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§3 模拟方法--概率的应用


复习回顾 1.古典概型 (1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个; (2)每个基本事件出现的可能性相等.

A包 含 的 基 本 事 件 数 () m 2.古典概型概率公式 P ( A) ? 基本事件的总数 ) (n
3.思考

如图, 曲线 y=-x2+1与x轴、y轴
围成一个区域A, 直线 x=1, 直线 y=1

, x轴、y轴围成一个正方形, 你能否设 计一个方法求出区域A的近似面积? 几何方法: 把正方形分割成10×10个
全等的小正方形, 可得A的近似值.

y 1

A o

1

x

特点: 方法比较粗略, 并且操作起来很麻烦.

概率方法:

§3 模拟方法-------概率的应用 y 1

向图中的正方形中随机地投一 粒芝麻, 这个试验具有以下特点:
(1)正方形有有限的度量即面积, 一次试验 是向正方形内随机投一点, 试验的所有可能结 果就是正方形内的所有点, 因此有无限个.

A o

1

x

(2)正方形内任何一点被投到的可能性是相同的.所投的点落在正方形中某 个区域A内的可能性与A的面积成正比, 而与A在正方形中的位置、形状无关.

可以向正方形中随机撒100粒芝麻, 数目落在区域A内的芝麻数与落在正方
形内的芝麻数, 由
落 在 区 域 内 的 芝 麻 数 区 域A的 面 积 A ? 落在正方形内的芝麻数 正方形的面积

就可以求出区域A的近似面积.

特点: 直观、易试验;操作难度大, 特别是数芝麻数难度大.

一、几何概型及计算公式 向平面上有限区域(集合)G内随机地投掷点M, 若点M落在 子区域G1 ?G的概率与G1的面积成正比, 而与G的形状、位置无 ? G 的面积 关, 即 (点M落 在G1 ) ? 1 P , 则称这种模型为几何概型. G的 面 积 几何概型的特点: (1)无限性; (2)等可能性. G1 M

注意:
(1)古典概型与几何概型的区别在于: 几何概型是无限多个等可能事件的情况, 而古典概型中的等可能事件只有有限多个; (2)公式中的面积可以是长度和体积等;

G

(3)几何概型中涉及到的图形与形状、位置无关.

二、随机模拟的常用方法 例1.小明家的晚报在下午5:30~6:30之间的任何一个时间随机 地被送到, 小明一家人在下午6:00~7:00之间的任何一个时间 随机地开始晚餐.

(1)你认为晚报在晚餐开始之前被送到和在晚餐开始之后被 送到哪一种可能性更大?
(2)晚报在晚餐开始之前被送到的概率是多少?
对于(1), 晚报在5:30~6:00之间 晚报 送到; 或晚餐在6:30~7:00之间开 6:30 5:30 始, 这两种情况都使得晚报的送达 6:15 在晚餐开始之前, 因此晚报在晚餐 5:45 开始之前被送到的可能性更大. 6:00 对于(2), 我们可以用转盘模拟估计晚 报在晚餐开始之前被送到的概率. 晚报6:07 两个转盘各转动一次并记录下结果就完成一次模拟. 晚餐
7:00 6:00 6:45 6:15 6:30

晚餐6:23

注意!一个转盘用于模拟晚报的送达, 另一个转盘用于模拟开始晚餐,

练习1.哪种类型的试验可以用抛掷一枚硬币作为模拟模型?为 什么? 练习2.怎样用随机数表来模拟转动下面每个转盘的试验?

2
4 3 1 1 2 1

2

【概括】随机模拟的常用方法:
(1)直接试验法: 如在正方形中撒芝麻和使用转盘模拟试验过程等;
(2)随机数表法: 随机数表是由数字0,1,2,·,9组成的, 并且每个数字在 · · 表中各个位置出现的机会都是一样的; (3)利用计算机或计算器产生随机数模拟试验.

