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4-4 坐标系与参数方程 配套资料教师用书+教案


4-4 坐标系与参数方程 第一节 坐标系与曲线的极坐标方程

内容 A 考纲 传真 坐标系的有关概念 简单图形的极坐标方程 极坐标方程与直角 坐标方程的互化 √

要求 B C

√ √

1.极坐标系与点的极坐标 (1)极坐标系:在平面上取一个定点 O,自点 O 引一条射线 Ox, 同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正 方向),这样就建立了一个极坐标系.其中,点 O 称为极点,射线 Ox

称为极轴. (2)极径与极角:设 M 是平面上任一点,ρ 表示 OM 的长度,θ 表 示以射线 Ox 为始边,射线 OM 为终边所成的角,有序数对(ρ,θ)称 为点 M 的极坐标.其中 ρ 称为点 M 的极径,θ 称为点 M 的极角. 2.极坐标与直角坐标的互化 点M 互化公式 直角坐标(x,y)
? ?x=ρcos θ ? ? ?y=ρsin θ

极坐标(ρ,θ) ρ2=x2+y2 y tan θ=x(x≠0)

3.圆的极坐标方程 (1)圆心在极点,半径为 r 的圆的极坐标方程为 ρ=r. (2)圆心在点(a,0)处,且过极点的圆的极坐标方程为 ρ=2acos θ. π? ? (3)圆心在点?a,2?处且过极点的圆的极坐标方程为 ρ=2asin θ.
? ?

4.直线的极坐标方程 (1)直线 l 过极点,且极轴到此直线的角为 α,则直线 l 的极坐标 方程是 θ=α(ρ∈R). (2)直线 l 过点 M(a,0)且垂直于极轴, 则直线 l 的极坐标方程为 ρcos θ=a. π? ? (3)直线过 M?b,2?且平行于极轴, 则直线 l 的极坐标方程为 ρsin θ
? ?

=b.

1.(夯基释疑)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的

打“×”) (1)在极坐标系中点与坐标是一一对应关系.( )

(2)若点 A 的直角坐标为( 6, 2),则点 A 的极坐标一定为(2 2, π 6).( )

(3)极坐标系中,极径 ρ 可以为负数,故 M(ρ,θ)可表示为(-ρ, θ+(2n+1)π)(n∈Z).( )

(4)在极坐标系中,同一个点 M 其坐标形式不尽相同,M(ρ,θ) 可表示为(ρ,θ+2nπ).( )

[解析] 在极坐标系中,同一个点的极坐标却有无穷多个.因此 (1)错,(2)错;(3)(4)显然正确. [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
? ?

π? ? 2.(教材习题改编)已知曲线 C 的极坐标方程是 ρ=4sin?θ-6?, 那么它的直角坐标方程是________. π? π? ? ? [解析] 由 ρ=4 sin?θ-6?,得 ρ2=4ρsin?θ-6?,
? ? ? ?

即 ρ2=2 3ρsin θ-2ρcos θ,曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y2= 2 3y-2x,即(x+1)2+(y- 3)2=4. [答案] (x+1)2+(y- 3)2=4 π 3.在极坐标系中,圆 ρ=2cos θ 与方程 θ=4所表示的图形的交 点坐标为________. π? ? π π [解析] 当 θ=4时,ρ=2cos 4= 2,所以交点坐标为? 2,4?. ? ? π? ? [答案] ? 2,4?
? ?

π? π? ? ? 4.(2014· 陕西高考)在极坐标系中,点?2,6?到直线 ρsin?θ-6?=
? ? ? ?

1 的距离是________. π? π? ? ? [解析] 点?2,6?,直线 ρsin?θ-6?=1 分别在直角坐标系中对应
? ? ? ? ? 3 ? 3 ? - -1? 2 3 1 ?2 ? 点( 3, 1), 直线 2 y-2x-1=0, ∴点到直线的距离为 ? 3?2 ? 1?2 ? ? +?- ? ? 2? ?2 ?

=1. [答案] 1 θ 5.极坐标方程 4ρsin2 2=5 表示的曲线是________. [解析] 1-cos θ θ 4ρsin2 2=4ρ =2ρ-2ρcos θ=5,化为直角坐标 2

25 系方程为 2 x2+y2-2x=5,化简得 y2=5x+ 4 ,显然该方程表示抛 物线. [答案] 抛物线

考向 1 平面直角坐标系中的伸缩变换
? ?x′=3x y2 【典例 1】 求双曲线 C:x -64=1,经过 φ:? 变换 ? ?2y′=y
2

后所得曲线 C′的焦点坐标. [解] 设曲线 C′上任意一点 P′(x′,y′).

?x= x′, ? ?x′=3x, ? ∵ ∴? 3 ? 2 y ′ = y , ? ?y=2y′

1

y2 代入双曲线 C:x -64=1,
2

x′2 4y′2 x′2 y′2 得 9 - 64 =1,化简得 9 - 16 =1, x2 y2 即 9 -16=1 为曲线 C′的方程,可见仍是双曲线. 则焦点 F1(-5,0),F2(5,0). 【规律方法】 x′ 1.由伸缩变换公式得 x= 3 且 y=2y′代入曲线 C 的方程即得 曲线 C′的方程. 2.解答该类问题应明确两点:一是根据平面直角坐标系中的伸 缩变换公式的意义与作用;二是明确变换前的 P(x,y)与变换后的点 P′(x′,y′)的坐标关系,利用方程思想求解. 【变式训练 1】 求 将 圆 x2 + y2 = 1 按 照 伸 缩 变 换 公 式

? ?x′=3x, ? 变换后所得椭圆的标准方程和焦距. ? ?y′=5y ?x′=3x, ? x′ y′ [解] 由? 得 x= 3 且 y= 5 , ?y′=5y, ?

代入圆 x2+y2=1,得 x′2 y′2 x2 y2 9 + 25 =1,即 9 +25=1. ∵a2=25,b2=9, ∴c2=a2-b2=25-9=16. ∴c=4,2c=8. x2 y2 即所得椭圆的标准方程为 9 +25=1,焦距为 8.

