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2012年重庆市高考文科数学试卷解析版


2012 年普通高等学校招生统一考试(重庆卷) 数学试题卷(文史类) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的 (1)命题“若 p 则 q”的逆命题是 (A)若 q 则 p (B)若 ? p 则 ? q (C)若 ? q 则 ? p (D)若 p 则 ? q

(2)不等式 (A) (

1, ??)

x ?1 ? 0 的解集是为 x?2

(B)

(??, ?2)

(C) (-2,1) (D) (??, ?2) ∪ (1, ??)

【答案】 :C x ?1 ? 0 ? ( x ? 1)( x ? 2) ? 0 ? ?2 ? x ? 1 【解析】 : x?2 【考点定位】本题考查解分式不等式时,利用等价变形转化为整式不等式解. (3)设 A,B 为直线 y ? x 与圆 x2 ? y 2 ? 1 的两个交点,则 | AB |? (A)1 (B) 2 (C) 3 (D)2

【答案】 :D 【解析】 :直线 y ? x 过圆 x2 ? y 2 ? 1的圆心 C (0, 0) 则 | AB |? 2 【考点定位】本题考查圆的性质,属于基础题. (4) (1 ? 3x)5 的展开式中 x3 的系数为 (A)-270 (B)-90 (C)90 (D)270

(5)

sin 47 ? sin17 cos 30 cos17
1 1 3 3 (B) ? (C) (D) 2 2 2 2

(A) ?

【答案】 :C

【解析】 :

sin 47 ? sin17 cos30 sin(30 ? 17 ) ? sin17 cos30 ? cos17 cos17

?

sin 30 cos17 ? cos 30 sin17 ? sin17 cos 30 sin 30 cos17 1 ? ? sin 30 ? cos17 cos17 2

【考点定位】本题考查三角恒等变化,其关键是利用 47 ? 30 ? 17 (6)设 x ? R ,向量 a ? ( x,1), b ? (1, ?2), 且 a ? b ,则 | a ? b |? (A) 5 (B) 10 (C) 2 5 (D) 10

【答案】 :B

(7)已知 a ? log 2 3 ? log 2 3 ,b ? log 2 9 ? log 2 3 ,c ? log 3 2 则 a,b,c 的大小关 系是 (A) a ? b ? c (B) a ? b ? c (C) a ? b ? c (D) a ? b ? c 【答案】 :B 1 3 log 3 ? log 3, 【解析】 : a ? log 2 3 ? log 2 3 ? log 2 3? 2 2 2 2
1 3 log 2 2 1 b ? log 2 9 ? log 2 3 ? 2 log 2 3 ? log 2 3 ? log 2 3 , c ? log 3 2 ? 则 ? 2 2 log 2 3 log 2 3
a?b?c 【考点定位】本题考查对数函数运算.

(8)设函数 f ( x) 在 R 上可导,其导函数 f ?( x ) ,且函数 f ( x) 在 x ? ?2 处取得极 小值,则函数 y ? xf ?( x) 的图象可能是

【答案】 :C
x x?() 0 ? ; 【解析】 : 由函数 f ( x) 在 x ? ?2 处取得极小值可知 x ? ?2 ,f ?( x) ? 0 , 则f
x ? ?2 , f ?( x) ? 0 则 ?2 ? x ? 0 时 xf ?( x) ? 0 , x ? 0 时 xf ?( x) ? 0

【考点定位】本题考查函数的图象,函数单调性与导数的关系,属于基础题. (9) 设四面体的六条棱的长分别为 1,1, 1,1, 2 和 a 且长为 a 的棱与长为 2 的棱异面,则 a 的取值范围是 (A) (0, 2) 【答案】 :A 【解析】 : BE ? 1 ? ( (B) (0, 3) (C) (1, 2) (D) (1, 3)

2 2 2 , BF ? BE , ) ? 2 2

AB ? 2BF ? 2 ,
【考点定位】 本题考查棱锥的结构特征, 考查 空间想象能力, 极限思想的应用, 是中档题. .
x ( 10 )设函数 f ( x) ? x2 ? 4 x ? 3, g ( x )? 3 ? 2,

集合 M ? {x ? R | f ( g ( x)) ? 0},
N ? {x ? R | g ( x) ? 2}, 则 M
N为

(A) (1, ??) 【答案】 :D

(B) (0,1)

(C) (-1,1)

(D) (??,1)

【解析】 : 由 f ( g ( x)) ? 0 得 g 2 ( x) ? 4 g ( x) ? 3 ? 0 则 g ( x) ? 1 或 g ( x) ? 3 即 3x ? 2 ? 1或
3x ? 2 ? 3

所 以 x ? 1 或 x ? log 3 5 ; 由 g ( x) ? 2 得 3x ? 2 ? 2 即 3x ? 4 所 以 x ? l o g 故 3 4
M N ? (??,1)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答题卡的相 应位置。 (11)首项为 1,公比为 2 的等比数列的前 4 项和 S4 ? 【答案】 :15

【解析】 : S4 ?

