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物理竞赛讲义九电磁


磁场讲座(一)
1.磁场具有能量,磁场中单位体积所具有的能量叫做能量密度,其值为 B2/2μ ,式中 B 是 磁感强度,μ 是磁导率,在空气中 μ 为一已知常数。为了近似测得条形磁铁磁极端面附近 的磁感强度 B,一学生用一根端面面积为 A 的条形磁铁吸住一相同 P 面积的铁片 P,再用力将铁片与磁铁拉开一段微小的距离 Δ l,并测 N F 出拉力 F,如图所示。因为 F

所做的功等于间隙中磁场的能量,所 Δl 以由此可得磁感强度 B 与 F、A 之间的关系为 B=____________。

B2 解析:∵ F ? ?l ? ? A ? ?l 2?

∴ B?

2? ? F A

2.沿 x、y 坐标轴分别有电流强度相同的两个无限长直载流导线,两者在坐标原点处彼此绝 缘。试问在 xy 坐标平面第Ⅰ象限上, 磁感应强度相同点的轨迹属于哪一类曲线。 解:沿 x 轴方向的电流在第Ⅰ象限产生的磁场大小为 B1,方向垂直 y xy 平面向外: B1 ? k

I y
I x

y I o I

P (x、 y) x x

沿 y 轴方向的电流在第Ⅰ象限产生的磁场大小为 B1,方向垂直 xy 平面向里: B 2 ? k

设向外为正方向, P 点的合磁场为: B ? B1 ? B2 ? kI ? ?

?1 1? ? ? ? ? y x?
1 1 B ? ? y x kI

若 B 相同,则 B 为常量。故在 xy 坐标平面第Ⅰ象限上,为 B 的点应满足:

?kI ? kIx BkIx BkIx ? ?kI ? ? ?kI ? kI y? ? ? ? ? Bx ? kI B?Bx ? kI ? B?Bx ? kI ? B B?Bx ? kI ?
2 2

为双曲线

3.如图所示,截面为直角三角形的区域内,有一个具有理想边界的方向垂直纸面向里、磁 感强度为 B 的匀强磁场,三角形的区域的 ab=L,θ = 300。一 b v0 个电子从 ab 边界外侧的 ab 边中点处与 ab 成 300 角垂直于磁 300 场方向射入场内,已知电子的电量为 e、质量为 m。为使电子 θ a c 能从 ac 射出,电子入射的速率 v0 应满足什么条件? 解析; 由图可知当轨迹 A 与 ac 相切时为刚好不能从 ac 边飞出 b 的的粒子轨迹。 轨迹 B 相切于 bc 边, 表示刚好能从 bc 边飞出 的的粒子轨迹。 A A BB 设轨迹 A 的圆心为 O1,半径为 R1,轨迹 B 的圆心为 O2, a c 半径为 R2。因 v0 与 ab 成 300 角,故 v0 与 bc 垂直。 在 Δ O1dg 中: ∵ ?dO1 g ? 30
0

b d g

e v0 f
O1 O2 A

B c



L ? R1 ? R1 sin 30 0 2

R1 ?

L 3

在 Δ dbe 中: de ? R2 ?

L 3 cos300 ? L 2 4 vB ? 3q B L 4m
故:

∵ R?

mv qB

∴ vA ?

qBL 3m

qBL ? v0 ? 3m

3qBL 4m

4.如图所示,l1 和 l2 为距离 d=5.0cm 的两平行的虚线,l1 上方和 l2 下方都是垂直纸面向里 的磁感应强度均为 B=0.20T 的匀强磁场,A、C 两点都在 l2 上。质量 m=1.67×10-27kg、电量 q=1.60×10-19C 的质子,从 A 点以 v0=5.0×105m/s 的速度与 l2 成 θ =30? 角斜向上射出,经 过上方向下方的磁场偏转后正好经过 C 点,经过 C 点时速度 B 方向也斜向上。求(结果保留两位有效数字) : l1 v0 (1)质子在磁场中做圆周运动的半径。 θ l2 C (2)A、C 两点间的最短距离。 A (3)质子由 A 运动到 C 的最短时间。
2 v0 解析: )∵ qv0 B ? m (! R

∴ R?

m v0 ? 2.6 ? 10?2 m qB

(2)质子在两虚线之间做匀速运动,与 l1 成 30? 角斜向上进入 l1 上方的磁场区域后作匀速 圆周运动 (既弦切角为 30?) 弦切角所对应的圆心角为 600, , B 既质子在 l1 上方的磁场区域沿逆时针方向做 5/6 周的圆周运 v0 动。 由对称性, 质子又与 l1 成 30? 角斜向下进入两虚线之间, M l1 且与 l2 成 30? 角斜向下进入 l2 下方的磁场区域后作匀速圆周 E F O 运动,弦切角也为 30?,沿逆时针方向做 1/6 周的圆周运动, θ l2 θ A D C N 以后将重复上述的运动过程。 解法一: 由于 EF、 所对的圆心角和圆周轨迹的半径相同, DC ∴ EF ? DC 四边形 EFCD 为平行四边形 ∵ ?FCD ? 30
0

Δ AFC 为等腰三角形

∴ AC ? 2dctg300 ? 10 3m

解法二: AC ? AD ? DC ? AD ? EF ? 2( AN ? MF )

? 2(ON ? ctg300 ? OM ? ctg300 ) ? 2dctg300 ? 10 3 ? 17.3m
(3)质子在磁场中的运动时间为一个周期 T:∵ T ?

5 1 2? ? m T? T? 6 6 qB

质子在两虚线之间的运动时间设为 t0: t 0 ?

AF ? EC 4d ? v0 v0 2? ? m 4d ? ? 7.3 ? 10?7 s qB v0

质子由 A 运动到 C 的最短时间: t ? T ? t 0 ?

5.不计重力的带正电粒子,质量为 m,电量为 q,以速度 v 与 y 轴成 30°角的方向从 y 轴 上的 a 点射入图中第一象限所在区域,为了使该带电粒子能从 x 轴 y 0 30 v 上的 b 点以与 x 轴成 60°的方向射出,可在适当的地方加一个垂直 a 于 xOy 平面、磁感应强度为 B 的匀强磁场,若此磁场仅分布在一个 0 圆形区域内,试求这个圆形磁场区域的最小半径。 O b 60 x 解析:由于题目中 m、v、q、B 为定值,故粒子圆周运动的轨道半 径一定。 过 a 点沿速度方向作直线 ac,过 b 点做速度反方向的延长直线 bc,与 ac 相交于 c 点。 过 c 点做∠acb 的平分线,在∠acb 的平分线取一点,作圆(O/为圆 c f 心)与直线 ac、bc 相交于 e、f 两点,如图所示,弧 ef 即为其运动 y e 轨迹,若使圆形区域最小,该圆形区域的直径即为 ef 。 ∵ ?ecf ? 600 ∴ ?eO/ f ? 1200 a O b
60
0

x

ef ? 2r sin 600 ? 3r ?

3mv qB

磁场半径为: R ?

ef 3m v ? 2 2qB

6.受控热核聚变反应装置中有极高的温度,因而带电粒子将没有通常意义上的容器可装, 而是由磁场约束带电粒子运动将其约束在某个区域, 现简化为如图所示的装置: 有一个截面 内半径 R1=0.5m,外半径 R2=1.0m 的环状区域,区域内有磁感强度为 B=0.1T、垂直纸面向 里的匀强磁场。若被约束的带电粒子的核质比为

q ? 4.0 ? 107 C / kg ,不 m
R1

B

计带电粒子的重力。中空区域内带电粒子具有各个方向的速度,试计算: (1)粒子沿环的半径射入磁场,不能穿越磁场的最大速度? (2)所有粒子不能穿越磁场的最大速度? 解析: (1)粒子从环状区域内测射入磁场其运动情况都是一样的,以从 A 点射入磁场为例。 如图所示,当粒子运动的圆周轨迹恰好与环状区域的外测相切(红圆 v0 轨迹)时半径达最大,此轨迹对应的速度即为临界速度。设半径为 r: 在 Δ AO1O2 中: ( R2 ? r ) ? R ? r
2 2 1 2

R2

A a

R 2 ? R12 r? 2 ? 0.375m 2 R2
v0 A

mv ∵ r? qB

O2 O1

∴ v ? 1.5 ? 10 m / s
7

既当粒子速度方向确定时,粒子轨迹与外测圆相切时,所对应的粒子 速度为此速度方向上粒子不能射出磁场区域的最大速度。 (2)如图所示,当粒子速度方向不确定时,其运动轨迹为粗红圆轨迹 a 时其对应的半径最小,其对应的速度既为粒子不能射出磁场的最大速度。 设半径为 r/: r ?
/

A a

m v/ qB

v / ? 1.0 ? 107 m / s

7.在空间有一垂直纸面向里的足够大、磁感强度为 B 的匀强磁场。一质量为 m、电量为+q 的微粒从静止开始下落,空气阻力不计,求微粒下落的最大高度和最大速度? 解析:由于微粒的初速度为零,故可将速度分解为沿水平方向大小相等、方向相反的速度 v1、v2,如图所示。其中 v1 向右,产生的洛仑 f1 v1 兹力 f1 与重力 mg 平衡, 微粒向右做匀速运动。 v2 f2 mg v2 向左, 产生的洛仑兹力 f2 使微粒做逆时针方 O R 向的匀速圆周运动,此两个分运动互不影响。 vm v2 (因为若没有 v2 和相关的 f2,则 f1、mg、v1 mm 将保持不变;若没有 v1 和相关的 f1、mg,则 v2、f2 也不受影响,故此两个分运动是独立的) 。 故粒子下落的最大高度为圆的直径。 ∵ mg ? qv1 B