考向 2 极坐标与直角坐标的互化(高频考点) 命题视角 极坐标与直角坐标的互化是历年高考重点. 主要命题 角度:(1)点的坐标互化;(2)曲线方程的互化. 【典例 2】 (1)(2013· 福建高考)在平面直角坐标系中,以坐标原 点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点 A 的极坐标 π? π? ? ? 为? 2,4?,直线 l 的极坐标方程为 ρcos?θ-4?=a,且点 A 在直线 l ? ? ? ? 上.求 a 的值及直线 l 的直角坐标方程; (2)(2013· 天津高考)已知圆的极坐标方程为 ρ=4cos θ, 圆心为 C, π? ? 点 P 的极坐标为?4,3?,求|CP|.
? ?

【思路点拨】

(1)把点 A 极坐标直接代入直线极坐标方程即可

求得 a,进而把极坐标方程化直角坐标方程;(2)把圆的极坐标方程化 为直角坐标方程,求点 C、P 的直角坐标.进而求 CP. [解] (1)∵点 A 在直线 l 上, π ∴把 ρ= 2,θ=4代入直线 l 方程应成立,
?π π? 即 2cos?4-4?=a,得 a= 2. ? ?

π π? ? ∴直线 l 的方程可化为 ρ?cos θcos 4+sin θsin 4?= 2 ? ? 化简得 ρcos θ+ρsin θ=2. 从而直线 l 的直角坐标方程为 x+y-2=0. (2)由 ρ=4cos θ 可得 x2+y2=4x,即(x-2)2+y2=4,因此圆心 C 的直角坐标为(2,0). 又点 P 的直角坐标为(2,2 3). 因此|CP|=2 3. 【通关锦囊】

1. 进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式: y x=ρcos θ,y=ρsin θ,ρ2=x2+y2,tan θ=x(x≠0). 2.进行极坐标方程与直角坐标方程互化时,注意 ρ,θ 的取值范 围及其影响;善于对方程进行合理变形,并重视公式的逆向与变形使 用;灵活运用代入法和平方法等技巧. 【变式训练 2】 (2014· 南师附中月考)在极坐标系下, 已知圆 O: π? ? 2 ρ=cos θ+sin θ 和直线 l:ρsin?θ-4?= 2 . ? ? (1)求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程; (2)当 θ∈(0,π)时,求直线 l 与圆 O 公共点的极坐标. [解] (1)由 ρ=cos θ+sin θ 可得 ρ2=ρcos θ+ρsin θ, ρ =x +y , ? ? 把?ρcos θ=x, ? ?ρsin θ=y 程:x2+y2-x-y=0. π? ? 2 由 l:ρsin?θ-4?= 2 ,得 ρsin θ-ρcos θ=1, ? ?
? ?ρcos θ=x, 因为? 所以 x-y+1=0. ?ρsin θ=y, ? ? ? ?x-y+1=0, ?x=0, ? (2)由 2 2 解得? ?x +y -x-y=0, ? ? ?y=1,
2 2 2

代入 ρ2=ρcos θ+ρsin θ 得圆 O 的直角坐标方

?ρ =x +y , 由? y tan θ = ? x?x≠0?,

2

2

2

? ?ρ=1, 得? 因为 θ∈(0,π),所以 θ ?tan θ不存在, ?

π? ? π =2,故公共点的极坐标为?1,2?. ? ? 考向 3 极坐标方程及应用

【典例 3】 (1)在极坐标系中,已知圆 ρ=2cos θ 与直线 3ρcos θ +4ρsin θ+a=0 相切,求实数 a 的值. (2)(2014· 南通质检)在极坐标系中, 已知圆 C: ρ=4cos θ 被直线 l: π ρsin(θ-6)=a 截得的弦长为 2 3,求实数 a 的值. [解] (1)将极坐标方程化为直角坐标方程,得圆的方程为 x2+y2 =2x,即(x-1)2+y2=1,直线的方程为 3x+4y+a=0. |3×1+4×0+a| 由题设知, 圆心(1,0)到直线的距离为 1, 即有 =1, 32+42 解得 a=-8 或 a=2. 故 a 的值为-8 或 2. (2)圆 C:ρ=4cos θ 的直角坐标方程为 x2+y2=4x, ∴(x-2)2+y2=4,则圆心 C(2,0),半径 r=2, 又直线 l 的直角坐标方程为 x- 3y+2a=0. ∴圆心 C 到 l 的距离 d= |2+2a| 2 =|1+a|,

因为 l 被圆 C 截得弦长为 2 3. ∴r2-d2=3,即 4-|1+a|2=3. ∴a=0 或 a=-2. 【规律方法】 1.(1)(2)中的极坐标方程均化为直角坐标方程求解. 2.由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时,如果不能直 接用极坐标解决,可先转化为直角坐标方程,然后求解. 【变式训练 3】
? ?

在极坐标系中,已知直线 l 的极坐标方程为
? ?

π? π? ? ? ρsin?θ+4?=1,圆 C 的圆心的极坐标是 C?1,4?,圆的半径为 1.

(1)求圆 C 的极坐标方程; (2)求直线 l 被圆 C 所截得的弦长. [解] (1)设 O 为极点,OD 为圆 C 的直径,A(ρ,θ)为圆 C 上的 一个动点. π π 则∠AOD=4-θ 或∠AOD=θ-4, π? ?π ? ? OA=ODcos?4-θ?或 OA=ODcos?θ-4?,
? ? ? ?

π? ? 所以圆 C 的极坐标方程为 ρ=2cos?θ-4?.
? ?

π? ? 2 (2)由 ρsin?θ+4?=1,得 2 ρ(sin θ+cos θ)=1, ? ? 所以直线 l 的直角坐标方程为 x+y- 2=0, 圆心 C 的直角坐标为?
? 2 2? ?, , 2? ? 2

故 C 点满足直线 l 的方程,则直线 l 经过圆 C 的圆心,故直线被 圆所截得的弦长为直径 2.

