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高一数学(必修3)学业水平复习


一、算法的定义:
通常指可以用计算机来解决的某一类 问题的程序或步骤,这些程序或步骤必 须是明确和有效的,而且能够在有限步 之内完成。 算法最重要的特征: 1.有序性 2.确定性 3.有限性

算法的基本特点

1、有限性 一个算法应包括有限的操作步骤,能在执 行有穷的操作步骤之后结束。 2、确定性 算法的计算规则及相应的计算步骤必须是唯 一确定的,既不能含糊其词,也不能有二义 性。 3、有序性 算法中的每一个步骤都是有顺序的,前一步 是后一步的前提,只有执行完前一步后,才 能执行后一步,有着很强逻辑性的步骤序列。

二、程序框图
用程序框、流程线及文字说明来表示算 法的图形称为程序框图,它使算法步骤显得 直观、清晰、简明.


终端框 (起止框)

输入、 输出框

处理框 ( 执行框)

判断框

流程线

连接点

程序框图又称流程图,是一种用规定的图形,指向线及 文字说明来准确、直观地表示算法的图形。 程序框 名称 功能

终端框(起 表示一个算法的起始和结束 止框) 输入、输出 表示算法的输入和输出的信 框 息 处理框(执 赋值、计算 行框) 判断框 判断一个条件是否成立,用 “是”、“否”或“Y”、 “N”标明

二、程序框图
?1、顺序结构

步骤n

步骤n+1

满足条件?



满足条件?



?

2、条件结构

是 步骤A 步骤B

先做后判, 否去循环
循环体

是 先判后做, 步骤 A 是去循环

循环体

?

3、循环结构

否 满足条件?



满足条件? 否



二、程序框图
?1、顺序结构
开始
输入n=100 s=(n+1)n/2 输出s 结束

设计一算法,求和1+2+3+ … +100, 并画出程序框图。 算法: 第一步:取n=100; 第二步:计算
n ( n ? 1) ; 2

第三步:输出结果。

二、程序框图
?2、条件结构

设计一个算法,求数x的绝对值,并画出程序框图。
开始

算法分析:实数X的绝对值

?x x ?? ?? x

( x ? 0) ( x ? 0)

输入x
N Y

算法: 第一步:输入x; 第二步:如果x≥0; 则输出x;否则输出 - x。

x≥0
输出x

输出-x

结束

二、程序框图
?3、循环结构
直到型循环结构 当型循环结构

A
P
是 否 否

A P
是 是

A P
否 否

A P


(A)

(B)
A D

(C)

(D)

直到型循环结构对应的程序框图是 当型循环结构对应的程序框图是

设计一个计算1+2+3+……+100的值的算法,并画出程序框图。 程序框图如下: 算法: 开始 第一步:令i=1,s=0; 第二步:s=s+i i=1 第三步:i=i+1; 循环结构 第四步: 直到i>100时,输出S, s=0 结束算法,否则返回第二步。

s=s+i
i=i+1 i>100? 是 输出s 结束

循环体 条件



直到型循环结构

设计一个计算1+2+3+……+100的值的算法,并画出程序框图。 算法: 第一步:令i=1,s=0; 第二步:若i<=100成立,则执行第三步;否则,输出s,结束算法; 第三步:s=s+i; 第四步:i=i+1,返回第二步。

程序框图如下:
循环体 条件
否 是

开始 i=1 s=0 i<=100?

当型循环结构

i=i+1 是 s=s+i

否 输出s
结束

山东学业水平测试题
?

1、(08年14)如图所示的程序框图中, 若给变量x输入-2008,则变量y的输出 值为 ( ) A. -1 B . -2008 C. 1 D. 2008

山东学业水平测试题
2、(09年6)算法程序框图 如图所示,最后输出的结 果是( )
?

A B C D

数列的第100项 数列的前99项和 数列的前100项和 数列的前101项和

山东学业水平测试题
?

