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江苏省2015届高三数学一轮复习备考试题:平面向量


江苏省 2015 年高考一轮复习备考试题 平面向量
一、填空题 1 、( 2014 年 江 苏 高 考 ) 如 图 , 在 平 行 四 边 形 ABCD 中 , 已 知 AB ? 8, AD ? 5 ,

CP ? 3PD, AP ? BP ? 2 ,则 AB ? AD 的值是 ▲ .

2、 (2013 年江苏高考)设 D,E

分别是 ?ABC 的边 AB,BC 上的点, AD ? 若 DE ? ?1 AB ? ?2 AC ( ?1,?2 为实数) ,则 ?1 ? ?2 的值为

1 2 AB , BE ? BC , 2 3



3、 (2012 年江苏高考) 如图, 在矩形 ABCD 中,AB ? 2 , 点 F 在边 CD BC ? 2 ,点 E 为 BC 的中点, 上,若 AB AF ? 2 ,则 AE BF 的值是 ▲ .

4、 (2015 届江苏南京高三 9 月调研)已知向量 a=(2,1),b=(0,-1).若(a+λb)⊥a, 则实数 λ= ▲ .

5、 (2015 届江苏南通市直中学高三 9 月调研)已知△ABC 中,∠C=90° , CA ? 3,CB ? 4 , D、 E 分 别为边 CA、CB 上的点,且 BD ? CA ? 6 ,

A E? C B ? 8 ,则 AE ? BD ?

▲ .

6、 (2015 届江苏苏州高三 9 月调研)如图 , AB 是半径为 3 的圆 O 的直径 , P 是圆 O 上异于 A, B 的

·1 ·

一点 Q 是线段 AP 上靠近 A 的三等分点 , 且 AQ ? AB ? 4, 则 BQ ? BP 的 值为 ▲

7、 (南京市 2014 届高三第三次模拟)在 Rt△ABC 中,CA=CB=2,M,N 是斜边 AB 上的两个动点, → → 且 MN= 2,则 CM · CN 的取值范围为 ▲ .

8、 (南通市 2014 届高三第三次调研)在直角三角形 ABC 中, C =90° , AC ? 6 , BC ? 4 .若点 D 满 足 AD ? ?2 DB ,则 | CD |? ▲ .

9、 (苏锡常镇四市 2014 届高三 5 月调研(二) )已知平面内的四点 O,A,B,C 满足 OA ? BC ? 2 ,
OB ? CA ? 3 ,则 OC ? AB =





10、 (徐州市 2014 届高三第三次模拟)如图,在△ ABC 中,已知 ?BAC ?

π , AB ? 2 , AC ? 3 , 3

DC ? 2 BD , AE ? 3ED ,则 BE ?





2π → → → 11、 (南京、 盐城市 2014 届高三第二次模拟 (淮安三模) ) 已知| OA |=1, | OB |=2, ∠AOB= , OC 3 1→ 1→ → → = OA + OB ,则 OA 与 OC 的夹角大小为 2 4 ▲

12、 (2014 江苏百校联考一)如图, PQ 是半径为 1 的圆 A 的直径,△ABC 是边长为 1 的正三角形, 则 BP ? CQ 的最大值为

·2 ·

13、 (2014 南通二模)在△ABC 中,D 是 BC 的中点,AD=8,BC=20,则 AB ? AC 的值为 ▲ .
BG ? 2GO , 14、 (苏锡常镇四市 2014 届高三 3 月调研 (一) ) 如图, 在△ABC 中, BO 为边 AC 上的中线,

1 设 CD ∥ AG ,若 AD ? AB ? ? AC (? ? R ) ,则 ? 的值为 5



15、 (兴化市 2014 届高三上学期期中)已知在 ?ABC 中, AB ? BC ? 3 , AC ? 4 ,设 O 是 ?ABC 的内心,若 AO ? m AB ? n AC ,则 m : n ? 4 : 3 .

二、解答题 1、 (2013 年江苏高考)已知 a =(cos ?,sin ?), b ? (cos ?,sin ?) , 0 ? ? ? ? ? ? 。 (1)若 | a ? b |? 2 ,求证: a ? b ; (2)设 c ? (0,1) ,若 a ? b ? c ,求 ? , ? 的值。 2、 (2012 年江苏高考)在 ?ABC 中,已知 AB AC ? 3BA BC . (1)求证: tan B ? 3tan A ; (2)若 cos C ?

