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第三章 第五节数列的综合应用


同步检测训练
一、选择题 1.数列{an}是各项均为正数的等比数列,{bn}是等差数列,且 a6=b7,则( ) A.a3+a9≤b4+b10 B.a3+a9≥b4+b10 C.a3+a9≠b4+b10 D.a3+a9 与 b4+b10 的大小不确定 答案:B 解析:由数列的性质易得 a3+a9≥2 a3a9=2a6=2b7=b4+b10.故选 B. 1 1 1 2.(2008·桂林模拟)数列 1, , ,…, ,…的前 n 项和为( ) 1+2 1+2+3 1+2+…+n 2n 2n A. B. 2n+1 n+1 n+2 n C. D. n+1 2n+1 答案:B 1 2 2 2 = = - , 解析:an= 1+2+…+n n(n+1) n n+1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2n ∴Sn=( - )+( - )+( - )+…+( - )=2(1- )= .故选 B. 1 2 2 3 3 4 n n+1 n+1 n+1 3.已知一个等比数列首项为 1,项数为偶数,其奇数项和为 85,偶数项之和为 170,则 这个数列的项数为( ) A.4 B.6 C.8 D.10 答案:C 解析:设项数为 2n,公比为 q. 由已知 S 奇=a1+a3+…+a2n-1.① S 偶=a2+a4+…+a2n② 170 ②÷①得,q= =2, 85 a1(1-q2n) ∴S2n=S 奇+S 偶=255= 1-q 2n 1-2 = ?2n=8.故选 C. 1-2
? ?2an (n为奇数), 4.如果数列{an}满足:首项 a1=1,an+1=? 那么下列说法中正确的 ?an+2 (n为偶数), ? 是( ) A.该数列的奇数项 a1,a3,a5,…成等比数列,偶数项 a2,a4,a6,…成等差数列 B.该数列的奇数项 a1,a3,a5,…成等差数列,偶数项 a2,a4,a6,…成等比数列 C.该数列的奇数项 a1,a3,a5,…分别加 4 后构成一个公比为 2 的等比数列 D.该数列的偶数项 a2,a4,a6,…分别加 4 后构成一个公比为 2 的等比数列 答案:D 解析:列出数列的项如下:1,2,4,8,10,20,22,44,…观察可得,答案为 D. 5.已知等比数列{an}的各项均为正数,数列{bn}满足 bn=lnan,b3=18,b6=12,则数列 ) {bn}前 n 项和的最大值等于( A.126 B.130 C.132 D.134 答案:C 解析:∵{an}是各项不为 0 的正项等比数列,

∴bn=lnan 是等差数列. 又∵b3=18,b6=12,∴b1=22,d=-2, n(n-1) ∴Sn=22n+ ×(-2)=-n2+23n, 2 ∴(Sn)max=-112+23×11=132.故选 C. 6.(2008·衡水调研)设 y=f(x)是一次函数,f(0)=1,且 f(1),f(4),f(13)成等比数列,则 f(2)+f(4)+…+f(2n)等于( ) A.n(n+4) B.n(2n+3) C.2n(2n+3) D.2n(n+4) 答案:B 解析:∵f(x)是一次函数,且 f(0)=1, ∴设 f(x)=kx+1, f(1)=k+1,f(4)=4k+1,f(13)=13k+1. ∵f(1),f(4),f(13)成等比数列, ∴(4k+1)2=(k+1)(13k+1),3k2=6k. ∵k≠0,∴k=2,即 f(x)=2x+1. ∴f(2),f(4),f(6),…,f(2n)构成以 5 为首项,4 为公差的等差数列. n(5+4n+1) =n(2n+3).故选 B. ∴f(2)+f(4)+…+f(2n)= 2 7.(2009·北京海淀 4 月)对于数列{an},若存在常数 M,使得对任意 n∈N*,an 与 an+1 中 至少有一个不小于 M,则记:{an}>M,那么下列命题正确的是( ) A.若{an}>M,则数列{an}的各项均大于等于 M B.若{an}>M,{bn}>M,则{an+bn}>2M C.若{an}>M,则{a2}>M2 n D.若{an}>M,则{2an+1}>2M+1 答案:D 解析:对于 A,即若{an}>M,an 与 an+1 中至少有一个不小于 M,则数列{an}的各项不一 定都大于 M,错误;对于 B,若{an}>M,an 与 an+1 中至少有一个不小于 M,{bn}>M,bn 与 bn+1 中至少有一个不小于 M,但它们不一定是同一个 n 值,则{an+bn}>2M 不成立;对于 C, 若{an}>M,数列各项的正负及 M 的正负不确定,则{a2}>M2 不成立;则只有 D 成立,故选 n D. 2 - 2 - 8.(2009·河南调研)数列 an=5×( )2n 2-4×( )n 1,(n∈N*),若 ap 和 aq 分别为数列中的 5 5 最大项和最小项,则 p+q=( ) A.3 B.4 C.5 D.6 答案:A 2 - 2 - 2 - 2 解析:an=5×( )2n 2-4×( )n 1,它是以( )n 1∈(0,1]为元的一元二次函数,对称轴为 , 5 5 5 5 则 a1 和 a2 分别为数列中的最大项和最小项,则 p+q=3,故选 A. 二、填空题 - 9.(2009·湖北五市联考)已知数列{an}的通项公式为 an=2n 1+1,则 a1C0+a2C1+…+an n n n Cn=________. +1 答案:2n+3n - 解析:∵an=2n 1+1, 0 1 ∴a1Cn+a2Cn+…+an+1Cn=C0(20+1)+C1(21+1)+…+Cn(2n+1) n n n n =(C020+C121+…+Cn2n)+(C0+C1+…+Cn)=(2+1)n+2n=3n+2n. n n n n n n ? ?an-t, an≥t, 10.(2009·苏锡常镇调考一·13)已知数列{an}(n∈N*)满足 an +1=? 且 ? ?t+2-an, an<t, t<a1<t+1,其中 t>2,若 an+k=an(k∈N*),则实数 k 的最小值为________. 答案:4

