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【随堂优化训练】2014年数学(人教A版)必修5配套课件:3.3.4 简单线性规划问题的实际应用


3.3.4 简单线性规划问题的实际应用

【学习目标】 1.从实际情境中抽象出简单的线性规划问题,建立数学模

型.
2.掌握线性规划问题的图解法,并能应用它解决一些简单 的实际问题. 线性规划的理论和方法主要用于解决以下两类问题:一是 在人力、物力、资金等资源一定的条件下,如何使用它们来完 成最多的任务;二是给定一项任务,如何合理安排和规划,能

以最少的人力、财力、物力、资金等资源来完成该项任务.

线性规划解应用题的一般步骤

x,y,z (1)设出______________ ; 目标函数 ; 约束条件 ,确定__________ (2)列出__________ 可行域 ; (3)画出__________
(4)作目标函数表示的一族平行直线,使其中某条直线与 可行域 有交点,且使其截距最大或最小; __________

最优解 ,求出目标函数的________ 最值 ,并回到原 (5)判断__________
问题中作答. 练习:有 5 辆 6 吨的汽车,4 辆 4 吨的汽车,要运送最多 z=6x+4y 的货物,完成这项运输任务的线性目标函数为____________.

【问题探究】

1.简单线性规划在实际生产生活中主要解决哪些问题?
答案:简单的线性规划在实际生产生活中应用非常广泛,

主要解决的问题是:在资源的限制下,如何使用资源来完成最
多的生产任务;或是给定一项任务,如何合理安排和规划,能

以最少的资源来完成,如常见的任务安排问题、配料问题、下
料问题、布局问题、库存问题,通常解法是将实际问题转化为 数学模型,归结为线性规划,使用图解法解决.

2.应用线性规划的图解方法,应具备哪些条件?

答案:线性规划问题一般用图解法,其步骤如下:
(1)根据题意,设出变量 x,y;

(2)找出线性约束条件; (3)确定线性目标函数 z=f(x,y);
(4)画出可行域(即各约束条件所示区域的公共区域); (5)利用线性目标函数作平行直线系 f(x,y)=t(t 为参数); (6)观察图形,找到直线 f(x,y)=t 在可行域上使 t 取得欲求

最值的位置,以确定最优解,给出答案.

题型 1 资源配置问题 【例 1】 某工艺品加工厂准备生产具有收藏价值的奥运会 标志——“中国印· 舞动的北京”和奥运会吉祥物——“福 娃”.该厂所用的主要原料为 A,B 两种贵重金属,已知生产一 套奥运会标志需用原料 A 和原料 B 的量分别为 4 盒和 3 盒,生 产一套奥运会吉祥物需用原料 A 和原料 B 的量分别为 5 盒和 10 盒.若奥运会标志每套可获利 700 元,奥运会吉祥物每套可获利 1200 元,该厂月初一次性购进原料 A,B 的量分别为 200 盒和 300 盒.问该厂生产奥运会标志和奥运会吉祥物各多少套才能使 该厂月利润最大,最大利润为多少?

思维突破:将文字语言转化为数学式子建立线性规划模型.

解:设该厂每月生产奥运会标志和奥运会吉祥物分别为x,

y 套,月利润为z 元,由题意,得
? ?4x+5y≤200, ?3x+10y≤300, ? ?x≥0,x∈N, ? ?y≥0,x∈N.
目标函数为 z=700x+1200y.

作出可行域如图 D19 所示

图D19

7 z 目标函数可变形为 y=-12x+1200, 4 7 3 ∵-5<-12<-10, 7 z z ∴当直线 y=-12x+1200通过图中的点 A 时,1200最大, 这时 z 最大.
? ?4x+5y=200, 解? ? ?3x+10y=300,

得点 A 的坐标为(20,24).

将点 A(20,24)代入 z=700x+1200y, 得 zmax=700×20+1200×24=42 800(元). 答:当该厂生产奥运会标志和吉祥物分别为 20,24 套时, 月利润最大,最大利润为 42 800 元.

