=60°,BP =1, CD= ,则△ABC 的边长为( A.3 B.4

2 3

) . C.5 D.6

19.平面直角坐标系内,点 A(n,1-n)一定不在( ) . A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 20.如图,⊙O 的直径为 10 cm,弦 AB 为 8 cm,P 是弦 AB 上一点.若 OP 的长为整 数,则满足条件的点 P 有( ) .

A.2 个

B.3 个

C.4 个

D.5 个

三、解答题(满分 60 分) 21. (本题 5 分) 先化简,再求值:

( x-1-

8 x+3 )? 其中 x=3- 2 . x+1 x+1

22. (本题 6 分) 关于 x 的方程 kx +(k+1) x+ =0 有两个不相等的实数根.
2

k 4

(1)求 k 的取值范围; (2)是否存在实数 k,使方程的两个实数根的倒数和等于 0?若存在,求出 k 的值;若 不存在,说明理由. 23. (本题 6 分) 某中学在一次健康知识测试中, 抽取部分学生成绩 (分数为整数, 满分 100 分) 为样本, 绘制成绩统计图如下,请结合统计图回答下列问题:

(1)本次测试中抽样的学生有多少人? (2)分数在 90.5~100.5 这一组的频率是多少? (3)这次测试成绩的众数落在哪个小组内? (4)若这次测试成绩 80 分以上(含 80 分)为优秀,则优秀率不低于多少? 24. (本题 8 分) 为美化环境, 计划在某小区内用 30 平方米的草皮铺设一块边长为 10 米的等腰三角形绿 地,请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长. 25. (本题 8 分) 某空军加油飞机接到命令, 立即给另一架正在飞行的运输飞机进行空中加油. 在加油过 程中,设运输飞机的油箱余油量为 Q1 吨,加油飞机的加油油箱余油量为 Q2 吨,加油时间为 t 分钟, Q1 、 Q2 与 t 之间的函数图象如图所示,结合图象回答下列问题:

(1)加油飞机的加油油箱中装载了多少吨油?将这些油全部加给运输飞机需多少分钟? (2)求加油过程中,运输飞机的余油量 Q1 (吨)与时间 t(分钟)的函数关系式; (3)运输飞机加完油后,以原速继续飞行,需 10 小时到达目的地,油料是否够用?说 明理由. 26. (本题 9 分) 已知:如图 1,BD、CE 分别是△ABC 的外角平分线,过点 A 作 AF⊥BD,AG⊥CE, 垂足分别为 F、 连结 FG, G, 延长 AF、 AG, 与直线 BC 相交, 易证 FG = ( AB +BC +AC ) .

1 2

图1 若(1)BD、CE 分别是△ABC 的内角平分线(图 2)(2)BD 为△ABC 的内角平分线, ; CE 为△ABC 的外角平分线(图 3) ,则在图 2、图 3 两种情况下,线段 FG 与△ABC 三边又 有怎样的数量关系?请写出你的猜想,并对其中的一种情况给予证明.

图2

图3 27. (本题 9 分) 为了保护环境,某企业决定购买 10 台污水处理设备.现有 A、B 两种型号的设备,其 中每台的价格、月处理污水量及年消耗费如下表: A型 价格(万元/台) 处理污水量(吨/月) 年消耗费(万元/台) 12 240 1 B型 10 200 1

经预算,该企业购买设备的资金不高于 105 万元.