?an-t, an≥t, ? 解析:数列{an}(n∈N*)满足 an+1=? 且 t<a1<t+1,其中 t>2,则 a2= ? ?t+2-an, an<t, a1-t∈(0,1),a2<t,a3=t+2-a2=2t+2-a1=t+(t+2-a1)>t,a4=a3-t=t+2-a1<t,a5=t +2-a4=a1,t+2-a1<t,而 a2=a1,a3=a1,a4=a1 是不可能的,则实数 k 的最小值为 4, 故填 4. 11.(2009·江苏南通一测·14)约瑟夫规则:将 1、2、3、…、n 按逆时针方向依次放置在 一个单位圆上,然后从 1 开始,按逆时针方向,隔一个删除一个数,直至剩余一个数而终止, 依次删除的数为 1、3、5、7、…….当 n=65 时,剩余的一个数为________. 答案:64 解析:将 1、2、3、…、65 按逆时针方向依次放置在一个单位圆上,然后从 1 开始,按 逆时针方向,隔一个删除一个数,首先删除的数为 1、3、5、7、…、65(删除 33 个,剩余 32 个);其次从 2 开始,删除的数的个数分别为 16、8、4、2、1,最后剩余 64,故填 64. 三、解答题 12.(2009·北京市东城区)已知点 P1(a1,b1),P2(a2,b2),…,Pn(an,bn)(n∈N*)都在函数 1 y=log x 的图象上. 2 (1)若数列{bn}是等差数列,求证:数列{an}为等比数列; - (2)若数列{an}的前 n 项和为 Sn=1-2 n,过点 Pn、Pn+1 的直线与两坐标轴所围成的三角 * 形面积为 cn,求使 cn≤t 对 n∈N 恒成立的实数 t 的取值范围. 解:(1)因为数列{bn}是等差数列,故设公差为 d, 则 bn+1-bn=d 对 n∈N*恒成立. 1 1 依题意 bn=log an,an=( )bn. 2 2 a n+ 1 1 1 由 an>0,所以 =( )bn+1-bn=( )d 是定值,从而数列{an}是等比数列. an 2 2 1 1 (2)当 n=1 时,a1=S1= ,当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=( )n,当 n=1 时也适合此式,即 2 2 1n 数列{an}的通项公式是 an=( ) . 2 1 由 bn=log an,数列{bn}的通项公式是 bn=n. 2 1 1 1 + 所以 Pn( n,n),Pn+1( n+1,n+1),过这两点的直线方程是 y-n=-2n 1(x- n),该直线 2 2 2 n+2 与坐标轴的交点是 An( n+1 ,0)和 Bn(0,n+2). 2 (n+2)2 1 cn= |OAn|×|OBn|= n+2 . 2 2 (n+2)2 (n+3)2 n2+2n-1 因为 cn-cn+1= n+2 - n+3 = >0. + 2 2 2n 3 9 即数列{cn}的各项依次单调递减,所以要使 cn≤t 对 n∈N*恒成立,只需 c1≤t,又 c1= , 8 9 可得 t 的取值范围是[ ,+∞). 8 9 故实数 t 的取值范围是[ ,+∞). 8 13.(2009·北京市东城区)等差数列{an}的各项均为正数,a1=3,前 n 项和为 Sn,{bn}为 等比数列,b1=1,且 b2S2=64,b3S3=960. (1)求 an 与 bn; 1 1 1 (2)求和: + +…+ . S1 S2 Sn 解:(1)设{an}的公差为 d,{bn}的公比为 q,则 d 为正数,

an=3+(n-1)d,bn=qn 1, 2 ? ?S3b3=(9+3d)q =960 , 依题意有? ?S2b2=(6+d)q=64 ?
? ?d=2 解得? ,或 ? ?q=8