1 ? 24 ? 15 1? 2

【考点定位】本题考查等比数列的前 n 项和公式 (12)函数 f ( x) ? ( x ? a)( x ? 4) 为偶函数,则实数 a ?

( 13 ) 设 △ ABC 的 内 角 A、B、C 1 a =1, b =2, c o sC ? ,则 sin B ? 4 【答案】 :
15 4

的 对 边 分 别 为 a、b、c , 且

(14) 设 P 为直线 y ?

b x2 y 2 x 与双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 左支的交点,F1 是左 3a a b

焦点, PF1 垂直于 x 轴,则双曲线的离心率 e ?

(15)某艺校在一天的 6 节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其它三 门艺术课各 1 节, 则在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔 1 节艺术课的概率



(用数字作答) 。 1 【答案】 : 5

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤。 16. (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 6 分, (Ⅱ)小问 7 分) )已知 {an } 为等差 数列,且 a1 ? a3 ? 8, a2 ? a4 ? 12, (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)记 {an } 的前

n 项和为 S n ,若 a1 , ak , Sk ?2 成等比数列,求正整数 k 的值。
【答案】 : (Ⅰ) an ? 2n (Ⅱ) k ? 6

? 2a ? 2d ? 8 【解析】 : : ( Ⅰ ) 设 数 列 {an } 的 公 差 为 d, 由 题 意 知 ? 1 ?2a1 ? 4d ? 1 2
a1 ? 2,d ? 2
所以 an ? a1 ? (n ?1)d ? 2 ? 2(n ?1) ? 2n (Ⅱ)由(Ⅰ)可得 Sn ? 列,所以 a2k ? a1Sk ?2
(a1 ? an )n (2 ? 2n)n ? ? n(1 ? n) 2 2

解得

因 a1 , ak , Sk ?2 成等比数
k 2 ? 5k ? 6 ? 0

从而 (2k )2 ? 2(k ? 2)(k ? 3)

,即

解得 k ? 6 或 k ? ?1 (舍去) ,因此 k ? 6 。 17. (本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx ? c 在 x ? 2 处取得极值为 c ? 16 (1)求 a、b 的值; (2)若 f ( x) 有极大值 28,求 f ( x) 在 [?3,3] 上的最大值. 【答案】 : (Ⅰ)
13 4 (Ⅱ) 27 27

【解析】 : : (Ⅰ)因 f ( x) ? ax3 ? bx ? c 故 f ?( x) ? 3ax2 ? b 处取得极值

由于 f ( x) 在点 x ? 2

? f ?(2) ? 0 ? 12a ? b ? 0 ?12a ? b ? 0 ? a ?1 故有 ? 即? ,化简得 ? 解得 ? ? f (2) ? c ? 16 ?8a ? 2b ? c ? c ? 16 ?4a ? b ? ?8 ?b ? ?12
(Ⅱ)由(Ⅰ)知

f ( x) ? x3 ?12x ? c , f ?( x) ? 3x2 ?12

令 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? ?2, x2 ? 2 当 x ? (??, ?2) 时, f ?( x) ? 0 故 f ( x) 在 (??, ?2) 上 为增函数; 当 x ? (?2, 2) 时, f ?( x) ? 0 故 f ( x) 在 (?2, 2) 上为减函数 当 x ? (2, ??) 时 f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 在 (2, ??) 上为增函数。 由此可知 f ( x) 在 x1 ? ?2 处取得极大值 f (?2) ? 16 ? c , f ( x) 在 x2 ? 2 处取得
c? 极 小 值 f ( 2? ) f (? 3 ? ) 9 ? c 1 6题 设 条 件 知 16 ? c ? 28 由

得 c ? 12 此 时

? 2 f 1 , ?( ? 3c ) ?f (2) 9 ? ? c ?163 ? ?4 因此 f ( x) 上 [?3,3] 的最小 ,

值为 f (2) ? ?4 【考点定位】本题主要考查函数的导数与极值,最值之间的关系,属于导数的应 用. (1)先对函数 f ( x) 进行求导,根据 f ?(2) ? 0 =0, f (2) ? c ? 16 ,求出 a,b 的值. (1)根据函数 f ( x) =x3-3ax2+2bx 在 x=1 处有极小值-1 先求出函数中的参 数 a,b 的值,再令导数等于 0,求出极值点,判断极值点左右两侧导数的正负, 当左正右负时有极大值, 当左负右正时有极小值.再代入原函数求出极大值和极 小值. (2)列表比较函数的极值与端点函数值的大小,端点函数值与极大值中最 大的为函数的最大值,端点函数值与极小值中最小的为函数的最小值. 18. (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 7 分, (Ⅱ)小问 6 分) 甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球,约定甲先投且先投中者获胜,一直每人 1 都已投球 3 次时投篮结束,设甲每次投篮投中的概率为 ,乙每次投篮投中的概 3 1 率为 ,且各次投篮互不影响。 (Ⅰ)求乙获胜的概率; (Ⅱ)求投篮结束时乙只 2 投了 2 个球的概率。 13 4 【答案】 : (Ⅰ) (Ⅱ) 27 27

独立事件同时发生的概率计算公式知 p(D) ? p( A1 B1 A2 B2 ) ? p( A1 B1 A2 B2 A3 )

? p( A1 ) p(B1 )P( A2 )P(B2 ) ? p( A1) p(B1)P( A2 )P(B2 ) p( A3 )
2 1 2 1 1 4 ? ( )2 ( )2 ? ( )2 ( )2 ? 3 2 3 2 3 27

19. (本小题满分 12 分, (Ⅰ) 小问 5 分, (Ⅱ) 小问 7 分) 设函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) (其中 A ? 0, ? ? 0, ?? ? ? ? ? )在 x ?