勿忘 1 点注意 平面上点的直角坐标的表示形式是唯一的, 但点 的极坐标的表示形式不唯一. 熟记 2 种方法 极坐标问题通常有两种研究方法:一是 用极坐标的知识直接求解;二是转化为直角坐标的形式,用直角 坐标的知识求解.

勿忘 2 点注意 进行极坐标方程与直角坐标方程互化时,1.注意 ρ, θ 的取值范围及其影响. 2.重视方程的变形及公式的正用、 逆用、 变形使用.

思想方法之 20

转化思想在解题中的应用

(2013· 辽宁高考)在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆 C1,直线 C2 的极坐标方程分别 π? ? 为 ρ=4sin θ,ρcos?θ-4?=2 2.
? ?

求 C1 与 C2 交点的极坐标. [解] 圆 C1 的直角坐标方程为 x2+(y-2)2=4, 直线 C2 的直角坐标方程为 x+y-4=0.
2 2 ? ? ?x +?y-2? =4, ?x1=0, ? 解 得? ? ? ?x+y-4=0, ?y1=4,

? ?x2=2, ? ? ?y2=2.

π? ? π? ? 所以 C1 与 C2 交点的极坐标为?4,2?,?2 2,4?. ? ? ? ? 注:极坐标系下点的表示不唯一. 【智慧心语】 易错提示:(1)极坐标方程与直角坐标的互化出错. (2)由点的直角坐标转化为点的极坐标易出错. 防范措施:(1)认真观察方程的表现形式,加强极坐标方程与直 角坐标方程的互化训练,以便找到最佳解题途径. (2)把直角坐标转化为极坐标时,虽然通常有不同的表示法(极角 相差 2π 的整数倍),但是一般取 θ∈[0,2π).

π? ? 9π? ? 【类题通关】 求经过极点 O(0,0)、A?6,2?、B?6 2, 4 ?三点的
? ? ? ?

圆的极坐标方程. [解] 将点的极坐标化为直角坐标,那么点 O、A、B 的直角坐标 分别为(0,0)、(0,6)、(6,6), 故△OAB 是 OB 为斜边的等腰直角三角形,故经过 A、B 三点圆 的圆心为(3,3),半径为 3 2. 圆的直角坐标方程为(x-3)2+(y-3)2=18, 即 x2+y2-6x-6y=0,x=ρcos θ,y=ρsin θ 代入上述方程, π 得 ρ2=6ρ(cos θ+sin θ),即 ρ=6 2cos(θ-4). 课后限时自测 [A 级 基础达标练]

一、填空题 π 1.在极坐标系中,圆 ρ=4sin θ 的圆心到直线 θ=6(ρ∈R)的距离 是________. [解析] 圆 C:x2+(y-2)2=4,圆心 C(0,2).直线 l:x- 3y= 0. |0-2 3| 故圆心 C 到直线 l 的距离 d= = 3. 2 [答案] 3

2.在极坐标系中,圆 ρ=-2sin θ 的圆心的极坐标是________. [解析] 圆的方程可化为 ρ2=-2ρsin θ,
? ?x=ρcos θ, 由? 得 x2+y2=-2y, ? ?y=ρsin θ,

即 x2+(y+1)2=1,圆心(0,-1), π? ? 化为极坐标为?1,-2?.
? ?

π? ? [答案] ?1,-2?
? ?

3.(2014· 广东高考)在极坐标系中,曲线 C1 和 C2 的方程分别为 ρsin2θ=cos θ 和 ρsin θ=1.以极点为平面直角坐标系的原点, 极轴为 x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线 C1 和 C2 交点的直角坐标 为________. [解析] 由 ρsin2 θ=cos θ 得其直角坐标方程为 y2=x,由 ρsin θ
2 ? ?y =x =1 得直角坐标方程为 y=1,由? 得 C1 和 C2 的交点为(1,1). ?y=1 ?

[答案] (1,1) π? ? 4.(2013· 北京高考)在极坐标系中,点?2,6?到直线 ρsin θ=2 的
? ?

距离等于________. π? ? [解析] 点?2,6?对应的直角坐标为( 3, 1), 直线 ρsin θ=2 对应
? ?

的直角坐标方程为 y=2,所以点到直线的距离为 1. [答案] 1 5.(2014· 福州质检)在极坐标系中,曲线 C1:ρ=2cos θ,曲线 π C2: θ=4, 若曲线 C1 与 C2 交于 A、 B 两点, 则线段 AB 的长是________. [解析] 由于曲线 C1 与曲线 C2 均过极点, ∴极点是曲线 C1 与 C2 的一个交点, π 将 θ=4,代入 ρ=2cos θ,得 ρ= 2, π? ? ∴点? 2,4?是曲线 C1 与 C2 的另一交点, ? ?

该点与极点的距离为 2,因此 AB 的长度为 2. [答案] 2

π? ? π? ? 6.(2014· 镇江调研一)经过极坐标为(0,0),?6,2?,?6 2,4?三点 ? ? ? ? 的圆的直角坐标方程为________. π? ? π? ? ?6, ?, ?6 2, ?的直角坐标分别为(0,0), [解析] 点(0,0), (0,6), 2? ? 4? ? (6,6),∴△OAB 是以 OB 为斜边的等腰直角三角形. ∴经过 O,A,B 三点的圆的圆心为(3,3),半径为 3 2 ∴圆的直角坐标方程为(x-3)2+(y-3)2=18. [答案] (x-3)2+(y-3)2=18 π? ? 7.(2014· 常州调研)在极坐标系中,已知点 P?2 3,6?,直线 l: ? ? π? ? ρcos?θ+4?=2 2,则点 P 到直线 l 的距离为________.
? ?

