当前位置:首页 >> 数学 >>

空间向量综合复习三空间向量与垂直关系


空间向量综合复习(三)空间向量与垂直关系 一、选择题 1.已知平面α 的法向量为(1,2,-2) ,平面β 的法向量为(-2,-4,k) ,若α ∥β ,则 k=( (A)2 (B)-4 (C)4 (D)-2 2.若 a =(0,1,-1) b =(1,1,0),且( a +λ b )⊥ a ,则实数λ 的值是( , )

三、解答题 7.(2011?三明高二

检测)如图,棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是矩形,PA⊥平面 ABCD,PA=AD=2,BD=2 2 .求证:BD⊥平面 PAC.

?

?

?

?

?

)

(A)-1 (B)0 (C)1 (D)-2 3.已知 A(3,0,-1) ,B(0,-2,-6) ,C(2,4,-2)则△ABC 是( ) (A)等边三角形 (B)等腰三角形(C)直角三角形 (D)等腰直角三角形 4.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,若 E 为 A1C1 的中点,则直线 CE 垂直于( ) (A)AC (B)BD (C)A1D (D)A1A 5.已知平面α 的法向量为 a=(1,2,-2),平面β 的法向量为 b=(-2,-4,k),若α ⊥β ,则 k=( ) (A)4 (B)-4 (C)5 (D)-5 6.已知直线 l 的方向向量为 a=(2,4,x),平面α 的法向量是 b=(2,y,2),若|a|=6,且 l∥α ,则 x+y 的 值是( )(A)-3 或 1 (B)3 或-1(C)-3 (D)1 7.(2012?佛山高二检测)已知向量 a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且 ka+b 与 2a-b 互相垂直,则 k 的值是 ( )(A)1 (B)

8.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别是 BB1、CD 的中点. (1)证明:平面 AED⊥平面 A1FD1; (2)在 AE 上求一点 M,使得 A1M⊥平面 DAE.

1 5

(C)

3 7 (D) 5 5
2 a,则 MN 与平面 3

8.在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M,N 分别为 A1B 和 AC 上的点,A1M=AN= BB1C1C 的位置关系是( 二、填空题 )(A)相交但不垂直

(B)平行(C)垂直 (D)在平面 ABCD 内

5.已知向量 a =(2,4,x), b =(2,y,2),若| a |=6, a ⊥ b ,则 x+y 的值为____________. 6.已知空间三点 A(0,0,1) ,B(-1,1,1) ,C(1,2,-3) ,若直线 AB 上一点 M,满足 CM⊥AB, 则点 M 的坐标为________. 7.(2012?合肥高二检测)平面α 的法向量为 m,向量 a,b 是平面α 之外的两条不同的直线的方向向 量,给出三个论断:①a⊥m;②a⊥b;③m∥b. 以其中的两个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出所有正确的命题 . 8.(2012?青岛高二检测)如图,以等腰直角三角形斜边 BC 上的高 AD 为折痕,把△ABD 与△ACD 折成 互相垂直的两个平面后,有以下四个结论: ① BD ? AC ≠0;②∠BAC=60°;③三棱锥 D-ABC 是 正三棱锥; ④平面 ADC 的法向量和平面 ABC 的法向量互相垂 直. 其中正确结论的序号是 (请把正确结 论的序号都填上).
-1-

?

?

?

?

?

9.直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,底面是以∠ABC 为直角的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D 是 A1C1 的中 点,在线段 AA1 上是否存在点 F,使 CF⊥平面 B1DF,若存在,求出 AF 的长,若不存在,说明理由.

??? ??? ? ?

? 10.(2011?湖南高考)如图,在圆锥 PO 中,已知 PO= 2 ,⊙O 的直径 AB=2,C 是 AB 的中点,D 为
AC 的中点. 证明:平面 POD⊥平面 PAC.

12.(2012?广东高考)如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD,点 E 在 线段 PC 上,PC⊥平面 BDE. (1)证明:BD⊥平面 PAC; (2)若 PA=1,AD=2,求二面角 B-PC-A 的正切值.

13.如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB ? AC ? 5 , D , E 分别为 BC , BB1 的中点,四边 11.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别是 BB1、CD 的中点. (1)证明:平面 AED⊥平面 A1FD1; (2)在 AE 上求一点 M,使得 A1M⊥平面 DAE. 形 B1 BCC1 是边长为 6 的正方形. (Ⅰ)求证: A1 B ∥平面 AC1 D ; (Ⅱ)求证: CE ? 平面 AC1 D ; (Ⅲ)求二面角 C ? AC1 ? D 的余弦值.