R?

mv2 qB

v1 ? v2

∴ v1 ?

mg qB

R?

m2 g q2 B2

hm ? 2

m2 g q2 B2

微粒的合速度为两个分速度的矢量和,由于 v2 的方向是不断变化的,当运动到最低点时, v1、v2 的方向相同,微粒的合速度最大: vm ? v1 ? v2 ? 2v1 ? 2 方向竖直向上,故粒子将向上偏而不做匀速直线运动。 8.如图所示,在空间有一个其方向与水平面平行(且垂直纸面向里)的足够大的匀强磁场 B 的区域。在磁场区域中有 a、b 两点,相距为 S,ab 连线在水平面上 v0 且与 B 垂直。一质量为 m、电量为 q(q>0)的粒子从 a 点以 v0 的初速 a b B 对着 b 点射出,为了使粒子能经过 b 点,试问 v0 可取什么值? 分析: (1)当粒子的速度为 v1 时,若粒子所受的重力 mg 和洛伦兹力 f 大小相等,合力为零,粒子能经过 b 点。 (2)若粒子的速度为 v2,则可将其速度分解为 v1 和 v2/,其中 v1 的含义如上;v2/可与 v1 同向或反向,故粒子的运动可分解为水平方向的匀速运动和以 v2/所做的匀速圆周运动。当 粒子以速度 v1 做匀速运动经时间 t 到达 b 点时,在同样的时间内,粒子以速度 v2/所做的匀 速圆周运动刚好:t=nT(n=1、2??)也一定通过 b 点。 解:∵ mg ? qv1 B 若: v2 ? v1 ? v2
/

mg (此时洛仑兹力 f=2mg, qB

∴ v1 ?

mg qB

v2/必沿水平方向,但可向右也可向左。

对分速度 v1: mg ? qv1 B 对分速度 v2/: T ?

2? ? m ,为使粒子通过 b 点,则: S ? v1nT (n=1、2??) qB

∴ S?

2n? ? m 2 g (n=1、2??) q2 B2
mg 2n? ? m 2 g (n=1、 2??) 则粒子的速度必须以 v1 ? , 射 2 2 qB q B

有以上分析可得: S ? 若

出,才能经过 b 点。 若S ?

2n? ? m 2 g (n=1、2??) ,则粒子以任何速度射出,均可经过 b 点。 q2 B2

9.如图所示,平行金属板长为 L,板间存在正交的匀强电场 E 和匀强磁场 B,质量为 m、 + 电量为+q 的粒子从 O 点以速度 v0 沿 OO /方向射入, 若要粒子从 O + + / / 射出,v0 应为多大?若 v> v0 或 v< v0 粒子是否还可以从 O 射出? O O/ v0 请说明理由。 — — — 解析: (1)∵ Bqv0 ? qE ∴ v0 ? E B f v0 (2)若 v> v0,粒子将向上偏,其运动非常复杂。若将 v 分解为两个同方 向的速度 v1、v2,其中 v1 ? E B , f1 ? Bqv1 且 Bqv1 ? qE 。则粒子将 qE (a)

以 v1 做匀速直线运动;v2= v–v1, f 2 ? Bqv2 ,粒子 做逆时针方向的匀速圆周运动,此两个分运动互不影 响。其合运动的轨迹如图 b 所示。每经过一个周期 f2 f1 v0 (b)

T?

2? ? m 2? mE 粒子沿 v1 的方向前进 s1 ? v1T ? qB qB 2

v2 v1 s1 qE
mm

又回到 OO /直线上,合运动的速度为:v= v1+v2,故只要板长满足 L ? ns1 ? n

2? mE ,且不 qB 2

打到上板,则 v 无论为何值,粒子均可以从 O /射出。 (3)若 v< v0,粒子将向下偏,其运动非常复杂。若将 v 分解为两个反方向的速度 v1、v2, 其中 v1 ? E B 向右,则粒子将以 v1 向右做匀速直线运动;v2= v1–v,粒子做逆时针方向的 匀速圆周运动,其合运动的轨迹如图 c 所示。 f1 v2 f2 mg O R v2 (c) v1 s1 v0

2? ? m 每经过一个周期 T ? 粒子沿 v1 的方向 qB 2? mE 前进 s1 ? v1T ? 又回到 OO /直线上, 合 qB 2
运动的速度为 v,故只要板长满足 L ? ns1 ? n

2? mE ,且不打到上板,则 v 无论为何值, qB 2

粒子均可以从 O /射出。只有 L ? ns1 ? n O /射出。

2? mE 不成立或使粒子打在板上,粒子才不可以从 qB 2

10.如图所示,一对竖直放置的平行金属板长为 L,两板间距为 d,接在电压为 U 的直流电

源上。 在两板间还有与电场方向垂直的匀强磁场, 磁感应强度 B 垂直纸平 面向里。一个质量为 m、电量为 q(q>0)的油滴,从距离平板上端为 h 高处由静止开始自由下落, 并经两板上端的中央点 P 进入两板之间有电场 和磁场的空间。 设油滴在 P 点所受的电场力和磁场力恰好平衡, 设油滴经 P 点后不断向右极板偏转, 最后经右极板下端边缘的 D 点离开两板之间的 电磁场区域。试求: (1)h 的大小; (2)油滴在 D 点的速度的大小 vD。
2 解: (1)∵ vt2 ? v0 ? 2 gh

h P L

D

∴ vP ?

2gh

油滴在 P 点所受的电场力和磁场力恰好平衡,说明右极板是正极板 ∵ E?

U d

BqvP ? qE

∴ vP ?

E U ? B Bd

h?

U2 2 gB2 d 2

(2)油滴在两板间运动的过程中,由动能定理:

1 1 1 2 2 mv D ? mv P ? mgL ? qU 2 2 2
将 vP ?

(或:

1 2 1 mv D ? mg (h ? L) ? qU ) 2 2

U U2 qU 代入上式: v D ? 2 gL ? 2 2 ? Bd m B d

0.33 18、质量为 m 的带电小球,从固定在地面上的半径为 R 的光滑半圆轨道顶处由静止开 始沿逆时针方向滑下。 B × (1)若整个装置处于磁感强度为 B、方向垂直轨道平面向里的 × R 匀强磁场中,如图所示,且小球始终未离开轨道表面,小球应 × × 带何种电荷?电量至少多少? (2)如果去掉磁场,而其它条件不变,小球会在什么地方 离开轨道? 解析: (1)小球沿半球表面滑下至最低点的过程受重力、支持

mgR ?
力,洛仑兹力这三个力的作用,但只有重力做功,机械能守恒: 设小球下滑至最低点时的速度为 v,则 在最低点有:

1 mv 2 2

v ? 2gR ??①

QvB ? N ? m

v2 R

由①知小球在最低点的速度 v 是一定的,要使 Q 最小,则必须 N =0 ,设此时的油滴电 量为 Q0

v2 Q0 vB ? m R ?? ② 即
联解①、②得带电量至少为 (2 分) 小球带正电 (1 分) (2)设小球在与过圆心的竖直半径成θ 角处离开球面,此刻速度为 v1

Q0 ?

m 2 gR BR

则在此处有: 小球在离开球面处有 N = 0?? ②

m g cos? ? N ? m

v12 R ??①

(2 分) (1 分)

θ

mg

1 mgR (1 ? cos ? ) ? mv12 2 又据机械能守恒定律 ?③(2 分) 2 2 联解①②③得: cos ? ? 即 ? ? arc cos 3 3 ?1 2 当小球滑至与球心连线与竖直方向成 cos 角的位置时离开轨道 3

磁场讲座(二)
1.如图所示,放在斜面上的一个均匀圆柱体,长 L=0.1m,质量 m=0.25kg,过圆柱体的直 径绕 10 匝线圈。匀强磁场 B=0.5T,竖直向上,整个装置处于匀强磁场中。 B 若线圈平面与斜面平行,则通过线圈的电流强度多大,方向如何时,圆柱体 才不致于沿斜面向下滚动? 解:选圆柱体与斜面的接触点为转轴,则摩擦力、支持力的力矩为零。 若使圆柱体不沿斜面向下滚动,其所受安培力如图所示,电流方向可由 N 左手定则判断,电流方向如图所示。 F × F ? N ? BIL ∵ 2 ? F ? r ? sin ? ? mg ? r ? sin ? F f mg 0.25 ? 10 mg ? ? 2.5( A) ∴ I ? θ 2 NBIL 2 ? 10 ? 0.1 ? 0.5 2.如图所示,在光滑水平桌面上,有两根弯成直角的相同金属棒,它们的 一端均可绕固 定转动轴 O 自由转动,另一端 b 互相接触,组成一个正方形 线框,正方形线框每边长度均为 l,匀强磁场的方向垂直桌面向下。当线框 中通以图示方向的电流 I 时,两金属棒在 b 点的相互 作用力为 f,则此时磁 感强度的大小为_________(不计电流产生的磁场)。 (

2 f / Il )

