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【新课标人教A版】2014届高考数学(理)总复习限时规范训练:7.7 立体几何中的向量方法


第七章

第7讲

(时间:45 分钟 一、选择题

分值:100 分)

1. [2013· 西安名校联考]若直线 l 的方向向量为 a=(1, -1, 平面 α 的法向量为 u=(- 2), 2,2,-4),则( A. l∥α C. l?α 答案:B 解析:因为直线 l 的方向向量为 a=(1,-1,2),平面 α 的法向量为 u=(-2,2,-4)共 线,则说明了直线与平面垂直,选择 B. 2. 如图,正方体 ABCD-A 1B 1 C1 D1 中,E,F 分别在 A 1 D, 2 1 AC 上,且 A 1 E= A 1 D,AF= AC,则( 3 3 A. EF 至多与 A1 D,AC 之一垂直 B. EF⊥A 1 D,EF⊥AC C. EF 与 BD1 相交 D. EF 与 BD1 异面 答案:B 解析:以 D 点为坐标原点,以 DA,DC,DD1 所在直线分别为 x,y,z 轴建立空间直角 坐标系,设正方体棱长为 1, 1 1 2 1 则 A 1(1,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),E( ,0, ),F( , ,0),B(1,1,0),D1(0,0,1), 3 3 3 3 → → A 1 D=(-1,0,-1),AC=(-1,1,0), 1 → 1 1 → EF=( , ,- ),BD1=(-1,-1,1), 3 3 3 1→ → → → → → EF=- BD1,A 1 D· =AC· F =0, EF E 3 从而 EF∥BD1 ,EF⊥A1 D,EF⊥AC.故选 B. 3. 若 a=(2,-2,-2),b=(2,0,4),则 a 与 b 的夹角的余弦值为( A. 4 85 85 15 15 B. D. 0 69 85 ) ) ) B. l⊥α D. l 与 α 斜交

C. -

答案:C 解析:cos〈a,b〉= 2×2-8 a· b 15 = =- . |a|· 2 3×2 5 |b| 15

4. [2013· 皖北五校联考]在正三棱柱 ABC-A 1B 1 C1 中,已知 AB=1,D 在棱 BB 1 上,且 BD=1,则 AD 与平面 AA 1 C1 C 所成的角的正弦值为( A. C. 6 4 10 4 B. - D. - 6 4 10 4 )

答案:A

解析:取 AC 中点 E,连接 BE,则 BE⊥AC, 如图,建立空间直角坐标系 Bxyz, 则 A( 3 1 , ,0),D(0,0,1), 2 2 3 1 ,- ,1). 2 2

则 A D =(-



∵平面 ABC⊥平面 AA1 C1 C,BE⊥AC, ∴BE⊥平面 AA1 C1 C. ∴B E =(



3 ,0,0)为平面 AA 1 C1 C 的一个法向量, 2

∴cos〈A D ,B E 〉=-





6 , 4

设 AD 与平面 AA 1 C1 C 所成的角为 α, ∴sinα=|cos|〈A D ,B E 〉|=





6 ,故选 A. 4

5. [2013· 江苏模拟]在直三棱柱 A 1B 1 C1 -ABC 中,∠BCA=90° ,点 D1 、F 1 分别是 A 1B 1 、 A 1 C1 的中点,BC=CA=CC1 ,则 BD1 与 AF 1 所成的角的余弦值是( A. 30 10 B. 1 2 )

C.

30 15

D.

