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函数的奇偶性与周期性(整理)


函数的奇偶性与周期性
一、选择题
1.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是(



A、 y ? sin x C、 y ? x

x?R x?R

B、 y ? ( ) D、 y ? ? x 3

1 2

x

x?R x?R

2.设偶函数 f(x)=loga|x+b|在(0,+∞)上单调递增,则 f(b-2)与 f(a+1)的大小关系为

A.f(b-2)=f(a+1) C.f(b-2)<f(a+1)

B.f(b-2)>f(a+1) D.不能确定

3.定义在(-∞,+∞)上的奇函数 f(x)和偶函数 g(x)在区间(-∞,0 ] 上的图像关于 x 轴对称,且

f(x)为增函数,则下列各选项中能使不等式 f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b)成立的是 ( ) B.a<b<0 C.ab>0 D.ab<0
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A.a>b>0

4.如下四个函数,其中既是奇函数,又在

? ??,0? 是增函数的是
C、 y ? ?

A、 y ? ? x ? 1

B、 y ? ? x

3

1 x

D、 y ?3

?x

5. 设函数 f ( x ) 与 g ( x) 的定义域是 x ? R

?

x ? ?1? ,函数 f ( x) 是一个偶函数, g ( x) 是一个奇函数,且

f ( x) ? g ( x) ?
A.

1 ,则 f ( x ) 等于 x ?1
B.

1 2 x ?1

2x 2 x2 ?1

C.

2 x ?1
2

D.

2x x ?1
2

6.下列函数为偶函数的是


2

) D、 y ? 2
x

A、 y ? x

B、 y ? x

C、 y ? x

3

3 3 7.已知定义在 R 上的函数 f (x)的图象关于 (? ,0) 成中心对称,且满足 f (x) = ? f ( x ? ), f (?1) ? 1 , f (0) = –2, 4 2

则 f (1) + f (2) +…+ f (2007)的值为( ) A.–2 B.–1

C.0

D.1

8.已知 (x) f 是定义在 R 上的周期为 2 的偶函数, 当

时, x) 2, ( =x 若直线 f



的图像恰好有两个公共点,则 a=(



A.

B.

k,∈Z

-1-

C.

D.

?m 1 ? x 2 , x ? (?1,1] ? 9.已知以 T ? 4 为周期的函数 f ( x) ? ? ,其中 m ? 0 。若方程 3 f ( x) ? x 恰有 5 个实数 ? 1 ? x ? 2 , x ? (1,3] ?
解,则 m 的取值范围为( A. ( )

15 8 , ) 3 3

B. (

15 , 7) 3

C. ( , )

4 8 3 3

D. ( , 7)

4 3

10. 已 知 函 数 f ( x ) 是 定 义 在 实 数 集 R 上 的 不 恒 为 零 的 偶 函 数 , 且 对 任 意 实 数

x 都有

5 x f( x 1 )? ( 1 x )f ,则 f ( f ( )) 的值是 ? ? ( ) x 2 1 A.0 B. C.1 2

D.

5 2

二、填空题
11.设 f ( x) 是定义在实数集 R 上的函数,若函数 y=f(x+1)为偶函数,且当 x≥1 时,有 f ( x) ? 1 ? 2 x ,则
3 2 1 f ( ), f ( ), f ( ) 的大小关系是 2 3 3


1 1 ,则 f ( ) = x ?1 2

12.若 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x<0 时, f ( x) ?



13. y ? f ? x ? 定义域为 R,且对任意 x ? R 都有 f ? x ? 1? ? f ? x ? ? 1 ,若 f ? 2 ? ? 1 ? 2 则 f ? 2008? =_ 1? f ? x? 14.一名模型赛车手遥控一辆赛车。先前进 1 米,然后原地逆时针方向旋转角 ? (0
?

? ? ? 1800 ) ,被称为一

次操作。若五次操作后赛车回到出发点,则角 ? =_____

三、解答题
15.已知函数

f ( x) ? x2 ? 2 | x | .

(Ⅰ )判断并证明函数的奇偶性; (Ⅱ )画出函数 g ?x ? ? f (4 ? x) 的图象,并比较 g ?? 1?与g (6) 大小

-2-

16.已知

1? ? 1 f ? x? ? x ? x ? ? ? x ? 0? , ? 2 ?1 2 ?

⑴判断 f ? x ? 的奇偶性; ⑵证明 f ? x ? ? 0 .

17.已知:函数 f ( x ) ? ax ?

b 5 17 ? c ( a、b、c 是常数)是奇函数,且满足 f (1) ? , f (2) ? , x 2 4 1 2

(Ⅰ)求 a、b、c 的值; (Ⅱ)试判断函数 f ( x ) 在区间 (0, ) 上的单调性并证明;

18. 定义在[-1,1]上的奇函数 f(x),已知当 x∈[-l,0]时,



(I)写出 f(x)在[0,1]上的解析式; (1I)求 f(x)在[0,1]上的最大值; (Ⅲ)若 f(x)是[0,1]上的增函数,求实数 a 的取值范围.

-3-

答案 一、选择题 1. D 2.C

解析:∵函数 f(x)是偶函数,∴b=0,此时 f(x)=loga|x|. 当 a>1 时,函数 f(x)=loga|x|在(0,+∞)上是增函数,∴f(a+1)>f(2)=f(b-2); 当 0<a<1 时,函数 f(x)=loga|x|在(0,+∞)上是减函数,∴f(a+1)>f(2)=f(b-2). 综上,可知 f(b-2)<f(a+1).