?d=-5 ? 40 ?q= 3

6 (舍去),


故 an=3+2(n-1)=2n+1,bn=8n 1. (2)∵Sn=3+5+…+(2n+1)=n(n+2), 1 1 1 1 1 1 1 ∴ + +…+ = + + +…+ S1 S2 Sn 1×3 2×4 3×5 n(n+2) 1 1 1 1 1 1 1 1 ) = (1- + - + - +…+ - 3 2 4 3 5 n n+2 2 2n+3 1 1 1 1 3 = (1+ - - )= - . 2 2 n+1 n+2 4 2(n+1)(n+2) 14 . (2009· 湖 北 省 部 分 重 点 中 学 联 考 · 文 ) 已 知 数 列 {an} 满 足 a1 = 1 , an + 1 =

?1an+n(n为奇数) ?2 ? , ?an-2n(n为偶数) ?
且 bn=a2n-2(n∈N*). (1)求 a2,a3,a4; (2)求证:数列{bn}是等比数列,并求其通项公式; (3)若 cn=-nbn,Sn 为数列{cn}的前 n 项和,求证:Sn<2. 3 5 7 解:(1)a2= ,a3=- ,a4= . 2 2 4 1 a +2n+1-2 bn+1 a2n+2-2 2 2n+1 (2) = = bn a2n-2 a2n-2 1 1 (a -4n)+2n-1 a2n-1 2 2 2n 1 = = = . a2n-2 a2n-2 2 1 又 b1=a2-2=- , 2 1 ∴数列{bn}是公比为 的等比数列, 2 1 1 n- 1 1 且 bn=(- )·( ) =-( )n. 2 2 2 1n (3)由(2)知 cn=n·( ) , 2 1 12 1 1 Sn= +2×( ) +3×( )3+…+n( )n,① 2 2 2 2 1 1 1 1 1 + S =( )2+2×( )3+…+(n-1)( )n+n( )n 1,② 2 n 2 2 2 2 1 1 12 13 1n 1 + 1 1 + ①-②得 Sn= +( ) +( ) +…+( ) -n·( )n 1=1-( )n-n·( )n 1, 2 2 2 2 2 2 2 2 1n 1 n+ 1 ∴Sn=2[1-( ) -n·( ) ]<2. 2 2 1 15.(2009·湖北省重点中学联考·理)已知正项数列{an}、{bn},对任意 n∈N*,有 an= , n b2≤bn-bn+1,数列{an}的前 n 项和为 Sn.求证: n (1)bn<an;

(2)b1+b2+b3+…+b2n-1<n; S2 S3 Sn (3)当 n≥2 时,S2>2( + +…+ ). n 2 3 n 2 解:(1)因为 0<bn+1≤bn-bn=bn(1-bn),所以 0<bn<1, 1 1 1 1 1 1 1 则 ≥ = + , - ≥ >1, bn+1 bn(1-bn) bn 1-bn bn+1 bn 1-bn 1 1 1 1 1 1 1 1 所以 =( - )+( - )+…+( - )+ >1+1+…+1=n, b n b n b n- 1 b2 b1 b1 b n- 1 b n- 2 1 则 bn< ,即 bn<an. n (2)由(1)得 1 1 1 b1+b2+b3+…+b2n-1<1+ + +…+ n 2 3 2 -1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 - =1+( + )+( + + + )+…+( n-1+…+ n )<1+ ·2+ ·22+…+ n-1·2n 1=n. 4 5 6 7 2 4 2 3 2 2 -1 2 1 1 1 (3)Sn=1+ +…+ ,当 n≥2 时,Sn-1=Sn- , 2 n n 1 2Sn 1 ∴S2-1=(Sn- )2=S2- + 2, n n n n n 2Sn 1 2 2 则 Sn-Sn-1= - 2, n n 2S2 1 依次类推,…,S2-S2= - 2,上述 n-1 个式子相加得 2 1 2 2 S2 S3 Sn 1 1 1 S2-S2=2( + +…+ )-( 2+ 2+…+ 2), n 1 2 3 n 2 3 n S2 S3 Sn 1 1 1 2 ∴Sn=2( + +…+ )-( 2+ 2+…+ 2)+1, 2 3 n 2 3 n 1 1 1 1 1 1 又 2+ 2+…+ 2< + +…+ 2 3 n 1·2 2·3 (n-1)n 1 1 1 1 1 1 - =1- <1, =1- + - +…+ n 2 2 3 n-1 n S2 S3 Sn S2 S3 Sn ∴S2>2( + +…+ )-1+1=2( + +…+ ). n 2 3 n 2 3 n


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