15 10

答案:A 1 解析:建立如图所示的坐标系,设 BC=1,则 A(-1,0,0),F 1 (- ,0,1),B(0,-1,0), 2 1 1 D1 (- ,- ,1), 2 2

1 1 1 → → 即AF 1=( ,0,1),BD1=(- , ,1). 2 2 2 → → AF 1· 1 BD 30 → → ∴cos〈AF 1,BD1〉= = . → → 10 |AF 1|· 1 | |BD 6. [2013· 天津十校联考]如图,在四棱锥 P-ABCD 中,侧 面 PAD 为正三角形,底面 ABCD 为正方形,侧面 PAD⊥底面 ABCD, 为底面 ABCD 内的一个动点,且满足 MP=MC,则 M 点 M 在正方形 ABCD 内的轨迹为( )

答案:A

解析:以 D 为原点,DA、DC 所在直线分别为 x、y 轴建系如图:设 M(x,y,0),设正方 a 3 形边长为 a,则 P( ,0, a),C(0,a,0),则|MC|= x2 +?y-a?2, 2 2

|MP|=

a 3 ?x- ?2 +y2 +? a?2 . 2 2

1 由|MP|=|MC|得 x=2y,所以点 M 在正方形 ABCD 内的轨迹为直线 y= x 的一部分. 2 二、填空题 7. [2013· 泉州模拟]如图,PD 垂直于正方形 ABCD 所在平 面,AB=2,E 为 PB 的中点,cos〈DP ,AE〉=





3 ,若以 DA, 3

DC,DP 所在直线分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系,则 点 E 的坐标为________. 答案:(1,1,1) 解析:设 PD=a, 则 D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0), a P(0,0,a),E(1,1, ), 2 a → → ∴DP =(0,0,a),AE=(-1,1, ). 2 由 cos〈DP ,AE〉=





3 a ,∴ =a 3 2

2

a 3 2+ · , 4 3

2

∴a=2.∴E 的坐标为(1,1,1). 8. [2013· 佛山质检]已知棱长为 1 的正方体 ABCD-A 1 B1 C1 D1 中,E 是 A 1 B 1 的中点,求 直线 AE 与平面 ABC1 D1 所成角的正弦值________. 答案: 10 5

解析:如图建立空间直角坐标系,AB=(0,1,0), 1 → → AD1=(-1,0,1),AE=(0, ,1) 2



设平面 ABC1 D1 的法向量为 n=(x,y,z),

→ → 由 n· =0 可解得 n=(1,0,1),n· 1=0 AB AD

设直线 AE 与平面 ABC1 D1 所成的角为 θ, 则 sinθ=

10 = . 5 | AE|· |n|

|AE· n|





9. [2013· 合肥调研]已知在长方体 ABCD-A1 B1 C1 D1 中,底面是边长为 2 的正方形,高为 4,则点 A 1 到截面 AB1 D1 的距离是________. 4 答案: 3 解析:如图建立空间直角坐标系 Dxyz, 则 A 1(2,0,4),A(2,0,0), B 1 (2,2,4),D1 (0,0,4), → AD1=(-2,0,4), → AB 1=(0,2,4), → AA 1=(0,0,4), 设平面 AB1 D1 的法向量为 n=(x,y,z),

?n·→ 1=0, ? ? AD ?-2x+4z=0, 则? 即? → ? ?2y+4z=0, ?n· 1=0, ? AB
解得 x=2z 且 y=-2z, 不妨设 n=(2,-2,1), 设点 A 1 到平面 AB1 D1 的距离为 d, 则 d= → |AA 1· 4 n| = . |n| 3

三、解答题 10. [2013· 豫西模拟]已知在几何体 A-BCED 中,∠ACB=90° , CE⊥平面 ABC,平面 BCED 为梯形,且 AC=CE=BC=4,DB=1. (1)求异面直线 DE 与 AB 所成角的余弦值; (2)试探究在 DE 上是否存在点 Q,使得 AQ⊥BQ,并说明理由. 解:(1)由题知,CA,CB,CE 两两垂直,以 C 为原点,以 CA, CB,CE 所在直线分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系. 则 A(4,0,0),B(0,4,0),D(0,4,1),E(0,0,4), ∴DE =(0,-4,3),AB=(-4,4,0), 2 2 → → ∴cos〈DE ,AB〉=- , 5 2 2 ∴异面直线 DE 与 AB 所成角的余弦值为 . 5





(2)设满足题设的点 Q 存在,其坐标为(0,m,n),则 A Q =(-4,m,n),B Q =(0,m -4,n),E Q =(0,m,n-4),Q D =(0,4-m,1-n). ∵AQ⊥BQ,∴m(m-4)+n2 =0,①









→ → ∵点 Q 在 ED 上,∴存在 λ∈R(λ>0)使得EQ=λQD,
4λ ∴(0,m,n-4)=λ(0,4-m,1-n),∴m= ,② 1+λ n= 4+λ .③ 1+λ λ+4 2 16λ )= 2, 1+λ ?1+λ?