5 ,求 A 的值. 5

3、 (苏锡常镇四市 2014 届高三 5 月调研(二) )在△ ABC 中,已知 C ?

n ? (1,cos B) ,且 m ? n .
(1)求 A 的值;

π ,向量 m ? (sin A,1) , 6

(2)若点 D 在边 BC 上,且 3BD ? BC , AD ? 13 ,求△ ABC 的面积.
·3 ·

4、 (2014 江苏百校联考一) 知 a ? (3, ? cos(? x)) ,b ? (sin(? x), 3) , 其中 ? ? 0 , 函数 f ( x) ? a ? b 的最小正周期为 ? . (1)求 f ( x ) 的单调递增区间; (2)在 ?ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c .且 f ( ) ? 3 , a ? 3b ,求角 A 、 B 、

A 2

C 的大小

5、 (2014 南通二模)在△ABC 中,已知 AB ? AC ? 9 ,AB ? BC ? ?16 .求: (1)AB 的值; (2)

sin( A ? B) 的值. sin C

6、 (徐州市 2014 届高三上学期期中)设向量 a ? (2,sin ? ), b ? (1,cos? ),? 为锐角。
(1)若 a ? b ?

13 ,求 sin ? ? cos ? 的值; 6

(2)若 a / / b ,求 sin(2? ?

?

3

) 的值。

参考答案
一、填空题 1\、22
2、 ?1 ? ? 2 ?

1 2

3、 2

4、5

5、-14

6、24 12、

3 7、[ ,2] 2 13、-36 14、

8、10

9、-5

10、

13 4

11、60°

1 2

6 5

15、答案: 4 : 3

提示一:利用夹角相等,则有

AO ? AB | AB |

?

AO ? AC AC



提示二:利用角平分线定理,根据相似比求得 AO ?
·4 ·

4 3 AB ? AC . 10 10

二、解答题 1、解: (1)∵ | a ? b |?
又 ∵ a ?| a | ? cos
2 2 2

2

∴| a ? b |

2

? 2 即 a ? b ? a ? 2ab ? b ? 2 ,
2

? ?

2

2

2

? ? s i n2 ? ? 1 , b ?| b | 2 ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? 1 ∴ 2 ? 2ab ? 2 ∴ ab ? 0 ∴

a ?b
(2)∵ a ? b ? (cos? ? cos? , sin ? ? sin ? ) ? (0,1) 两 边 分 别 平 方 再 相 加 得 : 1 ? 2 ? 2 sin ? ∴?

?cos? ? cos ? ? 0 ?cos? ? ? cos ? 即? ?sin ? ? sin ? ? 1 ?sin ? ? 1 ? sin ?
∴ sin ? ?

∴ sin ? ?

1 2

1 2

∵ 0 ? ? ?? ??



? ? ?,? ? ?
2、解: (1)∵ AB AC ? 3BA BC ,∴ AB AC cos A=3BA BC cos B ,即 AC cos A=3BC cos B 。

5 6

1 6

AC BC ,∴ sin B cos A=3sin A cos B 。 = sin B sin A sin B sin A 又∵ 0 < A ? B < ? ,∴ cos A > 0,cos B > 0 。∴ 即 tan B ? 3tan A 。 =3 cos B cos A
由正弦定理,得

? 5? 5 2 5 , 0 <C < ? ,∴ sin C ? 1 ? ? = (2)∵ cos C ? 。∴ tan C ? 2 。 ? ? 5 ? 5 5 ? ?

2

tan A ? tan B ? ?2 。 1 ? tan A tan B 1 4tan A 由 (1) ,得 ? ?2 ,解得 tan A=1 , tan A= ? 。 2 3 1 ? 3tan A
∴ tan ? ?? ? ? A ? B ?? ? ? 2 ,即 tan ? A ? B ? ? ?2 。∴ ∵ cos A > 0 ,∴ tan A=1 。∴ A= 3、 (1)由题意知 m ? n ? sin A ? cos B ? 0 ,

?
4

。 ………………………………2 分

π 5π 又 C ? , A ? B ? C ? π ,所以 sin A ? cos( ? A) ? 0 , ………………………4 分 6 6 3 1 π cos A ? sin A ? 0 ,即 sin( A ? ) ? 0 , ……………………………6 分 即 sin A ? 2 2 6 5π π π 2π π π 又0? A? ,所以 ( A ? ) ? (? , ) ,所以 A ? ? 0 ,即 A ? . …………7 分 6 6 6 3 6 6
(2)设 BD ? x ,由 3BD ? BC ,得 BC ? 3 x , 由(1)知 A ? C ?