3.(10年15)、如图所示的程序框图, 开始

如果输入三个实数a,b,c, 输入a,b,c 要求输出这三个数中最大的数, 那么在空白处的判断框中, x=a 应该填入下面四个选项中的 b>x? (注:框图中的赋值符 号“=”也可以写成“”或“:=”) 否 A c>x B x>c 否 C c>b D b>c
输出x
结束

是 x=b 是

x=c

山东学业水平测试题
4.(11年11).如图所示的程序框图, S=0,n=1 其输出的结果是 A. 1 3 1 S=S+ B. 2 n 11 C. 6 n=n+1 D. 25 n>3
?
开始

12



是 输出S 结束

山东学业水平测试题
5.(13年20).如图所示的程序框图, 其输出的结果是 A.11 开始 B.12 k ? 12, S ? 1 k ? 10 C.131 输出 D.132
?
是 否 S ?S?k

k ? k ?1

结束

山东学业水平测试题
6.(14年20).如图所示的程序框图,运行 相应的程序,则输出 a的值为 A. 7 B. 9 C. 11 D. 13
?

考题剖析
例、(2007海南、宁夏)如果执行下面的程序框图, 那么输出的 s =( )。 开始 A 2450 B 2500 C 2550 D 2652 k =1 解:由程序知 s=2×1+2×2+┄+2×50 1 ? 50 ? 2? ? 50 2 =2550 故选(C) s=0
k ≤50?



是 s = s +2 k k = k+1

输出s 结束

考题剖析
例、(2008海南、宁夏)右面的程序框图,如果输入三个 实数a,b,c,要求输出这三个数中最大的数,那么在空白 的判断框中,应该填入下面四个选项中的( )。 A c>x B x>c
开始
输入a,b,c x=a 是 b > x? 否 是 否 输出x 结束 x =c

C c>b D b>c 解:由程序框图可知第一个判断框 作用是比较x与b的大小,故第二个 判断框的作用应该是比较x与c的 大小。故选(A)

x=b

例:(2010安徽理数)如图所示,程序框图(算法流程图) 的输出值

x?

________。

【解析】 程序运行如下:

x ? 1, x ? 2, x ? 4, x ? 5, x ? 6, x ? 8, x ? 9, x ? 10, x ? 12
输出12

知识梳理

1. 简单随机抽样
(1)思想:设一个总体有N个个体, 从 中逐个不放回地抽取n个个体作为样本, 如果每次抽取时总体内的各个个体被抽 到的机会都相等, 则这种抽样方法叫做 简单随机抽样.

(2)步骤: 抽签法: 第一步,将总体中的所有个体编号,并 把号码写在形状、大小相同的号签上. 第二步,将号签放在一个容器中,并搅 拌均匀. 第三步,每次从中抽取一个号签,连续 抽取n次,就得到一个容量为n的样本.

随机数表法: 第一步,将总体中的所有个体编号. 第二步,在随机数表中任选一个数作为 起始数. 第三步,从选定的数开始依次向右(向 左、向上、向下)读,将编号范围内的 数取出,编号范围外的数去掉,直到取 满n个号码为止,就得到一个容量为n的 样本.

2. 系统抽样
(1)思想:将总体分成均衡的n个部分,再 按照预先定出的规则,从每一部分中抽取1个 个体,即得到容量为n的样本.
(2)步骤: 第一步,将总体的N个个体编号. 第二步,确定分段间隔k,对编号进行分段. 第三步,在第1段用简单随机抽样确定起始个 体编号. 第四步,按照一定的规则抽取样本.

3. 分层抽样 (1)思想:若总体由差异明显的几部分组成,抽 样时,先将总体分成互不交叉的层,然后按照一 定的比例,从各层独立地抽取一定数量的个体, 再将各层取出的个体合在一起作为样本. (2)步骤: 第一步,计算样本容量与总体的个体数之比. 第二步,将总体分成互不交叉的层,按比例确定 各层要抽取的个体数. 第三步,用简单随机抽样或系统抽样在各层中抽 取相应数量的个体. 第四步,将各层抽取的个体合在一起,就得到所 取样本.

三种抽样方法的比较如下表:

类别

共同点

相互联系

适用范围

各自特点

简单随 机抽样
(1)抽样过 程中每个个 体被抽到的 机会相等 (2)抽样过 程都是不放 回的抽样 在起始部 分抽样时 采用简单 随机抽样 每层抽样 时采用简 单随机抽 样或系统 抽样

总体中的 个数较少

从总体中 逐个抽取 将总体均 分成几部 分,按事 先确定的 规则在各 部分抽取
将总体分 成几层, 按一定的 比例进行 抽取

系统抽样

总体中的 个数较多

分层抽样

总体由差 异明显的 几部分组 成

用样本估计总体:一般分成两种 (1)是用样本的频率分布估计总体的分布; (2)是用样本的数字特征(如平均数?标准差等) 估计总体的数字特征.

