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山东省德州市2015届高三上学期2月期末统考数学(理)试题及答案


山东省德州市 2015 届高三上学期 2 月期末统考 数学(理)试题
本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第 1 卷 1-2 页,第Ⅱ卷 3-4 页,共 150 分,测试时间 120 分钟, 注意事项: 选择题为四选一题目,每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在测试卷上.

第 I 卷(共 50 分)
2 ? z2 = z



一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.把正确答案涂在答题卡上. 1.设 z ? 1 ? i ,则 A.-1-i C.1-i

B.-l+i D.l+i

2.满足条件 ?1,2? A.8 C.3 3. y ? A. C.

B ? ?1,2,3,4,5? 的所有集合 B 的个数为
B.4 D.2

x ?1 ? log 2 (4 ? x2 ) 的定义域是 2x

? ?2,0?

(1,2)

B. ? ?2,0? D.

(1,2)

? ?2,0? ?1,2?

??2,0? ?1,2?

4.下列叙述中正确的是 A.若 p ? (?q) 为假,则一定是 p 假 q 真 B.命题“ ?x ? R, x ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, x ? 0 ”
2 2

C.若 a,b,c∈R,则“ ab >cb ”的充分不必要条件是“a>c” D.设

2

2

? 是一平面,a,b 是两条不同的直线,若 a ? ? ,b ? ? ,则 a//b

5.不等式 x ? 1 ? x ? 3 ? 6 的解集为

A.[-4,2] C.

B. D.

?2, ???
? ??, ?4? ?2, ???

? ??, ?4?

6.如图是某居民小区年龄在 20 岁到 45 岁的居民上网情况的频率分布直方图,现已知年龄 在[30, 35),[35,40),[40,45]的上网人数呈现递减的等差数列,则年龄在[35,40)的频 A. 0. 04 B. 0. 06 C. 0. 2 D. 0. 3 7.当 0 ? x ? A. (0, ) C. (1, 4)

1 4

1 x 1 时, ( ) ? log a x ,则 a 的取值范围是 4 2 1 B. ( ,1) 4
D. ( 2,4)

? x ? 0, ?x ? y ? 1 ? 8.由不等式组 ? y ? 0, 确定的平面区域记为 ? 确定的平面区域记 1 ,不等式组 ? ? x ? y ? ?2 ?y ? x ? 2 ? 0 ?


?2 ,则 ?1 与 ?2 公共部分的面积为
A.

15 4

B.

3 2

C.

3 4

D.

7 4

9.如图所示,由函数

f ( x) ? sin x 与函数

g ( x) ? cos x 在区间

? 3? ? ?0, 2 ? 上的图象所围成的封闭图形的面积为 ? ?
A. B. C. D.

3 2 ?1 4 2 ?2 2

2 2

10.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点,左右焦点分别为 限的交点为 P,

F1 , F ,且两条曲线在第

一象

?PF1F2 是以

PF1 为底边的等腰三角形,若

PF1 ? 10 ,椭圆与双曲线的离心

率分别为 A.

e1, e2 ,则 e2 ? e1 的取值范围是
B.

2 ( , ??) 3 2 C. (0, ) 3

4 ( , ??) 3 2 4 D. ( , ) 3 3

第Ⅱ卷(共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡的相应位置. 11.已知实数

x ??2,30? ,执行如图所示的程序框图,则输出的 x 不小

于 103 的概率是________. 12.已知 a ? (? ,

1 3 ), OA ? a ? b ,若△OAB 是以 O 为 2 2

直角顶点的等腰直角三角形,则△AOB 的面积是_______. 13.若 ( x ? 2 ? m)9 ? a0 ? a1 ( x ? 1) ? a2 ( x ? 1)2 ? ??? ? a9 ( x ? 1)9 且
2 (a0 ? a2 ? ? ? ? ? a8)

( ?a1

? a3

? ? ?a ?2 ) 9?

9 ,则实数 m 的值是 3 ?

_________. 14.已知一个三棱锥的三视图如图所示,其中俯视图是顶角为 120 的

等腰三角形,则该三棱锥的四个表面中,面积的最大值为_______.

15.已知定义在 R 上的函数 f(x)的图象连续不断,若存在常数 t (t ? R) , 使得 f ( x ? t ) ? tf ( x) ? 0 对任意的实数 x 成立,则称 f(x)是回旋函数. 给出下列四个命题:

①常值函数 f ( x) ? a(a ? 0) 为回旋函数的充要条件是 t= -1; ②若 y ? a x (0 ? a ? 1) 为回旋函数,则 t>l; ③函数 f ( x) ? x2 不是回旋函数; ④若 f(x)是 t=2 的回旋函数,则 f(x)在[0,4030]上至少有 2015 个零点. 其中为真命题的是_________(写出所有真命题的序号) . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2sin( x ?

?
3

) ? cos( x ?

?
3

) ? sin(2 x ? 3) .

(I)求 f ( x ) 的最小正周期及单调递增区间; (Ⅱ)若将 f ( x ) 的图象向左平移

? 个单位, 得到函数 g(x)的图象, 求函数 g(x)在区间 4

? ?? ?0, 2 ? 上 ? ?

的最大值和最小值, 17.(本小题满分 12 分) 某单位为了丰富职工的业余生活,迎接“春节文艺汇演” ,组织了 10 人参加“生活小百科” 知 识竞赛,每人回答 2 个问题,答对题目的个数及对应人数统计结果如下表

根据以上信息解答以下问题: (I)从 10 人中任选 3 人,求 3 人答对题目个数和为 4 的概率; (Ⅱ)从 10 人中任选 2 人, 用 X 表示 2 人答对题目个数之和, 求随机变量 X 的分布列及数学期望 E(X). 18. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P - ABCD 中,PC 上底面 ABCD,底面 ABCD 是直角梯形,AB ? AD,AB∥CD,AB=2AD= 2CD=2,PE-=2BE. (I)求证:平面 EAC ? 平面 PBC; (Ⅱ)若二面角 P-AC-E 的余弦值为 平面 EAC 所成角的正弦值. 19.(本小题满分 12 分) 数列

6 ,求直线 PA 与 3

?an? 中

a1 ?

1 2 ? ,前 n 项和 Sn ? n an ? 2n(n ? 1), n ? N . . 2

(I)证明数列 ?

?n ?1 ? Sn ? 是等差数列; ? n ?

(Ⅱ)设 bn ?

1 Sn ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,试证明: Tn ? 1 · n (2n ? 1)
2

20.(本小题满分 13 分) 如图已知抛物线 C : y 2 ? 2 px( p ? 0) 的准线为 l ,焦点为 F,圆 M 的圆心在 x 轴的正半轴上,且与 y 轴相切,过原点作倾斜角为

? 的直线 t,交 l 于点 A,交圆 M 于点 B,且 AO ? OB =2. 3
(I)求圆 M 和抛物线 C 的方程; (Ⅱ)已知点 N(4,0),设 G,H 是抛物线上异于原点 O 的两个 不同点,且 N,G,H 三点共线,证明: OG ? OH 并求△GOH 面 积的最小值. 21.(本小题满分 14 分) 已知函数

f ( x) ? e x ? ax ,其中 e 为自然对数的底数,a 为常数.

(I)若函数 f(x)存在极小值,且极小值为 0,求 a 的值; (Ⅱ)若对任意 x ? ? 0,

? ?? x ,不等式 f ( x) ? 2ax ? e (1 ? sin x) 恒成立,求 a 的取值范围. ? ? 2?

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