3.如图所示为电流表的构造,图甲为蹄形磁铁与铁心间磁场的示意图,图乙中 abcd 表示的 是电流计中的通电线圈。ab=cd=1cm,ad=bc=0.9cm,共有 50 匝,线圈两边所在位置 的磁 感应强度为 0.5T,已知线圈每转 1°,弹簧产生的阻碍线圈偏转的力矩为 2.5×10 8N·m。 (1) 当线圈中电流为 0.6 毫 安时,指针将转过多少度? (2) 如果指针的最大偏转角 为 90°, 则这只电流计量程 是多少?? (3)当指针偏转角为 40° 甲 乙 角时, 通入线圈的电流多大? 解析: (1)M1=NBI1S=1.35×10-6N·m θ 1=54°? -3 (2)Imax=Mmax/NBS=1×10 (A)=1.0(mA)? (3)I2=M2/NBS=0.44×10-3(A)=0.44(mA)

附:如图所示,将两个完全相同的电流表连接起来,当其中一个电流表的指针发生偏转如图 所示时, 另一个 电流表的指针 × N N N S S S 是否发生偏转, N ?S 若发生偏转将 如何偏转? 4.如图所示,在空间有匀强磁场,磁感应强度的方向垂直纸面向里,大小为 B。在图中纸 平面上有一长为 h 的光滑绝缘空心细管 MN, 管内 M 端有一质量为 m、 电量 × × × × N B 为 q(q>0)的小球 P,开始时小球 P 相对管静止,管带着小球 P 沿垂直于 × × × × v 管长度的方向以恒定速度 v 向图中右方运动。 设重力及其它阻力均可忽略不 × × × × 计。试求(1)小球 P 从管的另一端 N 离开管后,在磁场中作圆周运动的圆 M 半径 R; (2)小球 P 从管的 M 端到 N 端的过程中,管壁对小球做的功是多 × × × × 少? 分析:开始时小球 P 相对管静止,管带着小球 P 沿垂直于管长度的方向以恒定速度 v 向右 运动时,在洛伦兹力的作用下向上做加速运动,即小球既有向右的速度 v,又有向上的速度 u,此时小球所受的洛伦兹力包括两部分,与速度 v 垂直向上的洛伦兹力 f1 和与速度 u 垂直 向左的洛伦兹力 f2,洛伦兹力 f1 不变,洛伦兹力 f2 大小随 u 的增大而增大,但方向始终与 管壁垂直,与管壁的弹力的合力始终为零,故小球向上做匀加速运动。 (小球做速度 v 与速 度 u 的合运动;匀速运动和匀加速运动的合运动) 解: (1)∵ f1 ? qvB ? ma
2 vt2 ? v0 ? 2gh ∴ a ?

qvB m

小球到达 N 端时竖直向上的速度: v1 ?

2ah ?

2qvBh m

小球到达 N 端时的速度为: v N ?

? 2qBh ? ? v12 ? v 2 ? ? ? m v ? 1 ?v ? ?

∵ Bqv ? m

v2 R

∴ R?

m vN ? 2qBh ? m v ?? ? 1? ? qB qB ? m v ? ?

(2)W=

1 2 1 2 1 mvN ? mv ? mv12 ? Bqvh 2 2 2

5.如图所示,MN 为水平放置的两块平行金属板,间距为 d,两板间的匀强磁场的磁感应强 度为 B,方向垂直纸面向里。已知电源的内阻为 r,滑动变阻器的最 大阻值为 R0,现有一质量为 m、带电量为 e 的电子,从两板左端的 M a E × × × × 中心水平线垂直于磁场射入。求: R P r 0 × v× × × b (1)K 断开时,为使电子恰好沿 1/4 圆弧打在金属板上。电子的 K N 入射速度 v0 应是多大? (2)K 闭合后,将变阻器滑片移至滑动变阻器的中间位置,使电子仍以 v0 射入两平行金 属板内,且恰好做直线运动,电源的电动势应为多大? 解: (1)K 断开时:

∵ Bqv ? m

v2 R

R?

d 2

∴ v0 ?

eBd 2m

(2)电子以 v0 射入两平行金属板内,做直线运动: ∵ Bev0 ? eE

E?

U d

∴ U ? Bdv0

R ? ? 又∵ E ? I ? r ? 0 ? 2 ? ?

U ?

1 IR 0 2

eB 2 d 2 ?R0 ? 2r ? ∴ E? 2m R0

6.如图所示,半径为 R 的匀质细圆环质量为 m,均匀带电,总电量为 Q(Q >0) ,圆环放 在光滑的水平面上, 周围有竖直向上的匀强磁场 B。 今圆环以角速度 ω 绕 B 着通过圆心的竖直轴匀速转动。试求环内因这种转动造成的附加张力。 R 分析:当圆环静止时,因带电,产生电场,在圆环上的电场不为零,故圆 环上的电荷受电场力产生张力,而本题计算的是除电场力之外的因圆环转 动产生的附加张力。 解:在圆环上取一小段圆弧 Δ L: ?L ? R ? 2? 圆环以角速度 ω 匀速转动,在环内形成的电流:I ? 从上向下看,圆环受力如图所示。

Q ? ?Q ? T 2?
T

2α α I F α T

??R ? ?Q F ? BI ?L ? QB ? 2? ? QB ? 2? ?
Ty ? 2T ? s i n ? 2T ? ? ?
向心力: f ? ?m ? ? ? R ? m
2

∴ T ?

??R ?QB ? m? ? 2?

2? ? ? ? 2 ? R ? m ? ? 2 ? R ? Ty ? F 2? ?

7.如图所示,在直径为 d 的圆形区域内存在匀强磁场,磁场方向垂直于圆面指向纸外,圆 面的周界是一刚性的固定圆。一电量为 q,质量为 m 的粒子,从磁场区域 的一条直径 AC 上的 A 点射入磁场, 其速度大小为 v0, 方向与 AC 成 α 角。 A d B C 若此粒子恰好能打在磁场区域圆周上的 D 点,AD 与 AC 的夹角为 β 。求 D 该匀强磁场的磁感应强度 B 的大小。 解析:由于粒子是与刚性的固定圆碰撞,故粒子在磁场中的运动轨迹是 圆心角相等的圆弧,设边界圆弧对应的圆心角为 2i(∠AOO/=i) ,轨迹 O / C 圆弧对应的圆心角为 2θ(∠AO O=θ) ,故: A

? ? i ?? ?

?

2

?? ①(O/不一定在刚性的固定圆上)

O/

D

粒子从射入磁场至最后打在磁场区域圆周上的 D 点,与圆环碰撞的次数为 n(包括最后 打在 D 点上) ,则粒子在磁场中运动轨迹为 n 段圆弧,则:

2n ? i ? k ? ? ? 2?

23 ?? ② ( n、k ? 1、、?? ) (k:为粒子围绕圆环碰撞的圈数)

i?

(n ? k ) ? ?2? ? 2n ? ? ?? ③ 2n d /2 R ? 在 Δ AO/O 中: (R 为轨迹半径) ?? ④ sin ? sin i
代入①式,得: ? ?

k ? ? ? 2? 2n

? (n ? k )? ? 2? ? 2n? ? 2m v0 sin ? ? v 2n ? ? 由 Bqv ? m 和②③④得: B ? R ? k? ? 2? ? qd sin ? ? ? 2n ?
2

物奥指导(四川)P248 页 8.在水平桌面上放置一个半径 R=0.50m 的绝缘圆槽,小球可在槽中滑动。槽的宽度远小于 其半径,如图所示。设小球质量 m=1.0×10-3kg,所带电量 q=+5.0×10-3C,空间存在着方向 B(T) 竖直向下的匀强磁场,磁感应强度的大小随时间的变 2 v 化如图所示。当小球沿逆时针方向(俯视)滑至 A 点 1 B A 时,磁感应强度 B0=0.8T,槽的内外壁均不受压力, 0 1 2 t(s) 当小球经 0.2s 转过一圈再到 A 点时,槽外壁所受的压 -3 力 N=3.0×10 N,求小球滑行这一周的过程中克服摩 擦力所做得功。 解析:小球在槽中作圆周运动的向心力由洛仑磁力与壁对球的弹力的合力提供。 ∵ 第一次经过 A 点时:

qv0 B0 ? m

2 v0 R

v0 ?

qB0 R 5.0 ?10?3 ? 0.8 ? 0.50 ? ? 2.0(m / s) m 1.0 ?10?3 v2 R

第二次经过 A 点时: qvB ? N ? m

又∵

?B ? 1T / s ∴第二次经过 A 点时磁感应强度: ?t ?B B ? B0 ? ? ?t ? 0.8 ? 1.0 ? 0.2 ? 1.0(T ) ?t

将 N=3.0×10-3N、 B=1.0T、 m=1.0×10-3kg、 q=+5.0×10-3C、 R=0.50m 代入上式, v=3.0(m/s) 得: 当正电核沿逆时针方向运动时,磁感应强度随时间增大,所产生的涡旋电场对球做正 功

?B 1 1 2 ? R 2 ? q ? W f ? mv 2 ? mv0 ?t 2 2 ?B 1 1 2 1 Wf ? ? R 2 ? ( mv 2 ? mv0 ) ? 1.0 ? 3.14 ? 0.502 ? 1.0 ?10?3 ? (3.02 ? 2.02 ) ? 1.4 ?10?3 ( J ) ?t 2 2 2
由动能定理: 物奥指导(四川)P246 页 9.如图所示,在螺环的平均半径 R 处有点源 p,由 p 点沿磁力线方向注入孔径角 2? 0 很小 ? ? 2? ?P