-2-

答案解析 1.【解析】选 C.∵α ∥β ,∴法向量互相平行.

又∵CM⊥AB,∴(x-1,y-2,z+3)?(-1,1,0)=0.得 1-x+y-2=0.∴1+λ +λ -2=0. 得λ =

?2 ?4 k .∴k=4. ? ? 1 2 ?2 ? ? 2.【解析】选 D. a +λ b =(0,1,-1)+(λ ,λ ,0)=(λ ,λ +1,-1),
∴ ∵( a +λ b )⊥ a ,∴(λ ,λ +1,-1)? (0,1,-1)=0, ∴λ +1+1=0,∴λ =-2. 3.【解析】选 C.∵ AB =(-3,-2,-5), AC =(-1,4,-1). ∴ AB ? AC =3-8+5=0.| AB |= 38 ,| AC |= 3 2 ∴| AB |≠| AC |且 AB⊥AC∴△ABC 为直角三角形. 4.【解析】选 B.建立如图所示直角坐标系,设正方体棱长为 1, 则 A(1,0,0) ,B(1,1,0) ,C(0,1,0) ,D(0,0,0) ,

1 1 1 1 1 .∴x=- ,y= ,z=1.答案: (- , ,1) 2 2 2 2 2

7.独具【解题提示】可用几何法或向量法证明. 【证明】方法一:在 Rt△BAD 中,AD=2,BD=2 2 ,∴AB=2, ∴ABCD 为正方形,∴BD⊥AC. ∵PA⊥平面 ABCD,BD ? 平面 ABCD,∴BD⊥PA. 又 PA∩AC=A,∴BD⊥平面 PAC. 方法二:建立如图所示的直角坐标系, 则 A(0,0,0),D(0,2,0),P(0,0,2), 在 Rt△BAD 中,AD=2,BD=2 2 , ∴AB=2,∴B(2,0,0),C(2,2,0), ∴ AP =(0,0,2), AC =(2,2,0), BD =(-2,2,0). ∵ BD ? AP =0, BD ? AC =0,即 BD⊥AP,BD⊥AC. 又 AP∩AC=A,∴BD⊥平面 PAC. 8.【解析】 (1)建立如图所示的空间直角坐标系,不妨设正方体的棱长为 2,

?

?

?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

1 1 , ,1). 2 2 ??? 1 1 ? 1 1 ∴ CE =( , ,1)-(0,1,0)=( ,,1). 2 2 2 2 ??? ? ??? ? AC =(-1,1,0), BD =(-1,-1,0),
A1(1,0,1) ,E(

???? ? ???? ? A1D =(-1,0,-1), A1A =(0,0,-1).

1 1 ,- ,1)(-1,-1,0) ? 2 2 ??? ??? ? ? 1 1 =- + +0=0.∴ CE ⊥ BD ,∴CE⊥BD. 2 2 ? ? 5.【解析】由 a ⊥ b 知 4+4y+2x=0
∵ CE ? BD =(

??? ?

??? ?

则 D(0,0,0) ,A(2,0,0) ,E(2,2,1) , F(0,1,0) ,A1(2,0,2) ,D1(0,0,2). 设平面 AED 的一个法向量为 n 1 =(x1,y1,z1), ①

?? ?

由| a |=6 知,2 +4 +x =36,∴x=±4,代入①得当 x=-4 时,y=1,当 x=4 时,y=-3, ∴x+y=-4+1=-3 或 x+y=4+(-3)=1.答案:-3 或 1

?

2

2

2

?? ???? ? ?n1 ? DA ? x1 , y1 , z1)? 2, 0, 0 ? ? 0 ( ? ? 则 ? ?? ??? ? ? ( ? ?n1 ? DE ? x1 , y1 , z1)? 2, 2,1? ? 0, ?
所以 2x1=0,2x1+2y1+z1=0. 令 y1=1,得 n 1 =(0,1,-2). 同理可得平面 A1FD1 的一个法向量 n 2 =(0,2,1).

???? ? ??? ? 6.独具【解题提示】点 M 在直线 AB 上,可设 AM ? ? AB . B ? 【解析】设 M(x、y、z) A ?A ; M ???? ? ??? ?
.

?? ?

?? ?

则(x,y,z-1)=λ (-1,1,0)则 x=-λ ,y=λ ,z=1
-3-

因为 n 1 ? n 2 =0,所以平面 AED⊥平面 A1FD1. (2)由于点 M 在线段 AE 上,所以可设 AM ? ? AE =λ (0,2,1)=(0,2λ ,λ ),可得 M(2,2λ ,λ ), 于是 A1M = (0, , -2) 要使 A1M⊥平面 DAE, 2λ λ , 需有 A1M⊥AE, AM A 即 1 ?E 2,1)=5λ -2=0,得λ = 故当 AM=

?? ?