三、几何概型例题与练习 例1.小明家的晚报在下午5:30~6:30之间的任何一个时间随机地 被送到, 小明一家人在下午6:00~7:00之间的任何一个时间随机 地开始晚餐, 晚报在晚餐开始之前被送到的概率是多少? 解: 设A={晚报在晚餐开始之前被送到}, 建立平面直角坐标系.
晚报时间(y)
6:30 6:00 5:30 o 6:00 6:30 7:00 晚餐时间(x)

y=x

事件A发生的条件是 y<x , 即图中阴影部分. 1 1? 8 ? 7 ? 0.875. 则 P(A)= 1 8

答:晚报在晚餐开始之前被送到的概率0.875.

例2.取一个边长为2a的正方形及其内切圆, 随机向正方形内丢一
粒豆子, 求豆子落入圆内的概率. 解 记“豆子落在圆内”为事件A,
圆的面积 ?a 2 ? P ( A) ? ? 2 ? . 正方形的面积 4a 4 ? 答:豆子落在圆内的概率是 . 4 例3.两根相距8m的木杆上系一根拉直绳子, 并在绳子上挂一盏灯, 求灯与两端距离都大于3m的概率. 解 记“灯与两端距离都大于3m”为事件A,

2a

由于绳长8m, 当挂灯位置介于中间2m时, 事件A发生, 于是 事件A发生的概率 P ( A) ?
2 1 ? . 8 4
3m 3m

答:灯与两端距离都大于3m的概率是0.25.

8m

例4. 有一杯1升的水,其中含有1个细菌, 用一个小杯从这杯水 中取出0.1升, 求小杯水中含有这个细菌的概率.

分析:细菌在这升水中的分布可以 看作是随机的,取得0.1升水可作 为事件的区域. 解:取出0.1升中“含有这个细菌”这一事件记为A, 则

取出水的体积 0.1 P? A? ? ? ? 0.1 杯中所有水的体积 1
答:小杯水中含有这个细菌的概率是0.1.

练习3.某人午休醒来,发觉表停了,他打开收音机想听电台整点报 时,求他等待的时间短于10分钟的概率.
解:记“等待的时间小于10分钟”为事件A, 打开收音机的时刻位于[50, 60]时间段内则事件A发生. 由几何概型的求概率公式得 P(A)=(60-50)/60=1/6 即“等待报时的时间不超过10分钟”的概率为1/6.

练习4.小明家订了一瓶阳光鲜奶, 送奶人在早上6:00~7:00之间 把阳光鲜奶送到小明家, 小明去上学的时间在早上6:30~7:30之 间, 问小明在离开家之前能喝到阳光鲜奶的概率是多少?
解: 设A={晚报在晚餐开始之前被送到}, 建立平面直角坐标系. y x 轴表示送奶人到达的时间, 7:30 y 轴表示小明离家去上学的时间. 6:30 事件A发生的条件是 y>x , 即图中阴影部分. y=x

答:小明在离开家之前能喝到阳光鲜奶的概率是0.875.

1 1? 8 ? 7 ? 0.875. 则 P(A)= 1 8

o

6:00

7:00

x

四、课堂小结 1.几何概型的概率计算公式中的有限区域的意义依试验的全部结 果构成的区域而定, 当区域分别是线段、平面图形、立体图形时, 相应的有限区域分别表示长度、面积、体积等; 2.当试验的全部结果构成的区域一定时, A的概率只与构成事件A 的区域的“大小”有关, 而与A的位置和形状无关; 3.对于有关具体问题能否应用几何概型的概率公式计算事件的概 率, 关键在于将问题几何化, 也可根据问题的情况, 选择合适的参 数, 建立适当的坐标系, 在此基础上, 将试验的每一结果一一对应 于该坐标系中的一点, 使得全体结果构成一个区域, 且是可度量 的; 4.用随机试验模拟的方法求随机事件的概率时, 为省时省力, 通常 用计算机或计算器产生随机数来模拟试验.


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