【变式与拓展】 1.某糖果厂生产 A,B 两种糖果,A 种糖果每箱获利润 40 元,B 种糖果每箱获利润 50 元,其生产过程分为混合、烹调、 包装三道工序,下表为每箱糖果生产过程中所需平均时间(单 位:分钟).

糖果种类

混合

烹调

包装

A 1 5 3 B 2 4 1 每种糖果的生产过程中,混合的设备至多能用 12 小时,烹
调的设备至多只能用机 30 小时,包装的设备只能用 15 小时,

试求每种糖果各生产多少箱可获得最大利润.

解:设生产 A 种糖果 x 箱,B 种糖果 y 箱,可获得利润 z ? ?x+2y≤720, ?5x+4y≤1800, ? 元,则此问题的数学模式在约束条件?3x+y≤900, ? ?x≥0,y≥0, ? ?x,y∈N

下,

求目标函数z=40x+50y的最大值,作出可行域(如图D22),其边 界OA:y=0,AB:3x+y-900=0,BC:5x+4y-1800=0, CD:x+2y-720=0,DO:x=0.

图 D22

4 4 z 由 z=40x+50y,得 y=-5x+50,它表示斜率为-5,截 z z 距为50的平行直线系,50越大,z 越大,从而可知:过点 C 时 截距最大,z 取得了最大值.

? ?x+2y=720, 解方程组? ? ?5x+4y=1800

得,C(120,300).

∴zmax=40×120+50×300=19 800. 即生产A 种糖果120 箱,生产B 种糖果300 箱,可得最大 利润 19 800 元.

题型 2 降低资源消耗问题 【例 2】 某工厂利用两种燃料生产三种不同的产品 A,B,

C,每消耗一吨燃料与产品 A,B,C 有下列关系:
燃料种类 燃料甲/吨 燃料乙/吨

产品 A
10 5

产品 B
7 9

产品 C
5 13

现知每吨燃料甲与燃料乙的价格之比为 2∶3,现需要三种 产品 A,B,C 各 50 吨,63 吨,65 吨.问如何使用两种燃料,才 能使该厂成本最低?

思维突破:由于该厂成本与两种燃料使用量有关,而产品

A,B,C 又与这两种燃料有关,且这三种产品的产量也有限制,
因此这是一道求线性目标函数在线性约束条件下的最小值问 题,这类简单的线性规划问题一般都可以利用二元一次不等式 组求在可行域上的最优解. 解:设该厂使用燃料甲 x 吨,燃料乙 y 吨,甲每吨 2t 元, 则乙每吨为 3t 元. 则成本为 z=2tx+3ty=t(2x+3y).

因此,只需求 2x+3y 的最小值即可.

?10x+5y≥50, ? 又由题意,可得 x,y 满足条件?7x+9y≥63, ?5x+13y≥65. ?

作出不等式组所表示的平面区域(如图 3-3-4).

图 3-3-4

? ?10x+5y=50, 由? ? ?7x+9y=63, ? ?7x+9y=63, 由? ? ?5x+13y=65,

得 得

?27 56? A?11,11?, ? ? ?117 B? 23 ?

70? , 23?. ?

作直线 l:2x+3y=0,把直线 l 向右上方平移至可行域中 的点 B 时, 117 70 444 z=2x+3y=2× 23 +3×23= 23 . 444 ∴最小成本为 23 t. 117 70 答:应用燃料甲 23 吨,燃料乙23吨,才能使成本最低.

【变式与拓展】 2.医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐,甲种

原料每 10 g 含 5 个单位蛋白质和 10 个单位铁质,售价 3 元;
乙种原料每 10 g 含 7 个单位蛋白质和 4 个单位铁质,售价 2 元. 若病人每餐至少需要 35 个单位蛋白质和 40 个单位铁质.试问: 应如何使用甲、乙原料,才能既满足营养,又使费用最省?

解:设甲、乙两种原料分别用 10x g 和 10y g,
? ?5x+7y≥35, ?10x+4y≥40, 总费用为 z,则? ?x≥0, ? ?y≥0, 目标函数为 z=3x+2y,作出可行域 如图 D23.