?
6

处取得最大值 2,其图象与轴的相邻两

6 cos 4 x ? sin 2 x ? 1 ? 个交点的距离为 (I) 求 f ( x) 的解析式;(II) 求函数 g ( x) ? ? 2 f (x ? ) 6

的值域。 【答案】 : (Ⅰ) ? ?

?

7 7 5 (Ⅱ) [1, ) ( , ] 6 4 4 2

1 1 (cos 2 x ? ) 因 cos2 x ?[0,1] ,且 cos 2 x ? 2 2 7 7 5 故 g ( x) 的值域为 [1, ) ( , ] 4 4 2 (20) (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 4 分, (Ⅱ)小问 8 ?

3 cos 2 x ? 1 2

分) 已知直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,AB ? 4 ,AC ? BC ? 3 ,D 为 AB 的中点。 (Ⅰ) 求异面直线 CC1 和 AB 的距离; (Ⅱ)若 AB1 ? AC 1 ,求二面角 A 1 ? CD ? B 1 的平面 角的余弦值。
1 3 【解析】 : (Ⅰ)如答(20)图 1,因 AC=BC, D 为 AB 的中点,故 CD ? AB。又直

【答案】 : (Ⅰ) (Ⅱ)

三棱柱中, CC1 ? 面 ABC ,故 CC1 ? CD 为 CD= BC2 ? BD2 ? 5 (Ⅱ) : 由 CD ? AB,CD ? BB1, 故 CD ?

,所以异面直线 CC1 和 AB 的距离

面 A1 ABB1

, 从 而 CD ? DA1



CD ? DB1 故 ?A1DB1 为所求的二面角 A1 ? CD ? B1 的平面角。
因 A1D 是 AC 1 在面 A 1 ABB 1 上的射影,又已知 AB 1 ? A 1C, 由三垂线定理的逆定理 得 AB1 ? A1D, 从而 ?A1 AB1 , ?A1DA 都与 ?B1 AB 互余,因此 ?A1 AB1 ? ?A1 DA ,所 以 Rt A1 AD ≌ Rt B1 A1 A ,因此
AA1 A1B1 得 AA12 ? AD ? A1B1 ? 8 ? AD AA1

从而 A1 D = AA12 ? AD 2 ? 2 3, B1D ? A1D ? 2 3

A1D2 ? DB12 ? A1B12 1 所以在 A1DB1 中,由余弦定理得 cos A1DB1 ? ? 2 A1D ? DB1 3
(21) (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 5 分, (Ⅱ)小问 7 分) 已知椭圆的中心为原点 O ,长轴在 x 轴上,上顶点为 A ,左、右焦点分 别为 F1 , F2 ,线段 OF1 , OF2 的中点

分别为 B1, B2 ,且△ AB1B2 是面积为 4 的直角三角形。 (Ⅰ) 求该椭圆的离 心率和标准方程; (Ⅱ)过 B1 作直线 交 椭 圆 于 P, Q , PB2 ? QB2 , 求 △

PB2Q 的面积

x2 y2 16 10 【答案】 : (Ⅰ) + =1(Ⅱ) 20 4 9

, OA ? B1B2 |

(*) 设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ),
y1 ? y2 ? ?16 m2 ? 5
2

则 y1 , y2 是上面方程的两根,因此 y1 ? y2 ? 又

4m , m2 ? 5

B1P ? ( x1 ? 2, y1 ), B2 P ? ( x2 ? 2, y2 )
2







B1 ? P
? y1 y2
?

(B ?

P 21 ? ) x (

?

x 2

)
? (m2 ? 1) y1 y2
?4m( y1 ? y2 ) ? 16

? (my1 ? 4)(my2 ? 4) ? y1 y2

?16(m2 ? 1) 16m2 ? 2 ? 16 m2 ? 5 m ?5 16m 2 ? 64 由 PB2 ? QB2 m2 ? 5
6 m2 ? 6 4 0 ? , 知 B2 P ? B2Q ? 0 , 即1

??

, 解得 m ? ?2

当 m ? 2 时,方程(*)化为: 9 y 2 ? 8 y ?16 ? 0

故 y1 ?

4 ? 4 10 4 ? 4 10 8 10 , | y1 ? y2 |? , y2 ? 9 9 9 1 16 10 | B1B2 || y1 ? y 2 |? 2 9

PB2Q 的面积 S ?

当 m ? ?2

时,同理可得(或由对

称性可得) PB2Q 的面积 S ?

16 10 16 10 综上所述, PB2Q 的面积为 。 9 9


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