所谓第一种就是利用样本的频率分布表和频 率分布直方图对总体情况作出估计,有时也 利用频率分布折线图和茎叶图对总体估计
第二种就是为了从整体上更好地把握总体的 规律,可以通过样本数据的众数?中位数?平均 数和标准差等数字特征对总体的数字特征作 出估计

几个概念:

众数:样本数据中出现最多的数据;
中位数:把样本数据分成相同数目的两部分,其中一部分 比这个数小,另一部分比这个数大的那个数; 中位数是 一组数据的中间水平。 平均数:所有样本数据的平均值,用

x 表示;
? ( xn ? x ) ].
2

标准差:是反映样本数据分散程度大小的最常用统计量,其

1 2 2 s? [( x1 ? x ) ? ( x2 ? x ) ? n 方差:标准差的平方
计算公式如下:

注意:中位数和众数不同,中位数不一定在这组数据中。而众数 必定在该组数据)例:2、3、4、5、6、7 中位数:中间的两个数 相加后除2=(4+5)/2=4.5

4. 频率分布表

(1)含义:表示样本数据分布规律的表 格.
(2)作法: 第一步,求极差. 第二步,决定组距与组数(强调取整). 第三步,确定分点,将数据分组. 第四步,统计频数,计算频率,制成表 格.

5. 频率分布直方图 (1)含义:表示样本数据分布规律的图 形.

(2)作法: 第一步,画平面直角坐标系. 第二步,在横轴上均匀标出各组分点, 在纵轴上标出单位长度. 第三步,以组距为宽,各组的频率与组 距的商为高,分别画出各组对应的小长 方形.

频率分布直方图的特征: 从频率分布直方图可以清楚的看出数据分布 的总体趋势。 从频率分布直方图得不出原始的数据内容, 把数据表示成直方图后,原有的具体数据信 息就被抹掉了。

频率分布表与频率分布直方图的区别: 频率分布表列出的是在各个不同区间内取值的频率。 频率分布直方图是用小长方形面积的大小来表示在各个区 间内取值的频率。

6. 频率分布折线图
在频率分布直方图中,依次连接各小长方形 上端中点得到的一条折线,称为频率分布折线图.
画出频率分布折线图. 频率/组距 (取组距中点, 并连线 )
0.6 0.5 0.4 0.3 0.2
0.16 0.1 0.08 0.04 0.3 0.44 0.3 0.5

0.1 0.08 0

0.5

1 1.5

2

2.5

3

3.5 4

4.5 月均用水量/t

7. 总体密度曲线 当总体中的个体数很多时,随着样本容量的 增加,所分的组数增多,组距减少,相应的频率 分布折线图越来越接近于一条光滑曲线,统计中 称这条光滑曲线为总体密度曲线.它能够精确地反 映了总体在各个范围内取值的百分比,它能给我 们提供更加精细的信息.
频率 组距

0

a

b

月均用水量/t

8. 茎叶图

作法: 第一步,将每个数据分为“茎”(高位) 和“叶”(低位)两部分; 第二步,将最小的茎和最大的茎之间的 数按大小次序排成一列,写在左(右) 侧; 第三步,将各个数据的叶按大小次序写 在茎右(左)侧.

茎叶图 (一种被用来表示数据的图) 例: 甲乙两人比赛得分记录如下: 甲:13, 51, 23, 8, 26, 38, 16, 33, 14, 28, 39 乙:49, 24, 12, 31, 50, 31, 44, 36, 15, 37, 25, 36, 39 用茎叶图表示两人成绩,说明哪一个成绩好. 甲 8 4, 6, 3 3, 6, 8 3, 8, 9 1 0 1 2 3 4 5 乙

2, 5, 1, 4, 0

5 4 6, 1, 6, 7, 9 9







茎叶图的特征:
(1)用茎叶图表示数据有两个优点:一是从统计图 上没有原始数据信息的损失,所有数据信息都可以从 茎叶图中得到;二是茎叶图中的数据可以随时记录, 随时添加,方便记录与表示。 (2)茎叶图只便于表示两位有效数字的数据,而且 茎叶图只方便记录两组的数据,两个以上的数据虽然 能够记录,但是没有表示两个记录那么直观,清晰。

9. 众数、中位数和平均数 众数:频率分布直方图最高矩形下端中 点的横坐标. 中位数:频率分布直方图面积平分线的 横坐标. 平均数:频率分布直方图中每个小矩形 的面积与小矩形底边中点的横坐标之积 的总和.