图 D23 3 3 z 把 z=3x+2y 变形为 y=-2x+2,得到斜率为-2,在 y 轴

z 上的截距为2,随 z 的变化而运动的一组平行直线.

3 z z 由图可知:当直线 y=-2x+2经过点 A 时,截距2最小, 即 z 最小.
? ?5x+7y=35, 由? ? ?10x+4y=40,



?14 ? A? 5 ,3?, ? ?

14 72 ∴zmin=3× 5 +2×3= 5 . 14 ∴当甲种原料 5 ×10=28(g),乙种原料 3×10=30(g)时, 费用最省.

题型 3 整数解处理

【例 3】 (2013 年湖北)某旅行社租用 A,B 两种型号的客
车安排 900 名客人旅行,A,B 两种车辆的载客量分别为 36 人 和 60 人,租金分别为 1600元/辆和 2400元/辆,旅行社要求租 车总数不超过 21 辆,且 B 型车不多于 A 型车 7 辆,则租金最 少为( ) B.36 000 元 D.38 400 元

A.31 200 元 C.36 800 元

思维突破:设A 型客车x 辆,B 型客车y 辆.问题转化为线 性规划问题.同时应注意到题中的x,y 只能取整数. 解析:设分别租用 A,B 两种型号的客车 x 辆,y 辆(x,

y∈N),所用的总租金为 z 元,则 z=1600x+2400y,其中 x,y 满足不等式组
?36x+60y≥900, ? ?x+y≤21, ?y-x≤7, ?

画出可行域如图 D20,根据线性规划中截距问题,可求得 最优解为 x=5,y=12,此时 z 最小为 36 800.故选 C.

图D20 答案:C

根据已知条件写出不等式组是做题的第一步; 第二步画出可行域;第三步找出最优解.其中最困难的是第二步. 整数解的线性规划问题.若取最小值时不是整数点,则考虑此点 附近的整数点.

【例 4】 某沙漠地带,考察车每天行驶 200 千米,每辆考
察车可以装载供行驶 14 天的汽油.现有 5 辆考察车,同时从驻 地 A 出发,计划完成任务后,再沿原路返回驻地,为了让其中 3 辆车尽可能向更远的地方进行考察(然后再一起返回),甲、乙 两车行至 B 处后,仅留足自己返回驻所必需的汽油,将多余的 汽油供给另外 3 辆使用,问:其他 3 辆可以行进的最远路是多 少千米?

易错分析:对线性的约束条件考虑不清不全,没考虑甲、 乙两车供油后,自己还须返回这一条件,导致约束条件出错. 解:设考察行至B 处用了x 天,从B 处到最远处用了y 天, 则有 2[3(x+y)+2x]≤14×5,

即 5x+3y≤35,且 x>0,y>0.
同时从其余 3 辆车的载油量考虑, 14×5-(5+2)x≤14×3,即 x≥4.

?5x+3y≤35, ? 于是问题转化为在约束条件 ?x≥4, ? ?y>0 求 z=x+y 的最大值.

(x,y∈N)下

作可行域(如图D21),则M(4,5).

图D21 作直线 l:x+y=0,向右平移过点 M 时,zmax=9. ∴最远路程为 200×(4+5)=1800(千米).

[方法· 规律· 小结]
1.线性规划的两类重要实际问题的解题思路: (1)应准确建立数学模型,即根据题意找出约束条件,确定 线性目标函数. (2)用图解法求得数学模型的解,即画出可行域,在可行域 内求得使目标函数取最值的解.

(3)还要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的
解,即结合实际情况求得最优解.

2.应用线性规划处理实际问题时应注意的问题: (1)在求解实际问题时,除严格遵循线性规划求目标函数最 值的方法外,还应考虑实际意义的约束,要认真解读题意,仔

细推敲并挖掘相关条件,同时还应具备批判性检验思维,以保
证解决问题的准确和完美. (2)在处理实际问题时,x≥0,y≥0 常被忽略,在解题中应 注意. (3)在求解最优解时,一般采用图解法求解.


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