(α 0≤1?)的电子束,束中的电子都是经电压 U0 加速后从 p 点发出的。假设 B 的大小为常 数,电子束中各电子间的相互作用可以忽略。 (1)为了使电子束沿环形磁场运动,需另加一个使电子束偏转的均匀磁场 B1,对于环内沿 半径为 R 的圆形轨道运动的一个电子,试计算 B1 的大小。 (2)当电子束沿环形磁场运动时,为了使电子束每绕一圈有四个聚焦点,即如图每绕过

? 2

聚焦一次,B 应有多大?(考虑电子轨道时,可忽略 B1,忽略磁场 B 的弯曲,电子的荷质 比

e ? 1.76 ? 1011 ckg ?1 , U0 ? 3kV , R ? 50mm ) m

解析:为了使电子沿环形磁场运动所加偏转均匀磁场 B1 的作用是使电子沿一定半径做圆周 运动(磁场 B 对电子的作用力为零) ,其向心力为 B1 对电子的洛仑磁力。 当电子束沿环形磁场运动时,由于电子射线的速度 v 与磁力线斜交,所以电子即要以垂直 B 的分速度 v? 在洛仑磁力作用下作圆周运动,运动周期为 T ?

2? m ,又要以平行于 B 的分 qB

速度 v∥沿环形磁场运动。由于夹角很小,故电子的平行分速度 v∥可视为相等,故电子运动 一个周期后将汇聚一次,即聚焦一次。 (1)∵ eU 0 ?

1 2 mv0 2

ev0 B1 ? m

2 v0 R

1 2mv0 1 2 ? 3 ?103 ∴ B1 ? ? ? 3.7 ?10?3 (T ) ?3 11 R e 50 ?10 1.76 ?10

方向垂直环面向外

(2)将电子的速度分解为垂直 B 的分速度 v? 和平行于 B 的分速度 v∥ ∵ ev? B ? m
2 v? r

∴ r?

mv? eB

T?

2? m eB

又∵α 0≤1?,故各电子的平行分速度 v? 可视为相等,即:v∥= v0 cos? ? v0 ∴ 聚焦点的距离: h ? v? ? T ? v0 ? T ?

2eU 0 2? m ? m eB

又∵ h ?

2? R 4

∴ B?

4 2mU 0 ? ? 4B1 ? 1.48 ?10?2 (T ) R e

电磁讲座(一)
1.如右图所示,在通有电流 I 的无限长的直导线旁边放有一导线 ab 与其平行,当长直导线 中向上的电流 I 减小时,导线 ab 两端的电势高低情况是: [ A ]

A.Ua>Ub B.Ua=Ub C.Ua<Ub D.无法确定? 解析:本题仅由无限长导线中电流 I 减小的实际情况,从正面直接着手很难做出判断,但我 们可采用“等效法”加以考虑:因为长直导线中电流 I 减小时,导线 ab 所在处磁场的磁感 应强度减弱,所以我们完全可将电流 I 减小,导线 ab 不动的实际情形等效为电流 I 不变, 而导线 ab 向右平动的情形,则本题由右手定则可立即做出 Ua>Ub 的正确判断。 2.如图所示,把一条形磁铁沿一电阻为 R 的闭合螺线管轴线匀速插入到螺线管的中央(起、 始点位置相同)第一次和第二次所用时间之比 t1: t2=1:2,则两次 线圈中产生的焦耳热之比 Q1:Q2= ________。 (忽略线圈的自感) 解析:虽然两次产生的电流不是稳恒电流,但却为匀速插入,可 等效为磁铁不动,线圈向左匀速运动,作切割磁感线的运动,由于任何一位置的速度都是第 二次的 2 倍,故在同一位置电流 i1 都是 i1 的 2 倍,且 i1、 i2 遵循相同的规律,其有效值:
2 I1=2 I1,故: Q1 : Q2 ? ( I12 Rt) : ( I 2 Rt) ? 2 : 1

3.如图所示,oc 为一绝缘杆,c 端固定着一金属细杆 ab。已知 ac=cb、 ab=oc=R,∠aco=600。此结构整体可饶 o 点在纸面内沿顺时针方向以匀角 速度 ω 转动,设有磁感应强度为 B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场存 在,则 a、b 间的电势差 Uab=Ua–Ub=_________。( ? ? ? R ? B / 2 )
2

c a 600 o B

b ω

解析: U ab ? ? BLv ? ? B ?

R ? ? R 2 ? 3? R 2 ? B ? R2 ? ? ?? ?? ? 2 ? 2 2 ?

4.如图所示,磁感强度为 B 的匀强磁场充满在半径为 R 的圆柱形区域内,其方向与圆柱的 轴平行,其大小以

?B 的速率增加。一根长为 R 的金属棒与磁场方向垂直 ?t

B O b

放在磁场区域内,求金属棒两端的电势差。 解析:可设想在磁场区域内有一个内接正六边形,ab 是其一条边,这样就 a 变成了常见的闭合电路中由于磁通量的变化而产生感应电动势问题。 由对称 性,ab 两断的电势差应为正六边形感应电动势的 1/6。 ∴ U ba ?

1 1 ?B ?B 3 2 ?B E? ? ?S ? ? Soab ? ?R ? 6 6 ?t ?t 4 ?t
b O

若 ab 不在圆的弦上,a 端在圆周上,而 b 端不在圆周上,ab 棒的长 度为 L,如图所示。此时 ab 棒产生的电动势不在等于上题的结果。设想 a α 有三角形回路 Oab,此时由于 Oa、Ob 均沿径向方向,故仍无感应电动 势产生,ab 棒产生的电动势即为三角形回路 Oab 产生的电动势;

U ab ? Eab ?

?B 1 ?B ? SOab ? ? ? RL sin ? ?t 2 ?t

a O

b

? 若导体棒是一段圆弧 ab ,长度仍为 L,如图所示。感应电动势:
?B Ua b ? E a ? ?S b ?t 1 ?B ? RL (微元法求和) O? b ? a 2 ?t

5. (99 全国竞赛)位于竖直平面内的矩形平面导线框 abcd。ab 长为 L1,是水平的,bc 长为 L2,线框的质量为 m,电阻为 R。其下方有一匀强磁场区域,该区域 a b 的上、下边界 PP / 和 QQ /均与 ab 平行,两边界间的距离为 H,H>L2, c d P/ 磁场的磁感应强度为 B,方向与线框平面垂直,如图所示,令线框的 P dc 边从离磁场区域上边界 PP /的距离为 h 处自由下落,已知在线框的 B H dc 边进入磁场以后, 边到达边界 PP /之前的某一时刻线框的速度已 ab 达到这一段的最大值。 问从线框开始下落到 dc 边刚刚到达磁场区域下 Q Q/ 边界 QQ/的过程中,磁场作用于线框的安培力做的总功为多少? 解析:线框达到速度最大值的时刻到 ab 边刚到达边界 PP /的瞬间,线框匀速下落,由能量 守恒得重力的功率等于电功率: ∵ m gvm ?

E2 R

E ? BL1vm

∴ vm ?

m gR ?? ① 2 B 2 L1
1 2 mv m 2

线框从开始下落到 ab 边刚进入磁场区域的过程,由动能定理:

WG ? WF ?

1 2 Mv m ? 0 2

即: mg (h ? L2 ) ? WF ?

?? ②

线框完全进入磁场后,无感应电流产生,无安培力 故安培力做的总功为: WF ?

m3 g 2 R 2 ? mg(h ? L2 ) 4 2B 4 L1

6.如右图所示,半径为 r 的半圆形金属导线处于磁感应强度为 B 的匀强磁场中,磁场方向 垂直于线圈所在的平面,试求导线在下列情况中所产生的感应电动势: B (1)导线在自身所在平面沿垂直于直径 OO /的方向以速度 v 向右匀速平动。 (2)导线从图示位置起,绕直径 OO / 以角速度ω 匀速转动。? 解析: (1)无法直接求出半圆形导线 OO′所产生的感应电动势。我们可设想 用一直导线将 OO′两端连接起来构成一闭合回路(如图),则在向右运动过程中,回路的磁 通量不发生变化, 故整个回路中的感应电动势 E=0,这表明直导线 OO′与半圆形导线切割磁 感线所产生的感应电动势大小相等,方向相反。而由 E1=2Brv,可知 E2=2Brv。? (2)假设用直导线将 OO′连接形成闭合回路,使其以同样的角速度ω 绕 OO′匀速转运, 由于直导线 OO′不切割磁力线,所以在产生应电动势这一点上,半圆形 导线与闭合回路等效,由公式 e=BSω sinω t,又 S= 线中感应电动势 e=

1 π r2,所以半圆形导 2

1 π r2Bω sinω 。 2

7.如图所示,一金属圆环 abc 上套有一质量为 m 的金属球,金属球与半圆环的圆心 O 之间 连接一金属导线,其电阻为 R,圆环的半径为 r,整个装置处在磁感应 b B 强度为 B 的匀强磁场中。 当金属球由金属圆环 abc 的顶端 b 沿圆环无摩 擦下滑至 c 点时速度为 v,求下滑的过程中的感应电动势和所需要的时 a c o 间? 解:∵ E ?