10. 标准差
s=

11. 相关关系 自变量取值一定时,因变量的取值带 有一定随机性的两个变量之间的关系, 叫做相关关系. 12. 散点图 在平面直角坐标系中,表示具有相关 关系的两个变量的一组数据图形,称为 散点图.

(x 1 - x ) + (x 2 - x ) + L + (x n - x ) n

2

2

2

13. 回归直线 如果散点图中的点的分布,从整体上 看大致在一条直线附近,则称这两个变 量之间具有线性相关关系,这条直线叫 做回归直线.

14.求回归直线方程的步骤:

①先把数据制成表, 从表中计算出 x , y , ? x i2, ? y i2, ? x i yi ;
i ?1 i ?1 i ?1 n ? xi yi ? nx y ? ? ?b ? i ?1n 2 ②计算回归系数a, b的公式为 ? 2 xi ? nx ? ? i ?1 ? ? a ? y ? bx n n n

? ? bx ? a. ③写出回归直线方程y

山东学业水平测试题
? 1.(08年13).已知某学校高二年级的一班和 二班分别有m人和n人(m≠n)。某次学校考 试中,两班学生的平均分分别为a和b(a≠b) ,则这两个班学生的数学平均分为 ( )
A.
a?b 2

B. ma+nb

C.

ma ? nb m?n

D.

a?b m?n

2.(08年17).今年某地区有30000名同学参加普通高 中学生学业水平考试,为了了解考试成绩,现准备 采用系统抽样的方法抽取样本。已确定样本容量为 300,给所有考生编号为1~30000以后,随机抽取的 第一个样本号码为97,则抽取的样本中最大的号码 数应为 . 29997

山东学业水平测试题
? 3.(09年7)、抽样时,每次抽取的个体再放 回总体的抽样为放回抽样,那么在分层抽样 、系统抽样、简单随机抽样三种抽样中,属 放回抽样的有( ) A 3个 B 2个 C 1个 D 0个 ? 4.(09年18)、一个容量为20的样本数据,分 组后,组距与频数如下:
(10,20],2; (20,30],3; (30,40],4; (40,50],5; (50,60],4; (60,70],2.

0.7 则样本在区间 (10,50]上的频率是_____.

山东学业水平测试题
? 5.(11年7).高三某班共有学生56人,其中 女生24人,现用分层抽样的方法,选取14人 参加一项活动,则应选取女生( ) A. 8人 B. 7人 C. 6人 D. 5人 ? 6. (13年15).某广告公司有职工150人.其 中业务人员100人,管理人员15人,后勤人员 35人,按分层抽样的方法从中抽取一个容量 为30的样本,则应抽取管理人员( ) A.15人 B.5人 C.3人 D.2人

山东学业水平测试题
7.(14年23).从一批棉花中抽取20根棉花纤维,测其 长度(单位:mm),得频率分布直方图如图,则 此样本在区间 ?40,50? 上的频数是 5 .

山东学业水平测试题
? 8.(13年18).容量为100的样本数据被分为6组,如下表:
组号 频数 1 14 2 17 3 x 4 20 5 16 6 15

第3组的频率是( ) A.0.15 B.0.16

C. 0.18

D.0.20

山东学业水平测试题
? 9.(11年14).已知变量有如下观察数据:
x y 0 2.4 1 4.5 3 4.6 4 6.5

则对的回归方程是 y ? 0.83x ? a ,则其中a的值为 A. 2.64 B .2.84 C. 3.95 D.4.35 ? 10.(13年25).甲、乙两名篮球运动员在六场比赛中得分的茎叶 0.5 图如图所示,记甲的平均分为a,乙的平均分为b,则a-b=___ .
甲 乙 08 50 1 2 32 2 889 52 3 5 第25题图

例1.某工厂人员及周工资构成如下:
人员 经理 周工资 2200 1 人数 合计 2200 管理人员 250 6 1500 高级技工 220 5 1100 工人 200 10 2000 学徒 100 1 100 合计 23 6900

(1)指出这个问题中周工资的众数、中位数、 平均数. 200, 220,300. (2)这个问题中,工资的平均数能客观地反 映该厂的工资水平吗?为什么?