3.A 4.C 5.A 6.B 7. C

3 3 3 3 解析: 由已知 f (x) = ? f (? x ? ) ,又 f (x) = ? f ( x ? ) ,∴ f (? x ? ) ? f ( x ? ) ,即 f (x)为偶函数. 又 f 2 2 2 2

3 3 3 (x + 3) = f [( x ? ) ? ] ? ? f ( x ? ) = f (x),∴f (x)是以 3 为周期的函数. 2 2 2 ∴f (1) = f (–1) = 1,f (2) = f (–1 + 3) = f (–1) = 1,f (3) = f (0) = –2, ∴f (1) + f (2)+…+f (2007) = 669 [f (1) + f (2) + f (3)] = 0. 8.C 9.B

解析:因为当 x ? (?1,1] 时,将函数化为方程 x ?
2

y2 ? 1( y ? 0) ,实质上为一个半椭圆,其图像如图 m2

所示,

同时在坐标系中作出当 x ? (1, 3]得图像,再根据周期性作出函数其它部分的图像,由图易知直线

y?

x y2 y2 2 2 与第二个椭圆 ( x ? 4) ? 2 ? 1( y ? 0) 相交,而与第三个半椭圆 ( x ? 4) ? 2 ? 1( y ? 0) 无公共点 3 m m

x y2 2 时,方程恰有 5 个实数解,将 y ? 代入 ( x ? 4) ? 2 ? 1( y ? 0) 得 3 m

(9m2 ? 1) x2 ? 72m2 x ? 135m2 ? 0, 令 t ? 9m2 (t ? 0)则(t ? 1) x2 ? 8tx ? 15t ? 0
由 ? ? (8t ) ? 4 ?15t (t ? 1) ? 0, 得t ? 15,由9m ? 15, 且m ? 0得m ?
2 2

15 3

同样由 y ?

x y2 2 与第二个椭圆 ( x ? 8) ? 2 ? 1( y ? 0) 由 ? ? 0 可计算得 m ? 7 3 m
-4-

综上知 m ? (
10.A

15 , 7) 3

解析:令 x ? ?

1 1 1 1 1 1 1 1 ,则 ? f ( ) ? f ( ? ) ? f ( ) ? f ( ) ? 0 ;令 x ? 0 ,则 f (0) ? 0 2 2 2 2 2 2 2 2 x?1 f ( x ) ,所以 x

由 xf ( x ? 1) ? (1 ? x) f ( x) 得 f ( x ? 1) ?

5 3 5 3 5 3 5 2 1 5 f ( ) ? 2 f ( ) ? f ( ) ? ? f ( ) ? 0 ? f ( f ( )) ? f (0) ? 0 ,故选择 A。 3 2 2 3 2 3 1 2 2 2 2
二、填空题 11. f ( )>f ( )>f ( ) 12.-2
2 3 3 2 1 3

2 ?1 0 14.72 或 144
13.
0

三、解答题 15.解析:

(Ⅰ )是偶函数. 定义域是 R,∵ f (? x) ? (? x)2 ? 2 | ? x |? x2 ? 2 | x |? f ( x) ∴函数 f ( x ) 是偶函数.

(Ⅱ )g(-1)=f(5)=15,
16.解析: (1)

g(6)=f(-2)=0

∴g(-1)>g(6)

f ( x) ? x(

1 1 x 2x ? 1 ? )? ? x 2x ? 1 2 2 2 ?1

x 2? x ? 1 x 2 x ? 1 f ( ? x) ? ? ? ? x ? ? ? f ( x) , 2 2 ?1 2 2x ?1 f ( x) ? x 2x ? 1 ? 为偶函数 2 2x ?1

(2) f ( x) ?

x 2x ? 1 x ? ,当 x ? 0 ,则 2 ? 1 ? 0 ,即 f ( x) ? 0 ; 2 2x ?1
x

当 x ? 0 ,则 2 ? 1 ? 0 ,即 f ( x) ? 0 ∴ f ( x) ? 0 。

17.解析:⑴? f (? x) ? ? f ( x)

?c ? 0
-5-

5 ? f (1) ? ? ?? 2 ? ? f (2) ? 17 ? ? 4

5 ? ? ?a ? b ? 2 ? ? ?2a ? b ? 17 ? ? 2 4

?a ? 2 ? ?? 1 ?b ? 2 ?
1 2x



?由(1)问可得 f ( x) ? 2 x ?

? f ( x) ? 2 x ?
1 2

1 在区间(0,0.5)上是单调递减的 2x

证明:设任意的两个实数 0 ? x1 ? x2 ?

?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2( x1 ? x2 ) ? ? ( x2 ? x1 )(1 ? 4 x1x2 ) 2 x1 x2
1 2

1 1 (x ? x ) ? ? 2( x1 ? x2 ) ? 2 1 2 x1 2 x2 2 x1 x2

w.w.w.k.s.5. u.c. o. m

又? 0 ? x1 ? x2 ?

? x1 ? x2 ? 0 ? f ( x) ? 2 x ?

0 ? x1 x2 ?

1 , 1 ? 4 x1x2 ? 0 4

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0

1 在区间(0,0.5)上是单调递减的 2x

18. 解析: )设 (Ⅰ

(Ⅱ )

(Ⅲ )因为函数 f(x)在[0,1]上是增函数, 所以

-6-


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