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2006年潮阳黄图盛中学高三数学


2006 年潮阳黄图盛中学高三数学测试题(二)
时间:120 分钟 总分:150 分 共 50 分) 2005-9-6

第 I 卷(选择题

一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分;在每小题给出的四个选项中,只有一项是符
合题目要求的,请把你认为正确的选项填写在答案卷相应位置上。 ) 1、一个袋中有 5 个白球和 3 个红球,从中任取 3 个,则随机变量是( A、所取球的个数 B、其中含白球的个数 2 3 4 5 2、已知随机变量 ? 的概率分布列如下: ) D、袋中球的总数 9 10 C、所取白球与红球的总数 6 7 8

?
P

1

则 P?? ? 10? =( A、

2 3

2 32


2 33

2 34 1 39


2 35

2 36 1 310

2 37

2 38

2 39

m

2 39

B、

2 310

C、

D、

3、某校有高一学生 300 人,高二学生 270 人,高三学生 210 人,现欲用分层抽样方法抽取 26 名学生进 行调查,则下列判断正确的是( A、高一学生被抽到的概率最大 C、高三学生被抽到的概率最小 的抽样方法是: ( A、简单随机抽样 5、 “ ) B、系统抽样
x ? ??

B、高二学生被抽到的概率最大 D、每名学生被抽到的概率相同

4、为了考察某个乡镇的人口情况,决定从乡镇的江村的 30000 个人中抽取 300 个进行样本分析,应采用 C、分层抽样
x ??

D、有放回抽样 )条件。 D、既不充分也不必要

lim

x ? ??

f ( x) 存在,且 lim f ( x) 存在”是“ lim f ( x) 存在”的(
B、必要非充分 ) B、0 C、 C、充要

A、充分非必要 6、

lim
1 6

x ? ?3

x?3 ?( x2 ? 9

A、 ? 7、若 A、2

1 6


D、

1 3

lim ? 1 ? x ? 1 ? x ?
x ?1

? a

b

? ? ? 1 ,则常数 a + b 的值是( ? B、 ? 2 C、 ? 6
2

D、6 )

8、已知函数 y ?| x | ,下列四个命题正确的个数有( 在 x ? 0 处不可导; A、1 B、2 C、3

(1) y ?| x | 在 x ? 0 处有极限; (2) y ?| x | 在 x ? 0 处连续; (3) y ?| x | 在 x ? 0 处可导; (4) y ?| x | D、4
2

9、 已知曲线 C1 : y ? sin x( x ? R) 和 C2 : x 2 ? ? y ? r ? A、2 个 B、3 个

? ?

1? 2 它们的交点最多有 ( ? ? r (r ? 0) , 2?
D、无数多个



C、4 个

10、袋中有编号 1,2,3,4,5 的 5 只小球,从中任取 3 只球,以 ? 表示取出球的最大号码,则 ?? 的值 是( A、5 ) B、4.75 C、4.5 D、4 共 100 分)

第 II 卷(非选择题
二、填空题(本大题 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 )

11、某学校有初中生 1080 人,高中生 900 人,教师 120 人,现对该学校的师生进行样本容量为 n 的分层 抽样,已知抽取的高中生为 60 人,则样本容量 n 为_____________________.

2 3n ? 32 n?1 ________ . lim 23n ? 32n ? __________ n ?? 1 3 4 13、已知曲线 y ? x ? , 则与直线 4 x ? y ? 2 ? 0 平行的切线方程是__________________. 3 3
12、 14、有以下五个命题: ① f ( x) ?

1 在[0,1]上连续;②若 f (x) 是 ( a, b) 内的连续函数,则 f (x) 在 ( a, b) 内有最大值和最小值; x



lim
x ??

x 1? x2

? lim
x ??

1 1 ?1 x2

?1 ; ④

lim ?
x? 2

? x ( x ? 0) 2 sin 2 x , 则 ? 4 ; ⑤ 若 f ( x) ? ? cos x x ? 1( x ? 0) ?

lim
x ?0

f ( x) ? 0 ,其中正确命题的序号是______________(请把你认为是正确命题的序号都填上).

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15(13 分) 、求下列极限: (1)

lim x?
x???

x2 ?1 ? x2 ?1 ;

?

(2)已知 f (x) 在 x ? a 处的导数为 f ' (a) ,求

lim
x ?a

f ?2 x ? a ? ? f ?2a ? x ? . x?a

2 2 16(13 分) 、质点 P 在圆 x ? y ? 100的周界上顺时针匀速圆周运动,角速度为 1 rad / s ,设 A(10,0)

为起点,此时时刻为 0,求时刻为 t 时,质点 P 在 x 轴上射影 M 的速度。

17(14 分) 、一名学生每天骑车上学,从他的家到学校的途中有 6 个交通岗,假设他在各个交通岗遇到 红灯的事件是相互独立事件,且概率均为

1 。 3

(1)设 ? 为这名学生在途中遇到红灯的次数,求 ? 的分布列; (2)设? 为这名学生首次遇红灯前经过的路口数,求? 的分布列; (3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率。

18(13 分) 、已知双曲线方程

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) ,求证: a2 b2
b 。 a

(1)当渐近线上的点的坐标的绝对值无限增大时,它到两个焦点距离的差的绝对值有极限 2 a ; (2)当双曲线上的点的坐标的绝对值无限增大时,它的纵坐标与横坐标的绝对值之比有极限

19 (13 分) 已知直线 l1 为曲线 y ? x 2 ? x ? 2 在点 (1, 处的切线, 2 为该曲线的另一条曲线, l1 ? l 2 。 0) 且 l (1)求直线 l 2 的方程; (2)求由直线 l1 、 l 2 和 x 轴所围成的三角形的面积。

20 ( 14 分 ) 已 知 数 列 {an } , 其 通 项 an ? n(n ? 1) 2 , 问 : 是 否 存 在 这 样 的 等 差 数 列 {bn } , 使 、

an ? 1? b1 ? 2 ? b2 + 3 ? b3 ? ? ? n ? bn ,对一切 n ? N * 都成立,并证明你的结论。

???????????????装????????????订??????????????线??????????????

2006 年潮阳黄图盛中学高三数学测试题(二)答案
题 号 得 分 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分;在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的.) 题号 答案 1 B 2 C 3 D 4 C 5 B 6 A 7 C 8 C 9 D 10 C 一 二 15 16 17 三 18 19 20 总 分

姓名:___________________

二、填空题(本大题 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 ) 11、 140 ;12、 -3 ;13、 4 x ? y ? 4 ? 0和 x ? 3 y ? 20 ? 0 ;14、 12 ④ .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15(13 分)解: (1)

lim x?
x???
2

x2 ?1 ? x2 ?1

?

座号:___________

? lim ? lim ? lim

x x2 ?1 ? x2 ?1 ?

?

x ? ??

?

??

x2 ?1 ? x2 ?1
2

x ?1 ? x ?1

?

?

x ? ??

?

2x x2 ?1 ? x2 ?1 2

?
?1
????????????????6 分

x ? ??

? 1 1 ? ? 1? 2 ? 1? 2 ? ? x x ? ? ?

)班

(2)设x ? a ? ?x, 则x ? a ? ?x, f ?2 x ? a ? ? f ?2a ? x ? f (2a ? 2?x ? a) ? f ?2a ? a ? ?x ? ? lim ? lim x?a ?x x?a ?x ?0 f (a ? 2?x) ? f ?a ? ?x ? ? lim ?x ?x ?0 f (a ? 2?x) ? f ?a ? f (a ? ?x) ? f ?a ? ? lim ? lim ?x ?x ?x ?0 ?x ?0 f (a ? 2?x) ? f ?a ? f (a ? (??x)) ? f ?a ? ? 2 lim ? lim 2?x ? ?x ?x ?0 ?x ?0 ? 2 f ' (a) ? f ' (a) ? 3 f ' (a).
??????????????????7 分

班级:高三(

16(13 分) 解:当 t ? 0 时, M 、 P 重合于点 A,此时,M 点位移为 0,在时刻 t, ?AOP ? t ? 1 ? t ( rad )

? OM ?| OP | ? cos(? t ) ? 10cost ,
? M 相对于点 A 的位移 AM ? OA ? OM ? ?10 ? 10 cos t ? 时刻 t 时, M 点的速度为 v ? ?? 10 ? 10cost ?' ? ?10sint .
所以,时刻 t 时,质点 P 在 x 轴上射影 M 的速度为 ? 10 sin t .

M -10 O

A 10

P

?????????????????&????13 分

1 ? 2? k ?1? 17(14 分)解: (1)由已知可得, ? ~ B( 6, ) ,? P ?? ? k ? ? C n ? ? ? ? ? ? 3 ? 3? ? 3?

k

6? k

2 6? k ? C ? 6 , k ? 0,1,2,3,4,5,6 3
k 6

????????????????4 分

(2) ? 的取值为 0,1,2,3,4,5,6,其中 P ?? ? k ? ? ?

? 2? 1 ? ? , k =0,1,2,3,4,5, ? 3? 3

k

? 2? P ?? ? 6? ? ? ? ,因此 ? 的分布列为: ? 3?
?
P 0 1 2 3 4 5 6

6

1 3

2 9

4 27

8 81

16 243

32 729

64 729

(3)这名学生至少遇到一次红灯的概率为: P ?? ? 1? ? 1 ? P ?? ? 0?

????????????????5 分

? 2? ? 1 ? ? ? ? 0.9122 ? 3?
?????????????????5 分

6

18(13 分)解:由条件知,双曲线的两个焦点坐标为 F1 ?? c,0?, F2 (c,0) ,渐进线方程为

y??

b x a

, 其 中

c 2 ? a 2 ? b2 , 设 渐 进 线 上 任 一 点

b? ? P ? x ,? ? , 则 a? ?

lim
n? ?

PF1 ? PF2 ? lim
n? ?

?x ? c?

2

? b ? ? ?? x? ? ? a ?

2

?x ? c?

2

? b ? ? ?? x? ? a ?

2

? lim
n? ?

?a

2

? b 2 x 2 ? 2a 2 cx ? c 2 a 2 ? a 4acx

?

?a

2

? b 2 x 2 ? 2a 2 cx ? c 2 a 2

?

? lim
n? ?

? lim
n? ?

c 2 x 2 ? 2a 2 cx ? c 2 a 2 ? c 2 x 2 ? 2a 2 cx ? c 2 a 2 4ac c2 ? 2a 2 c c 2 a 2 2a 2 c c 2 a 2 ? 2 ? c2 ? ? 2 x x x x

?

4ac ? 2a . 2c
??????????????????????7 分

(2)设双曲线上任意一点 M ( x , y ) ,则 由

x2 y2 b x2 ? a2 ? 2 ? 1得 y ? a a2 b

? lim
x ??

y b x2 ? a2 ? lim ? lim x ax x ?? x ??

b 1? a

a2 x2

?

b . a

????????????????????????6 分 19(13 分)解: (1) y' ? 2 x ? 1 直线 l 1 的方程为 y ? 3 x ? 3 , 设直线 l 2 过曲线 y ? x 2 ? x ? 2 上的点 B b, b 2 ? b ? 2 ,则 l 2 的方程为: y ? ?2b ? 1?x ? b 2 ? 2 因为 l 1 ? l 2 ,则有 2b ? 1 ? ?

?

?

1 2 1 22 , b ? ? ,所以直线 l 2 的方程为 y ? ? x ? . 3 3 3 9
????????????????????7 分

1 ? ? y ? 3x ? 3 ?x ? 6 ? ? ?1 5? (2)解方程 ? ,所以直线 l 1 、 l 2 的交点坐标为 ? ,? ? , l 1 、 l 2 与 x 轴的 1 22, 得 ? ? 6 2? ?y ? ? 3 x ? 9 ?y ? ? 5 ? ? 2 ?
交点坐标分别为 ?1,0? 、 ? ?

? 22 ? ,0 ? ,所以所求三角形的面积为: ? 3 ?

S?

1 25 5 125 。 ? ?? ? 2 3 2 12
??????????????????6 分

20(14 分)解:假设存在这样的 ?bn ? ,令 n ? 1 ,则 a1 ? 4 ,从而 b1 ? 4 ,令 n ? 2 ,则 a 2 ? 18 , 又 a 2 ? 1 ? b1 ? 2 ? b2 ,从而 b2 ? 7 ,同理求得 b3 ? 10, b4 ? 13,于是猜想 bn ? 3n ? 1, n ? N ? ,满足 条件。 ??????????????????4 分

下面用数学归纳法证明,即证明:

n?n ? 1? ? 1 ? 3 ? 2 ? 7 ? 3 ? 10 ? ? ? n ? (3n ? 1)
2

(1) 当 n ? 1 时,左边 ? 1 ? (1 ? 1) 2 ? 4 ,右边 ? 1 ? ( 3 ? 1) ? 4 ,所以当 n ? 1 时,等式成立。 (2) 假设当 n ? k 时,等式成立,即

k(k ? 1) 2 ? 1 ? 4 ? 2 ? 7 ? 3 ? 10 ? ? ? k ? (3k ? 1) ,
则当 n ? k ? 1 时, 1 ? 4 ? 2 ? 7 ? 3 ? 10 ? ? ? k ? (3k ? 1) ? (k ? 1) ? ?3(k ? 1) ? 1?

? k ( k ? 1) 2 ? ( k ? 1) 2 ?3( k ? 1) ? 1? ? ?k ? 1??k ?k ? 1? ? 3k ? 3 ? 1? ? ?k ? 1? k 2 ? 4k ? 4 ? ?k ? 1???k ? 1? ? 1?
2

?

?



也即当 n ? k ? 1 时,等式成立。 所以,由(1)(2)可知等式对任意 n ? N ? 成立。 、 ??????????????????????10 分


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