π 2π ,所以 BA ? 3 x , B ? , 6 3

在△ ABD 中,由余弦定理,得 ( 13)2 =(3x)2 ? x2 ? 2 ? 3x ? x cos
·5 ·

2π , 3

……10 分

解得 x ? 1 ,所以 AB ? BC ? 3 , ………………………12 分 1 1 2π 9 3 ? 所以 SΔ ABC ? BA ? BC ? sin B ? ? 3 ? 3 ? sin . …………………………14 分 2 2 3 4 4、解:(1) f ( x) ? 3sin(? x) ? 3 cos(? x) ? 2 3 sin(? x ? 故? ? 2 ,

?

6

) ,T ?

2?

?

?? ,

………………3 分

? ? ? ? f ( x) ? 2 3 sin(2 x ? ) ,由 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? , k ? Z , 6 2 6 2 ? ? 得: k? ? ? x ? k? ? , k ? Z . 6 3 ? ? 所以 f ( x ) 的单调递增区间为 [k? ? , k? ? ]( k ? Z ) . ………………6 分 6 3 ? 1 A (2)因为 f ( ) ? 3 ,所以 sin( A ? ) ? . 2 6 2 ? ? 5 ? 因为 0 ? A ? ? ,所以 ? ? A ? ? ? .所以 A ? . ………………9 分 3 6 6 6 a b 1 ? 因为 , a ? 3b ,所以 sin B ? . ………………12 分 sin A sin B 2 ? ? ? 因为 a ? b ,所以 A ? , B ? , C ? . ………………14 分 3 6 2
5、 【解】 (1) (方法 1)因为 AB ? AC ? 9 , AB ? BC ? ?16 , 所以 AB ? AC ? AB ? BC ? 9 ? 16 ? 25 ,即 AB AC ? CB ? 25 , 亦即 AB ? 25 ,故 AB ? 5 . (方法 2)设 A,B,C 的对边依次为 a,b,c, 则由条件得 bc cos A ? 9 ,ac cos B ? 16 . …………………………… 3 分 ……………… 7 分
2

…………… 4 分

?

?

…………………………… 7 分

两式相加得 c(b cos A ? a cos B) ? 9 ? 16 ? 25 ,即 c 2 ? 25 ,故 AB ? c ? 5 . (方法 3)设 A,B,C 的对边依次为 a,b,c, 则由条件得 bc cos A ? 9 ,ac cos B ? 16 . 由余弦定理得 1 ? b2 ? c 2 ? a 2 ? ? 9 ,1 ? c 2 ? a 2 ? b2 ? ? 16 , 2 2 两式相加得 c 2 ? 25 ,故 AB ? c ? 5 . (2)

…………………………… 3 分

…………………………… 7 分 ………………………… 10 分

sin( A ? B) sin A cos B ? cos Asin B ? sin C sin C

由正弦定理得

sin( A ? B) a cos B ? b cos A ac cos B ? bc cos A 16 ? 9 7 . ………… 14 分 ? ? 2 ? ? 25 c2 c sin C c
·6 ·

6、解: (1)因为 a· b =2 + sinθcosθ = 所以(sinθ +cosθ)2 = 1+2sinθcosθ = (2)因为 a∥ b,所以 tanθ = 2, 所以 sin2θ = 2sinθcosθ = cos2θ = cos2θ-sin2θ = 所以 sin(2θ+

13 1 , 所以 sinθcosθ = , 6 6

……2 分

3 2 3 .又因为 θ 为锐角,所以 sinθ + cosθ = …6 分 4 3 ……8 分 ……10 分 ……12 分 ……14 分

2sinθcosθ 2tanθ 4 = = , sin2θ+cos2θ tan2θ+1 5

cos2θ-sin2θ 1-tan2θ 3 = = — . 2 2 sin θ+cos θ tan2θ+1 5

π 1 3 1 4 3 3 4-3 3 ) = sin2θ + cos2θ = × + × (- ) = . 3 2 2 2 5 2 5 10

·7 ·


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