[解析] 点 P 的直角坐标为(3, 3),直线 l 的直角坐标方程为 x |3- 3-4| 2+ 6 -y-4=0,从而点 P 到直线 l 的距离为 = 2 . 2 [答案] 2+ 6 2

8.在极坐标系中,圆 C:ρ=10cos θ 和直线 l:3ρcos θ-4ρsin θ -30=0 相交于 A,B 两点,则线段 AB 的长是________. [解析] 分别将圆 C 和直线 l 的极坐标方程化为直角坐标方程: 圆 C:x2+y2=10x,即(x-5)2+y2=25, 圆心 C(5,0). 直线 l:3x-4y-30=0. 因为圆心 C 到直线 l 的距离 d= |15-0-30| =3. 5

所以|AB|=2 25-d2=8. [答案] 8 二、解答题 9. (常州市 2013 届高三教学期末调研测试)已知曲线 C1 的极坐标 π? π? ? ? 方程为 ρcos?θ-3?=-1,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=2 2cos?θ-4?,
? ? ? ?

判断两曲线的位置关系. [解] 将曲线 C1∶C2 化为直角坐标方程得: C1:x+ 3y+2=0, C2:x2+y2-2x-2y=0, 即 C2:(x-1)2+(y-1)2=2, 圆心到直线的距离 d= ∴曲线 C1 与 C2 相离. 10.(2014· 南京盐城高三数学二模数学试卷)在极坐标系中,求曲 π 线 ρ=2cos θ 关于直线 θ=4(ρ∈R)对称的曲线的极坐标方程. [解] 法一:以极点为坐标原点,极轴为 x 轴建立直角坐标系, 则曲线 ρ=2cos θ 的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1, 且圆心 C 为 (1,0). π 直线 θ=4的直角坐标方程为 y=x, 因为圆心 C(1,0)关于 y=x 的对称点为(0,1), 所以圆 C 关于 y=x 的对称曲线为 x2+(y-1)2=1. π 所以曲线 ρ=2cos θ 关于直线 θ=4(ρ∈R)对称的曲线的极坐标方 程为 ρ=2sin θ. |1+ 3+2|
2

3+ 3 = 2 > 2, 1 +? 3?
2

法二:设曲线 ρ=2cos θ 上任意一点为(ρ′,θ′),其关于直线 θ π =4对称点为(ρ,θ),

?ρ′=ρ, 则? π θ ′ = 2 k π + ? 2-θ.
?π ? 将(ρ′,θ′)代入 ρ=2cos θ,得 ρ=2cos?2-θ?即 ρ=2sin θ. ? ?

π 所以曲线 ρ=2cos θ 关于直线 θ=4(ρ∈R)对称的曲线的极坐标方 程为 ρ=2sin θ. [B 级 能力提升练]

一、填空题 1.(2014· 天津高考)在以 O 为极点的极坐标系中,圆 ρ=4sin θ 和直线 ρsin θ=a 相交于 A,B 两点.若△AOB 是等边三角形,则 a 的值为________. [解析] 圆的直角坐标方程为 x2+y2=4y,直线的直角坐标方程
? a ? 为 y=a,因为△AOB 为等边三角形,则 A?± ,a?,代入圆的方程得 ? 3 ?

a2 2 3 +a =4a,故 a=3. [答案] 3 π? ? 2.(苏州市 2014 届高三调研测试)在极坐标系中,点 M?2,6?关
? ?

π 于直线 θ=4的对称点为 N,则 MN 的长为________. π? π? ? ? π [解析] M?2,6?关于直线 θ=4的对称点为 N?2,3?.
? ? ? ?

6- 2 π 则 MN=20Msin 12=4× 4 = 6- 2. [答案] 6- 2

二、解答题 π? ? 3. 在极坐标系下, 已知圆 O: ρ=cos θ+sin θ 和直线 l: ρsin?θ-4?
? ?

2 =2, (1)求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程; (2)当 θ∈(0,π)时,求直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标. [解] (1)由 ρ=cos θ+sin θ,可得 ρ2=ρcos θ+ρsin θ, ρ =x +y , ? ? 又?ρcos θ=x, ? ?ρsin θ=y,
2 2 2

代入得⊙O:x2+y2-x-y=0.

π? ? 2 2 2 2 由 l:ρsin?θ-4?= 2 ,得: 2 ρcos θ- 2 ρsin θ=- 2 , ? ? ρcos θ-ρsin θ=-1,
? ?ρcos θ=x, 又? 代入得:x-y+1=0. ?ρsin θ=y, ? ? ? ?x-y+1=0, ?x=0, ? (2)由 2 2 解得? ? ? ?x +y -x-y=0, ?y=1.

?ρ =x +y , 又? y tan θ = ? x,

2

2

2

? ?ρ=1, 得? 又因为 θ∈(0,π), ?tan θ不存在, ?

? π? π 则 θ= ,故为?1,2?. 2 ? ?

第二节

参数方程

内容 A 考纲 传真 参数方程 直线、圆及椭圆的参数方程 参数方程与普通方程的互化 参数方程的简单应用

要求 B √ √ √ √ C

1.曲线的参数方程 一般地,如果曲线上任意一点的坐标(x,y)都是某个变数 t 的函

? ?x=f?t?, 数? 并且对于 t 的每一个允许值,由这个方程组所确定的点 ?y=g?t? ?

M(x,y)都在这条曲线上,那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方 程.联系变数 x,y 的变数 t 叫做参数. 2.参数方程与普通方程的互化 曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地,可 以通过消去参数从参数方程得到普通方程;如果知道变数 x,y 中的 一个与参数 t 的关系,例如 x=f(t),把它代入普通方程,求出另一个
?x=f?t? ? 变数与参数的关系 y=g(t),那么? 就是曲线的参数方程. ? ?y=g?t?

3.直线、圆、椭圆的参数方程 轨迹 直线 普通方程 y-y0=tan α(x-x0) π (α≠2,点斜式) (x-a) +(y-b) =r
2 2 2

参数方程
? ?x=x0+tcos α,? ? (t 为参数) ?y=y0+tsin α ? ? ?x=a+rcos θ,? ? (θ 为参数) ? ?y=b+rsin θ ? ?x=acos θ,? ? (θ 为参数) ?y=bsin θ ?