?? ? r 2 ? B ? ?t 4?t

1 ? r2B ? r2B mg ? r ? mv 2 ? E ? I ? ?t ? ? ? ?t 2 4?t 4 R ? ?t

∴ ?t ?

16 ? mgh ? mv 2 / 2 ? R

? 2 B2r 4

E?

16 ? mgh ? mv 2 / 2 ? R 4? r 2 B

8.如图所示,两条平行金属导轨处于匀强磁场中,磁感应强度 B=0.5T,电池电动势 E=2V, 内阻 r=0.5Ω ,保险丝的电阻 R0=0.1Ω ,熔断电流 I0=1A,金属导线 ab b E B 长为 0.5m,电阻 R=0.4Ω ,在外力作用下沿导轨向右匀速运动,导轨 r R0 电阻不计,为了使保险丝不熔断,导线 ab 的速度应多大? a 解析:当 ab 在外力作用下沿导轨向右匀速运动的速度比较小时,ab 产生的电动势较小,则: I ?

E ? BLv ? I0 r ? R0 ? R

v=4m/s

当 ab 在外力作用下沿导轨向右匀速运动的速度比较大时,ab 产生的电动势较小,则:

I?

BLv ? E ? I0 r ? R0 ? R

v/=12m/s

∴ 4m/s <v/<12m/s

9.如图所示, 闭合金属线框 abcd 以速度 v 在磁感强度为 B 的匀强磁场中垂直磁场方向向 右匀速运动, 则线框中是否有感应电流?设导体棒在磁场中做切割磁感线运动时, 两端出现 正、负电荷,此时相当于一个电容器,设等效电容为 C。 B a d 解析:棒的带电量: Q ? CU ? CBLv 棒的带电量随速度的变化而变化: ?Q ? C ? ?U ? CBL ? ?v 电流: I ? c b

?Q ?v ? CBL ? CBLa (a 为闭合金属线框的加速度) ,由于导体棒的分布 ?t ?t

电容极小,故导体棒作变速运动时所产生的电流很小,可忽略不计。 10.长为 L 的导体棒 AB 在水平向里的匀强磁场中由静止开始竖直下落,则下落 t 时间时, 导体棒两端的电势差多大? 解析:导体棒导体的电阻和电感在通常情况下是可以不计的,但电容虽小,但有影响。 设导体棒下落过程中一段很短的时间 ?t 里,金属棒的速度增加了 ?v ,故:

I?


?Q ?E ?v ?v ?C ? C BL ? C BL a (a ? ) ?t ?t ?t ?t

mg ? BLI mg ? CB 2 L2 a m g ? BLI ? m a ∴ a ? ? m m
BLat

∴ a?

mg m ? CB 2 L2

E ? BLv ?

讨论: L=1m, 取通常情况下的较大值如 106T, 取 B 导体棒的介电常素数 ε 取 10-12C2/Nm2 (通常情况下金属均在此数量计上) ,导体的截面积半径为 10-3m,棒的质量为 10-2kg。 则:导体的电容为

C?

?? R 2
L

? 3 ? 10?18 F



B 2 L2 C ? 3 ? 10?4 ?? 1 m

∴ a?

mg ? g 且精度较高。故通常情况下认为导体棒以 g 向下做匀加速运动。 m ? CB 2 L2

11.如图所示,水平放置的平行轨道,左端有电源和开关,右端放置与导轨垂直的导体棒 b ab,整个装置置于竖直向上的匀强磁场中,磁感应强度 B=0.5T。 B 棒长 L=0.2m,导轨距地面的高度为 h=0.8m,棒 ab 的质量 m=4× 3kg,当开关闭合后,棒落地时的水平位移 S=1m。求开 10 关闭合后通过导体 ab 的电量是多少?(g 取 10m/s2) 解:∵ h ?
-

a h s

1 2 gt 2

s ? vt

∴ v?

s g ?s t 2h
∴ BIL ? ?t ? m ? s

∵ F ? BIL

F ? ?t ? mv

Q ? I ? ?t

g 2h

Q?

m g 4 ? 10?3 10 ?s? ? ? 1? ? 0.1(C ) BL 2h 0.5 ? 0.2 2 ? 0.8

12.一半径为 r,电阻为 2Ω 的粗细均匀的环形导线框置于一磁感应强度 B 随时间均匀增加 的匀强磁场中,且 B=10t,求线框中的感生电动势;若将一阻值为 9Ω 的 R 电阻连接于框上半圆上的两点 A、B(连接导线阻值不计) ,如图所示,问 通过 R 的电流多大? A B ?? ?B ? ? S ? 10? ? r 2 解析: E ?

?t

?t

本题中导线框中的电动势是均匀分布在环形框上的,由楞次定律可知:线框内部的感应 电动势是逆时针方向的,对于 A、B 两点若从上半圆考虑,电动势方向为由 B 至 A,若从下 半圆考虑,电动势方向为由 A 至 B,这两个电动势大小相等,故 A、B 两点等势,通过 R 的 电流为零。 13.如图所示,矩形导线框 ABCD 与通有电流强度为 I 的长直导线 MN 位于同一平面内,其 边长 AB=a,AD=b,而 CD 与 MN 间的距离为 R(R>b) 。今使导线框以平行 M A ω D 于 MN 的 CD 边为轴从图示位置开始以角速度ω 匀速转动, 则线框中产生的 I a 感生电流第一次达到最大时的转角α 是: b A.α =90?; (B)α =180?; B.90?<α <180 C N B b b ?1 ?1 C. ? ? cos ; D. 0 ? ? ? cos

R

R

解析:如图所示(红图) ,当α =90?时,AB 边切割磁感线的方向与磁感线并非垂直,电流并 A ?1 b D 非最大值,A 错;如图所示(蓝图)当 ? ? cos 时,AB 边切割 M b

R

r B I α r A/ 可知当 AB 边转至不同位置时,磁感强度通常不同,由 E ? BLv sin ? 可知当 B、L、v 为定 磁感线的方向虽与磁感线垂直,但此处磁场并非最强,由 B ? K 值时,AB 边转至与磁感线垂直时电流有最大值,即当线框从开始转动的过程中,AB 边离 MN 越来越远,磁感强度逐渐减小,当α =90?时,sin900=1 最大,但磁感强度较小,E 并非

最大,C 错;故若使 E 有最大值必须满足磁感强度、sinα 都尽量的大,由于α =0?时,磁感 强度最大,但 v 与 B 垂直,E 最小,综合所述,D 对。 14.如图所示,导线全部为裸导线,半径为 r 的圆内有垂直平面背向读者方向的匀强磁场, 磁感应强度为 B。一根长度大于 2 r 的导线 MN 以速度 v 在圆环上无 M B 摩擦地自左端匀速滑到右端。电路的固定电阻为 R,其余电阻忽略 R 不计。 N 试求:MN 从圆环的左端滑到右端的过程中电阻 R 上的电流平均值 及通过的电量。

2r 解:∵ ?t ? v
∴ I?

?? ?S B ? ? ? r 2 ? ? Brv E? ?B ? ? ?t ?t ?t 2

E ? ? Brv ? R 2R

Q ? I ? ?t ?

? ? Br 2
R

15. 如图所示, 导轨左右两端直导线 Lab=0.6m、 cd=0.3m, L 其电阻分别为 Rab =0.2Ω , cd =0.1 R B Ω ,其它电阻不计。当两导线沿导轨以速度 2m/s 分别相向运动的过 a c 程中,若 C=100pF,B=0.5T,求电容器的带电量? 解:∵ I ?

E1 ? E2 ? 3( A) r1 ? r2

Uc ? E1 ? I ? r1 ? 0

b

d

∴ 电容器不带电

电磁讲座(二)
1.火车头以速率 120km/h 向地磁场西方运动,解释为何一个静止观察者所测得的轮缘各点 相对于点 C(C 点为轮缘与铁轨相接触处)的电势差不同。若轮 A A ― 的直径为 1.6m, 地磁场磁感应强度的水平分量为 1.76×10 5T, 计 v 算最大的电势差,它位于哪两点之间? 解析:火车轮子做无滑动的滚动时,轮子的运动可看成整个轮子 2π r 以速率 v 的平动和轮子饶其中心轴以角速度 ω 的转动。 当轮子以 速率 v 滚动 2π r 的距离时,轮子正好转动一周,所用时间为 2π /ω 。 ∴ v ? ? ? r 即火车的运动速度大小等于轮子边缘的线速率。 轮子边缘各点相对于点 C 的电势差,设轮轴处的电势为零: A1 B 当轮子饶其轴心以角速度 ω 转动时,轮缘上各点的电势均相等:

U A1 ? U C1 ? U B1 ? ? ?

1 B? ? r 2 2

D1

O

B1

当轮子以速率 v 滚动(平移)时,则 A 点的电势比 O 点高,C 点 的电势比 O 点低,B 点的电势与 O 点电势相等。故: U A2 ? Brv

C1

U C2 ? ?B r v U B2 ? 0

其总电势为两种电势的叠加:

U A ? U A1 ? U A2 ?