?? ?

???? ?

??? ?

?????

??? ?? ?? ? ?

= (0, , -2) 2λ λ ? (0,

2 . 5

2 AE 时,A1M⊥平面 DAE. 5
???? ? ??? ?

独具 【误区警示】确定点 M 的位置时不可随意设出 M 的坐标, 要明确 M 点的位置, AM ? ? AE 等 用 形式描述. 独具【方法技巧】巧用空间位置关系求解存在性问题 立体几何中常用向量法判断或证明线面之间的位置关系,另外,已知线面间的位置关系,求解点的 位置也是常见题型之一,解决这两类问题的方法实质是相同的,在确定点的位置时,常常是先设出 点的坐标,再借助位置关系建立方程或方程组结合向量运算求得未知量. 【挑战能力】 独具【解题提示】假设存在点 F,利用 CF⊥平面 B1DF 列出方程求 AF. 【解析】以 B 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系 Bxyz, 则 C(0, 2 a,0) , B1(0,0,3a) , D(

1.【解析】选 D.∵α ⊥β ,∴a⊥b,∴a?b=0, ∴1?(-2)+2?(-4)+(-2)k=0,即 2k=-10,k=-5. 2.【解析】选 A.∵l∥α ,∴a⊥b,∴a?b=0, ∴4+4y+2x=0,即 x+2y+2=0, 2 2 2 又|a|=6,∴2 +4 +x =36,解得 x=±4, 当 x=4 时,y=-3;当 x=-4 时,y=1, ∴x+y=1 或-3. 【误区警示】在求解本题的过程中,根据等量关系列出关系式后,切记一定不要漏解. 3.【解析】选 D.∵a=(1,1,0),b=(-1,0,2), ∴ka+b=(k-1,k,2),2a-b=(3,2,-2), ∵(ka+b)⊥(2a-b), ∴(ka+b)?(2a-b)=0, ∴3(k-1)+2k-4=0,解得 k=

7 . 5

【变式训练】(2012?徐州高二检测)已知向量 a=(-2,3,2),b=(1,-5,-1),则 ma+b 与 2a-3b 相互垂 直的充要条件是 m= . 【解析】∵a=(-2,3,2),b=(1,-5,-1), ∴ma+b=(-2m+1,3m-5,2m-1), 2a-3b=(-7,21,7), ∴(ma+b)⊥(2a-3b)?-7(-2m+1)+21(3m-5)+7(2m-1)=0,

2a 2 , a,3a). 2 2

17 . 13 17 答案: 13
解得 m= 4.【解析】选 B.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, A1B= 2 a,AC= 2 a,

假设存在 F 点,使 CF⊥平面 B1DF.不妨设 AF=b, 则 F( 2 a,0,b),

??? ? CF =( 2 a,-

2 a,b),
2 a,0). 2
???? ? ????

???? ???? ? 2 B1F =( 2 a,0,b-3a), B1D =( a, 2

因为 CF ? B1D =a -a +0=0,所以 CF ⊥ B1D 恒成立.由 B1F ? CF =2a +b(b-3a)=b -3ab+2a =0, 得 b=a 或 b=2a. 所以当 AF=a,或 AF=2a 时,CF⊥平面 B1DF. 答案解析
-4-

??? ?

???? ?

2

2

??? ?

??? ?

2

2

2

? ? ? 1 ???? ???? 1 ??? A1B + A1A ? AC 3 3 ???? ????? ???? 1 ????? ????? ? ? ? ? ? 1 = ? ( A1A + A1B1 )+ A1A ? ( A1B1 + A1D1 ) 3 3 ? ? ? 2 ???? 1 ????? 2 ???? 1 ????? = A1A ? A1D1 = B1B ? B1C1 , 3 3 3 3 ? ???? 2 ???? 1 ????? ? 即 MN = B1B ? B1C1 , 3 3 ? ???? ???? ????? ? ∴向量 MN , B1B , B1C1 共面,又 MN 不在平面 BB1C1C 内,∴MN∥平面 BB1C1C.
∵ MN = MA1 + A1A + AN = ? 【变式训练】(2012?宿州模拟)已知α ,β 表示两个不同的平面,a,b 表示两条不同的直线,则下列 命题正确的是( )

? ? ???? ????? ???? ???? ?