椭圆

x 2 y2 a2+b2=1(a>b>0)

1.(夯基释疑)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的 打“×”) (1) 过 M0(x0 , y0) , 倾 斜 角 为 α 的 直 线 l 的 参 数 方 程 为
? ?x=x0+tcos α, ? (t 为参数).参数 t 的几何意义表示:直线 l 上以定 ?y=y0+tsin α ?

→ 点 M0 为起点,任一点 M(x,y)为终点的有向线段M0M的数量.(

)

?x=2cos θ, ? (2) 方程 ? 表示以点 (0,1) 为圆心,以 2 为半径的 ? ?y=1+2sin θ

圆.(

)

? ?x=2cos t, (3)已知椭圆的参数方程? (t 为参数), 点 M 在椭圆上, ?y=4sin t ?

π 对应参数 t=3,点 O 为原点,则直线 OM 的斜率为 3.(

)

[解析] 根据直线与圆的参数方程知(1),(2)正确.对于(3),当 t π =3时,点 M(1,2 3),kOM=2 3,(3)错. [答案] (1)√ (2)√ (3)×

? ?x=3cost-1, 2.(教材习题改编)曲线? (t 为参数)的普通方程是 ?y=2-3sint ?

________,它表示的图形为________. [解析]
? ?x=3cost-1, 由? (t 为参数)可得 ? ?y=2-3sint

? ?x+1=3cost, ? ?y-2=-3sint. ?

即(x+1)2+(y-2)2=(3cost)2+(-3sint)2=9,则普通方程为(x+ 1)2+(y-2)2=9. 它表示的图形是以(-1,2)为圆心,3 为半径的圆. [答案] (x+1)2+(y-2)2=9 以(-1,2)为圆心,3 为半径的圆

?x= 5cos θ, ? 3.已知两曲线参数方程分别为? (0≤θ<π) 和 ? ?y=sin θ

?x=5t2, ? 4 ?y=t
[解析 ]

(t∈R),它们的交点坐标为________. x2 2 4 两曲线的普通方程分别为 5 + y =1,y2=5x(x≥0).由 2 5 解得 x=1,y=± 5 .

x 2 ? ? 5 +y =1, ? 4 2 ? ?y =5x,

2

又 0≤θ<π,所以 y≥0. 所以两曲线的交点为?1,
? ? 2 5? ? [答案] ?1, 5 ? ? ?

2 5? ?. 5 ?

?x= 4.(2014· 湖北高考)已知曲线 C1 的参数方程是? ?y=

t, 3t 3 (t 为参

数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程是 ρ=2,则 C1 与 C2 交点的直角坐标为________. 3 [解析] 曲线 C1,C2 的普通方程分别为 y= 3 x(x≥0),x2+ y2=4,设 P 为 C1 与 C2 的交点.如图作 PQ 垂直于 x 轴于点 Q, 3 因为 tan∠POQ= 3 , 所以∠POQ=30° ,又因为 OP=2,所以 P( 3,1). [答案] ( 3,1) 5.(2013· 江西高考)(坐标系与参数方程选做题)设曲线 C 的参数
? ?x=t, 方程为? (t 为参数),若以直角坐标系的原点为极点,x 轴的正 2 ?y=t ?

半轴为极轴建立极坐标系,则曲线 C 的极坐标方程为________. [解析] 曲线 C 的普通方程为 y=x2,把 x=ρcos θ,y=ρsin θ 代 入得 ρsin θ=ρ2cos2 θ,整理得 ρcos2 θ=sin θ,故曲线 C 的极坐标方程 为 ρcos2 θ=sin θ. [答案] ρcos2 θ=sin θ

考向 1 参数方程与普通方程的互化 【典例 1】 (2014· 福建高考)已知直线 l 的参数方程为

?x=a-2t, ?x=4cos θ, ? ? ? (t 为参数), 圆 C 的参数方程为? (θ 为参数). ? ? ?y=-4t ?y=4sinθ

(1)求直线 l 和圆 C 的普通方程; (2)若直线 l 与圆 C 有公共点,求实数 a 的取值范围.
?x=a-2t, ? [解] (1)因为直线 l 的参数方程为? (t 为参数), ?y=-4t ?

a-x 由 x=a-2t,得 t= 2 ,代入 y=-4t,得到直线 l 的普通方程 为 2x-y-2a=0. 同理可得曲线 C 的普通方程为 x2+y2=16. (2)因为直线 l 与圆 C 有公共点, 故圆 C 的圆心到直线 l 的距离 d= 解得-2 5≤a≤2 5. 【规律方法】 1.将参数方程化为普通方程,消参数常用代入法、加减消元法、 三角恒等变换法消去参数. |-2a| ≤4, 5

2.把参数方程化为普通方程时,要注意哪一个量是参数,并且 要注意参数的取值范围对普通方程中 x 及 y 的取值范围的影响. 【变式训练 1】 (2013· 江苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中,直
?x=t+1, ? 线 l 的参数方程为 ? (t 为参数 ) ,曲线 C 的参数方程为 ? ?y=2t
2 ? ?x=2tan θ, ? (θ 为参数).试求直线 l 和曲线 C 的普通方程,并求出 ?y=2tan θ ?

它们的公共点的坐标. [解 ]
? ?x=t+1, 因为直线 l 的参数方程为? (t 为参数),由 x=t ? ?y=2t

+1,得 t=x-1,代入 y=2t,得到直线 l 的普通方程为 2x-y-2= 0. 同理得到曲线 C 的普通方程为 y2=2x(x≥0).
?y=2?x-1?, ? 联立方程组? 2 ? ?y =2x, ?1 ? 解得公共点的坐标为(2,2),?2,-1?. ? ?

考向 2 参数方程的应用(高频考点) 命题视角 参数方程的应用是历年高考重点,主要命题角度为: (1)直线参数方程的应用;(2)圆的参数方程的应用;(3)椭圆参数方程 的应用. 【典例 2】 (1)(2014· 江苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中,已知

?x=1- 22t, 直线 l 的参数方程为? 2 y = 2 + ? 2t

(t 为参数),直线 l 与抛物线 y2

=4x 相交于 A,B 两点,求线段 AB 的长.