3 1 1 B r v U C ? U C1 ? U C2 ? ? B r v U B ? U B1 ? U B2 ? B r v 2 2 2

故 A、C 两点的电势差最大: U AC ? U A ? U C ? 2Brv ? 9.4 ?10?4 (V ) 2.如图所示,两匀强磁场 B1、B2。以 x=0 为公界面,一个半径为 R 的圆形框(其平面和两 磁场界面垂直)以速度 v 沿 x 轴掠过界面时,求 E 和 t 的关系。 M B B2 1 解析:对圆形框:不论其左半部分还是右半部分,它们切割磁感线的 v P O 有效长度均为圆形框与界面的交点 M、N 之间的距离。界面将直径分 Q x P 1 1 为两部分, MN 为这两部分的比例中项, 即: MN ? OP ? OQ 。 P N

2

2

以圆形框沿 x 轴掠过界面时为计时的起点,则切割磁感线的有效长度:

L ? 2 vt ? (2R ? vt)
由于圆形框左半部分和右半部分切割磁感线产生的感应电动势方向相反,故:

E ? E右 ? E左 ? (B1 ? B2) vt(2R ? vt) ? v 2
3.如图所示,在绝缘的水平桌面上,固定着两个圆环,它们的半径相等,环面竖直、相互 平行、间距是 20cm。两环由均匀的电阻丝制成,电阻都是 9Ω 。在两环的最高点 a 和 b 之 间接有一个内阻为 0.5Ω 的直流电源,连接导线的电阻可忽略不计。在两环面之间有竖直向 上的磁感应强度为 0.87T 的匀强磁场。在两环之间有一根长度等于两环间距、质量为 10g、 电阻为 1.5Ω 的均匀导体棒,它水平地置于两环内侧,可顺着环光滑地滑动(即不计摩擦) 。 当棒两端点与两环最低点之间所夹圆弧对应的圆心角均为 θ = 60? 时,棒刚好静止不动。试 求电源的电动势 E。取重力加速度 g=10m/s2 解:设整个圆环的电阻为 R=9Ω ,在电路中整个圆环分为两部分:

R1 ?

? ?? 1800 ? 600 ?R ? ? 9 ? 6(?) 2? 3600 ? ?? 180 ? 60 ?R ? ? 9 ? 3(?) 2? 3600
0 0

a α

E

B b α

R2 ?

圆环为两部分并联后的总电阻为: R ?
/

R1 ? R2 ? 2(?) R1 ? R2

整个电路的总电阻为: R0 ? r ? 2R ? R棒 ? 0.5 ? 2 ? 2 ? 1.5 ? (?) 6
/

? 导体棒受力如图所示: F ? BIL ? mgtg

E ? IR

N
×

F mg

F m g ? sin ? 6 ? 10?2 ? 10 ? 3 ? R0 ? R0 ? ? 6(V ) ∴ E? BL BL 0.87 ? 0.2

4.如图所示,一个边长为 a、电阻为 R 的等边三角形导线框在外力作用下以速度 v 匀速地 穿过宽度均为 a 的两个匀强磁场。这两个匀强磁场的磁感应强度大小 B B 均为 B,方向相反,线框运动方向与底边平行且与磁场边缘垂直。取 逆时针方向的电流为正,试通过计算,画出从图示位置开始,线框中 产生的感应电流与沿运动方向的位移 x 之间的函数图像。 a a 分析:在进入磁场切割磁感线的过程中,在位移从 0 到 a /2 的过程中,有效长度由 0 增加到

3a / 2 ,在位移从 a/2 到 a 的过程中,有效长度由 3a / 2 减少到 0,在 x ? a / 2 时,电流
达正的最大值:I ? 3avB / 2R 。在位移从 a 到 3a/2 的过 I a 2a 3a x

3avB/ 2R
程中,有效长度由 0 增加到 3a / 2 ,在位移从 3a/2 到 2a 的过程中,有效长度由 3a / 2 减少到 0,在 x ? 3a / 2 时, 电流达负的最大值: I ? 3avB / R 。如图所示。

? 3avB / R

5.水平放置的、宽窄不同的光滑金属导轨置于如图所示匀强磁场中,宽部分的间距是窄部 分间距的 2 倍,两根质量相等的金属杆甲、乙垂直金属导轨放 甲 B 乙 置在光滑金属导轨上,现给金属杆甲一水平向右的初速度 v0, v0 乙不固定。在两金属杆和导轨的电阻均不计的情况下,求两杆 最后的稳定速度? 解析:错解:因两金属杆和导轨的电阻均不计,整个过程机械能守恒。当两杆最后的速度稳 定后,整个电路的电流为零,即两杆产生的电动势相等。

1 2 1 2 1 2 mv0 ? mv1 ? mv2 2 2 2

B2Lv1 ? BLv2

v1 ?

5 v0 5

v2 ?

2 5 v0 5

此解法是错误的,由于甲、乙两杆分别做减速运动和加速运动,回路中的电流是非均匀 变化的,由麦克斯韦理论,电路以电磁波的形式向外辐射电磁波,有机械能损失。 正确解法:由动量定理: 对甲杆: 2Ft ? mv1 ? mv0 ? 对乙杆: ? mv2 ? 2mv1 Ft

v1 ? v0 / 5

v2 ? 2v0 / 5

6.水平放置的、宽窄不同的光滑金属导轨置于如图所示匀强磁场中,宽部分的间距是窄部 分间距的 4 倍, 两根金属杆甲、 乙垂直金属导轨放置在光滑金属导轨上,m甲 ? 2m乙 ? 2m , 其电阻 R甲 ? 4R乙 ? 4R ,现给金属杆乙一个水平向右的恒力 甲 B 乙

F,甲不固定。在导轨的电阻不计的情况下,求金属杆甲上消 耗的最大电功率? 解析:由于金属杆乙受一个水平向右的恒力 F 作用,故两棒不可能做匀速运动,在两棒处 于稳定状态时,回路的电流不可能为零,金属杆乙在 F 和安培力作用下向右做变加速运动, 金属杆甲在安培力作用下也向右做变加速运动。 回路中有从上向下看的逆时针方向逐渐增加 的电流 I,使金属杆乙的加速度逐渐减小,金属杆甲的加速度逐渐增大。当回路中的电流增

大到最的值时,两棒的加速度达到稳定值,最终两棒做匀加速运动,此时:

E ? BL乙v乙 ? BL甲v甲
设两棒的加速度达到稳定值的瞬间,金属杆甲的速度为 v1,加速度为 a1,金属杆乙的速 度为 v2,加速度为 a2,则: v甲 ? v1 ? a1t ∴ I ?

v乙 ? v2 ? a2t
若使 I 恒定,只有:a2 = 4a1

E BL ??v2 ? 4v1 ? ? ?a 2 ? 4a1 ?t ? ? 5R 5R

对金属杆甲: BI ? 4L ? 2m ? a1 ∴ a1 ?

对金属杆乙: F ? BIL ? m ? a2

2F 9m

a2 ?

8F 9m

I?

F 9 BL
2

P 金属杆甲上消耗的最大电功率为: m ? I R1 ?

4F 2 R 。 以后两棒上消耗的电功率不变, 81B 2 L2

而外力 F 的功率仍在增大,使两棒的动能仍在增大,即两棒的收尾运动为匀加速运动。 7.如图所示,水平放置的的光滑金属导轨置于磁感强度为 B 的匀强磁场中,金属导轨的宽 度为 L,导轨间串联着一个带电量为 Q0 的电容器 C。现将一根质 B 量为 m 的裸导体棒放在导轨上, 且与导轨垂直, 当闭合开关 S 后, C L S 导体棒将向右运动,设导轨足够长,一切摩擦不计,求导体棒的 最终速度及电容器最终剩下的电量? 解析:对导体棒,由动量定理: BLI ?t ? mvm 整个过程电容器放电: ?Q ? Q0 ? Q/ ? I ?t ??① ??②

当导体棒的速度达最大时,电容器两极板的电压为: U ?

Q/ ? BLvm C

??③

BLQ0 由①②③得: vm ? m ? CB 2 L2
全过程能量的损失: ?E ?

CB 2 L2 Q0 Q ? m ? CB 2 L2
/

2 Q0 Q / 2 1 2 Q2 m m ? E km ? ? m vm ? ? 0 ? 2 2 2C 2C 2 m ? CB L 2C m ? CB 2 L2

8.如图所示为两同心圆柱区,内柱内有磁感强度为 B1 的匀强磁场,两柱之间有磁感强度为 B2 的匀强磁场,方向均垂直纸面。为了使质量为 m、电量为 q 的带电粒子能 B2 在两柱间的区域内贴着内柱表面做轨迹不变的圆周运动,如果磁感强度 B1 的 B1 变化率为 ?B1 / ?t ,则磁感强度 B2 应以多大的变化率 ?B2 / ?t 变化。 解析: 由于变化的磁场会产生涡旋电场, 故本来做匀速圆周运动的带电粒子由于电场力的作 用,速度会发生变化。若要维持它的运动半径不变,必须改变运动所在处的磁感应强度。

∵ Bqv ? m

v2 r

∴ B2 ?

mv qr

则:

?B2 m ?v ? ? ?t qr ?t

?? ①

∵ E?

?B1 ?? ?B1 ? ?S ? ?? ? r 2 ?t ?t ?t
?v ?t

W ? qE ? F ? 2? ? r

∴ F?