由①②③得(

∴λ2 -8λ+16=0,解得 λ=4. ∴m= 16 8 ,n= . 5 5

16 8 ∴满足题设的点 Q 存在,其坐标为(0, , ). 5 5 11. [2012· 长郡模拟]如图所示,在棱长为 a 的正方体 ABCD-A 1B 1 C1 D1 中,E、F、H 分 别是棱 BB1 、CC1 、DD1 的中点.

(1)求证:BH∥平面 A 1EFD1 ; (2)求直线 AF 与平面 A1 EFD1 所成的角的正弦值.

解:以 D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系,

a a 则 A(a,0,0),B(a,a,0),H(0,0, ),F(0,a, ),A 1 (a,0,a), 2 2 a E(a,a, ),D1 (0,0,a) 2 a → → (1)∵A 1 E=(0,a,- ),D1 A 1=(a,0,0) 2 设平面 A 1EFD1 的一个法向量为 n=(x,y,z).

?n·→ =ay-az=0 ? A1E 2 则? ?n·→ =ax=0 ? D1 A1
令 z=2,则 y=1. ∴n=(0,1,2)



a → 又∵BH=(-a,-a, ) 2 → ∴BH· n=0-a+a=0. → ∴BH⊥n,∵BH?平面 A1 EFD1 . ∴BH∥平面 A1 EFD1 . a → (2)∵AF=(-a,a, ),由(1)知 n=(0,1,2)是平面 A1 EFD1 的一个法向量,设直线 AF 与 2 平面 A 1EFD1 所成的角为 θ,则 → |AF· n| → sinθ=|cos〈AF,n〉|= → |AF|· |n| = |a+a| a a2 +a2 + · 1+4 4
2



4 3 5



4 5 . 15

4 5 即直线 AF 与平面 A 1EFD1 所成的角的正弦值为 . 15 12. [2013· 贵州模拟]如图,在四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 是矩形,PA⊥平面 ABCD,AP=AB=2,BC =2 2,E,F 分别是 AD,PC 的中点. (1)证明:PC⊥平面 BEF; (2)求平面 BEF 与平面 BAP 夹角的大小.

解:(1)如图,以 A 为坐标原点,AB,AD,AP 所在的直线分别为 x,y,z 轴建立空间 直角坐标系. ∵AP=AB=2,BC=2 2,四边形 ABCD 是矩形, ∴A,B,C,D 的坐标为 A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2 2,0),D(0,2 2,0),P(0,0,2). 又 E,F 分别是 AD,PC 的中点, ∴E(0, 2,0),F(1, 2,1). ∴PC=(2,2 2,-2),BF=(-1, 2,1),EF=(1,0,1), ∴PC· =-2+4-2=0,P C · =2+0-2=0, BF EF ∴PC⊥BF,PC⊥EF, ∴PC⊥BF,PC⊥EF,BF∩EF=F, ∴PC⊥平面 BEF. (2)由(1)知平面 BEF 的一个法向量 n1 =PC=(2,2 2,-2),平面 BAP 的一个法向量 n2 =A D =(0,2 2,0), ∴n1 ·2 =8, n |n · | n 8 2 设平面 BEF 与平面 BAP 的夹角为 θ,则 cosθ=|cos〈n1 ,n2 〉|= 1 2 = = , |n1 ||n2 | 4×2 2 2 ∴θ=45° ,∴平面 BEF 与平面 BAP 的夹角为 45° .







→ → →

→→












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