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3.1.1变化率


导数是微积分的核心概念之一。 它是研究函数增减、变化快慢、最值 等问题最一般、最有效的工具,因而 也是解决运动速度、物种繁殖率、绿 化面积增长率,以及用料最省、利润 最大、效率最高等实际问题的最有力 的工具。微积分在物理、化学、生物、 天文、地理以及经济等各种科学领域 中都有非常广泛的而重要的应用。

三维目标:
1.知识与技能: 3. 情感态度

价值观: 了解变化率和平均变化率。 培养动手能力、合作学习能力,

2.过程与方法: 对实际问题分析的过程中,体会数学
通过同学们自主探究,归纳总结如 的科学价值观。

何从变量和函数的角度来描述变化率。

教学重难点
重点
体会平均变化率的思想及其意义,求解 步骤. 难点 平均变化率的概念及其意义.

案例1 气球膨胀率

我们吹气球的过程,可以发现,
随着气球内空气容量的增加,气球 的半径增加越来越慢.从数学角度,

如何描述这种现象呢?

案例1 气球膨胀率

提示:球的体积V(单位:L)与半径r (单位:dm) 之间的函数关系是 4 3 请作答: 3 (1)写出用体积V表示为半径 r 的函数。 (2)当空气容量V从0L增加到1L , 气球 半径增加了多少?气球平均膨胀率为多少? (3)当空气容量V从1L增加到2 L , 气球半 径增加了多少?气球的平均膨胀率为多少?

V ?

?r

3 6 3 3 其中: ? 0.62, ? 0.78 4? 4?

?

气球的体积V(单位:L)与半径r单位:(dm) 之间的函数关系是

4 3 V(r) = πr 3
r(V) =
3

?如果将半径r表示为体积V的函数,那么

3V 4π

?当V从0增加到1时,气球半径增加

r(1) - r(0) ? 0.62(dm)

气球的平均膨胀率为
r(1) - r(0) ? 0.62(dm / L) 1- 0

?当V从1增加到2时,气球半径增加

r(2) - r(1) ? 0.16(dm) 气球的平均膨胀率为
r(2) - r(1) ? 0.16(dm / L) 2 -1

显然 0.62>0.16

?当空气容量从V1增加到V2时,气球

的平均膨胀率是多少?

r (V2 ) ? r (V1 ) V2 ? V1

你归纳正 确了吗?

案例2 高台跳水

运动员跳水 的过程...

案例2 高台跳水

在高台跳水运动中, 运动员相对于水面 的高度 h (单位:m)与起跳后的时间 t (单位:s) 2 存在函数关系 h(t ) ? ?4.9t ? 6.5t ? 10 如果用运动员在某段时间内的平均速度 v 描述其运动状态, 那么:

问题1:在0 ≤ t ≤0.5这段时间里的平均速度。
问题2:在1≤ t ≤2这段时间里的平均速度。

在0 ≦t ≦0.5这段时间里

h(0.5) - h(0) v= = 4.05 (m / s) 0.5 - 0
在1 ≦t ≦2这段时间里

h(2) - h(1) v= = -8.2 (m / s) 2 -1

探究
65 计算运动员在 0 ? t ? 这段时间里 49 的平均速度,并思考下面的问题:

(1)运动员在这段时间里是静止的吗? (2)你认为用平均速度描述运动员运动 状态有什么问题?

不是静止的,平均速度不 能反映他在这段时间里运 动状态。

想一想
同学们,从 上面的问题中能 够发现什么共同 点呢?请用函数 的知识归纳。

案例1 气球膨胀率
?当空气容量从V1

案例2 高台跳水
?高度h随时间t的

增加到V2时,气球 的平均膨胀率是

变化率,即t1到t2

平均速度是

r (V2 ) ? r (V1 ) V2 ? V1

h(t 2 ) ? h(t1 ) t 2 ? t1

总结

以上两个问题都是求变化率, 我们可以用函数关系式y=f(x)来表 示. 那么变化率为 f(x 2 ) - f(x1 )
x 2 - x1

平均变化率:
函数 f (x)从x1到 x2的平均变化率为

f ( x2 ) ? f ( x1 ) x2 ? x1

令△x = x2 – x1 , △ y = f (x2) – f (x1) ,则

?y f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ?x x2 ? x1

理解: 1:式子中△x 、△ y 的值可正、可负, 但的△x值不能为0, △ y 的值可以为0 2:若函数f (x)为常函数时, △ y =0 3:变式

?y f ( x2 ) ? f ( x1 ) f ( x1 ? ?x) ? f ( x1 ) ? ? ?x x2 ? x1 ?x

思考:
?

观察函数f(x)的图象 从点A到点B的
y f(x2) f(x2)-f(x1) x2-x1

Y=f(x)

f(x2 ) ? f ( x1 ) 平均变化率 x2 ? x1
表示什么?

B

f(x1)
O x1

A

x
x2

直线AB的斜 率

随堂练习
1. 函数 f ? x ? = x2 在区间
是( B)

?-1, 3? 上的平均变化率

A.4
1 C. 4
2

B.2
3 D. 4

Δy 3 -1 解: = =2 Δx 3 - (-1)

2. 函数 y = 2x2 在区间[1,1.5]上的
5 平均变化率为_______________. 解:由平均变化率的公式

?y 2 ? (1.5 -1.1 ) 得 ? ? 5. ?x 1.5 -1
2 2

3. 已知一次函数 y = f(x) 在区间[-2,6] 上的平均变化率为2,且函数图象过点

(0,2),试求此一次函数的表达式.

解:由平均变化率的含义可知该直线 的斜率为2. 设直线方程为y=2x+b,又因为直线经过 点(0,2),代入方程得b=2. 则直线方程为:y=2x+2.

课堂小结
f ( x2 ) ? f ( x1 ) 我们把式子 称为函数 f(x) x2 ? x1

从 x1 到 x2 的平均变化率 .

(average rate of change)

平均变化率的求解步骤:

(1)求函数的增量Δy=f(x2)-f(x1);
(2)计算平均变化率

?y f ( x2 ) ? f ( x1 ) f ( x1 ? ?x) ? f ( x1 ) ? ? ?x x2 ? x1 ?x

课后思考 在高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高 度 h (单位:m)与起跳后的时间 t (单位:s) 存 2 在函数关系 h(t ) ? ?4.9t ? 6.5t ? 10

在 这段时间里的平均速度为0,但 事实上运动员不是静止的,那么我们又该 用什么来描述这样运动过程呢?

65 0?t? 49

1.完成教材课后练习: P79 习题3.1 第1题

2.预习下一节:
3.1.2 导数的概念


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