(2)(2014· 江苏南通二模)在平面直角坐标系 xOy 中,设动点 P,Q
? ?x=1+2cos θ, 都在曲线 C:? (θ 为参数)上,且这两点对应的参数分 ?y=2sin θ ?

别为 θ=α 与 θ=2α(0<α<2π), 设 PQ 的中点 M 与定点 A(1,0)间的距离 为 d,求 d 的取值范围. 【思路点拨】 (1)利用直线 l 的参数方程参数 t 的几何意义求

解.(2)用参数 l 表示出 P,Q 两点的坐标进而求解.

[解 ]

?x=1- 22t (1)将直线 l 的参数方程? 2 y = 2 + ? 2t

代入抛物线 y2=4x

2 2 得(2+ 2 t)2=4(1- 2 t),解得 t1=0,t2=-8 2. 所以|AB|=|t1-t2|=8 2. (2)由题设可知 P(1+2cos α,2sin α),Q(1+2cos 2α,2sin 2α), 于是 PQ 的中点 M 的坐标为(1+cos α+cos 2α,sin α+sin 2α). 从而 d2=|MA|2=(cos α+cos 2α)2+(sin α+sin 2α)2=2+2cos α. 因为 0<α<2π,所以-1≤cos α<1, 于是 0≤d2<4,故 d 的取值范围是[0,2). 【通关锦囊】 1.求直线被圆锥曲线所截线段长时常利用直线参数方程的几何
? ?x=x0+at, 意义求解,但对于形如? (t 为参数)的参数方程,当 a2+ ? ?y=y0+bt

b2≠1 时,应先化为标准形式后才能利用 t 的几何意义解题. 2.已知圆、圆锥曲线的参数方程解决有关问题时,一般把参数 方程化为普通方程, 通过互化解决与圆、 圆锥曲线上动点有关的问题, 如最值、范围等.

【变式训练 2】

x2 y2 (2014· 课标全国卷Ⅰ)已知曲线 C: 4 + 9 =1.

? ?x=2+t, 直线 l:? (t 为参数). ?y=2-2t, ?

(1)写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程; (2)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30° 的直线, 交 l 于点 A, 求|PA|的最大值与最小值.
?x=2cos θ, ? [解] (1)曲线 C 的参数方程为? (θ 为参数). ?y=3sin θ ?

直线 l 的普通方程为 2x+y-6=0. 5 (2)曲线 C 上任意一点 P(2cos θ, 3sin θ)到 l 的距离为 d= 5 |4cos θ +3sin θ-6|. d 2 5 则|PA|=sin 30° = 5 |5sin(θ+α)-6|, 4 其中 α 为锐角,且 tan α=3. 22 5 当 sin(θ+α)=-1 时,|PA|取得最大值,最大值为 5 . 2 5 当 sin(θ+α)=1 时,|PA|取得最小值,最小值为 5 . 考向 3 参数方程与极坐标方程的综合问题 【典例 3 】 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为

? ?x=2cos α, ? (α 为参数), ?y=2+2sin α ?

→ → M 是 C1 上的动点,点 P 满足OP=2OM,点 P 的轨迹为曲线 C2. (1)求 C2 的参数方程; (2)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 θ=

π 3与 C1 的异于极点的交点为 A,与 C2 的异于极点的交点为 B,求|AB|. 【思路点拨】 → → (1)根据OP=2OM,知点 M 为线段 OP 的中点,

π 由代入法求曲线 C2 的参数方程;(2)由于点 A、B 在射线 θ=3上,分 别求点 A、B 的极径,进而确定|AB|的大小. → → [解] (1)由OP=2OM知,点 M 是线段 OP 的中点.
? x y? 设点 P(x,y),则 M?2,2?, ? ? ? ?x=2cos α, ∵点 M 在曲线 C1:? 上, ? ?y=2+2sin α

x ? ?2=2cos α, 所以? y ? ?2=2+2sin α,
?x=4cos α, ? 即? ? ?y=4+4sin α. ? ?x=4cos α, 从而曲线 C2 的参数方程为? (α 为参数). ?y=4+4sin α ?

(2)曲线 C1 的极坐标方程为 ρ=4sin θ, 曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=8sin θ. π π ∴射线 θ=3与 C1 的交点 A 的极径 ρ1=4sin 3, π π 射线 θ=3与 C2 的交点 B 的极径 ρ2=8sin 3. π 故|AB|=|ρ2-ρ1|=4sin 3=2 3. 【规律方法】

1.第 (2)问利用极坐标方程求两点间的距离,要注意两点: (1) 准确把曲线 C1,C2 化为极坐标方程;(2)理解极径的意义. 2.本题将极坐标与参数方程交织在一起,考查逻辑思维能力及 运算求解能力.善于将各类方程相互转化是求解该类问题的前提. 【变式训练 3】 在平面直角坐标系中,以坐标原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线 l 上两点 M,N 的极坐
? ?2 3 π? ?x=2+2cos θ, ? ? 标分别为(2,0), (θ ,2 ,圆 C 的参数方程为? ? 3 ? ? ?y=- 3+2sin θ

为参数). (1)设 P 为线段 MN 的中点,求直线 OP 的平面直角坐标方程; (2)判断直线 l 与圆 C 的位置关系.
?0, [解] (1)由题意知, M, N 的平面直角坐标分别为(2,0), ? ?

2 3? ?. 3 ? 3? ?, 3?

又 P 为线段 MN 的中点,从而点 P 的平面直角坐标为?1,
?

?

3 故直线 OP 的平面直角坐标方程为 y= 3 x. (2) 因为直线 l 上两点 M , N 的平面直角坐标分别为 (2,0) ,
? 2 3? ?0, ?,所以直线 l 的平面直角坐标方程 3x+3y-2 3=0. 3 ? ?

又圆 C 的圆心坐标为(2,- 3),半径 r=2,圆心到直线 l 的距 离 d= |2 3-3 3-2 3| ? 3? +3
2 2

3 =2<r,故直线 l 与圆 C 相交.