(A)若 a⊥α ,α ⊥β ,则 a∥β (B)若 a∥α ,a∥β ,则α ∥β (C)若 a⊥α ,b⊥α ,则 a∥b (D)若 a⊥α ,a⊥b,则 b∥α 【解析】选 C.A 中,由α ⊥β ,再作 a⊥α ,则 a∥β 或 a?β ,A 不正确;B 中,利用正方体的模型可知 α 与β 也可能相交,B 不正确;C 中为垂直于同一个平面的两直线平行,C 正确;D 中直线 b 有可能在平 面α 内,D 不正确. 5.【解析】本题给出了三个论断,要求以其中两个为条件,余下一个为结论,用枚举法列出三个命题, 并依次判断: (1)①②?③;(2)①③?②;(3)②③?①.其中由①②不能推出③,即(1)为假命题,(2)(3)都是真命 题. 答案:①③?②,②③?① 6.【解析】①平面 ABD⊥平面 ACD,BD⊥AD, ∴BD⊥平面 ACD,∴BD⊥AC,∴ BD ?AC =0,故①不正确; ②AD=BD=CD,且∠ADB=∠ADC=∠BDC, ∴△ABD,△ACD,△BCD 是全等三角形, ∴AB=BC=AC,∠BAC=60°,故②正确; ③由②可知 AB=BC=AC,DA=DB=DC, ∴三棱锥 D-ABC 是正三棱锥,故③正确; ④建立空间直角坐标系,如图所示, 设 DA=DB=DC=1,则 A(0,0,1),B(1,0,0),C(0,1,0),可求出平面 ADC 的法向量是 n1=(1,0,0),平面 ABC 的法向量是 n2=(1,1,1),∴n1?2=1+0+0=1≠0,故④不正确. n 答案:②③ 7.【解题指南】根据圆的有关性质确定空间直角坐标系的建立方法,然后用法向 量证明两个平面垂直. 【证明】 如图所示,以 O 为坐标原点,OB,OC,OP 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建 立空间直角坐标系,

则由 n1? OD =0,n1? OP =0, OD =( ?

????

??? ?

????

1 1 , ,0), 2 2

??? ? OP =(0,0, 2 ),
1 ? 1 ? x1 ? y1 ? ? x1 ? y1 ? 0 2 得: ? 2 ,即 ? ,取 y1=1, ? z1 ? 0 ? 2z ? 0 ? 1
则 n1=(1,1,0), 设平面 PAC 的一个法向量是 n2=(x2,y2,z2),则由 n2? PA =0,n2? PC =0, PA =(-1,0, ? 2 ),

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? PC =(0,1, ? 2 )得:

??? ??? ? ?

??x 2 ? 2z 2 ? 0 ?x 2 ? ? 2z 2 ? ? ,即 ? , ? ? y2 ? 2z 2 ? 0 ? y2 ? 2z 2 ? ?
取 z2 =

2 2 ,则 n2=(-1,1, ), 2 2

∵n1?n2=-1+1+0=0,∴n1⊥n2, ∴平面 POD⊥平面 PAC. 8.【解析】(1)建立如图所示的空间直角坐标系, 不妨设正方体的棱长为 2,则 D(0,0,0),A(2, 0,0), E(2,2,1),F(0,1,0),A1(2,0,2),D1(0,0, 2). 设平面 AED 的一个法向量为 n1=(x1,y1,z1),

???? ?n1 ? DA ? ? x1 , y1 , z1 ? ? ? 2, 0, 0 ? ? 0 ? 则? , ??? ? ?n1 ? DE ? ? x1 , y1 , z1 ? ? ? 2, 2,1? ? 0 ?

所以 2x1=0,2x1+2y1+z1=0. 令 y1=1,得 n1=(0,1,-2). 同理可得平面 A1FD1 的一个法向量 n2=(0,2,1). 因为 n1?n2=0,所以平面 AED⊥平面 A1FD1. (2)由于点 M 在线段 AE 上,所以可设 AM =λ AE =λ (0,2,1)=(0,2λ ,λ ),可得 M(2,2λ ,λ ),于 则 O(0,0,0),A(-1,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),P(0,0, 2 ),D( ? 设平面 POD 的一个法向量是 n1=(x1,y1,z1),
-5-

???? ?

??? ?

1 1 , ,0). 2 2

是 A1M =(0,2λ ,λ -2),要使 A1M⊥平面 DAE,需有 A1M⊥AE,即 A1M ?AE =(0,2λ ,λ -2)?(0,

?????

?????

??? ?