(1)请你设计该企业有几种购买方案; (2)若企业每月产生的污水量为 2040 吨,为了节约资金,应选择哪种购买方案; (3)在第(2)问的条件下,若每台设备的使用年限为 10 年,污水厂处理污水费为每 吨 10 元,请你计算,该企业自己处理污水与将污水排到污水厂处理相比较,10 年节约资金 多少万元?(注:企业处理污水的费用包括购买设备的资金和消耗费) 28. (本题 9 分) 已知:如图,直角坐标系内的梯形 AOBC,AC∥OB,AC、OB 的长分别是关于 x 的方 程 x 2-6mx+m 2 ? 4=0 的两根,并且 S?AOC : S?BOC= : 5 . 1

(1)求 AC、OB 的长; (2)当 BC⊥OC 时,求 OC 的长及 OC 所在直线的解析式; (3)在第(2)问的条件下,线段 OC 上是否存在一点 M,过 M 点作 x 轴的平行线, 交 y 轴于 F, BC 于 D, D 点作 y 轴的平行线, x 轴于 E, S 矩形FOD = S 梯形AOC ? 交 过 交 使 E B 若存在,请直接写出 M 点的坐标;若不存在,说明理由.

1 2

参考答案 一、填空题(每小题 3 分,满分 33 分) 1. 4.3 ?10
-5

2.x=1,y=4 等(只要符合要求即可) 3.AH=CB 等(只要符合

要求即可) 4.x≥3 且 x≠4 5.4 或 12 6.K=-3 等(写不等式或其他条件,符合要 求即可) 7. 2 8.1 9.17 或 18 或 19 10.10 11. (0.3b-0.2a)

二、单项选择题(每小题 3 分,满分 27 分) 12.D 13.C 14.B 15.A 16.B 17.B 18.A 19.C 20.D 三、解答题(满分 60 分) 21. (本题 5 分)

x 2-1 8 x+3 - )? 解:原式=( ……………………………………………………1 分 x+1 x+1 x+1 = x 2-9 x+1 ? ………………………………………………………………1 分 x+1 x+3

=x-3.………………………………………………………………………2 分 当 x=3- 2 时,原式=3- 2-3=- 2 .…………………………………………1 分 22. (本题 6 分) 解: (1)由题意知, K≠0,且 ?=(k+1) -4k ? >0 .……………………………………………………2 分
2

k 4



1 k>- 且 K≠0.………………………………………………………………… 1 分 2

(2)不存在.……………………………………………………………………………1 分 设方程的两个根是 x1 , x2 . ∵

1 x1 x2= ? 0 ,∴ 4

1 1 x +x + = 1 2 =0 . x1 x2 x1 x2

∴ ∵

x1+x2=0 .
x1+x2=-

k+1 ,…………………………………………………………………1 分 k 1 ∴ k+1=0, k=-1<- .…………………………………………………………1 分 2
∴ 满足条件的实数 K 不存在. 23. (本题 6 分) 解: (1)2+3+4+41=50(人) .…………………………………………………… 1 分 (2) 频率=

频数 4 = =0.08 .……………………………………………………1 分 总数 50

(3)众数落在 80.5~90.5 这一小组内.………………………………………………2 分 (4)这次测试成绩的优秀率不低于 90%.……………………………………………2 分 24. (本题 8 分) 解:分三种情况计算.不妨设 AB=10 米,过点 C 作 CD⊥AB,垂足为 D.

1 S ?ABC= AB ? CD ,CD=6(米) .……………………………………………………1 分 2
(1)当 AB 为底边时,AD=DB=5(米) (如图 1) , .……………………………………………………2 分 AC=BC= 62+52= 61(米)

图1 (2)当 AB 为腰且三角形为锐角三角形时(如图 2) , AB=AC=10(米) ,………………………………………………………………………1 分 ,BD=29(米) ,………………………………………1 分 AD= AC2-CD2= (米) 8

.…………………………………………………………1 分 BC= 62+22=2 10 (米)

图2 (3)当 AB 为腰且三角形为钝角三角形时(如图 3) , AB=BC=10(米) ,………………………………………………………………………1 分 .………………………………………………………1 分 AC ? 62 ?182 ? 6 10 (米)

图3 25. (本题 8 分) 解: (1)由图象知,加油飞机的加油油箱中装载了 30 吨油,………………………1 分 全部加给运输飞机需 10 分钟.…………………………………………………………1 分 (2)设 Q1=kt+b ,把(0,40)和(10,69)代入,得

?40=b, …………………………………………………………………………… 1 分 ? 10 ?69= k+b.
解方程组得 ? ∴

?k=2.9, ……………………………………………………………………1 分 ?b=40.

.……………………………………………………2 分 Q1=2.9t+40 (0≤t≤10)

(3)根据图象可知运输飞机的耗油量为每分钟 0.1 吨.……………………………1 分 ∴ 10 小时耗油量为: 10×60×0.1=60(吨)<69(吨) . ∴ 油料够用.…………………………………………………………………………1 分 26. (本题 9 分) 猜想结果:图中结论 FG ?

1 ( AB +AC -BC ) .……………………………………2 分 2

证明:分别延长 AG、AF 交 BC 于 H、K,……………………………………………1 分 易证△BAF≌△BKF,AF=KF,AB=KB.…………………………………………2 分 同理可证,AG=HG,AC=HC, ∴

1 FG = HK .………………………………………………………………………1 分 2 1 FG = ( AB +AC -BC ) . 2

又∵ HK=BK-BH=AB+AC-BC,…………………………………………………1 分 ∴

结论为 FG = ( BC +AC -AB ) ………………………………………………………2 分 如果证明图中结论,可参考上面评分标准给分.

1 2

27. (本题 9 分) 解: (1)设购买污水处理设备 A 型 x 台,则 B 型(10-x)台. 由题意知,12x+10(10-x)≤105.…………………………………………………1 分 x≤2.5.……………………………………………………………………………………1 分 ∵ x 取非负整数,∴ x 可取 0,1,2. ∴ 有三种购买方案:购 A 型 0 台,B 型 10 台;购 A 型 1 台,B 型 9 台;购 A 型 2 台, B 型 8 台.………………………………………………………………………………………1 分 (2)由题意得 240x+200(10-x)≥2040.………………………………………1 分 x≥1,∴ x 为 1 或 2.…………………………………………………………………1 分 当 x=1 时,购买资金为: 12×1+10×9=102(万元) ; 当 x=2 时,购买资金为: 12×2+10×8=104(万元) . ∴ 为了节约资金,应选购 A 型 1 台,B 型 9 台.……………………………………1 分 (3)10 年企业自己处理污水的总资金为: 102+10×10=202(万元) .……………………………………………………………1 分 若将污水排到污水厂处理,10 年所需费用为: 2040×12×10×10=2448000(元)=244.8(万元) .………………………………1 分 244.8-202=42.8(万元) , ∴ 能节约资金 42.8 万元.……………………………………………………………1 分 28. (本题 9 分) 解: (1)∵

S?A O C: S?B O = : 5 ,∴ C 1

AC : OB =1 : 5 .

不妨设 AC=k,OB=5k.……………………………………………………………1 分 由题意得 ?

?k+5k=6m,
2 ?k ? 5k=m +4.

……………………………………………………………1 分

解得 ?

?m=1, ?m= ? 1, 或? (不合题意,舍去) ?k=1 ?k= ? 1.

∴ AC=1,OB=5.………………………………………………………………1 分 (2)∵ ∠OAC=∠BCO=90°,∠ACO=∠BOC, ∴ △OBC∽△COA. ∴ ∴

OB OC 2 = , OC =OB ? AC .……………………………………………1 分 OC AC
.……………………………………………1 分 OC= 5 或 OC=- 5 (舍去)

∵ AC=1,∴ AO=2.∴ C(1,2) .……………………………………… 1 分 ∴ 直线 OC 的解析式为 y=2x.……………………………………………………1 分 (3)存在, M 1 (

1 3 3 ,1) M 2 ( , ) , .……………………………………… 2 分 2 4 2

说明:如果学生有不同于本参考答案的解题方法,只要正确,可参照本评分标准,酌情 给分.


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