具备 1 种思想 在解决参数方程和极坐标方程问题时, 常将各类

方程相互转化以方便求解. 勿忘 1 点注意 将参数方程化为普通方程时, 要注意参数的取值 范围对普通方程中 x,y 的取值范围的影响. 掌握 2 个结论 设过点 M(x0, y0)的直线 l 交曲线 C 于 A、 B 两点,
? ?x=x0+tcos α, 若直线的参数方程为? (t 为参数)注意两个结论的应 ? ?y=y0+tsin α

用: 1.|AB|=|t1-t2|; 2.|MA|· |MB|=|t1· t2|.

思想方法之 21

“互化思想”在解决极坐标方程与参数方 程问题中的应用

(2014· 课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系 xOy 中,以坐标原 点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆 C 的极坐标方程为 π? ? ρ=2cos θ,θ∈?0,2?.
? ?

(1)求 C 的参数方程; (2)设点 D 在 C 上,C 在 D 处的切线与直线 l:y= 3x+2 垂直, 根据(1)中你得到的参数方程,确定 D 的坐标. [解] (1)C 的普通方程为 (x-1)2+y2=1(0≤y≤1) 可得 C 的参数方程为
? ?x=1+cos t, ? (t 为参数,0≤t≤π). ? ?y=sin t

(2)设 D(1+cos t,sin t).由(1)知 C 是以 G(1,0)为圆心,1 为半径 的上半圆.因为 C 在点 D 处的切线与 l 垂直,所以直线 GD 与 l 的斜 π 率相同,tan t= 3,t=3. π π? ? 故 D 的直角坐标为?1+cos 3,sin 3?, ? ?
?3 3? 即? , ?. 2? ?2

【智慧心语】 易错提示:忽略 θ 的取值范围导致错误. 防范措施:要注意极坐标方程中参数的限定,并在写直角坐标方 程及对应的参数方程中对变量作相应的限定. 【类题通关】 (2014· 扬州调研 ) 已知直线 l 的极坐标方程是

? ?x=1+ 2cos θ, π? ? ? ? ρcos θ+4 =4 2,圆 M 的参数方程是? (θ 是参数). ? ? ? ?y=1+ 2sin θ

(1)将直线的极坐标方程化为普通方程; (2)求圆上的点到直线 l 上点距离的最小值. π? ? 2 2 [解] (1)由 ρcos?θ+4?=4 2得 2 ρcos θ- 2 ρsin θ=4 2, ? ? 即 x-y-8=0.
?x=1+ 2cos θ, ? (2)由? 消去参数 θ 得(x-1)2+(y+1)2=2, ?y=-1+ 2sin θ ?

故圆的圆心为 M(1,-1),半径为 2, |1-?-1?-8| ∴圆心 M 到直线 l 的距离为 d= =3 2, 2 ∴圆上的点到直线 l 上点的距离的最小值是 3 2- 2=2 2.

课后限时自测 [A 级 基础达标练]

一、填空题
? ?x=1-cos θ, 1. (2014· 北京高考改编)曲线? (θ 为参数)的对称中 ?y=2+sin θ ?

心坐标是________. [解析]
? ?x=-1+cos θ, 曲线? (θ 为参数)的普通方程为(x+1)2 ?y=2+sin θ ?

+(y-2)2=1,所以对称中心坐标为(-1,2). [答案] (-1,2)
? ? ?x=2+t, ?x=3cos θ, ? 2.直线 (t 为参数)与曲线? (α 为参数)的 ?y=-1-t ?y=3sin α ? ?

交点个数为________. [解析] 把参数方程化为普通方程,直线 x+y=1,圆为 x2+y2 =9,易得有两个交点. [答案] 2 3.在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 和 C2 的参数方程分别为
? ? ?x=t, ?x= 2cos θ, ? (t 为参数)和? (θ 为参数),则曲线 C1 与 C2 的 ?y= t ?y= 2sin θ ? ?

交点坐标为________. [解析] C1 化为普通方程为 y2=x(x≥0,y≥0).
2 ? ?y =x, C2 化为普通方程为 x +y =2,联立? 2 2 ?x +y =2, ? 2 2

? ?y=1, 得? ∴交点坐标为(1,1). ?x=1. ?

[答案] (1,1) 4.(2014· 安徽高考改编)以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴 的正半轴为极轴, 建立极坐标系, 两种坐标系中取相同的长度单位. 已
? ?x=t+1, 知直线 l 的参数方程是? (t 为参数),圆 C 的极坐标方程是 ?y=t-3 ?

ρ=4cos θ,则直线 l 被圆 C 截得的弦长为________. [解析]
? ?x=t+1, 由? 消 t 得 x-y-4=0, ? ?y=t-3

∵C:ρ=4cos θ,∴ρ2=4ρcos θ. ∴C:x2+y2=4x,即(x-2)2+y2=4, ∴C(2,0),r=2, ∴点 C 到直线 l 的距离 d= |2-0-4| = 2, 2

∴所求弦长为 2 r2-d2=2 2. [答案] 2 2 π 5.(2014· 湖南高考)在平面直角坐标系中,倾斜角为4的直线 l 与
? ?x=2+cos α, 曲线 C:? (α 为参数)交于 A,B 两点,且|AB|=2,以 ?y=1+sin α ?

坐标原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线 l 的极 坐标方程是________. [解析] 曲线 C 的方程为(x-2)2+(y-1)2=1,圆心 C(2,1),半径 r=1,又弦长|AB|=2,故 AB 为圆 C 的直径,即直线 l 过圆心,又直 线 l 斜率 k=1,所以直线 l 的方程为 x-y=1,极坐标方程为 ρ(cos θ

-sin θ)=1. [答案] ρ(cos θ-sin θ)=1 6.(2014· 南京市、盐城市第一次模拟)在极坐标系中,圆 C 的方 程为 ρ=2acos θ,以极点为坐标原点,极轴为 x 轴的正半轴建立平面
? ?x=3t+2, 直角坐标系,直线 l 的参数方程为? (t 为参数),若直线 l ? ?y=4t+2

与圆 C 相切,则实数 a 的值为________. [解析] 易求直线 l:4x-3y-2=0,圆 C:(x-a)2+y2=a2, 依题意,有 |4a-2| 2 = | a | ,解得 a =- 2 或 9. 42+?-3?2

2 [答案] -2 或9 7 . (2014· 扬州中学月考)在直角坐标系中,参数方程为

?x=2+ 23t, ? 1 ?y=2t
________.