2,1)=5λ -2=0,得λ = 故当 AM=

2 . 5

B1(0,0,3a), D(

2 AE 时,A1M⊥平面 DAE. 5

2a 2 , a ,3a). 2 2

8.【解析】(1)∵PA⊥平面 ABCD,PC⊥平面 BDE, ∴PA⊥BD,PC⊥BD 且 PA∩PC=P, ∴BD⊥平面 PAC. (2)由(1)知 BD⊥AC,四边形 ABCD 为矩形, ∴四边形 ABCD 为正方形. 以 A 为坐标原点,AB,AD,AP 所在直线为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系,则 A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,1),

假设存在 F 点,使 CF⊥平面 B1DF.不妨设 AF=b, 则 F( 2 a,0,b), CF =( 2 a, ? 2 a,b),

??? ?

???? ???? ? 2 2 B1F =( 2 a,0,b-3a), B1D =( a, a,0). 2 2
因为 CF ? B1D =a -a +0=0,所以 CF ⊥ B1D 恒成立.由 B1F ? CF =2a +b(b-3a)=b -3ab+2a =0, 得 b=a 或 b=2a. 所以当 AF=a,或 AF=2a 时,CF⊥平面 B1DF.

??? ?

???? ?

2

2

??? ?

???? ?

????

??? ?

2

2

2

??? ? ??? ? PB =(2,0,-1), BC =(0,2,0).

??? ? ?n ? PB ? 0, ? 2x ? z ? 0, ? 设平面 PBC 的一个法向量为 n=(x,y,z),则由 ? ??? 得? 取 x=1, ? ?n ? BC ? 0, ? 2y ? 0, ? ??? ? ∴n=(1,0,2),由(1)知平面 PAC 的一个法向量为 BD =(-2,2,0). ??? ? | n ? BD | 设二面角 B-PC-A 的平面角为θ ,则 cosθ = ??? ? n BD
=

|1? (?2) ? 0 ? 2 ? 2 ? 0 | 10 ? , 10 5?2 2

∴tanθ =3. 【挑战能力】 【解题指南】假设存在点 F,利用 CF⊥平面 B1DF 列出方程求 AF. 【解析】以 B 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系 Bxyz,

则 C(0, 2 a,0),
-6-


相关文章:
空间向量综合复习三空间向量与垂直关系
空间向量综合复习三空间向量与垂直关系_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 空间向量综合复习三空间向量与垂直关系_数学_高中教育_教育专区...
空间向量与垂直关系练习题
空间向量与垂直关系练习题_数学_高中教育_教育专区。课时作业(十九) [学业水平...的法向量,则③正确. →→→ 由于BD=AD-AB=(2,3,4),AP=(-1,2,-1),...
空间向量与垂直关系二一
空间向量与垂直关系二一_数学_高中教育_教育专区。空间向量与垂直关系 2014 年新田...综合提高(限时 25 分钟) 7.两平面 α、β 的法向量分别为 u=(3,-1,z)...
3.2.2空间向量与垂直关系
3.2.2空间向量与垂直关系_数学_高中教育_教育专区...三、知识导学:空间垂直关系的向量表示 1)线线垂直 ...吃哪些食物不发胖 在家全套瑜伽练习教程81份文档 笑话...
空间向量与垂直关系二十二
空间向量与垂直关系二十二_数学_高中教育_教育专区。空间向量与空间角 2014 年...(-1,2,0),AC=(-1,0,3).设平面 ABC 的法向量为 n=(x,y,z).由 ?...
空间向量与垂直关系2
空间向量与垂直关系2_数学_高中教育_教育专区。空间向量与垂直关系一、选择题 1.设直线 l1,l2 的方向向量分别为 a=(1,2,-2),b=(-2,3,m),若 l1⊥l2,...
空间向量与垂直关系
二 新知导航设空间直线 、 的方向向量分别为 平面 的法向量分别为 、、, ,...空间向量综合复习三空间... 6页 1下载券 空间向量与垂直关系-课时... 9页 ...
空间向量综合复习二空间向量与平行关系
空间向量综合复习(二)空间向量与平行关系 ? 一、选择题 1.(2011·三明高二检测...(C)α、β 相交但不垂直(D)以上都不正确 3.已知平面α 内有一点 M(1,-...
空间向量平行与垂直关系练习
空间向量平行与垂直关系练习_数学_高中教育_教育专区。1 空间向量平行与垂直关系...8.若平面 α 的一个法向量为 u1=(-3,y,2),平面 β 的一个法向量为 ...
空间向量与平行、垂直关系
空间向量与平行、垂直关系_数学_高中教育_教育专区。空间向量在立体几何中的应用...2.已知 A(4,1,3),B(2,3,1),C(3,7,-5),点 P(x,-1,3)在平面 ...
更多相关标签: