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函数的零点教案


课题:函数的零点
【教学目标】 1、了解函数零点的概念及函数零点的等价描述; 2、能利用二次函数的图象与判别式的符号,判断一元二次方程根的存在性及根 的个数; 3、理解判断函数零点存在性的结论并能研究简单的函数零点的存在性问题; 4、体现、感受并理解方程和函数图象在零点问题中的应用,渗透数形结合思想, 运用数形结合来研究和解决数学问题, 并能应用从特殊到一般的数学方法去探索和认识 数学知识。 【教学重难点】 1、重点:理解零点的概念利用二次函数的图象与判别式的符号,判断一元二次方程根的 存在性及根的个数;应用函数零点存在性的结论研究函数零点的存在问题 2、难点:理解判断函数零点的存在性的结论 【教学过程】 一、概念引入 请同学们一起来看投影上的问题 画出下列函数图象并指出 x 取何值时,y=0

(1)y = x + 2

(2)y=x 2 - 2x - 3

(3)y=

1 + 1 (图象保留) x

处理:学生上黑板板书(上黑板画出图像并求出 x 值) 师: (1)所求 x 就是对应方程的实数根 (2)从图象上来看,我们所求的 x 就是什么? 师:这里所求的 x 就是我们今天要来研究的函数的零点 那么,什么是函数的零点呢? 二、概念认识 一般地,对于函数 y=f(x) ,若 f(x)=0 则实数 x 称为该函数的零点 师:了解了函数零点的定义,同学们对函数零点有怎样的认识?

(1)等价描述:①函数 y= f(x)的零点就是方程 f(x)=0 的实数根 ②函数 y= f(x)的零点就是它的图象与 x 轴交点的横坐标 (2)函数的零点是实数,不是点(板书) 师:认识了函数零点的定义后,请同学们来求下面几个函数的零点 练习 1:求下列函数的零点

(1)y =

x- 1 x+ 1

(2)y=log 2 x - 1

(3)y=2x-3

(投影展示) 归纳:求函数零点的步骤: (板书) (1)令 f(x)=0 (2)解方程 f(x)=0 (3)写出零点

师:通过上面的研究我们认识了函数零点的定义,掌握了函数零点的求法 下面请同学们继续看例 1 的问题

三、应用例题 例 1:求证:二次函数 y = x 2 + 3x - 2 有两个不同的零点 练习 2: (1)函数 y = x 2 + 3x - k 没有零点,求 k 的取值范围 (2)函数 y = x 2 + kx + 2 有零点,求 k 的取值范围 (3)函数 y = kx 2 + 3x - 2 有一个零点,求实数 k 的值 (投影展示) (看情况或学生回答) 师:由例 1 和练习 2 的研究,请大家总结一下

归纳:如何来判断二次函数 y = ax + bx + c(a ? 0) 零点?

2

师:由上面的认识,我们可以通过判别式来判断二次函数零点的个数 那么二次函数零点具体的分布情况,我们如何来研究呢?请同学们继续 来看例 2

例 2:判断二次函数 f (x) = x 2 + 3x - 2 在区间(0,1)上是否存在零点? 学生回答:法一)解方程 师:还有其它的想法吗?(引导)由刚才我们对函数零点的认识,函数零点除了可以转化 为的方程来研究,还可以从什么角度来研究啊?---图象 在多媒体上展示图象?那么利用图象我们如何来研究例 2 呢? 学生回答(教师补充、完善) 师:一般地,我们如何来判断函数 y=f(x)在区间(a,b)上存在零点? 图象展示(多媒体) 函数零点存在性判断的结论:一般地,若函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条不间 断的曲线,且 f (a)?f (b) < 0 ,则函数 y=f(x)在区间(a,b)上有零点 师:判断函数 y=f(x)在区间(a,b)上有零点的条件有几个?哪两个? 师:下面我们具体来认识一下这个结论 (1)函数图象是一条不间断的曲线 (问题 1(3) ) (2)为什么要在闭区间[a,b]上是一条不间断的曲线

①为什么要连续曲线(开始练习(3)图象解释) ②为什么要在闭区间[a,b]上是一条不间断的曲线 师:认识了函数零点存在性判断的结论后,请同学们来解决下面的问题 练习(3) (1)求证: 函数f ( x) = 2 + x - 2在区间(0,1)上存在零点
x

(2)判断函数 f ( x) = x + x - 3在区间(1,2)上是否存在零点
3 2

师:应用零点存在性的判断结论我们很容易解决练习(3)的问题 师:对于例 2,我们从零点等价描述的两个角度进行了研究。并通过图象的应用认识了判 断零点存在性的结论。 师:通过本例的研究,我们更深刻的认识到零点的等价描述为我们对零点问题的研究提供 了两个方向:方程、图象,方程是从数的角度来描述零点,图象是从形的角度来描述零点。 至此数和形实现了结合,而数形结合思想也正式登上高中数学的舞台。它对高中数学研究 的意义是深远的,这点同学们在以后的学习中会慢慢感受的。 练习 4:若函数 f (x) = kx + 1(k ? 0) 在区间(-1,1)上有零点,求实数 k 的取值范围(深 化数形结合的应用及认识) 【回顾小结】 (1)函数的零点的概念,注意零点不是点而是实数 (2)利用判别式和二次函数的图象判断二次函数零点 (3)能利用零点分布判断方法对函数的零点分布进行简单的判断


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