(t 为参数)的直线 l,被以原点为极点,x 轴的正半轴

为极轴,极坐标方程为 ρ=2cos θ 的曲线 C 所截,则截得的弦长为

[解析] 由题意知,直线 l 的倾斜角为 30° ,并过点 A(2,0);曲线 C 是以(1,0)为圆心、半径为 1 的圆,且圆 C 也过点 A(2,0);设直线 l 为圆 C 的另一个交点为 B,在 Rt△OAB 中,|AB|=2cos 30° = 3. [答案] 8. 3

图 51 (2013· 陕西高考)如图 51,以过原点的直线的倾斜角 θ 为参数, 则圆 x2+y2-x=0 的参数方程为________. 1? ? 1 [解析] 将 x2+y2-x=0 配方,得?x-2?2+y2=4,∴圆的直径为
? ?

1.设 P(x,y),则 x=|OP|cos θ=1×cos θ×cos θ=cos2θ, y=|OP|sin θ=1×cos θ×sin θ=sin θcos θ, ∴圆 x2+y2-x=0 的参数方程为
2 ? ?x=cos θ, ? (θ 为参数). ?y=sin θcos θ ? 2 ? ?x=cos θ, ? (θ 为参数) ? ?y=sin θcos θ

[答案]

二、解答题 9.(2014· 南师附中月考)在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C1: x2+y2=4,圆 C2:(x-2)2+y2=4.在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴 的极坐标系中,分别求圆 C1,C2 的极坐标方程及这两个圆的交点的 极坐标. [解] 圆 C1 的极坐标方程为 ρ=2, 圆 C2 的极坐标方程为 ρ=4cos θ,

? ? ?ρ=2, ? 由 得? π ? θ=± , ?ρ=4cos θ
ρ=2, 3

?

故圆 C1, C2 交点的极坐标分别为

π? ? π? ? ?2, ?,?2,- ?. 3? ? 3? ? x2 10. (2014· 南京三模)在平面直角坐标系 xOy 中, 已知 M 是椭圆 4 y2 +12=1 上在第一象限的点,A(2,0),B(0,2 3)是椭圆的两个顶点,

求四边形 OAMB 的面积的最大值. π? ? [解] 设 M(2cos θ,2 3sin θ),θ∈?0,2?.
? ?

由题意知|OA|=2,|OB|=2 3, 1 1 所以四边形 OAMB 的面积 S=2×|OA|×2 3sin θ+2×|OB|×2cos θ, π? ? =2 3sin θ+2 3cos θ=2 6sin?θ+4?.
? ?

π 所以当 θ=4时,四边形 OAMB 的面积最大, 最大值为 2 6. [B 级 能力提升练]

一、填空题
? ?x=2+t, 1.(2014· 重庆高考)已知直线 l 的参数方程为? (t 为参 ?y=3+t ?

数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ρsin2 θ-4cos θ=0(ρ≥0,0≤θ<2π), 则直线 l 与曲线 C 的公共点的极径 ρ=________. [解析] 依题意,直线 l 与曲线 C 的直角坐标方程分别是 x-y+
?x-y+1=0, ? 1=0,y2=4x.由? 2 得 x2-2x+1=0,解得 x=1,则 y= ? ?y =4x

2,因此直线 l 与曲线 C 的公共点的直角坐标是(1,2),该点与原点的 距离为 12+22= 5,即直线 l 与曲线 C 的公共点的极径 ρ= 5. [答案] 5

2.(2014· 江苏徐州三模)在极坐标系中,已知圆 A 的圆心为(4,0),

半径为 4,点 M 为圆 A 上异于极点 O 的动点.则弦 OM 中点的轨迹 的极坐标方程为________. [解析] 由题意知,圆 A 的极坐标方程为 ρ=8cos θ, 设弦 OM 的中点为 N(ρ,θ),则 M(2ρ,θ),因为点 M 在圆 A 上, 所以 2ρ=8cos θ,即 ρ=4cos θ,又点 M 异于极点 O,所以 ρ≠0,所 以弦 OM 中点的轨迹的极坐标方程为 ρ=4cos θ(ρ≠0). [答案] ρ=4cos θ(ρ≠0) 二、解答题 3.(2014· 苏北四市高三)(选修 4-4:坐标系与参数方程)在平面

?x= 22t, 直角坐标系 xOy 中,已知直线 l 的参数方程是? 2 y = ? 2 t+4
? ?

(t 为 2

参数);以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标中,圆 C 的极坐标 π? ? 方程为 ρ=2cos?θ+4?.由直线 l 上的点向圆 C 引切线,求切线长的最 小值. [解] 因为圆 C′的极坐标方程为 ρ= 2cos θ- 2sin θ,所以 ρ2 = 2ρcos θ- 2ρsin θ,所以圆 C′的直角坐标方程为 x2+y2- 2x+ 2y=0,圆心 C 为?
? 2 2? ?,半径为 1, ,- 2? ?2

?x= 22t, 因为直线 l 的参数方程为? 2 y = ? 2 t+4
所以直线 l 上的点 P?

(t 为参数), 2

? 2t ? 2t ?向圆 C 引切线长是 , + 4 2 2 ? 2 ?

PC2-R2



? 2t 2?2 ? 2t 2?2 ? ? +? ? -1 - + 4 2 + 2? ? 2 2? ? 2



?t+4?2+24≥2 6, 所以直线 l 上的点向圆 C 引的切线长的最小值是 2 6.


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