?B1 ? qr 2?t

在极短的时间内,由动量定理: F ? m



?B1 ?v ? qr ? m ?t 2 ?t

?v 1 ?B1 qr ? ? ? ?t 2 ?t m

?? ②

将②代入①,得:

?B2 m 1 ?B1 qr ?B1 ? ? ? ? ? ?t qr 2 ?t m 2?t

(变化的磁场会产生涡旋电场, 涡旋电场对带电粒子有切向力的作用, 这个切向力的方向 始终沿切线方向,但大小不变,此切向力使带电粒子产生切向加速度,也正是此切向力(非 静电力)对带电粒子做功,产生感应电动势) 9.如图所示,两个电阻器的阻值分别为 R 与 2R,其余电阻不计,电容器电容为 C。匀强磁 场磁感应强度为 B,方向垂直纸面向里。金属棒 ab、cd 长度均为 a c e C L,两者均放在平行的滑轨上,当棒 ab 以速度 v 向左做切割磁感 2R v 2v 线运动,金属棒 cd 以速度 2 v 向右做切割磁感线运动时,求: R B (1)电容器的电量多大? f d b (2)电容器的左、右极板哪一个极带正电? 解:(1) ∵

Eba ? BLv

∴ U fe ? I 1 R ?

E ab BLv ?R ? R ? 2R 3

Ecd ? 2BLv

U cd ? 2BLv
7 BLv 3

Uc ? Ud
Q ? C ? U ce ?

∵U f ? U d

∴ U ce ? U cd ? U fe ? (2) ∵ U c ? U d

7BLvC 3
右极板带正电。

U f ? Ud

∴ U cd ? U ef

Uc ? Ue

B 10.在如图所示的磁感强度为 B 匀强磁场中,有一细金属圆丝环,环上有一 长度为 d 的很小的缺口,环的平面与磁场方向垂直。当环以速度 v 做无滑动 的滚动时, 半径 OA 与竖直方向的夹角 α 将增大, 试求缺口处的感应电动势的 A 变化规律。 解析:利用填补法,可将圆环构成一闭合回路。当环运动时,穿过环的磁通 量没有发生变化,总感应电动势为零。设缺口处补上的部分电动势为 E0,其 余部分的电动势为 E/,如图所示。故只要求出补上部分的感应电动势即可缺 E0 口处的感应电动势。 ∵ E0 ? E / ? 0 ∴ E / ? ? E0 u θ α v A

Ov

E/

设缺口处补上的金属丝的瞬时速度为 u,u 与切线方向的夹角为 θ : v



??

?
2

?

?
2

(思路:做∠Avu=α 的平分线,即 Au 的垂线)

u 为金属丝平动速度 v 和饶 O 点转动速度 v/的合速度(因金属丝转过的弧长与圆环的水 平位移相等,所以 v=v /) ,由余弦定理: v ? v ? u ? 2vu cos?
2 2 2

∴ u ? 2v ? sin

?
2

∴ E0 ? Bud ? sin ? ? 2 Bdv sin ∴ E / ? ?E0 ? ?Bdv sin ?

?
2

? cos

?
2

? Bdv sin ?

电磁讲座(三)
如图所示,半径为 R、厚度为 d(d<<R)的金属板处于水平方向、磁感 强度为 B 的匀强磁场中, 金属板的盘面始终位于竖直平面且与磁场方向 平行。若要使圆盘在下落过程中的加速度比没有磁场时减小千分之一 (不计空气阻力) ,试估算磁场的磁感强度的大小。 (假设金属板的电阻 -12 2 3 3 为零,其密度为 9×10 kg/m ,介电常数为 9×10 C /N?m2) 解析:圆盘在下落过程中,其厚度作切割磁感线的运动,故: E ? Bdv 盘面两侧的电压为: U ? E ? Bdv 金属板两侧面的电容及带电量: B

C?

?S
d

?

? ?? R2
d

Q ? C U?

? ? ? R2
d

? B d?v??

2

R Bv

圆盘在下落过程中由于两侧面带电量的变化而形成的电流:

I?

?Q ?v ? ?? R 2 B ? ?? R 2 Ba ?t ?t
2 m ? ? ?? R d

故: mg ? BId ? mg ? ?? R2 B2d ? a ? ma

得: a ?

g 1 ? ? B2 / ?

要使圆盘在下落过程中的加速度比没有磁场时减小千分之一,则:

a?g?

1 g g? 1000 1 ? ? B2 / ?

B?

? 9 ?103 6 ?10?3 ? ?10? 3 ? 10 T ?12 ? 9 ?10

如图所示,在光滑的水平面上,有边长为 l 的正方形导线框 abcd,其质量为 m,自感系数为 L,电阻忽略不计。在 x>0 区域有磁感应强度为 B 的有界匀强磁场,磁场 d a B 方向与导线框平面垂直。导线框的 ab 边,在 t=0 时从 x=0 处以初速 v0 进 入磁场区域,试讨论导线框在磁场中如何运动。 c b 解析:当 ab 边进入磁场,cd 仍在磁场外时,ab 边做切割磁感线的运动, x O 产生感应电动势 E,同时正方形导线框 abcd 还会产生自感电动势 E / ∵ E ? E ? IR
/

R?0

∴ E?E

/

设某时刻导线框的速度为 v,在这一极短的时间 Δ t 内,有:

Blv ? L ?
又∵ Bl

?I ?t

B l v ?t ? L ? ?I ?

Bl ? ?x ? L ? ?I

??x ? L??I
I0 ? 0

∴ Bl( x ? x0 ) ? L( I ? I 0 ) ∴ Blx ? LI

又∵ x0 ? 0

I?

Blx L

Fab ? ? B I l ? ?

B 2l 2 x L

故 ab 边所受安培力 F 大小与 x 成正比, 方向相反, 导线框 abcd 作简谐振动。 若振幅 A>l, 则 cd 边进入磁场后,导线框以此时的速度做匀速运动;若振幅 A≤l,则当 ab 边到达 x=A 处将返回作简谐振动,ab 边到达 x=0 处时,速度 v=–v0,而后导线框以此时 v0 的速度沿–x 方向做匀速运动。

13.在垂直于匀强磁场 B 的平面内有两根相互垂直的长直导线棒联接成固定的十字架。边 长为 a 的刚性的正方形框以速率 v 匀速向左移动,在移动过程中线框与 B B 导体棒始终保持光滑接触,且线框的两个顶点 A、C 始终在图中水平导 a v C A 体棒上,如图所示。设线框在图中实线位置时开始计时,运动过程中通 过图中竖直棒的电流记为 I。试求: (1)作为时间 t 的函数 I(t),并画出 v a 相应的曲线; (2)为维持线框作匀速运动所需的外力 F 的方向和大小, D 以 F(t)函数表示之,并画出相应曲线。设导体棒与线框的单位长度电阻 为 r,磁感应强度为 B。[ 物奥指导(南京)P395 页 ] 解析: (1)由于速度平行水平导体棒,故 A、C 等电势,在水平导体棒中无电流,可认为水 平导体棒不存在。设 B、D 与竖直棒接触时刻为 t0,则: t 0 ?

2a ??(1) A 与竖直 2 v

棒接触时刻为 2t0。 在由 0 时刻到 t0 时刻间隔内通过竖直棒中的电流: 设某时刻 t(0≤t≤t0)线框处于如图所示的位置,线框与竖直棒接触 于 M、N 两点,又经过很短时间 Δ t,竖直棒以右的线框中的磁通量减少 F 了 Δ Φ ,竖直棒以左的线框中的磁通量增加了 Δ Φ ,设 MN 的长度为 L, 则:

B I 左M I N Q D P I右 A

?? ? L ? v ? ?t ? B

E左 ? E右 ? L B v ??(2)

线框的左边与右边部分分别与 MN 构成回路,回路中的电流分别为 I 左、I 右,电流方向如 图所示。线框的左边与右边部分电阻分别为:

R左 ? R1 ? 2Lr 、 R右 ? R2 ? 4a ? 2L)r (

??(3)

MN 相当于电源,其电动势、内阻分别为: E ? E左 ? E右 ? 2LBv

R内 ? Lr ??(4)

电源的外电路分别为线框的左边与右边部分构成的并联电路,其外电路的总电阻为:

R?

R1 ? R2 ? L? ? ? 2 ? ? Lr R1 ? R2 ? 2a ?

??(5)

通过 MN 的电流: I ?

E ? R内 ? R

??

Bv 2 ? 1 ? L / 2a r

?

?

由于 L ? 2vt (当 0≤t≤t0 时) ,上式可写为: I ?

??

Bv ??(6) 2 ? 1 ? vt / a r

?

?

在由 t0 时刻到 2t0 时刻间隔内通过竖直棒中的电流: 从(6)可知,在 t=0 时有最小电流 Imin,在 t=t0 时有最大电流 Imax:

I min ?

?

Bv 2 ?1 r

?

I m a x?

?

2 Bv ? 2I m i n 2 ?1 r

?

由对称性由 t0 时刻到 2t0 时刻间隔内通过竖直棒中的 电流从 Imax 减小到 Imin,其 I—t 曲线从 0 到 t0 和从 t0 到 2t0 对 t=t0 轴对称,如图所示。 利用对称性可求出 t0≤t≤2t0 时间间隔内的 I(t)函 / 数,在(6)式中以 t=t + t0 作变换:

I(t) 2Imin Imin 0

I(t )

/

t =-t0 t/=0 t0

/

t =t0 t 2t0

/

I?

??

Bv

2 ? 1 ? vt / a r Bv

?

? ?? ?

?

2 ? 1 ? v(t / ? t 0 ) / a r
/ /

?

Bv

?

?

??

2 / 2 ? 1 ? vt / a r
/

?

= I(t ) (–t0≤t ≤0 )

全过程的 I(t)函数可表示为:

I (t ) ?

??

Bv 2 / 2 ? 1 ? vt / a r

?

?

当 0≤t≤t0

I (t ) ?

Bv ?1 ? vt / a?r

当 t0≤t≤2t0

(2)设线框左、右两部分所受安培力为 F1、F2: ∵ F ? F1 ? F2 ? I1 LB ? I 2 LB ? ILB (I=I1+I2)??(7) 将(6)代入(7)得: F (t ) ?

??

2B 2 v 2t

2 ? 1 ? vt / a r

?

?

0≤t≤t0

由对称性,同理得: F (t ) ?

2B 2 v 2 ( 2a / v ? t ) ?1 ? vt / a?r

t0≤t≤2t0

当在 t=0、t=2t0 时,F 有最小值 Fmin,在 t=t0 时 F 有最大值 Fmax: ∴ Fmin = 0

Fmax

2 2B 2 av ? 2? 2 r

?

?

全过程的 F(t)函数可表示为:

F (t ) ?

?

2B 2 v 2t 2 ? 1 ? vt / a r

?

当 0≤t≤t0

F(t) Fmax

0

t0

2t0

t

F (t ) ?

2B 2 v 2 ( 2a / v ? t ) t0≤t≤2t0 ?1 ? vt / a?r

F(t)函数图线: 电量为+q,质量为 m 的质点,在长为 L 的轻质绝缘细绳的作用下,在 xOy 平面内以 O 点为 y B 圆心顺时针方向作匀速圆周运动, 线速度大小 为 v0,如图(1)所示。现沿+y 轴方向加上匀 B1 x 强磁场,磁感强度 B 随时间的变化如图(2) O 所示(B 的大小限制在使绳子不致放松的范围 O t1 t z A (2) 内) 。求 t1 时刻绳子的张力为多大? (1) 解析:由变化的磁场产生电场,质点所在圆周轨道的空间存在的电动势:

E?

B ?? ?B ? ? ? L2 ? ? ? ? L2 ? 1 ?t ?t t1
/

(t1≥ t ≥0 ) 顺势针方向

场强为: E ? U / d ? E / s ? E / 2? ? L 质点在沿切线方向的电场力作用下作加速度大小不变的匀加速运动,得:

a?

F / q ? E / q ? ? L2 ? B1 qLB1 ? ? ? m m m 2? ? L ? t1 2m t1

E T v0
空间电场

t1 时刻质点的速度大小: v ? v0 ? at1

F

v2 ∵ T ?F ?m L
∴ T ? qvB1 ? m

F ? qvB 1
qLB1 ? ? qLB1 ?? v2 ? m? ?? ? ? v0 ? ? ?qB1 ? ? v0 ? L ? 2m ? ? L? 2m t1 ?? ? ?

如图所示,水平放置的光滑平行导轨间距为 d,两根质量均为 m 的金属棒 ab、cd 与导轨垂 直、相互平行静止在导轨上,其中 ab 棒用长为 L 的绝缘细线 悬挂在支架上,细线伸直,ab 棒恰好与两导轨接触,整个装 a/ a // B 置处于竖直向上的匀强磁场中,现把 ab 棒移至水平位置(a/b/ b/ b // 位置) ,从静止释放到最底点与导轨接触,又继续向左摆动, a c 摆到最高点(a//b//位置)时与竖直方向成 600 角。求: d b (1)在 ab 棒与导轨接触的过程中,cd 棒上的电流方向? (2)ab 棒与导轨第一次接触后,cd 棒速度的大小和方向? (3)ab 棒与导轨第一次接触过程中,感应电流产生的热量是多少? 解析: (1)从静止释放到最底点,由于无感应电流产生,ab 棒与导轨第一次接触时,由动 能定理: mgL ?

1 2 mv 0 ,当 ab 棒与导轨第一次接触时,金属棒 ab、cd 与导轨形成闭合电 2

路,有感应电流产生,cd 棒上的电流方向为 c →d。 (2)当 ab 棒与导轨第一次接触瞬间,设 ab 棒速度为 v1,cd 棒速度为 v2,则

由动量守恒定律: mv0 ? mv ? mv2 1 当 ab 棒与导轨分离后,无感应电流产生,由动能定理: mgL (1 ? cos 60 ) ?
0

1 2 mv 2 2

得: v0 ?

2gL

v1 ? ( 2 ? 1) gL

v2 ? gL
1 2 1 2 1 2 mv 0 ? mv1 ? mv 2 ? Q 2 2 2

(3)ab 棒与导轨第一次接触过程中,由能量守恒: 得: Q ? ( 2 ? 1)mgL

12.一匀强磁场存在于其横截面为圆的空间内,如图所示。其圆的半径为

r0 ,在圆外不存在
B r1 r0

磁场。若磁感应强度 B 随时间在增加,且其时间变化率 ?B / ?t ? C ,C 为常 数。 r2

(r ? r0 , r2 ? r0 ) 的涡旋电场强度 E 涡。 (1)试分别求出在离圆心为 r1 及 r2 处 1
(2)试画出涡旋电场强度大小的分部图线。 分析:变化的磁场产生涡旋电场,涡旋电场的电场线为同心圆,在半径相同 处电场强度大小相等。 解: (1)对 r1 处

r2 r1 r0

(r1 ? r0 ) :对半径为 r1 的圆环来说,回路的磁通量为 ? ? r1 B ,当磁通量随时
E1 ? ?? ?B ? ? ? ? r12 ? ? ? r12 ? C ?t ?t

间变化时,产生的感应电动势为 E1:∴

……(1)

在涡旋电场的作用下, 导线中的单位正电荷将沿导线运动, 其运动一周涡旋电场作的功 即为感应电动势:

E1 ? 2? ? r1 ? E0 (r1 )

……(2)

[ E0 (r1 )] 为半径为 r1 处的涡旋电场强度。
[ E 0 ( r1 )] ? C r1 2

由(1) (2)得: 对 r2 处

(0 ? r1 ? r0 )

……(3)

(r2 ? r0 ) :对半径为 r2 的圆环来说,回路的磁通量为 ? ? r0 B ,当磁通量随时
E2 ? ?? ?B ? ? ? ? r02 ? ? ? r02 ? C ?t ?t

间变化时,产生的感应电动势为 E2:∴

……(4)

在涡旋电场的作用下, 导线中的单位正电荷将沿导线运动, 其运动一周涡旋电场作的功 即为感应电动势:

E2 ? 2? ? r2 ? E0 (r2 ) ……(5)

[ E0 (r2 )] 为半径为 r2 处的涡旋电场强度。

C ? r02 [ E0 (r2 )] ? 2r1 由(3) (4)得:

(r2 ? r0 )

……(6)

由(3) (6)可知,在 r=0 处场强为零,在 0 ? r ? r0 的范围内场强线性增长(此结论只适用 于 r0 为有限量时均匀变化的圆柱形匀强磁场,而且在圆柱形区域外不存在其他磁场) 。 (2)涡旋电场的电场线为同心圆 解析:由于空间的磁场随时间发生变化,故在空间产生涡旋电场,其电场线为同心圆,且半 径相同处电场强度大小相等。 设在半径为 r1( r1< r0)及 r2 处(r2> r0)有一半径为 r1 及 r2 的导体圆环。对 r1 的导体 圆环:

E1 ?

?? ?B ? ? ? r12 ? ? ? r12 ? C ?t ?t

电流方向为顺时针方向。在涡旋电场的作用下,导线

中的单位正电荷将眼导线运动,它运动一周涡旋电场作的功即为感应电动势: ∴ 2? ? r1 E0 (r1 ) ? E1

E0 (r1 ) 为半径 r1( r1< r0)处的涡旋电场的大小。
E 0 ( r1 ) ?

C r1 (0< r1< r0) 2 ?? ?B ? ? ? r02 ? ? ? r02 ? C 对 r2 的导体圆环: E 2 ? ?t ?t

2? ? r1 E0 (r1 ) ? ? ? r12 ? C

2? ? r2 E0 (r2 ) ? E2

E0 (r2 ) 为半径 r2(r2> r0)处的涡旋电场的大小。
E0 (r2 ) ? r02 C 2r2
(r2> r0)

2? ? r2 E0 (r2 ) ? ? ? r22 ? C

如图所示的磁场分布仅适用于 r0 为有限量时均匀变化的圆柱形匀 E0(r) Cr0/2 强磁场,而且圆柱形区域外无其他磁场。若 r0 为无限量时,圆柱形区 域扩展为无限空间, 则任意与 B 平行的空间周均可看成磁场的中心轴, 这时在空间任一点的场强可取不同的数值,这是与实际情况不符的。 0 另根据对称性也可说明,不可能存在全空间随时间变化的匀强磁场。

r0

r

I?

E ? ? Brv ? R R

Q ? I ? ?t ?

? ? Br 2
R

在匀强磁场区域中,若带电粒子初速度的方向与磁感应强度的方向斜交,试分析带电粒子 的运动特征。设带电粒子除磁场的作用力外不受其它作用力。


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