(2)因平均数为300,由表格中所列出的数据 可见,只有经理在平均数以上,其余的人 都在平均数以下,故用平均数不能客观真 实地反映该工厂的工资水平.

例 2. 以往招生统计显示,某所大学录取的新生 高考总分的中位数基本稳定在550分,若某同学 今年高考得了520分,他想报考这所大学还需收 集哪些信息? 解: (1)查往年录取的新生的平均分数.若平均数小 于中位数很多,说明最低录取线较低,可以报 考. (2) 查往年录取的新生高考总分的标准差 .若标 准差较大,说明新生的录取分数较分散,最低 录取线可能较低,可以考虑报考.

概率知识点:
1、频率与概率的意义 2、事件的关系和运算
3、古典概型 4、几何概型

频率与概率的意义:
1、频率本身是随机的,在试验前不能确定。做 同样次数的重复试验得到事件的频率会不同。

2、概率是一个确定的数,与每次试验无关。是 用来度量事件发生可能性大小的量。
3、频率是概率的近似值,随着试验次数的增加, 频率会越来越接近概率。

事件的关系和运算:
(1)包含关系: (2)相等关系:

B?A (或 A ? B )
A=B ( B ? A且 A ? B )

(3)并事件(和事件): (4)交事件(积事件): (5)互斥事件:

A B ( 或 A ? B)

A

B ( 或 AB)
B 是必然事件

A B??
A B ? ?且 A

(6)互为对立事件:

互斥事件与对立事件的联系与区别:
1、两事件对立,必定互斥,但互斥未必对立 2、互斥的概念适用于多个事件,但对立概念只适用于两个事件
3、两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生, 即至多只能发生一个,但可以都不发生;

而两事件对立则表明它们有且只有一个发生

概率的基本性质
(1) 0≤P(A)≤1
(2) 当事件A、B互斥时, P ( A ? B) ? P ( A) ? P ( B)

(3) 当事件A、B对立时, P ( A ? B) ? P ( A) ? P ( B) ? 1 或P ( A) ? 1 ? P( B)

古典概型
1)两个特征:

(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个:(有限性) (2)每个基本事件出现的可能性相等。(等可能性)

2)古典概型计算任何事件的概率计算公式为:

A所包含的基本事件的个数 P(A)= 基本事件的总数

几何概型
1)几何概型的特点:
(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个. (2)每个基本事件出现的可能性相等.

2)在几何概型中,事件A的概率的计算公式如下:

构 成 事 件 A的 区 域 长 度 ( 面 积 或 体 积) P(A)? 试验的全部结果所构成 的 区 域 长 度( 面 积 或 体 积 )

山东学业水平测试题
? 1.(08年8).从1,2,3,4,5这五个数字中任 取两数,则所取两数均为偶数,则所取两数均为 偶数的概率是 ( ) 1 2 3 1 A. B. C. D. 5 5 5 10
2.(09年8). 袋内装有红、白、黑球分别为3、2、1个, 从中任取两个,则互斥而不对立的事件是 A 至少一个白球;都是白球 B 至少一个白球;至少一个黑球 C 至少一个白球;一个白球一个黑球 D 至少一个白球,红球、黑球各一个

山东学业水平测试题
? 3.(10年14)、某数学兴趣小组共有张云等10名实力相 当的组员,现用简单随机抽样的方法从中抽取3人参加 比赛,则张云被选中的概率是( ) A 10% B 30% C 33.3% D 37.5% ? 4.(11年23).袋中有标号为1、2、3、4、5的5个球, 从中随机取出两个球。 (1)写出所有的基本事件; (2)求所取出的两个球的标号之和大于5的概率。
.

解: (1)随机取两个球的基本事件为(1,2),(1,3),(1,4),(1,5), (2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5). (2)两球标号之和大于5的有(1,5),(2,4),(2,5), (3,4),(3,5),(4,5),共有6个,

所以所求概率为0.6

山东学业水平测试题
? 5.(13年4).抛掷一枚骰子,得到偶数点的概率是:
1 A. 6 1 B. 4 1 C. 3
1 D. 2

? 6.(13年8).在区间 [0,4] 上任取一个实数x, 则 x ? 1 的概率是: A.0.25 B.0.5 C.0.6 D.0.75


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